3.2 确定圆的条件（第1课时）（分层作业）数学青岛版九年级上册

3.2 确定圆的条件（第1课时） 题型一 确定圆的条件 1．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点、、； ③以点为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点； 正确的操作步骤是（ ）    A．②①③④ B．②①④③ C．①②④③ D．①④②③ 3．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点P B．点Q C．点R D．点M 5．过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆． 6．已知：不在同一直线上的三个点A，B，C（如图所示），求作，使它经过点A，B，C． 7．如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 8．已知：在中，，． (1)找到的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） (2)若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，，请求出的面积． 9．如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．    (1)用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R． 题型二 三角形外心及应用 10．三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 11．△ABC的外接圆圆心是该三角形（　　）的交点． A．三条边垂直平分线 B．三条中线 C．三条角平分线 D．三条高 12．下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个圆; B．任何三角形有且仅有一个外接圆 C．平分弦的直径必垂直弦; D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内 13．如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 14．直角三角形的外心在（   ） A．直角顶点 B．直角三角形内 C．直角三角形外 D．斜边中点 15．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 16．如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 17．如图，点是的外心，且，则 ． 18．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　）    A． B． C． D． 19．如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是的中点，连接，若，则 ． 21．如图，已知AB＝AC＝BE＝CD，AD＝AE，点F为△ADE的外心，若∠DAE＝40°，则∠BFC＝ °． 22．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点、、． (1)写出圆心M的坐标为___________； (2)这个圆的半径为___________； (3)直接判断点与的位置关系．点在__________（填内、外、上）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 确定圆的条件（第1课时） 题型一 确定圆的条件 1．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点、、； ③以点为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点； 正确的操作步骤是（ ）    A．②①③④ B．②①④③ C．①②④③ D．①④②③ 【答案】B 【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，从而可以解答本题． 【详解】由题意可得，所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆， ∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点， ∴正确的操作步骤是②①④③ 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答本题的关键是明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点． 3．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 4．如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点P B．点Q C．点R D．点M 【答案】B 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案． 【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图， 它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法． 5．过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆． 【答案】 无数 无数 垂直平分线 一 【分析】利用过点作圆的个数即可求解． 【详解】解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆， 故答案为：无数；无数；垂直平分线；一． 【点睛】本题考查了确定圆的个数，熟练掌握基础知识是解题的关键． 6．已知：不在同一直线上的三个点A，B，C（如图所示），求作，使它经过点A，B，C． 【答案】详见解析 【分析】连接AB，BC.，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线相交于点O，以O为圆心，以OA为半径，作出圆即可． 【详解】解：如图，（1）连接AB，BC. （2）分别作线段AB，BC的垂直平分线DE，GF，DE与GF相交于点O， （3）以点O为圆心，·以OA长为半径作圆.即为所要求作的圆 【点睛】本题考查基本作图，主要是线段垂直平分线的作法，需熟练掌握． 7．如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于为半径在两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与的交点为O，以O为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，得，根据三角形外角与内角的关系求出，结合已知可得，运用角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后由代入求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）由（1）可知，连接 又 故的半径为：2 【点睛】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，与三角形有关的角的计算以及“角所对的直角边等于斜边的一半”；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键． 8．已知：在中，，． (1)找到的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） (2)若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别作线段和线段的中垂线，中垂线的交点即为的外心O，以O为圆心，为半径画出的外接圆即可； （2）如图，连接，利用垂径定理求出半径，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图即为所求． ①分别以点，点为圆心，大于的长为半径，画弧，作出线段的中垂线； ②同理作出线段的中垂线； ③两条中垂线的交点O为圆心，为半径画圆，即为所求． （2）解：如图，连接，由题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴圆的面积为：． 【点睛】本题考查画三角形的外接圆，以及垂径定理求半径．熟练掌握外心的定义和等腰三角形的判定与性质，以及垂径定理是解题的关键． 9．如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．    (1)用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O； （2）构建直角，利用勾股定理列方程可得结论． 【详解】（1）分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；    （2）连接,交于, ∵ ， ， 在 中, ， 设的半径为， 在 中, ， 即， ， 【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图，要注意作图和解题中垂径定理的应用． 题型二 三角形外心及应用 10．三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 【答案】D 【分析】直接根据三角形的外心的定义判断即可 【详解】解：A．外心不一定在三角形外，错误； B．外心不一定在三角形内，错误； C．外心到三角形三角距离相等，错误； D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的外心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等． 11．△ABC的外接圆圆心是该三角形（　　）的交点． A．三条边垂直平分线 B．三条中线 C．三条角平分线 D．三条高 【答案】A 【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可． 【详解】解：△ABC的外接圆圆心是△ABC三边垂直平分线的交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键. 12．下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个圆; B．任何三角形有且仅有一个外接圆 C．平分弦的直径必垂直弦; D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内 【答案】B 【分析】根据圆的性质逐一判断即可. 【详解】A. 若三点在同一条直线上时，不能确定圆，故A错误；     B. 根据外接圆的性质，任何三角形有且仅有一个外接圆，故B正确； C. 两条直径互相平分，但不一定垂直，故C错误;     D. 等腰直角三角形的外心是斜边的中点，故D错误. 故选B. 【点睛】此题考查的是与圆有关的性质，掌握三角形的外接圆的性质和垂径定理的推论是解决此题的关键. 13．如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 的外心坐标为， 故选：D． 14．直角三角形的外心在（   ） A．直角顶点 B．直角三角形内 C．直角三角形外 D．斜边中点 【答案】D 【分析】根据三角形外心的定义即可进行解答． 【详解】解：∵三角形的外心为三角形三边垂直平分线的交点， ∴直角三角形的外心在斜边中点， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的外心，解题的关键是熟练掌握三角形外心的定义：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点．锐角三角形的外心在三角新内，直角三角形外心在斜边上，钝角三角形在外心在三角形外． 15．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该三角形的外心”是解题的关键．作线段、的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：作线段、的垂直平分线，如图所示： 的外心是点， 故选：A． 16．如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心的性质和勾股定理等知识的综合应用，根据外心的性质可知垂直平分，可知为直角三角形，，，由勾股定理可求半径． 【详解】解：为外心，， ，又， 由勾股定理，得 ， 的外接圆的半径是． 17．如图，点是的外心，且，则 ． 【答案】 【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵点为的外心， ∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键． 18．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理，可求得点P到A，B，C，D，E各点的距离，只有到B、C、E的距离相等，而三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，即可解答． 【详解】解：如图，由勾股定理得：，    ∴P到B、C、E的距离相等， ∴P是的外心， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外心及勾股定理，解题的关键在于熟悉三角形外心的概念． 19．如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件； 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 20．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是的中点，连接，若，则 ． 【答案】4 【分析】连接，由点O是的外心，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵O是的外心，， ∴， ∴是中位线， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与圆心，三角形中位线定理，正确作出辅助线并熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键． 21．如图，已知AB＝AC＝BE＝CD，AD＝AE，点F为△ADE的外心，若∠DAE＝40°，则∠BFC＝ °． 【答案】140 【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA=∠BAE= 70°，求出∠ABE= 40°，连接AE，EF，DF，由三角形外心的性质求出∠EBF=∠FCB=20°，由三角形内角和定理可得出答案． 【详解】解:∵∠DAE＝40°，AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴∠AED＝（180°﹣40°）＝70°， ∵AB＝BE， ∴∠BEA＝∠BAE＝70°， ∴∠ABE＝40°， 连接AE，EF， ∵点F为△ADE的外心， ∴AF＝EF，AF＝DF， ∴点F在AE的垂直平分线上， 同理点B在AE的垂直平分线上， ∴∠ABF＝∠EBF， ∴∠EBF＝∠ABE＝20°， 同理∠FCB＝20°， ∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣20°﹣20°＝140°． 故答案为：140 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点、、． (1)写出圆心M的坐标为___________； (2)这个圆的半径为___________； (3)直接判断点与的位置关系．点在__________（填内、外、上）． 【答案】(1) (2) (3)内 【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【详解】（1）解：如图，圆心的坐标为； （2），， 即的半径为； （3）圆的半径， 线段， 所以点在内． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$