8.6.2 直线与平面垂直的判定 教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2直线与平面垂直的判定 教学设计 学科 高中数学 年级 高一年级 学期 第二学期 标题 8.6.2直线与平面垂直的判定（第一课时） 学情分析 通过直观感知、操作确认的方法，学生已经学习了直线与平面平行的判定定理，对空间概念建立有一定基础，因而，可以采用类比的方法来学习本课，但学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。线面垂直的定义比较抽象，平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。因而，我将本节课的教学难点确定为：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 教材内容分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，主要学习直线与平面垂直及其应用。 线面垂直是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直关系转化的关键。同时，它又是学习直线和平面所成的角、平面与平面的距离等后续知识的基础。因此，这部分内容在教材中起着承上启下的作用。本节课的学习，可以培养学生提出猜想、验证猜想、作出结论的意识，增强“平面化”和“降维”的转化思想，以及提高空间想象能力。 课程目标 1. 借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义. 2. 通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理.并能运用证明和直线与平面垂直有关的简单命题.  3.在探索定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想. 学科素养 数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算 情感目标 经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质。 教学重难点 教学重点：1.抽象概括直线与平面垂直的定义；2.操作探究直线与平面垂直的判定定理。 教学难点：直线与平面垂直的判定定理初步应用。 教学过程 流程 课堂活动 设计意图 情景引入 在日常生活中，而我们对直线与平面垂直有很多感性认识。比如：旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系.....，都给人以直线与平面垂直的形象。 通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面垂直的初步形象，激发学生的探知欲，促进学生将客观现象和数学知识融为一体，实现“概念的数学化”。 探究新知 一、观察 如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直? 利用GeoGebra 动态数学软件制作视频，动态演示变化过程。 问题：结合旗杆例子进行探究，尝试得出线面垂直的数学化定义.（GGB） 思考1：阳光下，直立于地面的旗杆与它在地面的影子有何位置关系? 思考2：随着太阳的移动，旗杆与它在地面的影子位置关系又是什么呢？ 思考3：旗杆与地面上任意一条不过B点的直线位置关系又如何？ 二、直线与平面垂直的定义 1、定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足。 记法：l⊥α 性质：若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.　 核心：线面垂直→线线垂直 2、 画法：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 3、思考:在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 4、归纳：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件. 根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直. 那么，有没有可行的方法? 点拨：将“无限”操作“有限”化 思考？ 1、一条直线和平面内的一条直线垂直，能确保线面垂直吗？ 2、一条直线和平面内的两条直线垂直，能确保线面垂直吗？ ①一条直线和平面内两条平行直线垂直，能确保线面垂直吗？ ②一条直线和平面内两条相交直线垂直，能确保线面垂直吗？ 三、探究 请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？ 教师引导学生观察, 利用三角形纸片演示翻折过程。并提醒学生：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？之后引导学生用直角三角板辅助验证，将直角三角板的一条直角边与AD平行，并平移直角三角板，直至该直角边与AD重合。 发现：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在的直线在平面α垂直。 直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α。 图形语言： 特别强调： ①定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； ②定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 引导学生用“降维”的思想来思考问题，通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直的定义，使学生对线面垂直认识由感性上升到理性。 利用 GeoGebra软件形成动图，结合课堂活动进行展示更为直观。 为了用明确的数学语言下定义，借助三个思考进行突破.通过观察与思考把直观模糊的感性认识抽象化、确切化，顺势引导学生归纳概括出直线与平面垂直的定义. 让学生直观感知该结论，进而给出垂线段、点到平面的距离的概念，顺势介绍棱锥的高的概念，从而实现了感性认识到理性认知的转变，弥补了结构特征单元中概念不完备的遗憾. 引发学生认知冲突，激发学生探索线面垂直判定定理，并将平面内直线条数从无限条转化为有限条. 通过试验，引导学生独立发现直线与平面垂直的条件：“直线垂直平面内两条相交直线”，提高学生的分析问题能力，动手操作能力以及直观想象能力． 结合学生的认知，给出线面垂直的判定定理，强化条件缺一不可的必要性，并且加强符号语言的书写。并会熟练运用三种语言表达判定定理。 典例分析与巩固练习 例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. 师生活动：教师要求学生写出已知、求证， 并与学生共同分析证明思路： 在此问题中， 需要先构造出平面内的两条相交直线， 再利用“两条平行直线 中的一条垂直于某一直线， 则另一条也垂直于这一条直线 ”进行转化．教师 可先让学生在自己在本上书写证明过程， 再以板书的形式写出具体的解题步骤．教会学生如何规范答题. 例2. 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥平面ABCD，求证：AC⊥平面SDB. 例3．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．求证：AN⊥平面PBM. 师生活动：学生作答.教师用希沃白板将学生答题过程投影到一体机上，其他同学在自己的本子上书写解题步骤.学生交流，教师讲解，共同完成证明. 作业布置 巩固提升1 （层级A）如图,直四棱柱 ABCD-ABCD中, 当底面四边形ABCD满足条件__________时，BD⊥AC.A B C D A B C D 巩固提升2（层级B）过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC. (1) 若PA=PB=PC，则点O是△ABC的__外__心. (2)若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的__中__点. (3) 若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点是△ABC的__垂__心.B C P A O • 巩固所学知识， 学会用线面垂 直的定义和判 定定理证明线 线、线面垂直问 题. 通过典例探究，进一步巩固直线与平面垂直的定义与判定定理，提高学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养。 优化作业设计，分层布置作业，既巩固所学，又为学有余力的同学留出自由发展的空间. 课堂小结 分享你在本堂课中的收获 知识收获 思想收获 方法收获 其他收获 培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解的语言对问题进行质疑和概括。引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养． 板书设计 8.6.2直线与平面垂直（一） 1.定义： 图形、符号语言 2.判定定理： 图形、符号语言 投影区 教师讲解和学生分享区 教学反思 本节课的内容遵循“直观感知—操作确认—思辨论证 ”的认识过程展开.在对生活实例的观察、猜想等合情推理的活动后，概括出直线与平面垂直的概念、判定和性质定理。在教学过程中，教师应始终运用空间中的实体，让学生对图形首先有直观感知，然后产生空间想象；其次，通过实际实验操作，进行合情推理，归纳发现直线和平面垂直的条件。教学中，一定要给学生充分的时间进行探究活动。 1.利用现实空间中的实体设置问题情境，培养空间想象能力 如果没有空间立体感，那么学生学不好立体几何。贯穿课堂教学的提问是教学的灵魂，有空间实体，结合教师层层推进的问题设置，让学生的思维始终徜徉在空间想象的海洋中，这样可以大大降低学生学习立体几何的难度。 2.利用立体几何这一平台，提升数学核心素养 数学核心素养是数学课程目标的集中体现。立体几何是文字语言、符号语言、图形语言三种语言的完美结合。为提高课堂效率，引入多媒体展示文字语言和立体图形，但是学生的解题主要用的就是符号语言，为加深学生的印象，符号语言必须板书。这三种语言本质体现了数形结合的思想；直观感知、直观想象这一数学核心素养贯穿整节课的教学；逻辑推理是立体几何的灵魂和基石，本节课亦不例外，处处充满着逻辑推理这一核心素养。 3.课堂教学不仅是“智育”的舞台，更是渗透数学思想的阵地 本节课通过实例，分析、讨论总结出直线与平面垂直的判定定理，这体现了从特殊到一般的归纳思想；“符号语言”与“图形语言”的结合理解、记忆、应用，体现了数形结合的思想；通过实验，将平面图形转化为空间图形，将“线面问题”与“线线问题”互相转化，都体现了转化与化归的思想；通过现实生活中的立体几何体与平面中的空间几何体的直观图的对比，培养学生的空间想象能力，而这一能力是学生学好立体几何的必要条件。 4 学科网（北京）股份有限公司 $$