2.1 等式性质和不等式性质（第二课时）-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第一册)

第 2 章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质（第二课时） 人教A版2019必修第一册 1.掌握不等式的性质． 2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明． 3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异. 教学目标 情境引入 01 温故知新 你能回忆起等式的基本性质吗？ 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么； 对称性 传递性 加减性 可乘性 可除性 问题　类比等式的性质，你能猜想不等式的性质吗？写出你的猜想． 不等式的性质 02 概念讲解 性质1：对称性 如果，那么.即 性质2：传递性 如果 性质3：可加性 如果a>b，那么a+c>b+c 推论： a+c>b a>b-c A a A1 a+c B b B1 b+c 概念讲解 性质4：可乘性 如果a＞b，c＞０，那么ac＞bc ；(正数保序性) 如果a＞b，c＜０，那么ac＜bc . (负数反序性) 性质5：同向可加性 如果，,那么 性质6：同向同正可乘性 如果， ，那么 性质7：同正可乘方性 如果，那么 概念讲解 例1.已知，，求证 分析 因为，所以要证，可先证明 证明：因为，所以， . 所以 ， 因为，所以，即 概念讲解 常用性质补充 （1）取到数： （2）糖水变甜： 概念讲解 练习1. 用不等号 “＞”或 “＜”填空： (1)如果a＞b，c＜d，那么a－c　　b－d； (2)如果a＞b＞０，c＜d＜０，那么ac　　bd； (3)如果a＞b＞０，那么 ； (4)如果a＞b＞c＞０，那么　　 答案:　(1)＞; (2)＞; (3)＜; (4)＜. 不等式性质的应用 03 概念讲解 [思路点拨]　本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断． D 概念讲解 概念讲解 概念讲解 2.已知实数满足，，求，的取值范围； 解： 注意： 同向不等式具有可加性与可乘性（同正），但是不具有可减性与可除性，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求取值范围，注意变形的等价性。 概念讲解 3.已知-2<a+b≤5, -1≤a-b≤4, 求a+5b的取值范围. 解：设m=a+b, n=a-b, 则-2<m≤5, -1≤n≤4, 所以-6<3m≤15, -8≤-2n≤2; 又a+5b=3m-2n，所以-14<a+5b≤17 概念讲解 4.已知a,b,c∈R，a+b+c=0, abc<0，求证：>0. 证明：由a+b+c=0,abc<0知 a,b,c中两正一负； 不妨设a>0,b>0, c<0 ； 则 === 因为 -c=a+b>0 ,所以 c2=(a+b)2>ab 所以 -c2+ab<0, 又abc<0 , 所以 ∴ 课堂小结 04 课堂小结 1.对于实数a，b，c下列命题中的真命题是(　　) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b) C．若a＜b＜0，则eq \f(b,a)＞eq \f(a,b) D．若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＞0，b＜0 法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq \f(a,ab)＞eq \f(b,ab)⇒eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，故B为假命题；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0⇒－a＞－b＞0))⇒eq \f(a,b)＞eq \f(b,a)，故C为假命题； eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b⇒b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题． 法二：特殊值排除法． 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错． 取a＝2，b＝1，则eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝1.有eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，故B错． 取a＝－2，b＝－1，则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(a,b)＝2，有eq \f(b,a)＜eq \f(a,b)，故C错． $$