精品解析：江苏省宿迁市沭阳县2022-2023学年九年级下学期第一次联考数学试题

2022－2023学年度第二学期九年级第一次联考试卷数学 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 一、单项选择题：每小题3分，共8小题，总计24分． 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “冠状病毒”是一个大型病毒家族，科学家借助电子显微镜研究发现，某冠状病毒的直径约为0.00000012米，0.00000012用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的弦，半径于点D，，点P在圆周上，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数过点，则下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 直线经过二、三、四象限 C. 直线过点 D. 与坐标轴围成的三角形面积为1 6. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为，圆的半径为，则与满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 7. ，两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：km）与时间（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 乙比甲提前出发1h B. 甲行驶的速度为40km/h C. 3h时，甲、乙两人相距80km D. 0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km 8. 如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题3分，共10小题，总计30分． 9. 16的平方根是___________． 10 因式分解：__． 11. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为__． 12. 使得有意义的x的取值范围是______． 13. 如图ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，，若∠1=155°，则∠B的度数为_______． 14. 如图，在中，以为直径的分别与交于点F，D，点F是弧的中点，连接交于点E．若．连接，则弦的长为______． 15. 按如图所示运算程序，输入的值为时，则输出值为______． 16. 小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是______s． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点在以点为圆心，半径为2的圆上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为______． 18. 如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点，且与边相交于点．若且的面积为，则的值为______． 三、解答题：（8+8+8+10+8+10+10+10+12+12．）共10小题，共计96分． 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 20 先化简，再求值： ；从中任选一个代入求值 21. 如图，已知是的直径，是中的两条弦，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，的直径为10，求矩形的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与一次函数的图象交于点． （1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象； （2）结合图象，当时直接写出自变量x的取值范围； 23. 有四张正面分别标有数字﹣2，0，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀． （1）随机抽出一张卡片，则抽到数字绝对值为2的卡片概率为　 　； （2）随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽出的卡片上的数字之和是0的概率． 24. 为进一步实现云端教学增效赋能，某校对“初中生在网课期间平均每日作业完成时长”展开了调查．现从八年级随机抽取两个组，每组30名学生，分别记为甲组、乙组，对他们在网课期间平均每日作业完成时长（单位：分钟）进行了整理、描述和分析（作业完成时长用表示，共分为四个等级：A：，：，：，：），下面给出部分信息： 甲组学生的作业完成时长在等级中的全部数据为：70，70，70，75，75，75，75，78，78，78，78，78 乙组30名学生的作业完成时长中，，两等级的数据个数相同，A，两等级的全部数据为：55，58， 58，70，70，70，72，73，73，73，75，75，75，75，75，75，75，78． 甲、乙两组学生平均每日作业 完成时长统计表 组名 平均数 中位数 众数 时长低于80分钟所占百分比 甲组 74．1 78 70% 乙组 74．1 73 甲组学生平均每日作业 完成时长条形统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______；______；______，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为从甲、乙两组的平均每日作业完成时长来看，哪个组的学习效率更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级共有640名学生，请你估计八年级共有多少名学生的平均每日作业完成时长低于80分钟？ 25. 某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1200元． （1）如果要使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入＝租车收入管理费） （2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 26. 如图，已知中，，平分，交于点，以上某一点为圆心作使经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，求阴影区域的面积； 27. 如图，四边形是菱形，其中，点在对角线上，点在射线上运动，连接，作，交直线于点． （1）在线段上取一点，使，求证：； （2）图中，． ①点在线段上，求周长的最大值和最小值； ②记点关于直线的轴对称点为点，若点落在的边上，求的值． 28. 已知：抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点 （1）求抛物线的解析式的一般式； （2）若抛物线第一象限上有一点P，满足，求P点坐标； （3）直线与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022－2023学年度第二学期九年级第一次联考试卷数学 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 一、单项选择题：每小题3分，共8小题，总计24分． 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的值是． 故选：B 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解本题的关键在熟练掌握正数、的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的加减运算法则即可求解． 【详解】解：选项，不是同类项，不能进行计算，故不正确； 选项，是同类项，合并同类项的运算不正确，故不符合题意； 选项，不是同类项，不能进行计算，故不正确； 选项，是同类项，合并同类项的运算正确，故符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查整式的加减混合运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 3. “冠状病毒”是一个大型病毒家族，科学家借助电子显微镜研究发现，某冠状病毒的直径约为0.00000012米，0.00000012用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数是关键． 4. 如图，是的弦，半径于点D，，点P在圆周上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键．由垂径定理得到，根据圆周角定理得到，由半径于点推出是直角三角形，即可求得． 【详解】解：半径于点， ， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 5. 已知一次函数过点，则下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 直线经过二、三、四象限 C. 直线过点 D. 与坐标轴围成的三角形面积为1 【答案】D 【解析】 【分析】将点代入一次函数解析式，求出k的值，利用一次函数的图象与性质逐一判断即可． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴，解得， ∴一次函数为， ∴y随x增大而减小，直线经过一、二、四象限， 故A，B错误； 当x=1时，，因此直线不过点，故C错误； 该一次函数与x轴交于点(1,0)，与y轴交于点(0,2)， ∴与坐标轴围成的三角形面积为，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 6. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为，圆的半径为，则与满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算． 【详解】解：扇形的弧长是：， 圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：=2πr， 即：R=4r， R与r之间的关系是R=4r． 故选：D． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 7. ，两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：km）与时间（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 乙比甲提前出发1h B. 甲行驶的速度为40km/h C. 3h时，甲、乙两人相距80km D. 0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、根据图象可得乙比甲提前出发1h，故选项A说法正确，不符合题意； B、甲行驶的速度为20÷（1.5-1）=40km/h，故选项B说法正确，不符合题意； C、乙行驶的速度为 ∴3h时，甲、乙两人相距，故选项C说法错误，符合题意； D、； ∴0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km， ∴选项D说法正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 8. 如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案． 【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H， 根据相似比可知：， 即， 解得：EF=2（3-x）， 则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+， 故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键． 二、填空题：每小题3分，共10小题，总计30分． 9. 16的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】即：16的平方根是 故填： 【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义． 10. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式：，进行两次分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程得，然后运用整体代入的思想即可得出答案． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，运用整体代入的思想解题是本题的关键． 12. 使得有意义的x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 13. 如图ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，，若∠1=155°，则∠B的度数为_______． 【答案】65°##65度 【解析】 【详解】解：∵∠1=155°, ∴∠EDC=25°． 又∵DE∥BC， ∴∠C=∠EDC=25°． 在△ABC中，∠A=90°， ∴∠B+∠C=90°． ∴∠B=65°． 故答案为：65°． 14. 如图，在中，以为直径的分别与交于点F，D，点F是弧的中点，连接交于点E．若．连接，则弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 连接，先根据圆周角定理可得，，再证明，可得，，从而可得，然后利用勾股定理可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， 点是的中点， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 解得或（舍去）， ， 故答案为：． 15. 按如图所示的运算程序，输入的值为时，则输出值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了程序流程图及代数式求值，根据流程图把代入计算，当时即可求解，掌握运算程序的规则和有理数运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，， 当时，， ∴输出值为， 故答案为：． 16. 小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是______s． 【答案】 【解析】 【分析】将找重心最高点化为求这个二次函数的顶点，应该把一般式化成顶点式后，直接解答即可． 【详解】解：∵， ∴当，有最大值，即此时起跳后重心达到最高位置， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的顶点式求法． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点在以点为圆心，半径为2的圆上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，坐标与图形的性质，确定点位置是解题的关键．过点作轴的垂线与的交点即为，垂足为点，此时的矩形的对角线有最小值，结合点坐标可求解的最小值，根据矩形的对角线相等可求解． 【详解】解：过点作轴的垂线与的交点即为，垂足为点，此时的矩形的对角线有最小值， ， ， 的半径为2，即， ， 四边形为矩形， ， 即对角线的最小值为3． 故答案为：3． 18. 如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点，且与边相交于点．若且的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先过点C作轴，根据相似得到，然后根据等积变形得到四边形的面积，然后根据相似得到的面积，最后根据k的几何意义即可得到结果． 【详解】解：过点C作轴，交于M， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵的面积为， ∴， ∵与的公共部分为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴根据k的几何意义和函数过第二象限可得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数图象与性质，相似的性质，等积变形，因此分析图形，找到面积之间的关系是解答本题的关键． 三、解答题：（8+8+8+10+8+10+10+10+12+12．）共10小题，共计96分． 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）原不等式组无解 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂和实数的运算，解一元一次不等式组： （1）先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，再根据实数的运算法则求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组无解． 20. 先化简，再求值： ；从中任选一个代入求值 【答案】，1 【解析】 【分析】按照分式混合运算的顺序和法则进行计算化简后，按照分式有意义的条件选取合适的x的值代入计算即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝， 根据分式有意义的条件得且， ∴x只能为2， 当时，原式＝． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题关键． 21. 如图，已知是的直径，是中的两条弦，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，的直径为10，求矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）25 【解析】 【分析】（1）根据直径所对圆周角是直角可得，再利用平行线的性质可得，然后利用矩形的判定即可解答； （2）在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，然后利用矩形的面积公式进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：证明：是的直径， ， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 ，，， ，， 矩形的面积 ， 矩形的面积为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理，以及矩形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象； （2）结合图象，当时直接写出自变量x的取值范围； 【答案】（1）如图所示，； （2）或． 【解析】 【分析】（1）把代入，求出，把代入，求出的值，利用待定系数法列方程组可得一次函数的解析式； （2）根据两交点的横坐标求出的取值范围． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次、反比函数解析式的步骤，根据两交点的横坐标求出的取值范围是解题关键． 【小问1详解】 解： 的图象过点， ， 反比例函数的表达式：； 在的图象上， ， ， ，， 把，，两点代入得：， 解得：， 一次函数的表达式：； 如图所示： 【小问2详解】 解：由图象得：当或时，． 23. 有四张正面分别标有数字﹣2，0，2，3不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀． （1）随机抽出一张卡片，则抽到数字绝对值为2的卡片概率为　 　； （2）随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽出的卡片上的数字之和是0的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次数字和为0的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）随机抽出一张卡片，则抽到数字绝对值为2的卡片概率为， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有12个等可能的结果，两次抽出的卡片上的数字之和是0的结果有3个， ∴两次抽出的卡片上的数字之和是0的概率为． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24. 为进一步实现云端教学的增效赋能，某校对“初中生在网课期间平均每日作业完成时长”展开了调查．现从八年级随机抽取两个组，每组30名学生，分别记为甲组、乙组，对他们在网课期间平均每日作业完成时长（单位：分钟）进行了整理、描述和分析（作业完成时长用表示，共分为四个等级：A：，：，：，：），下面给出部分信息： 甲组学生的作业完成时长在等级中的全部数据为：70，70，70，75，75，75，75，78，78，78，78，78 乙组30名学生的作业完成时长中，，两等级的数据个数相同，A，两等级的全部数据为：55，58， 58，70，70，70，72，73，73，73，75，75，75，75，75，75，75，78． 甲、乙两组学生平均每日作业 完成时长统计表 组名 平均数 中位数 众数 时长低于80分钟所占百分比 甲组 74．1 78 70% 乙组 74．1 73 甲组学生平均每日作业 完成时长条形统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______；______；______，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为从甲、乙两组的平均每日作业完成时长来看，哪个组的学习效率更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级共有640名学生，请你估计八年级共有多少名学生的平均每日作业完成时长低于80分钟？ 【答案】（1）75；75；80；见解析 （2）乙；乙组同学作业完成时间低于80分钟的百分比大于乙组同学作业完成时间低于80分钟的百分比 （3）估计八年级共有480名学生的平均每日作业完成时长低于80分钟 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义、众数的定义求出a、b的值；求出乙组同学时长低于80分钟的百分比即可求出m；先求出甲组同学D等级人数，在补全条形统计图即可； （2）根据平均数、中位数、众数、作业时间低于80分钟的百分率进行解答即可； （3）用640乘以平均每日作业完成时长低于80分钟的百分比，估计出总量即可． 【小问1详解】 解：根据条形统计图可知，甲组同学作业完成时长排在第15和第16的在C等级中，且排在第15和第16的都是75， ∴甲组同学的中位数； 乙组30名学生的作业完成时长中，A，两等级的总人数为18人，则B，D两等级的总人数为（人）， ∵，两等级的数据个数相同， ∴，两等级的数据个数为， ∴，两等级的数据中出现次数最多的不可能超过6次， ∴乙组同学中出现次数最多的数据一定为75， ∴乙组同学的众数； 乙组同学中作业时长低于80分钟的人数为（人）， ∴乙组同学中作业时长低于80分钟所占百分比为：； 甲组同学D等级人数为：（人），补全条形统计图，如图所示： 故答案为：75；75；80． 【小问2详解】 解：乙组的学习效率更高；理由：乙组同学作业完成时间低于80分钟的百分比大于乙组同学作业完成时间低于80分钟的百分比． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计八年级共有480名学生的平均每日作业完成时长低于80分钟． 【点睛】本题主要考查了条形统计图，中位数、众数，解题的关键是数形结合，熟练掌握众数、中位数的定义． 25. 某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1200元． （1）如果要使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入＝租车收入管理费） （2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 【答案】（1）每辆车的日租金至少应为25元； （2）当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是4925元． 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，一次函数的应用，二次函数的应用； （1）由每天的净收入为正，可得，再进一步解答即可； （2）当当时，，当时，，再结合函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，若观光车能全部租出，则， 由， 解得， 又∵x是5的倍数， ∴每辆车的日租金至少应为25元； 【小问2详解】 解：设每天的净收入为y元， 当时，， ∵随x的增大而增大， ∴当时，的最大值为； 当时， ， 当时，的最大值为4925， ∵， ∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是4925元． 26. 如图，已知中，，平分，交于点，以上某一点为圆心作使经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，求阴影区域的面积； 【答案】（1）直线与相切，理由见解析； （2）6； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得出，由等边对等角得出，即可得出，进而判定，根据平行线的性质得到，即，即可得解； （2）由是直径得出，进而得到，，根据两角相等的两个三角形相似得到，即可得出，求出，在根据锐角三角函数定义求出，即得，再根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可根据求解； （3）根据阴影部分面积等于的面积减去扇形的面积求解即可． 【小问1详解】 证明：直线与相切，理由如下： 如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：是直径， ， ， 平分，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ； 【小问3详解】 解：，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是圆综合题，考查了切线的判定与性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记相关的定理及证明直线与相切是解题的关键． 27. 如图，四边形是菱形，其中，点在对角线上，点在射线上运动，连接，作，交直线于点． （1）在线段上取一点，使，求证：； （2）图中，． ①点在线段上，求周长的最大值和最小值； ②记点关于直线的轴对称点为点，若点落在的边上，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）①最小值为，最大值为；②2或14． 【解析】 【分析】（1）根据证即可得证结论； （2）①先证明点在线段上时，是等边三角形，确定周长最大时和最小时点的位置，从而可求出的长，进而求出周长即可； ②分两种情况讨论，点落在上的位置，求出的长，当落在上时，求出的长，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：①如图，当点与点重合时， 同（1）可得，， ， 是等边三角形， 同理可得，当点在边上时，均是等边三角形， 当时，最短，如图， ，， ， 又， ， ， ， 等边三角形的周长最小值为：， 当点与点重合时，如图，过点作于， 则，， ， 在中，， 此时的周长最大，最大值为：， 的周长最小值为，最大值为； ②当点在上时，如图，作于，点关于的对称点在上， ，， ， 在中，， ， ； 当点在上时，如图，连接， 点与点关于对称， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或14． 28. 已知：抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点 （1）求抛物线的解析式的一般式； （2）若抛物线第一象限上有一点P，满足，求P点坐标； （3）直线与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）10 【解析】 【分析】（1）把C点坐标代入中求出a的值即可得到抛物线解析式； （2）分两种情况，当点P在直线的下方时，过点B作交CP的延长线于点E，过点E作轴于点M，由直角三角形的性质可求得，长，求出点E的坐标，可求出直线的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点P的坐标；当点P在直线的上方时，过点B作交CP于点F，同理求出点F的坐标和直线的解析式，联立直线和抛物线方程可求得点P的坐标； （3）求出直线恒过定点，连结，当时，点B到直线的距离最大时，求出此时k的值，可求出点E，F的坐标，则的面积可求出． 小问1详解】 把代入， 得，解得， 所以抛物线解析式为，即； 【小问2详解】 当点P在直线的下方时，如图1，过点B作交的延长线于点E，过点E作轴于点M， ∵， ∴时，或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，， 把代入得， ∴ ； 当点P在直线的上方时，过点B作交于点F，如图2， 同理求出，， ∴， 求出直线的解析式为， ∴ ， 解得：， ∴． 综合以上可得点P的坐标为或； 【小问3详解】 ∵直线， ∴， ∴， ∴直线恒过定点，如图3，连结，当时，点B到直线的距离最大时， 求出直线的解析式为， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ ， 解得： ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式；能运用直角三角形的性质；理解坐标与图形性质，学会运用方程的思想和分类讨论的数学思想解决数学问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$