第12讲 特殊三角形必考题型汇总（17大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第12讲 特殊三角形必考题型汇总（17大题型） 【精选浙江地区最新考试题型】 【必考题型一 根据轴对称图形的特征进行求解】 1．如图，与关于直线对称，，则度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点P是内部一点，点，分别是点P关于，的对称点，且，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为 ．    4．如图，在中，，，射线上有一点，，分别为点关于直线，的对称点，连接，若，则的长为 ．    5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有__________个； (3)在直线l上找到一点Q，使的值最小． 6．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 【必考题型二 等腰三角形的判定】 1．在中，，，D为线段上一点，且点D到、距离相等，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 2．的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 3．在中，若，，则 等腰三角形．（填“是”或“不是”） 4．如图，是的边上的高，下列条件中能推出是等腰三角形的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上） ①；②；③． 5．如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，G为中点，求的长． 6．已知：如图中，，平分，平分，过D作直线平行于交，于E，F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【必考题型三 等腰三角形的性质】 1．如图，点D是等腰的边上的一点，过点B作于点E，连接，若，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为16，，则为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 3．如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连结．若，则 ． 4．如图，将等腰(是锐角)沿对折，使得点落在射线上的点处，再将沿对折得到，若刚好垂直于，则的大小为 . 5．如图，在与中，在边上，，，， (1)求证：． (2)若，求的度数． 6．如图，已知，，，与交于点，点在上． (1)求证：； (2)若，． ①求的度数； ②求证：． 【必考题型四 等边三角形的判定】 1．在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 3．在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 4．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 5．如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 6．如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 【必考题型五 等边三角形的性质】 1．如图，和均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD，CE交于点M，N．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，过边长为的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，且，连接交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 4．如图，在等边中，D为延长线上一点，E为上一点，过点B作，连接，，且．若，，则的长度是 ．    5．以的边为边向外分别作等边、等边，连接，与交于O，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)请问线段与线段之间有什么数量关系？请说明理由． 6．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【必考题型六 格点中的等腰三角形】 1．如图，在的方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，那么点C的个数最多是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点A，B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，如果以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有格点C有（    ）个．    A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，在正方形的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点，且使是等腰三角形，则点的个数为 ． 4．如图，由36个完全相同的小正方形组成的网格中，点A，B在格点上，在网格的格点上找到点C，使为等腰三角形，这样的点C共有 个． 5．在如图所示的方格纸中，是格点三角形，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中画一个，使得和全等． (2)在图2中画一个等腰，使得和的面积相等． 6．在如图的的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，的顶点均在格点上，请按要求作格点图形． (1)在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P，使得与全等； (2)在图（乙）中，在右侧的小正三角形顶点上求作点G（除E点外），使为等腰三角形且． 【必考题型七 逆命题和逆定理】 1．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 2．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（　　） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形 3．命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”） 4．定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 5．小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证： 已知：如图，，点D在射线上， ， 求证： ．    (1)补全图形，已知和求证； (2)按小颖的想法写出证明过程． (3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明． 6．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 【必考题型八 含30°角的直角三角形】 1．如图，在中，分别是的角平分线和高线，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 3．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，．将沿BO对折至，M为BC上的动点，则A'M的最小值为 ． 4．如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒个单位沿射线运动． （1）当运动时间是 秒时，是直角三角形． （2）当运动时间的取值范围是 秒时，是钝角三角形． 5．如图，中，D是边的中点，，，垂足分别是点E，F，连接，． (1)求证：． (2)若，，连接，求的面积． 6．如图1，是等边三角形，D，E为上两点，且，延长至点，使，连结． (1)如图2，当D，E两点重合时，求证：； (2)如图3，延长交线段于点． ①求的度数； ②若，求点C到的距离． 【必考题型九 斜边的中线等于斜边的一半】 1．如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的中垂线与交于点D，与交于点E，连接，F为的中点，若，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D．3 3．如图，在四边形中，O是的中点，，若，则 ． 4．如图，在中，，为的中点，，点在上，且，则的大小为 ． 5．在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．如图，在等边三角形中，D是上的一点，E是延长线上一点，连接、，已知． (1)求证：是等腰三角形． (2)当，时，求的面积． 【必考题型十 直角三角形全等的判定】 1．如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，，平分交于点P，于点，若，，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 4．如图，在中，于点D，在上取点F，使得，连接并延长交于点E，则 ． 5．如图，已知，分别是两个钝角和的高，如果，． 求证： (1) (2) 6．如图，在中，平分，，于E，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【必考题型十一 勾股定理的证明方法】 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ． 4．清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ． 5．如图，对任意符合条件的直角三角形，绕其锐角顶点逆时针旋转得，所以，且四边形是一个正方形，它的面积和四边形面积相等，而四边形面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．    6．勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元222年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图1的大正方形，采用面积法证明． （1）类比证明：伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）于1876年4月1日《新英格兰教育日志》上证明勾股定理．在和中，，易证． 请你用两种不同的方法表示梯形的面积（图2），并证明：； （2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． ①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；②画一个三边长都为无理数的直角三角形；③画一个钝角三角形，使它的面积为4． （3）拓展应用：如图3，在直线l上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是2、3，正放三个正方形的面积依次是，，，则______（直接写出答案） 【必考题型十二 用勾股定理解三角形】 1．著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（    ） A．16 B．24 C．32 D．60 2．如图，在等腰直角三角形纸片中，，D是的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是等边三角形，点为上一点，且，现将沿直线折叠得到，与交于，垂直平分，若，则 ． 4．如图，在中，，，分别以，为边在外作等边和等边，连结，． （1）若，则 ； （2）若，则的长为 ． 5．如图，在中，过点作，在上截取，上截取，连接，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 6．如图1，中，于D，且，若．    (1)求和的长； (2)如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）． ①若是以点A为顶点的等腰三角形时，求t的值； ②若点E是边上一点，且，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【必考题型十三 勾股定理中的折叠问题】 1．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 3．如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是 4．如图，在中，，，，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当平行于的一条边时，的长为 ． 5．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，， (1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由． (2)求重叠部分的面积． 6．如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 【必考题型十四 勾股定理的逆定理】 1．如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A．3 B．6 C．10 D．16 2．已知的三边长分别为，，，且，则是（　　） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．等边三角形 3．如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是 平方厘米．    4．如图，以的每一条边为边，在边的同侧作三个正三角形、和．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则 °． 5．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 6．笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【必考题型十五 勾股定理的应用】 1．如图，在离水面点A高度为的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（    ）（假设绳子是直的）． A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 2．如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 4．《九章算术》有一问题∶“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可表述为∶“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上，如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，则木杆长为 尺．”（说明：1丈=10尺） 5．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度． 6．如图一架25米长的梯子斜靠在一面墙上，梯子底端B到墙底的垂直距离为7米． (1)求这个梯子的顶端A到地面的距离的值； (2)如果梯子的顶端A沿墙竖直下滑4米到点D处，求梯子的底端B在水平方向滑动了多少米？ 【必考题型十六 最短路径问题】 1．如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ）厘米． A．8 B． C． D． 2．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，B到公路的垂直距离分别为和，A，B之间的水平距离为．现要在公路l上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为 km． 4．如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是 ． 5．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖． (1)求点到点的距离； (2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？ 6．葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？ (1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？ (2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？ 【必考题型十七 特殊三角形压轴大题】 1．如图1，在等边中，线段为边上的高线．动点在线段（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连结． (1)判断与是否相等，请说明理由； (2)如图2，若两点在直线上且满足，试求的长． (3)在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值，若是，请画出图形并求出的长；若不是，请简单说明理由． 2．图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．    (1)_____（用t的代数式表示） (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 3． 【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ； 【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点， ① 求 的大小； ，求 的面积； 【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点 的面积为 32，求的长． 4．如图1，已知，，，分别以、为边向外作与，且，，，连接交于点． (1)探究：与的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． (2)如图2，若，，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，若，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 特殊三角形必考题型汇总（17大题型） 【精选浙江地区最新考试题型】 【必考题型一 根据轴对称图形的特征进行求解】 1．如图，与关于直线对称，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，由轴对称的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：和关于直线对称，， ， 又∵， ， 故选：C． 2．如图，点P是内部一点，点，分别是点P关于，的对称点，且，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长计算方法即可解答． 【详解】解：∵点，分别是点P关于，的对称点， ∴， ∴的周长， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴上的点与对应点连线相等． 3．如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为 ．    【答案】11 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质可得，，进而得出，再根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵点A与点E关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：11． 4．如图，在中，，，射线上有一点，，分别为点关于直线，的对称点，连接，若，则的长为 ．    【答案】或/12或6 【分析】分两种情形：如图1中，当点在线段上时，如图2中，当点在的延长线上时，分别求解可得结论． 【详解】解：如图1中，当点在线段上时．    ，分别为点关于直线，的对称点， ，， ， ， ， ． 如图2中，当点在的延长线上时，同理可得，    设，则，， ， ， ． 故答案为：6或12． 【点睛】本题考查轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有__________个； (3)在直线l上找到一点Q，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】本题主要考查轴对称作图、轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出对应点，然后顺次连接即可； （2）利用网格，作线段AB的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置； （3）连接，交直线l于点Q，连接，此时的值最小． 【详解】（1）解：如图：即为所求．    （2）解：如图：满足到点A，B的距离相等， ∴网格中满足条件的点P有4个． 故答案为：4． （3）解：如图，点Q即为所求． 6．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)E， (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性： （1）观察图形可直接得出答案； （2）根据成轴对称的两个图形的全等性可得，根据全等三角形对应边相等即可求解； （3）根据，，推出，根据对称性得到，推出． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴图中点C的对应点是点E，的对应角是； 故答案为：E，． （2）解：∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （3）解：∵，， ∴， 根据对称性知，， ∴． 【必考题型二 等腰三角形的判定】 1．在中，，，D为线段上一点，且点D到、距离相等，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】根据等边对等角求出，再根据角平分线的判定得到点D在的平分线上，即可求出，即可证明等腰三角形． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D到、距离相等， ∴点D在的平分线上， ∴， ∴为等腰三角形， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是利用等腰三角形的性质求出相应角度，且能判定角平分线． 2．的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，，所以，所以是等腰三角形； B、因为 ，所以设，则有两边相等的是等腰三角形； C、因为 ，所以，则，所以是等腰三角形； D、因为，，则，那么， ，不能判定是等腰三角形． 故选：D. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，以及三角形内角和定理是解题的关键． 3．在中，若，，则 等腰三角形．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可得的度数，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：是 4．如图，是的边上的高，下列条件中能推出是等腰三角形的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上） ①；②；③． 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的判定和三角形全等的判定，解题关键是结合图形灵活解决问题．由无法确定是等腰三角形；根据证明可判定是等腰三角形；延长至点E，使，延长至点F，使，连接．先证明，再证明，可判定是等腰三角形． 【详解】解：①无法判定是等腰三角形； ②当时， 是的平分线， ∴． ∵是边上的高， ∴． ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形； ③如答图，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． ， ． 又， ∴是的垂直平分线， ∴， ． ， ． 同理， ， ∴， 是等腰三角形． 故答案为：②③． 5．如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （2）如图：过点E作，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：图：过点E作，垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8． 6．已知：如图中，，平分，平分，过D作直线平行于交，于E，F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）， ， 平分， ， ， ， ，， ∴的周长为： ． 【必考题型三 等腰三角形的性质】 1．如图，点D是等腰的边上的一点，过点B作于点E，连接，若，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形吗，三角形的面积，过作于，由是等腰直角三角形， 得到， 由余角的性质推出， 由推出， 得到，即可求出面积 【详解】解：过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故选：B． 2．如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为16，，则为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．根据三角形的周长公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：周长为16， ， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， 故选：A． 3．如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连结．若，则 ． 【答案】50 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：50． 4．如图，将等腰(是锐角)沿对折，使得点落在射线上的点处，再将沿对折得到，若刚好垂直于，则的大小为 . 【答案】45 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，外角的性质．由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，由外角性质可求，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：， ， 将等腰(是锐角)沿对折，使得点落在射线上的点处， ， 将沿对折得到， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，在与中，在边上，，，， (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据即可证明． （2）先根据全等三角形的性质得到，则，根据平角的定义即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）， ，即， 在和中，， ， （2）， ， 又， ∴， 又， ， ． 6．如图，已知，，，与交于点，点在上． (1)求证：； (2)若，． ①求的度数； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①　　②见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质： （1）可证，即可求得答案； （2）①结合，即可求得答案；②可先证． 【详解】（1）∵，，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴ ∴ ∵， ∴； ②∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【必考题型四 等边三角形的判定】 1．在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，等边对等角，掌握等边三角形的定义是解题关键．根据选项所给条件逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，为等边三角形，不符合题意； B、，若不是的中点时，则不是等边三角形，符合题意； C、，为等边三角形，不符合题意； D、，则，为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 2．下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等边三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：①有两个角等于的三角形是等边三角形；②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形，可根据三角形内角和为求得每个内角的度数为；④三边都相等的三角形是等边三角形；综上所述：是等边三角形的有①②③④； 故选D． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定定理，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键． 3．在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定条件是解题关键．由等边三角形的定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．据此即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， 要使是等边三角形，只需添加、的夹角即可． 故答案为：（答案不唯一）． 4．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的中垂线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质． （1）根据等边三角形的判定解答即可； （2）求出，根据证出即可； （3）根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角性质推出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等边三角形； （2）∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴． 6．如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）根据证明三角形全等即可； （2）根据，得出，，求出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【必考题型五 等边三角形的性质】 1．如图，和均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD，CE交于点M，N．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明，． 根据证明即可判断①正确；根据平行线的性质证明即可判断②正确；证明，得出，即可判断④正确；根据，，得出，根据，得出，即可判断③错误；根据，，求出为等边三角形，得出，即可判断⑤错误． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵A、C、B三点共线，， ∴，故②正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故④正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴为等边三角形， ∴，故⑤错误； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：C． 2．如图，过边长为的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，且，连接交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作交于点，利用等边三角形的性质和三线合一可得是等边三角形、是的中线，则有、，根据可得，又可判定，则，代入即可求解． 【详解】作交于点， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 又， 是的中线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质与判定、三线合一、全等三角形的性质与判定，解题关键是利用辅助线构造等边三角形，利用等边三角形的性质判定全等后求的长． 3．如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由是等边三角形，，，可证明是等边三角形，得出，进而证明，得出，，再由，，得出，结合，可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 4．如图，在等边中，D为延长线上一点，E为上一点，过点B作，连接，，且．若，，则的长度是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在的延长线上截取，连接，证明为等边三角形，然后推导，即可解题． 【详解】解：在的延长线上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    5．以的边为边向外分别作等边、等边，连接，与交于O，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)请问线段与线段之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、三角形内角和综合： （1）根据等边三角形的性质得 ， ，再利用证得，进而可求证结论； （2）过点分别作，，由（1）知：，，，进而可证，再根据角平分线的判定即可求证结论； （3）在上截取一点，使得，由（1）知：，可得，进而可得，则可得，由（2）知：，则可得是等边三角形，再利用可得，进而可得，根据即可求解； 熟练掌握相关的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：过点分别作，，如图： 由（1）知：， ，， ， ， 点在的平分线上，即平分． （3），理由如下： 在上截取一点，使得，如图： 由（1）知：， ， ， ， 由（2）知：， ， 是等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ． 6．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识． （1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形． 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即，∴； ②当时，则，即，∴； ③当时，则，即，∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 【必考题型六 格点中的等腰三角形】 1．如图，在的方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，那么点C的个数最多是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 【详解】解：如图，当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， ∴点C的个数有3个， 故选：C． 2．如图，点A，B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，如果以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有格点C有（    ）个．    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况：当时；当时；当时；即可解答． 【详解】解：如图：    分三种情况： 当时，以点为圆心，以长半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，以点为圆心，以长半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为，，，； 综上所述：满足条件的所有格点有8个， 故选：． 3．如图，在正方形的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点，且使是等腰三角形，则点的个数为 ． 【答案】8 【分析】根据等腰三角形的判定找出符合条件的所有点C即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 点C在、、、位置上时，； 点C在、位置时，； 点C在、位置上时，， 即满足条件的点的个数为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合条件的所有点是解题关键，注意有两边相等的三角形是等腰三角形． 4．如图，由36个完全相同的小正方形组成的网格中，点A，B在格点上，在网格的格点上找到点C，使为等腰三角形，这样的点C共有 个． 【答案】10 【分析】首先由勾股定理可求得的长，然后分别从去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图所示： ①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，则符合要求的有：共6个点． ∴这样的C点有10个． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题关键是分类的数学思想． 5．在如图所示的方格纸中，是格点三角形，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中画一个，使得和全等． (2)在图2中画一个等腰，使得和的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，同底等高面积相等等知识： （1）根据“”可作，使得和全等； （2）过点C作的平行线，即可作等腰，同样，在的另一侧也可作等腰 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，等腰即为所作 6．在如图的的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，的顶点均在格点上，请按要求作格点图形． (1)在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P，使得与全等； (2)在图（乙）中，在右侧的小正三角形顶点上求作点G（除E点外），使为等腰三角形且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图（甲），在上取，使， 由，可得，证明，则点即为所求； （2）如图（乙），连接，则是线段的垂直平分线，取与格点的一个交点为，则，点即为所求． 【详解】（1）解：如图（甲），在上取，使， 由题意知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴点即为所求； （2）解：如图（乙），连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， 取与格点的一个交点为，连接， ∴， ∴点即为所求． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，作等腰三角形等知识．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，作等腰三角形是解题的关键．． 【必考题型七 逆命题和逆定理】 1．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一个定理的逆定理，交换定理的题设和结论得到的命题如果正确就是原定理的逆定理，据此求解即可． 【详解】解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故选D． 2．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（　　） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题的逆命题，根据逆命题的定义直接解答即可． 【详解】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 3．命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例． 先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方、有理数的大小比较法则判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，，而， 故答案为：假． 4．定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题主要考查了判断一个三角形逆命题的真假，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的定义，先把原命题的结论和条件互换写出原命题的逆命题，进而判断命题的真假即可． 【详解】解：原命题的逆命题为，一边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形，该命题是真命题， 根据题意可知该边上的高线垂直平分该边，则高线在的顶点到该边两端的距离相等，即此三角形是等腰三角形， 故答案为：真． 5．小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证： 已知：如图，，点D在射线上， ， 求证： ．    (1)补全图形，已知和求证； (2)按小颖的想法写出证明过程． (3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．它是真命题，证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质直接画图，直接填写已知条件和结论即可； （2）通过证明全等三角形得到边相等即可； （3）根据逆命题的定义直接写出逆命题，然后证明全等三角形，再证明角平分线即可． 【详解】（1）补全图形如图所示．    已知：如图，，点D在射线上，，垂足分别为E，F． 求证：． （2）∵， ． ∴． 在和中， ∴． ∴． （3）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 它是真命题．   已知：如图，点P为内一点，，垂足分别为D，E，且． 求证：平分． 证明：∵，垂足分别为D，E． ∴． 在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应角相等）． ∴平分．    【点睛】此题考查角平分线的性质和判定，解题关键是通过全等三角形证明对应边和对应角的等量关系 6．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 【答案】，证明过程见解析 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】求证：， 证明：如图，设直线与的交点为， 直线为线段的垂直平分线， ，， ， 在与中， ， ∴（SAS）， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【必考题型八 含30°角的直角三角形】 1．如图，在中，分别是的角平分线和高线，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，高的性质，根据三角形内角和定理可得，根据高的性质可得，根据角平分线的性质可得，根据即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵是的角平分线，是高， ∴，， ∵， ∴的值为， 故选：A ． 2．如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】D 【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过作，根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】解∶∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 过作于点，      ∵，平分， ∴， ∵点是射线上的动点， ∴的最小值为3， 故选：C． 3．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，．将沿BO对折至，M为BC上的动点，则A'M的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识．由折叠的性质可得，可证得是等边三角形，从而得到，根据题意得：当时，最短，过M作于H，取的中点N，连接，根据直角三角形的性质可得，，从而得到，进而得到，，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵O为AD的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意得：当时，最短， 过M作于H，取的中点N，连接，如图， 在中，N是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒个单位沿射线运动． （1）当运动时间是 秒时，是直角三角形． （2）当运动时间的取值范围是 秒时，是钝角三角形． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，三角形的分类； （1）过作于，，交于，根据含度角的直角三角形的性质求得的长即可求解； （2）根据（1）的结论，结合图形，即可求解． 【详解】解：如图，过作于，，交于， 则，， ， ，， ， ，， ∴当运动时间为或时，是直角三角形． 故答案为：或． （2）由（1）可得，； 当运动时间的取值范围是或秒时，是钝角三角形． 故答案为：． 5．如图，中，D是边的中点，，，垂足分别是点E，F，连接，． (1)求证：． (2)若，，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用直角三角形斜边中线的性质可得出，即可得证； （2）利用三角形内角和定理、等边对等角可求出，进而求出∴，作，垂足为G，利用含的直角三角形的性质求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：，点D是的中点． ，， ， 为等腰三角形； （2）解：连接， ∵ ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， 作，垂足为G， ∵ ∴， ∴， ∴． 6．如图1，是等边三角形，D，E为上两点，且，延长至点，使，连结． (1)如图2，当D，E两点重合时，求证：； (2)如图3，延长交线段于点． ①求的度数； ②若，求点C到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）先根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质得到，，再根据三角形的外角性质得到，进而利用等角对等边可证得结论； （2）①过D作交于H，证明是等边三角形，得到，进而，再证明得到，利用三角形外角性质可求解； ②如图3，过F作交延长线于M，过C作于N，先求得，，在中，利用含30度角的直角三角形求得，，在中，利用勾股定理求得，然后利用等面积法求得即可． 【详解】（1）证明：如图2，∵是等边三角形， ∴，， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①,如图3，过D作交于H， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴ ∴； ②如图3，过F作交延长线于M，过C作于N， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∵ ∴， 即点C到EF的距离为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【必考题型九 斜边的中线等于斜边的一半】 1．如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，根据题意得到垂直平分线段，得到，结合直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：为的高，且， 垂直平分线段， ， 为的高，即， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，在中，的中垂线与交于点D，与交于点E，连接，F为的中点，若，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中垂线的性质，等角对等边等性质， 首先根据中垂线的性质得到，，然后利用直角三角形的性质得到，进而证明出，即可得到． 【详解】∵的中垂线与交于点D， ∴， ∵F为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴． 故选：C． 3．如图，在四边形中，O是的中点，，若，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线，根据三线合一，斜边上的中线推出是等边三角形，得到，进而推出，再根据等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，O是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．如图，在中，，为的中点，，点在上，且，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 证明，求出，可得结论． 【详解】解：，是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线 （1）连接，根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 是的中线， ， ， ， 点是的中点， ； （2）解：，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 的度数为． 6．如图，在等边三角形中，D是上的一点，E是延长线上一点，连接、，已知． (1)求证：是等腰三角形． (2)当，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质． （1）根据等边三角形的性质，即可证明结论； （2）设，则，得，根据三角形内角和定理可得，过D作于H，根据等腰直角三角形的性质即可得的长，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【必考题型十 直角三角形全等的判定】 1．如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键． 连接，证，得出，再证，得 ，然后证，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分， ， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ，， ． 故选：A． 2．如图，在中，，平分交于点P，于点，若，，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．由，，，可得到，由平分，可得到，进而得到，则可得，，进而可得，即可得解． 【详解】∵中，，，， ， ∵平分，，， ∴，， 又， ， ， ， ． 故选：C． 3．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 【答案】/46度 【分析】连接，过E作于R，交于Q，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，即可求出答案． 【详解】解：连接，过E作于R，交于Q， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 4．如图，在中，于点D，在上取点F，使得，连接并延长交于点E，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，再证明，然后利用等面积法求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 5．如图，已知，分别是两个钝角和的高，如果，． 求证： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的全等判定与性质，属于简单题，用的特殊方法证明三角形全等是解题关键． （）证明，即可求证； （）证明得，由（）得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，分别是两个钝角和的高， ∴， 在和中, ， ∴， ∴； （2）证明：在和中, ， ∴， ∴， 由（）得， ∴， 即． 6．如图，在中，平分，，于E，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法， （1）根据角平分线的性质得出，证明，得出即可； （2）根据角平分线的定义得出，根据锐角三角形两锐角互余得出，根据，得出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 【必考题型十一 勾股定理的证明方法】 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意； D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 2．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明；证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积逐项分析判断即可求解． 【详解】解：，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， 故①②正确； 梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积， ， ，， 故③④正确 故选：A． 3．勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键． 【详解】解：如图， 在直角中，由勾股定理得， ， ， 将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形， ， ， ， ． 故答案为：． 4．清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，整体思想的巧妙运用是解题的关键．可证明与全等，进而得出的面积，再将所给的面积全部相加，得出正方形和梯形的面积之和，用和的长将其表示出来即可解决问题． 【详解】解：由题知， 令， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 又∵四边形和的面积和为5， ∴， 即， ∴， 则． 又∵四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12， 将四部分的面积相加得， ， ∴， 则． ∴， 则（舍负）， 即的值为． 故答案为：． 5．如图，对任意符合条件的直角三角形，绕其锐角顶点逆时针旋转得，所以，且四边形是一个正方形，它的面积和四边形面积相等，而四边形面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．    【答案】证明见解析． 【分析】利用四边形面积等于和的面积之和，化简整理得到勾股定理． 【详解】解：由图可得： ， 即：， ∴， 整理得：． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，解题的关键是根据所给图形，找到相应的等量关系． 6．勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元222年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图1的大正方形，采用面积法证明． （1）类比证明：伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）于1876年4月1日《新英格兰教育日志》上证明勾股定理．在和中，，易证． 请你用两种不同的方法表示梯形的面积（图2），并证明：； （2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． ①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；②画一个三边长都为无理数的直角三角形；③画一个钝角三角形，使它的面积为4． （3）拓展应用：如图3，在直线l上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是2、3，正放三个正方形的面积依次是，，，则______（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）图见解析；（3）5 【分析】（1）先证，用两种方法表示梯形面积，得出等式整理得到结论； （2）①画三边分别为3，4，5的三角形即可；②画三边长为的三角形；③根据面积画钝角三角形即可； （3）先证，同理，整体代入计算即可． 【详解】解：（1）在和中，， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得：； （2）如下图：①,即为所求； ②,即为所求； ③，即为所求； （3）解：，理由如下： 如图， ∵图中的四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质、勾股定理的证明及勾股定理与无理数，熟练勾股定理及证明是解题关键． 【必考题型十二 用勾股定理解三角形】 1．著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（    ） A．16 B．24 C．32 D．60 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平方差公式的应用，先证明，，，再结合平方差公式可得答案； 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ∵， ∴； 故选D 2．如图，在等腰直角三角形纸片中，，D是的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查翻折的性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，再由等腰直角三角形确定，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是翻折而成， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 设，则， ∴在中， 由勾股定理得，，即， 解得：， 故选：C． 3．如图，是等边三角形，点为上一点，且，现将沿直线折叠得到，与交于，垂直平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理．连接，则，推出，所以，由折叠推出，，所以，即可求出． 【详解】解：连接． ∵是等边三角形， ∴， 由折叠可知，，，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，在中，，，分别以，为边在外作等边和等边，连结，． （1）若，则 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 /35度 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，然后根据三角形的内角和定理解题即可； （2）根据等边三角形的性质可以证明，即可得到，过点E作于点F，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．如图，在中，过点作，在上截取，上截取，连接，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由，根据全等三角形的对应角相等证明，然后利用勾股定理即可解决问题． 此题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ． 6．如图1，中，于D，且，若．    (1)求和的长； (2)如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）． ①若是以点A为顶点的等腰三角形时，求t的值； ②若点E是边上一点，且，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②9或10或 【分析】（1）设，则，，利用三角形的面积构造关于x的方程，可求出、、，然后利用勾股定理求出即可； （2）①由是以点A为顶点的等腰三角形，得出，则可列出关于t的方程，解方程即可； ②利用等边对等角、余角的性质、等角对等边可得出，由可判断点M不在上，当点M在时，分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则，， ∵， ， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知：①∵是以点A为顶点的等腰三角形， ∴， 即， ∴； ②∵， ∴， 又， ∴，， ∴， ∴ ∴， 当点M在上，即时，为钝角三角形，但； 当时，点M运动到点D，不构成三角形 当点M在上，即时，为等腰三角形，有3种可能． 如果，则，    ∴； 如果，则点M运动到点A， ∴； 如果， 过点E作于F，如图3所示： ∵， ∴， 在中，； ∵，， ∴ 则在中，， ∴． 综上所述，符合要求的t值为9或10或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余角的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 【必考题型十三 勾股定理中的折叠问题】 1．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠的性质，是解题关键． 由勾股定理求出值，根据折叠的性质可得出值，在中根据运用勾股定理可求出长． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠知，． ∴， ∵，， ∴， 解得：， 的长为． 故选：B． 2．如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的方程是解题的关键． 设，由翻折的性质可知，在中利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设， 由翻折的性质可知， ∵D是的中点， ， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：， ∴， 故选：C． 3．如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是 【答案】2或5 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，根据题意和勾股定理得，以为折痕，将折叠得到，则，，分情况讨论问题：当时，过点作，垂足为F，设，则，，在中，由勾股定理得，，即可得，进行计算即可得，当时，点C与点E重合，根据，得，设，则，在中，根据勾股定理得，，可得，进行计算可得，即可得；掌握翻折的性质，勾股定理，能考虑到分情况讨论问题是解题的关键． 【详解】解：在中，，，，根据勾股定理得， ， ∵以为折痕，将折叠得到， ∴，， 如图1所示，当时，过点作，垂足为F， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ∴， 如图2所示，当时，点C与点E重合， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴， 综上，的长为2或5， 故答案为：2或5． 4．如图，在中，，，，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当平行于的一条边时，的长为 ． 【答案】1或3 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形面积的计算，分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当时，如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 当时，如图所示： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：或3． 故答案为：1或3． 5．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，， (1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由． (2)求重叠部分的面积． 【答案】(1)是等腰三角形．理由见解析 (2)重叠部分的面积为10． 【分析】此题考查了图形的折叠变换，等腰三角形的判定和勾股定理． （1）先根据平行线的性质得到，再由图形折叠的性质可得到，继而可得出，这即可判断出后重叠部分三角形的形状； （2）设长为x，则，在直角三角形中，利用勾股定理可求出x，继而利用三角形面积公式进行计算求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由图形折叠的性质可知：， ∴． ∴是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中， ， 解得：， ∴， ∴． 故重叠部分的面积为10． 6．如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由长方形的性质和折叠性质得，利用可证； （2）由全等三角形的性质得到，由即可得到，又由折叠的性质可得，，即可得到结论； （3）由长方形的性质得到：，，由折叠性质可得， 设，表示出、、，在中，由勾股定理列方程，解方程，进一步即可得得到答案． 【详解】（1）解：由长方形性质可得，由折叠性质可得， ∴， 在与中，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴，    即， 由折叠的性质可得，    ∴； （3）由长方形的性质得到：，， 由折叠性质可得， ∵， ∴， 设， 则，，， 在中，，即， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、长方形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【必考题型十四 勾股定理的逆定理】 1．如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A．3 B．6 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．首先求得，利用勾股定理的逆定理证明，，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答． 【详解】解：∵正方形的面积为13， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 2．已知的三边长分别为，，，且，则是（　　） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形形状的确定，涉及非负式、非负式和为的条件、勾股定理的逆定理等知识，由可得，，的值，再由勾股定理的逆定理列式求解即可得到答案，熟练掌握非负式和为的条件、勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：， ，解得， ， ，即， 是以为斜边的直角三角形， 故选：C． 3．如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是 平方厘米．    【答案】 【分析】根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可以计算，，，进而判定为直角三角形，即可求证、、三点共线，且阴影部分的面积为，即可解题． 【详解】解：根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可得厘米，厘米，厘米，且满足， 为直角三角形， ， 、、三点共线，、、三点共线， 为直角三角形，（厘米），（厘米）， ∴（平方厘米） （平方厘米） ∴（平方厘米）． ∵（平方厘米） ∴阴影四边形的面积（平方厘米）． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正方形各边长相等、各内角为直角的性质，三角形面积的计算，本题中求阴影部分的面积为是解题的关键． 4．如图，以的每一条边为边，在边的同侧作三个正三角形、和．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则 °． 【答案】150 【分析】先根据甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，可得出，再结合等边三角形的面积由勾股定理的逆定理可得出，进而可得出答案． 【详解】解：过点作， ∵甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和， ∴，则， ∴， ∵、和为等边三角形， ∴，， 则中边上的高为：， ∴， 同理可得：，， ∴． 从而　． 所以，． 故答案为：150． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面积及等边三角形的性质，解答此题时要注意把三角形面积之间的关系转化为三边之间的关系，再由直角三角形及等边三角形的性质即可得出结论． 5．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．由勾股定理求出，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，四边形的面积的面积的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ， ， ∵， ， ， 四边形的面积的面积的面积． 6．笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)直角三角形； (2)； 【分析】（1）本题考查勾股定理逆定理，根据线段长度结合勾股定理逆定理即可得到答案； （2）本题考查勾股定理，结合（1）根据勾股定理直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【必考题型十五 勾股定理的应用】 1．如图，在离水面点A高度为的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（    ）（假设绳子是直的）． A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 先在中运用勾股定理求得，再运用勾股定理求得，最后根据线段的和差求得即可解答． 【详解】解:在中，，, ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴，即船向岸边移动了． 故选A． 2．如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键． 当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 的取值范围是． 故选：D． 3．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 【答案】 80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 4．《九章算术》有一问题∶“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可表述为∶“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上，如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，则木杆长为 尺．”（说明：1丈=10尺） 【答案】// 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：如图，设木杆AB长为尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有尺， 在Rt中，， ∴， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理列出方程是解题的关键． 5．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．根据题意可得米，米．在直角中，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【详解】解：根据题意知：米，米． 在直角中，由勾股定理得：，                              ． 解得：                                     答：旗杆的高度为12米． 6．如图一架25米长的梯子斜靠在一面墙上，梯子底端B到墙底的垂直距离为7米． (1)求这个梯子的顶端A到地面的距离的值； (2)如果梯子的顶端A沿墙竖直下滑4米到点D处，求梯子的底端B在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)24米 (2)8米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）在中根据计算求值即可； （2）由和求得后，在中根据，再求线段差即可； 【详解】（1）解：∵， ∴在中，由勾股定理得：米， ∴这个梯子的顶端距地面的高度的长度是24米； （2）解：∵米，米， ∴米， ∵梯子下滑后长度不变， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【必考题型十六 最短路径问题】 1．如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ）厘米． A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题，熟练掌握先把立体图形展开成平面图形，构造直角三角形，根据两点之间，线段最短，计算求解即可． 将长方体展开，然后连接，利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：如图，长方体的展开图如下： ∴，， 由勾股定理得，， ∴最短的路径长为厘米， 故选：D． 2．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1，    ∵，，N是的中点， ∴， ∴，， ∴； 如图2，    ∵，，N是的中点， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴蚂蚁沿长方体表面从点M爬行到点N处的最短路程为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键． 3．如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，B到公路的垂直距离分别为和，A，B之间的水平距离为．现要在公路l上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为 km． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，作A点关于直线的对称点C，连接交直线于点P，则此时最小，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：作A点关于直线的对称点C，连接交直线于点P，则此时最小， 过点作交的延长线于点D， ∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 4．如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是 ． 【答案】 【分析】以为边作等边三角形，以为边作等边，连接，可证，可得，则，即当D、E、O、N四点共线时，值最小，最小值为的长度，根据勾股定理先求得、，然后求的长度，即可求的最小值． 【详解】解：以为边作等边三角形，以为边作等边，连接，作，交的延长线于F，如图所示， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当D、E、O、M四点共线时，即值最小， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质和最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键． 5．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖． (1)求点到点的距离； (2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？ 【答案】(1)点到点的距离为 (2) 【分析】考查平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意分类讨论，画出示意图． （1）过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接，根据勾股定理求解即可； （2）分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连接，如图1 ；把右侧展开到正面上，连接，如图2 ；把向上的面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接， 由长方体的性质得到：， ， ， 点到点的距离为； （2）解：如图1，把左侧面展开到水平面上，连接， 由题意可得：， ， 在中，根据勾股定理得：， 如图2，把右侧展开到正面上，连接， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得： 则需要爬行的最短距离是； 如图3，把向上的面展开到正面上，连接， 由题意可得：， 在中，根据勾股定理得：； 同理，把向上的面展开到后面时，； ∵， ∴则需要爬行的最短距离是． 6．葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？ (1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？ (2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？ 【答案】(1)50cm (2)300cm 【分析】（1）将圆柱展开，可知底面圆周长，即为 的长，圆柱的高即为 的长，求出 的长即为葛藤绕树的最短路程． （2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高． 【详解】（1）解：如图， 树干的周长即底面圆的周长为30cm cm 葛藤升高40cm cm 由勾股定理得 cm 所以，葛藤爬行的路程是50cm （2）解： 树干的周长即底面圆的周长为40cm cm 葛藤绕一圈爬行50cm cm 由勾股定理得绕行1圈的高度 爬行10圈到达树顶 树干高 cm 所以，树干高为300cm 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，解题关键是要弄清底面圆的周长即为矩形的边 的长． 【必考题型十七 特殊三角形压轴大题】 1．如图1，在等边中，线段为边上的高线．动点在线段（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连结． (1)判断与是否相等，请说明理由； (2)如图2，若两点在直线上且满足，试求的长． (3)在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值，若是，请画出图形并求出的长；若不是，请简单说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的长是定值，为16，图见解析，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）过点C作于点，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理求出，即可求解； （3）当点D在线段的延长线（或反向延长线）上时，同（1）得，由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的性质和勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 和都是等边三角形． ， ，即， ， ， （2）解：如图2，过点作于点， ， 是等边三角形，是高线， ， ∵， ∴对应边上的高相等， ， ， ， ； （3）解：的长为定值16，理由如下： 当点在线段的延长线上时，如图3所示： 同（1）得：， 对应边上的高线对应相等， ， ， ， ，即的长是定值； 当点在线段的反向延长线上时，如图4所示： 同（1）得：， 对应边上的高线对应相等． ． ， ，即的长是定值； 综上所述，的长是定值16． 2．图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．    (1)_____（用t的代数式表示） (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，      则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 3． 【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ； 【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点， ① 求 的大小； ，求 的面积； 【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点 的面积为 32，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①，②；（3） 【分析】（1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论； ②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：①，， ， ， 同（1）得：， ， ； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ， 点F为中点， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ，， ， 在和中， ， ， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ，负值舍去， 即的长为8． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 4．如图1，已知，，，分别以、为边向外作与，且，，，连接交于点． (1)探究：与的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． (2)如图2，若，，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，若，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出的值． 【答案】(1)．理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）作于，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）仿照（1）的证明方法证明； （3）作于，要使得结论成立，则有，可得，可得． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1，过点作于，则， ，， ， ， ， ，， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：猜想：． 证明：如图2中，过点作于，则． ，． ，是等边三角形． ． ，， ． ． ． ，， 是等边三角形． ，． ，． ，， 在和中， ， ． ， 故； （3）结论：， 理由：如图3中，过点作于，则． 要使得结论成立，则有， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$