第一章 勾股定理（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第一章 勾股定理（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．6，8，10 D．10，20，24 2．如图，在中，，，，则AB的长为（    ）    A．2 B． C． D． 3．我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为（    ） A．21 B．15 C．13 D．12 4．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（    ） A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 5．线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，线段的长为（    ） A．5 B． C．4 D．3 6．已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a＝3，b＝4，c＝5 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2﹣b2＝c2 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．如图，已知的斜边，分别以直角边、为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，则的值为 ． 10．如图，这是证明勾股定理的另一种方法．梯形的面积等于两个全等的直角三角形的面积加上一个等腰直角三角形的面积，用等式表示是 ． 11．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有标号为①、②、③的三个三角形(顶点均在格点上)，其中是直角三角形，且边长符合勾股数的有 个．    12．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．    13．用八个全等的直角三角形拼接了一幅“弦图”，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则 ．    三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（本题5分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝12cm，求四边形ABCD的面积． 15．（本题5分）如图，以两条直角边为边向外作正方形，以斜边为直径向外作半圆，已知两个正方形面积和为． (1)求的长； (2)求半圆面积（结果保留）． 16．（本题5分）如图：每个小方格的边长为1，以格点为顶点，画一个面积为10的正方形． 17．（本题5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有个水池，水平面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度各是多少尺？    (1)将生活问题构建为数学模型，请在图中标上必要的字母，并写出已知与求； 解：已知：______；求：______． (2)写出解答过程． 18．（本题5分）如图，学校要对教学楼上的校训宣传牌进行清洁维护，一辆高的工程车在教学楼前点M处，从点D处伸长的云梯刚好接触到的底部点A（即），若，，云梯的长度不变，当工程车向前平移一段距离，云梯刚好接触到的顶部点C时，四边形为矩形．求工程车向教学楼方向行驶的距离． 19．（本题5分）如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 20．（本题6分）如图，在Rt△ABC中，C=900，AC=9 cm，BC=12 cm，CDAB于D， 求：（1）△ABC的面积 （2）斜边AB的长 （3）高CD的长 21．（本题6分）如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． (1)求，间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 22．（本题7分）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离海里的处有一艘走私船，以海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？ 23．（本题7分）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶． (1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由； (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？ 24．（本题7分）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 25．（本题8分）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图2． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处，作垂直于点． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)在（1）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度． 26．（本题10分）综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： (1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： (2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： (3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．6，8，10 D．10，20，24 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握知识点是解题的关键．判断是否为勾股数，须满足勾股数必须为正整数，且两小边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A：，不是勾股数，不符合题意， B：，但不是整数，因此不是勾股数，不符合题意； C：，是勾股数，符合题意； D：，不是勾股数，不符合题意； 故选C． 2．如图，在中，，，，则AB的长为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故选：B． 3．我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为（    ） A．21 B．15 C．13 D．12 【答案】B 【分析】利用勾股定理解题即可． 【详解】解：弦为： 故选：B． 4．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（    ） A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理，如果，则可判断是直角三角形，由此可推断是否为直角． 【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角． 故选B． 5．线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，线段的长为（    ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴点A和点B的水平距离为4，竖直距离为3， ∴． 故选：A． 6．已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a＝3，b＝4，c＝5 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2﹣b2＝c2 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可得A、C选项是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出B、D选项是否是直角三角形. 【详解】A、，且 ，故为直角三角形 B、 为直角三角形 C、 ，故不能判定是直角三角形 D、 ，故为直角三角形 故选：C. 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．根据等面积法证明即可． 【详解】解：A、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、， 根据图形不能证明勾股定理； 故选：D． 8．如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】D 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将半圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”通过勾股定理得出结果． 【详解】解：将圆柱的侧面展开为矩形， 其中为半圆的弧长，为半径的长，， 根据勾股定理可得， 故爬行的最短路程为． 故选：D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．如图，已知的斜边，分别以直角边、为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的平方即为的值，熟练掌握勾股定理，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：25． 10．如图，这是证明勾股定理的另一种方法．梯形的面积等于两个全等的直角三角形的面积加上一个等腰直角三角形的面积，用等式表示是 ． 【答案】 【分析】根据面积公式计算即可，本题考查了图形的面积，正确计算是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 11．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有标号为①、②、③的三个三角形(顶点均在格点上)，其中是直角三角形，且边长符合勾股数的有 个．    【答案】0 【分析】根据满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】解：由勾股定理可得： 图③中的各边分别为，不是正整数，不符合勾股数； 图②中的各边分别为2、2、，不是正整数，不符合勾股数； 图①中的各边分别为，不是正整数，不符合勾股数； 故答案为：0． 12．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．    【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求出即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图， ∵高为，底面周长为， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是， 故答案为：．    13．用八个全等的直角三角形拼接了一幅“弦图”，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则 ．    【答案】 【分析】用a和b表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出的面积． 【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a，较短的长度为b，即图中的，， 则，，， ∵， ∴ ， ∴． 故答案是：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（本题5分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝12cm，求四边形ABCD的面积． 【答案】24 【分析】连接BD，由已知条件及勾股定理解得BD的长，再用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而用两个直角三角形的面积差解题即可． 【详解】连接BD， AB⊥AD， ， 在中， 在中，， 是直角三角形， 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 15．（本题5分）如图，以两条直角边为边向外作正方形，以斜边为直径向外作半圆，已知两个正方形面积和为． (1)求的长； (2)求半圆面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形综合，涉及勾股定理、直角三角形三边作图的图形面积问题、圆面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，数形结合求解是解决问题的关键． （1）根据题意，在中，由勾股定理可得，代值求解即可得到答案； （2）由（1）中，数形结合得到半圆半径，再由圆面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，， 由勾股定理得； （2）解：由（1）， ∴半圆半径， ∴半圆面积． 16．（本题5分）如图：每个小方格的边长为1，以格点为顶点，画一个面积为10的正方形． 【答案】画图见解析 【分析】直接利用勾股定理结合网格即可画出符合题意的正方形． 【详解】如图，正方形ABCD即为所求面积为10的正方形． 17．（本题5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有个水池，水平面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度各是多少尺？    (1)将生活问题构建为数学模型，请在图中标上必要的字母，并写出已知与求； 解：已知：______；求：______． (2)写出解答过程． 【答案】(1)图见解析；尺，尺，；与的长度 (2)水深尺，芦苇长尺 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据题意画出图形，解答即可； 先设水池的深度为尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程，再解即可． 【详解】（1）解：如图，已知：尺，尺，，    求：与的长度； 故答案为：尺，尺，，与的长度； （2）设水池的深度为尺，则尺， 由题意得：， 即：， 解得：， ， 答：水深尺，这根芦苇的长度各是尺． 18．（本题5分）如图，学校要对教学楼上的校训宣传牌进行清洁维护，一辆高的工程车在教学楼前点M处，从点D处伸长的云梯刚好接触到的底部点A（即），若，，云梯的长度不变，当工程车向前平移一段距离，云梯刚好接触到的顶部点C时，四边形为矩形．求工程车向教学楼方向行驶的距离． 【答案】工程车向教学楼方向行驶的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点 D 作交于点E，由勾股定理求出，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，过点 D 作交于点E， 根据题意，得，， 在中，根据勾股定理，得， 设，则， 在 中，根据勾股定理，得即 ， 解得， 答：当云梯刚好接触到的顶部点C时，工程车向教学楼方向行驶的距离为． 19．（本题5分）如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 【答案】150米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，米，米， ∴米， 又米， ∴米， ∴这段公路的总长度为150米． 20．（本题6分）如图，在Rt△ABC中，C=900，AC=9 cm，BC=12 cm，CDAB于D， 求：（1）△ABC的面积 （2）斜边AB的长 （3）高CD的长 【答案】（1）54；（2）15；（3） 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出△ABC的面积； （2）利用勾股定理计算出AB的长即可； （3）根据三角形的面积公式计算出CD的长即可． 【详解】(1)△ABC的面积=×AC×BC=×9×12=54(cm). 故△ABC的面积是54cm； (2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm， ∴AB==15cm； (3)∵×AC×BC=×CD×AB， ∴×9×12=×15×CD， 解得CD=. 故高CD的长为cm. 21．（本题6分）如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． (1)求，间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)没有超速，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理代入数据即可求得答案． （2）先根据B，C间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速40比较大小即可． 【详解】（1）在中， ，，且为斜边， ， 答：，间的距离为； （2）这辆小汽车没有超速． 理由：，平均速度为：，， ， 这辆小汽车没有超速． 22．（本题7分）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离海里的处有一艘走私船，以海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？ 【答案】我军巡逻艇的航行速度是海里小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据方向角的定义得到，得出，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图所示，由题意得， ， ， ， ， 巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， 海里， 在中，，海里，海里， 海里， 我军巡逻艇的航行速度是海里小时． 答：我军巡逻艇的航行速度是海里小时． 23．（本题7分）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶． (1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由； (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？ 【答案】(1)村庄能听到宣传，理由详见解析 (2)村庄总共能听到4分钟的宣传 【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，于是得到结论； （2）根据勾股定理得到BP=BQ=600米，求得PQ=1200米，于是得到结论． 【详解】（1）解：村庄能听到宣传， 理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米， ∴村庄能听到宣传； （2）解：如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响， 则AP=AQ=1000米，AB=800米， ∴BP=BQ==600（米）， ∴PQ=1200米， ∴影响村庄的时间为：1200÷300=4（分钟）， ∴村庄总共能听到4分钟的宣传． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意． 24．（本题7分）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 25．（本题8分）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图2． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处，作垂直于点． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)在（1）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为7.5米 (2)米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图2，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为7.5米； （2）由题可知，米，米． 在中，由勾股定理得：， 解得：， 米， 米 故绳结离地面1.5米高． 26．（本题10分）综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： (1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： (2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： (3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据 “弦图”关系，设参数，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）由可知E是中点，从而可证，得到，再证即可得证； （3）用代数法思路证：设，正方形的边长为b，，先将表示出来，再证得到的表示，从而达到和的关系． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：设，正方形的边长为b，， 如图，过E分别作，的垂线，垂足分别为M、N， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$