第一章 特殊的平行四边形（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第一章 特殊的平行四边形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．菱形的周长为20cm，那么菱形的边长是（    ） A．6cm B．5cm C．4cm D．8cm 2．如图，在中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架是否是矩形，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线、就可以判断，其推理依据是（    ） A．邻边相等的平行四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 4．矩形和菱形都具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 5．如图，在中，，是边上的中线，且，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 6．如图，点O为正方形的对角线的中点，点E为线段上一点，连接，是以为底边的等腰三角形，若，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 7．如图，在正方形外侧，作等边，则为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．在菱形中，是其中一条对角线，若，则的度数为 ． 10．如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是32，那么图中阴影部分的面积为 ． 11．如图，在四边形中，，，对角线于点，若添加一个条件后，可使得四边形是正方形，则添加的条件可以是 （不再增加其他线条和字母） 12．如图，矩形纸片中，，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，，分别交于点O，F，且，则的长是 ． 13．如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是边上的一个动点，与关于对称，连接．当点G恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 15．（5分）如图，在中，，垂足为E，点F在上，且．求证：四边形是矩形． 16．（5分）如图，在中，平分交于点，过的中点作分别交于点，连接，求证：四边形是菱形．    17．（5分）如图，菱形的对角线相交于点，且，．求证：四边形是矩形． 18．（5分）如图，已知，请用直尺和圆规在图中作菱形，要求点D、E、F分别在边和上（不写作法，保留作图痕迹）． 19. （5分）正方形，如图摆放，连接，，．已知，求的长． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为8的正方形，与y轴交于点D，，求点B的坐标． 21．（6分）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，将沿着折叠得到，延长恰好经过点D． (1)求证： ． (2)若，求的周长． 22．（7分）如图，矩形的顶点A，C分别在菱形的边上，顶点B，D分别在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若A为的中点，菱形的周长是16，求的长． 23．（7分）如图，已知垂直平分，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 24．（7分）如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F．    (1)若，，求的长； (2)若G是的中点，连接和，求证：． 25．（8分）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点D在边上，连接，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在边上，若，，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，，，点D为下方的一点，连接、，若，，试判断A、B、D三点是否在一条直线上，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，矩形是果农王大爷家的一块空地，经测量，米，米，王大爷准备对这块空地进行有效利用，在边上取一点E，沿着修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计），在四边形内找一点F，连接、，使得，并在和内种植两种不同的水果，沿修一条运输通道，根据王大爷的规划，运输通道的长度米，请你求出灌溉水渠的长度． 26．（10分）（1）如图1，在矩形中，为边上一点，请在的延长线上找一点，使得并说明理由； （2）如图2，某新修建的公园有一块五边形空地，已知，，，，，，，，，点在边上，且．园区管理人员计划将这块空地种植牡丹，吸引游客观赏打卡．为了方便游客行走，要在其中间修一条过点的笔直小路(路的宽度不计)，使得小路的另一出口在上的点处，且恰好将五边形分成面积相等的两部分．请你帮园区管理人员确定出点到点的距离，并求出小路的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊的平行四边形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．菱形的周长为20cm，那么菱形的边长是（    ） A．6cm B．5cm C．4cm D．8cm 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据菱形的性质可知，菱形的四个边长相等， 菱形的边长为， 故选B． 2．如图，在中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断． 【详解】解：A、，可得，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误； B、，不能判断是菱形，错误； C、，不能判断是菱形，错误； D、，对角线垂直的平行四边形是菱形，正确； 故选：D． 3．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架是否是矩形，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线、就可以判断，其推理依据是（    ） A．邻边相等的平行四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形， 故选D． 4．矩形和菱形都具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形和矩形的性质； 根据菱形和矩形的性质即可判断； 【详解】解：A、矩形邻边不一定相等，不符合题意， B、矩形和菱形对边相等，符合题意， C、矩形对角线不一定互相垂直，不符合题意， D、菱形对角线不一定相等，不符合题意， 故选：B． 5．如图，在中，，是边上的中线，且，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的特征：斜边的中线等于斜边的一半，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ 故选：B 6．如图，点O为正方形的对角线的中点，点E为线段上一点，连接，是以为底边的等腰三角形，若，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，先根据正方形的性质得出是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形，O是的中点， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴． 故选：D． 7．如图，在正方形外侧，作等边，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等，先根据已知条件推出是等腰三角形，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在正方形外侧，作等边， ，，， ， ， ， 故选C． 8．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求的值，根据，求的值，进而可求． 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可得，， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．在菱形中，是其中一条对角线，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形对角线平分一组对角是解题关键．由菱形的性质可知，，，即可求解． 【详解】解：如图，四边形是菱形， ，， ， 故答案为： 10．如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是32，那么图中阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了矩形性质以及全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．首先根据矩形的性质可得，，进而可得，证明，由全等三角形的性质可得，然后结合矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 11．如图，在四边形中，，，对角线于点，若添加一个条件后，可使得四边形是正方形，则添加的条件可以是 （不再增加其他线条和字母） 【答案】或 【分析】解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形． 根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴是菱形， ∴要使四边形是正方形，则还需增加一个条件是：或． 故答案为：或． 12．如图，矩形纸片中，，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，，分别交于点O，F，且，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形翻折．熟练掌握矩形的性质，折叠性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 根据折叠的性质可得出，，，由“”可证，可得出，，设，则，，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出x的值，进而求出结果． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠知，，，， ∵，， ∴， ∴，， 设，则，， 又，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是边上的一个动点，与关于对称，连接．当点G恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，正方形的判定等知识，由轴对称的性质可得，，，则在以为圆心，为半径的圆上运动，通过证明四边形是正方形，可得． 【详解】解：如图，画出矩形的两条对称轴， 点是边的中点， ， 与关于对称， ，， 在以为圆心，为半径的圆上运动， 点恰好落在矩形的对称轴上，且点到的距离为， 点只能在上， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质、由已知容易证明，进而可得，从而由邻边相等的平行四边形是菱形得出结论. 【详解】证明：在与中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 15．（5分）如图，在中，，垂足为E，点F在上，且．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与选择、矩形的判定等知识点．熟记定理内容是解题关键．先证四边形是矩形．再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求证 ． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 16．（5分）如图，在中，平分交于点，过的中点作分别交于点，连接，求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义等等，先证明得到，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再由，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形． ， ∴四边形是菱形． 17．（5分）如图，菱形的对角线相交于点，且，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，先根据，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得出，即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形． 18．（5分）如图，已知，请用直尺和圆规在图中作菱形，要求点D、E、F分别在边和上（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】如图，作的平分线交于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接，四边形即为所作． 【详解】解：如图，作的平分线交于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴菱形即为所作． 19. （5分）正方形，如图摆放，连接，，．已知，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，先由正方形的性质得到，，则，再利用勾股定理分别求出，，则． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， 在中，勾股定理得， 在中，勾股定理得， ∴在中，勾股定理得． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为8的正方形，与y轴交于点D，，求点B的坐标． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形，过B作轴于N，根据正方形的性质求得，，进而求得，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，然后利用坐标与图形性质求解即可． 【详解】解：如图，过B作轴于N，则， ∵四边形是边长为8的正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为． 21．（6分）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，将沿着折叠得到，延长恰好经过点D． (1)求证： ． (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，矩形的性质． （1）由已知得，，，得，即可得． （2）由，，先求得，即可得的周长的周长． 【详解】（1）证明：矩形，折叠得到，延长恰好经过点D， ，，， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， 的周长的周长． 22．（7分）如图，矩形的顶点A，C分别在菱形的边上，顶点B，D分别在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若A为的中点，菱形的周长是16，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各性质是解题的关键： （1）由矩形的对边平行的性质推出，得到，由菱形的对边平行得到，进而证明，由此推出； （2）连接，证明，推出四边形是平行四边形，得到，进而求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵A为的中点，， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 23．（7分）如图，已知垂直平分，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理 （1）证明，根据全等三角形的判定和性质、平行线的性质得出，进而即可得证； （2）证明根据是菱形，根据菱形的性质分析，设则，勾股定理求得，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形， ， 如图，设交于点， 设则 即 解得：，即， ， ． 24．（7分）如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F．    (1)若，，求的长； (2)若G是的中点，连接和，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解决这类问题时，特殊四边形中有角平分线一般涉及了等腰三角形性质，证明线段相等一般利用全等三角形的性质． （1）先证明△ABE是等腰直角三角形，得到，同理可得，在中利用勾股定理可求； （2）连接，在等腰直角中，证明，然后用证明△即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，； （2）连接，    ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵G为中点， ∴ ∴ ∴． 又， ∴． 25．（8分）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点D在边上，连接，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在边上，若，，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，，，点D为下方的一点，连接、，若，，试判断A、B、D三点是否在一条直线上，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，矩形是果农王大爷家的一块空地，经测量，米，米，王大爷准备对这块空地进行有效利用，在边上取一点E，沿着修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计），在四边形内找一点F，连接、，使得，并在和内种植两种不同的水果，沿修一条运输通道，根据王大爷的规划，运输通道的长度米，请你求出灌溉水渠的长度． 【答案】（1）3；（2）A、B、D三点在一条直线上，见解析；（3）米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，矩形的性质，折叠的性质，理解题意掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由折叠可知，，，则，再由勾股定理即可求解； （2）由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理可得，即可证明A、B、D三点在一条直线上； （3）根据矩形及全等三角形的性质得，米，，则，可知，则、、在同一直线上，设米，则米，米，在中，，列出方程求得的长，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可知，，，则， 在中，， ∴， 故答案为：3； （2）A、B、D三点在一条直线上，理由如下： 在中，，，， ∴， 则，， ∴， ∴，则， ∴A、B、D三点在一条直线上； （3）在矩形中，米，米，， ∵， ∴，米，， 则， ∴，则、、在同一直线上， 设米，则米，米， 在中，， 则， 解得：，即：米， ∴米． 26．（10分）（1）如图1，在矩形中，为边上一点，请在的延长线上找一点，使得并说明理由； （2）如图2，某新修建的公园有一块五边形空地，已知，，，，，，，，，点在边上，且．园区管理人员计划将这块空地种植牡丹，吸引游客观赏打卡．为了方便游客行走，要在其中间修一条过点的笔直小路(路的宽度不计)，使得小路的另一出口在上的点处，且恰好将五边形分成面积相等的两部分．请你帮园区管理人员确定出点到点的距离，并求出小路的长． 【答案】(1)见解析 (2)点在线段距离点，小路的长为 【分析】本题为四边形的综合题，涉及到面积的计算，勾股定理得运用，矩形的性质，平行四边形的性质等，正确理解题意，将实际问题转化为几何问题是解题的关键． （1）连接，过点作，交的延长线于点，连接，则点即为所求，即可求解； （2）证明四边形为矩形、四边形为矩形，利用，得到，即可求解． 【详解】（1）连接，过点作，交的延长线于点，连接，则点即为所求． 理由∶∵， ， ， ， ； （2）如图，连接，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． ，， ， ，， ， ， ，， 四边形为矩形， ，， ， ， 又， ∴， ，， ，， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ∵直线恰好将五边形分成面积相等的两部分， ， ， ， ∴点在线段距离点处， ， ∴小路的长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$