第二章 一元二次方程（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第一章 一元二次方程（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、方程是一元二次方程，故本选项符合题意． D、方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．若方程是关于x的一元二次方程，则必须满足的条件是（　　） A． B． C． D．以上答案都不正确 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程，熟练掌握其定义是解题的关键． 形如的方程即为关于x的一元二次方程的一般形式，据此即可求得答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 故选：B． 3．若关于x的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解即可求出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是， ， 解得． 故选：D． 4．根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，关键观察函数值的变化． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的解的范围为， 故选C． 5．已知，是关于x的一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．2.5 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，据此即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， 故选：B． 6．关于的一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定根的情况 【答案】A 【分析】根据题意得到，，，再计算，即可判断方程根的情况． 【详解】解：根据题意得：，，， ， 关于的一元二次方程的根的情况为有两个不相等的实数根， 故选：A． 7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，同时还应注意二次项系数不能为0． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且， 则k的取值范围是且， 故选：B． 8．宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价定为元．则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润入住的房间数可得． 【详解】设房价定为x元， 根据题意，得 故选B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根的判别式．解题的关键是掌握时，方程有两个不相等的实数根．根据方程有两个不等的实数根，得到判别式大于0，列式求出k的取值范围，再作答即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； ∴k的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 10．把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，进行计算即可解答． 【详解】解： 去括号得， 移项得， 合并得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 11．代数式x2+6x+10的最小值是 ． 【答案】1． 【分析】把原式运用配方法进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】原式=(x2+6x+9)+1 =(x+3)2+1， ∵(x+3)2≥0， ∴(x+3)2+1≥1， 则代数式x2+6x+10的最小值是1． 故答案为：1． 12．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查勾股定理，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 利用矩形的性质先求得，再利用勾股定理得到，即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，则， 设， ∴，即， 解得或（舍去）， 故答案为：2． 13．如图，长方形（长方形的对边相等，每个角都是），，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为．当点和点距离是时， ． 【答案】 或 【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． 作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可； 【详解】解：（1）如图1，作于， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：， 如图2，作于， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：， 综上：或． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（本题5分）用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （2）利用配方法即可求解； （3）利用因式分解法即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ∴ ∴ （2）解：， ， ∴ 15．（本题5分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，则； （2）一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程为有两个实数根， ，即 （2）解：当时原方程的两个实数根， 此时原方程为 即 解得． 16．（本题5分）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有实数根； (2)若 是该方程的一个解，求n的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系, 一元二次方程的根的定义以及一元一次方程的解法． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得，由此可证明无论取何值，该方程总有实数根； （2）把代入方程即可求出． 【详解】（1）证明：由题意得： ， ∴该方程总有实数根； （2）解：把代入方程，得：， 解得：， ∴的值为3． 17．（本题5分）（1）当3时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． 【答案】（1）3 （2）1， 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； 18．（本题5分）周末小明所在的数学兴趣小组组织了一次同学聚会，前来参会的每位同学都通过握手礼貌问候．经过统计后发现共握手了36次，请你帮小明计算出参加聚会的同学共有多少人？ 【答案】9人 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．设参加同学聚会的人数为x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握次手，所以人共握手次，又知共握手36次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解． 【详解】解：设参加同学聚会的人数为x人， 由题意列方程为 解得，（不合题意，舍去） 答：参加同学聚会的人数为9人． 19．（本题5分）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘(dá)，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣12月份销售量为150件，2月份销售量为216件，求该款上衣销售量的月平均增长率． 【答案】该款上衣销售量的月平均增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该款上衣销售量的月平均增长率为x，利用该款上衣2月份的销售量=该款上衣12月份的销售量该款上衣销售量的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该款上衣销售量的月平均增长率为根据题意，得 ， 解得舍去)， 答:该款上衣销售量的月平均增长率为. 20．（本题6分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成． (1)若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)长和宽分别为18米，10米 (2)不能达到200m2，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出长方形面积，由此建立方程求解即可； （2）利用长方形的面积公式列方程，解答即可． 【详解】（1）解：设，则； 根据题意列方程，得： ， 解得； 当时，（米）， 当时，（米），不合题意舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为18米，10米； （2）根据题意列方程得， ， 整理得出：； ， 故此方程没有实数根， 答：满足条件的花园面积不能达到． 21．（本题6分）如图，一艘船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过多少小时它就会进入台风影响区域． 【答案】7小时 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于的等式是解题关键．首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 设小时后，就进入台风影响区，根据题意得出，，， ，， ， ，， ， ， ， 解得：，不符合题意，舍去． 答：从接到警报开始，经过小时它就会进入台风影响区． 22．（本题7分）小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个面积为的长方形信封如图所示，信封长和宽的比为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长方形信封的长宽为2． (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由见解析． 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，再比较即可； 【详解】（1）解：信封长和宽的比为， 设长方形信封的长为，宽为． 根据题意，得． 为正数， 长方形信封的长为宽为2． （2）解：， ，即信封的宽大于正方形贺卡的边长． 小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 23．（本题7分）某电商在“抖音”上直播带货，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元件时，日销售量为件，售价每降低元，日销售量增加件，已知该产品的进货价为元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元件． (1)求销售量(件)与售价(元/件)的函数关系式； (2)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利元？ 【答案】(1) (2)该产品的售价每件应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用； （1）利用日销售量售价，即可找出日销售量件与售价元件的函数关系式； （2）利用电商每天销售该产品获得的利润每件的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：， 该产品的进货价为元件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元件， 日销售量件与售价元件的函数关系式为； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得： 不符合题意，舍去． 答：该产品的售价每件应定为元． 24．（本题7分）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？    【答案】2秒和4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及勾股定理；设秒后线段恰好平分的面积，分别求出,，得到，再通过勾股定理计算出，计算出，线段恰好平分的面积建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设秒后线段恰好平分的面积， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，，，符合题意， 当时，，，,不符合题意，舍去， 当点到达点后，点继续运动，如下图所示，   ， ∴， 解得秒， 故当和时，线段恰好平分的面积． 25．（本题8分）“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． (1)求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； (2)某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 【答案】(1) (2)6元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，根据2022年的种植面积2020年的种植面积建立方程，解方程即可得； （2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得． 【详解】（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为． （2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克， 由题意得：， 解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ， 解得， 所以， 答：售价应上涨6元． 26．（本题12分）在中，，，点分别在长方形的边上． (1)如图，当点在上，且，时，则________； (2)如图，若，点为线段上一动点（不包括端点），连接，求的度数； (3)如图，若矩形中，，，在（）的基础上，当取值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为． 【分析】（）证明，得到，，进而由勾股定理得到，再由勾股定理即可求出； （）过点作轴于，与同理得到，得到，，进而得到，即可得到； （）过点分别作轴，轴，由（）可得，，设，即可得到，，，在中，由勾股定理可得， 由取最小值可求出，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于，则， 同理（）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为点，则，，， 由（），， ∵， ∴ 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴当时，取最小值， ∴点的坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 一元二次方程（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若方程是关于x的一元二次方程，则必须满足的条件是（　　） A． B． C． D．以上答案都不正确 3．若关于x的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D．6 4．根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 5．已知，是关于x的一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．2.5 B． C．5 D． 6．关于的一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定根的情况 7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 8．宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价定为元．则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 10．把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 11．代数式x2+6x+10的最小值是 ． 12．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，，则的长为 ． 13．如图，长方形（长方形的对边相等，每个角都是），，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为．当点和点距离是时， ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（本题5分）用适当的方法解下列方程 (1) (2) 15．（本题5分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 16．（本题5分）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有实数根； (2)若 是该方程的一个解，求n的值． 17．（本题5分）（1）当3时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． 18．（本题5分）周末小明所在的数学兴趣小组组织了一次同学聚会，前来参会的每位同学都通过握手礼貌问候．经过统计后发现共握手了36次，请你帮小明计算出参加聚会的同学共有多少人？ 19．（本题5分）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘(dá)，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣12月份销售量为150件，2月份销售量为216件，求该款上衣销售量的月平均增长率． 20．（本题6分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成． (1)若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21．（本题6分）如图，一艘船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过多少小时它就会进入台风影响区域． 22．（本题7分）小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个面积为的长方形信封如图所示，信封长和宽的比为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 23．（本题7分）某电商在“抖音”上直播带货，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元件时，日销售量为件，售价每降低元，日销售量增加件，已知该产品的进货价为元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元件． (1)求销售量(件)与售价(元/件)的函数关系式； (2)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利元？ 24．（本题7分）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？    25．（本题8分）“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． (1)求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； (2)某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 26．（本题12分）在中，，，点分别在长方形的边上． (1)如图，当点在上，且，时，则________； (2)如图，若，点为线段上一动点（不包括端点），连接，求的度数； (3)如图，若矩形中，，，在（）的基础上，当取值最小时，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$