第10讲 特殊三角形72道压轴题型专项训练（12大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第10讲 特殊三角形72道压轴题型专项训练（12大题型） 【题型目录】 压轴题型一 图形的轴对称、折叠等压轴问题 压轴题型二 等腰三角形的性质与判定压轴问题 压轴题型三 等边三角形的性质与判定压轴问题 压轴题型四 等腰三角形中的动点问题 压轴题型五 等边三角形中的动点问题 压轴题型六 直角三角形压轴问题（30度角、斜边中线） 压轴题型七 直角三角形中的动点问题 压轴题型八 直角三角形全等的判定压轴问题 压轴题型九 用勾股定理解三角形 压轴题型十 勾股定理与折叠问题 压轴题型十一 勾股定理的应用 压轴题型十二 勾股定理中的最短路径问题 【压轴题型一 图形的轴对称、折叠等压轴问题】 1．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论： ①如图1，当点落在BC边上时，； ②如图2，当点落在△ABC内部时，； ③如图3，当点落在△ABC上方时，； ④当时，或，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质及三角形外角的性质、三角形内角和可判断①②③；分点落在△ABC上方与下方两种情况，由平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质与三角形内角和即可判断④． 【详解】解：当点落在BC边上时， 由折叠性质得：， 则， ， 故①正确； 当点落在△ABC内部时， 由折叠性质得：， 又， ， ， ； 故②正确； 当点落在△ABC上方时， 由折叠性质得：， 又， ， ， ； 即； 故③正确； 当时， 若点在下方，如图， ， ； 由折叠性质得：， 即； 而， ， ， 即； 若点在上方，如图， ， ； 由折叠性质得：， ， 综上，或； 故④正确． 故选：D． 2．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 3．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处． 小明同学的操作如图2，点在线段上； 小红同学的操作如图3，点在上，点在上． (1)在图1中，若，求的度数； (2)直接写出图2和图3中的度数； (3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)． 【答案】(1) (2)图2中，；图3中， (3)或 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）图2根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解；图3根据折叠的性质可得，再由 ，即可求解； （3）分两种情况：先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 由折叠的性质得：， ， ； （2）解：图2中，由折叠的性质得：，， ， ， ， 即， ； 图3中，由折叠的性质得：，， ， ， ， 即； （3）解：分两种情况进行讨论： ①当与不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：，， ， ， 即， ， ； ②当与重叠时，如图4所示： 由折叠的性质得：，， ， 又， ， 即， ． 综上所述：的度数为或． 4．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． (1)如果，求的度数； (2)如果，则________； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)30 (3)，见解析 【分析】（1）根据折叠的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可； （2）先求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，根据折叠可求出的度数，由角的和差关系求出的度数，再根据折叠求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可； （3）设，然后类似（2）的方法求解即可． 【详解】（1）解∶根据题意，得， ∴， ∵折叠， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：30； （3）解： 理由：设， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，明确题意，利用平行线的性质探究出角之间的关系是解题的关键． 5．东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边上，点E，G在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为．    (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当点F，，在同一直线上（即）时，探究和的数量关系，并说明理由． (3)在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查折叠的性质，角的和差，一元一次方程的应用，掌握分类讨论是解题的关键． （1）根据折叠的性质解题即可； （2）根据折叠的性质计算即可解题； （3）分三种情况分别画图，列方程进行计算解题． 【详解】（1）解：由折叠可得：，， ∴； （2）解：，理由为： 由折叠可得：，， ∴， ∴； （3）如图1所示，由折叠可得：，， ∴ ， 当时，， 解得； 如图3，， 当时，， 解得：；    如图4所示，， 当时，， 解得：；    综上所述，的度数为或或时，和中，当其中一个角是另一个角的3倍时． 6．数学兴趣小组利用直角三角形纸片开展了如下的连续探究活动，请帮助他们完成相关的计算和证明． 【探究一】如图1，在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD．同学们发现，若，，借助，可以计算出的面积．请你完成填空：__________； 【探究二】在“图1”的基础上，过点E作的平分线交BD于点P，连接AP，如图2．同学们发现，沿直线AP折叠这个三角形，与重合，即AP是的角平分线．请你证明：AP平分； 【探究三】在“图2”的基础上，过点P作于点H，如图3．同学们通过测量发现，AH与BH的积是AC与BC的积的一半．请你证明：． 【答案】[探究一] 24；[探究二]见解析；[探究三]见解析 【分析】[探究一]根据已知条件可得，从而可以计算得解； [探究二]过点分别作、、边的垂线，垂足分别为点、、，利用全等性质，通过等量代换即可得到，通过角平分线性质即可得证； [探究三]过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，通过条件可证得，然后将整理化简，最后等量代换即可得证． 【详解】[探究一]解：由题可知，，，， ， 故答案为：24； [探究二]证明：如图，过点分别作、、边的垂线垂足分别为点、、， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 则平分； [探究三]证明：如图，过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接， 由（2）可知，， ，，， ，，，四边形是正方形， ，，，，， ， ， 即， 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了图形折叠、全等三角形、角平分线性质，适当添加辅助线，采用等量代换的方法是解题关键． 【压轴题型二 等腰三角形的性质与判定压轴问题】 1．如图，在中，，，是的两条中线，，，是上的一个动点，连接，，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】如图连接PB，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由 PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度． 【详解】解：如下图，连接PB， ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴PB=PC， ∴PC+PE=PB+PE， ∵PE+PB≥BE， ∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度， ∵BE=6， ∴CP+EP的最小值是6， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形两边之和大于第三边，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“的关于点B的二分割线”是解题的关键． 根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论． 【详解】解：如图2所示：， ， 如图3所示：， ， ， 如图4所示，， ， 故答案为：或或． 3．如图，在中，，D、E为边上的两点，且，，是等边三角形． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）先由三角形内角和定理得到，由等边对等角得到，进而利用三角形内角和定理得到，则可证明，据此可得； （2）由等边三角形的性质得到，证明得到，再证明，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 4．我们知道：如果两个三角形全等，则它们的面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等．已知与是等腰直角三角形，，连接、． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． (3)如图3，在（2）的基础上，作，延长交于点，求证：点为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据与是等腰直角三角形，得到，，由，证得，推出，从而证得结论； （2）作垂直的延长线于点G，作，垂足为H，由于，得到，推出，得出，由于，于是得到结果即； （3）作垂直的延长线于点M，作，垂足为N，证得，得到，同理可证，得到，，推出，得到，即G为中点． 【详解】（1）证明：∵与是等腰直角三角形，            ∴，，．            又∵， ∴． ∴．     在与中， ∵， ∴．        ∴． （2）解：如图2，过点A作垂直的延长线于点，作，垂足为． ∵， ∴．            在与中， ∵， ∴．        ∴． ∵， ∴． 即． （3）解：如图3，过点A作垂直的延长线于点，过点作，垂足为．                                                         ∵， ∴，． ∴．                                     在与中， ∵， ∴． ∴ 同理可证．                                 ∴ ． ∴ ． 在与中， ∵， ∴． ∴．即为的中点． 5．如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分． (1)求证：； (2)若的面积是18，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质，平行线的性质，可判断是等腰三角形，再根据等腰三角形的“三线合一”可得是中线，由“”可证； （2）过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据中线的性质可得，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：平分 ， ， ． 是角平分线， ． 在和中， ， ． （2）解：过点作于点， ， ， 平分， ， ， ， 即， ． 6．△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，． (1)如图1，当和如图摆放，连接，其中与相交于点F．那么与之间存在着怎样的位置关系，请说明理由； (2)如图2，当和如图摆放，F为的中点，连接，并在的延长线上取一点C，连接，使．求证：． 【答案】(1)，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】（1）本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和，解题的关键是证明； （2）本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明． 【详解】（1）解：如下图1中， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）如下图2中，延长到H，使得， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【压轴题型三 等边三角形的性质与判定压轴问题】 1．如图，点A，B，C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质即可证得故①正确；根据结合三角形外角性质即可得出，故②正确；根据等边三角形的性质易证，得到结合即可得到为等边三角形，故③正确；根据全等三角形性质，得到点到，的距离相等，，从而可得点在的角平分线上，故④正确；已有的条件无法求的度数，故⑤错误；从而解题． 【详解】解：、为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在和中， ， ， ， 为等边三角形，故③正确； ， ， 点到，的距离相等，即边上的高相等， 点在的角平分线上， 即平分；故④正确； 已有的条件无法求的度数，故⑤错误； 综上所述：正确的结论有4个； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆的性质，三角形外角性质，角度的运算，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 2．如图，点在线段上（不与点、重合），在的上方分别作和，且，，连接，交于点，下列结论正确的是（填序号） ． ；②；③；④平分； 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理，本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等．根据证明即可求解①；，，，和是顶角相等的等腰三角形，故②错误；由①得从而得到，从而求解③；借助三角形面积相等即可证明④． 【详解】解：①， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ②，，， 和是顶角相等的等腰三角形， 因为不一定等于， 所以不一定等于，故②错误； ③由①得， ， ， ， ， ，故③正确； ④如图，过作于，于， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， 因为不一定等于， 所以不一定等于， 所以不一定平分，故④错误； 故答案为：①③． 3．如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)当为边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)5 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图，．理由如下：    如图，过作交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，∘，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）解：过点作，交的延长线于点，如图所示：    ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．如图1，在中，为线段上一动点（不与点B、C重合）．连接，作，且，连接． (1)求证：． (2)当平分时，若，求的度数． (3)如图2，设，在点D运动过程中，当时，__________°．（用含的式子表示） 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）先证，再由证即可； （2）证是等边三角形，得，再证是等边三角形，得，然后由三角形内角和定理即可得出结论 （3）由等腰三角形的性质得到，再由全等三角形的性质得到，求出，然后由直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明， ∴ 在和中 ； （2）由(1)可知，， ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴在中，； （3），， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质以及全等三角形判定以及性质是解题的关键． 5．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 6．如图，在中，，，是等边三角形，点D在边上． (1)如图1，当点E在边上时，求证； (2)如图2，当点E在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图1，当点E在外部时，于点H，过点E作，交线段的延长线于点G， ，．求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出，从而得出，从而得出； （2）取的中点，连接、，根据和为等边三角形，从而得出和全等，然后得出和全等，从而得出答案； （3）取的中点，连接、、，根据题意得出和全等，然后得出和全等，设，则，，根据题意列出一元一次方程求出的值得出答案． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，   ∴； （2），理由如下： 取的中点，连接、， ∵，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图：取的中点，连接、、， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：，即． 【压轴题型四 等腰三角形中的动点问题】 1．如图是树枝的一部分，一只蚂蚁M以的速度从树枝的A点处出发沿树枝方向向上爬行，另一只蚂蚁N从O点出发，以的速度沿树枝方向爬行，如果足够长，，且两只蚂蚁同时出发，用表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点O恰好构成等腰三角形时，t的值是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】分点M在O点下方或点M在O点上方两种情况，分别根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】 解：当点M在O点下方时， ∵， ∴当时， ∴， 解得， 当点M在点A上方时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 解得， ∴或， 故选：C． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，一元一次方程，运用分类讨论思想是解题的关键． 2．如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．点在滑动时， 时，的形状是等腰三角形．     【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】解：，， ， ①当时，此时， ， ， ； ②当时，此时， ， ， ，此时点与点重合； ③当时，此时， ， ； 综上可知，点在滑动时，或或时，的形状是等腰三角形， 故答案为：或或 3．如图，在中，，已知，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒．    (1)用含有的代数式表示的长； (2)求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 【答案】(1)(且) (2) (3)的值是0.5或5.5 (4)的值为或 【分析】本题考查列代数式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，一元一次方程的应用等知识，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． （1）分①当点P在A、C之间，即时，②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论即可得解； （2）运用等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余以及等角的余角相等推出，继而得到，，从而得解； （3）分当时和当时两种情况讨论，前者点P与点A或点B重合排除，后者列方程求解即可； （4）分①当点P在A、C之间，即时， ②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论，运用等面积法列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①当点P在A、C之间，即时，， ∴， ②当点P在B、C之间，即时，， ∴， 综上所述：(且) （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； （3）∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，由（2）可知此时点P与点A或点B重合，不合题意，舍去； 当时，由（1）（2）可知(且)， 解得：或5.5， 即的值是0.5或5.5； （4）①当点P在A、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且 ∴， 解得：； ②当点P在B、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且 ∴， 解得：； 综上所述：的值为或． 4．如图，等边的边长为，点M从点B出发沿BC运动，同时，点N从点A出发沿线段的延长线运动，点M，N的速度均为/秒，点M到达点C时，两点停止运动．作于点D，连接交AB于点E．设点M，N的运动时间为t秒． (1)当为等腰三角形时，求t的值； (2)线段的长度是否为定值？若是，请求出其长度；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，线段DE的长度为 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质： （1）由题意，得，，根据为等腰三角形可得，进而列方程求解即可； （2）线段的长度是定值，过点M作交于点F，证明，得到，从而求出 【详解】（1）解：由题意，得．                 等边的边长为4， ． 当为等腰三角形时，， ． ．                   ． 即．                解得． （2）解：线段的长度为定值．如图，过点M作交于点F．        ． ， 为等边三角形．      ． ， ．              在和中，， ．          ．                    ．即线段的长度为． 5．已知是等腰三角形，且，点D是射线上的一动点，连接，以为腰在右侧作等腰，使，．    (1)如图1，当点D在线段上时，求证：； (2)如图2，当点D在射线上运动时，取中点M，连接，且．当为等腰三角形时，的度数为______； (3)如图3，当点D在线段的延长线上，时，在线段上截取，使，并连接．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)或或 (3)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线和进行分类讨论是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）根据（1）可得，分类讨论即可解答； （3）延长点，使得，证明为等边三角形，可得，再证明，得到，最后证明，即可得到． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， ； （2）解：根据（1）中可得， ， 当时，， ； 当时，； 当时，， ， 综上，的度数为或或， 故答案为：或或； （3）证明：如图，延长点，使得， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即．    6．如图，在中，，，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作，DE交线段AC于点E． (1)当时，______，______． (2)当线段DC的长度为何值时，？请说明理由． (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当时，，理由见解析； (3)或，理由见解析． 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，得到答案； （2）当时，利用，，得到，即可求证； （3）分三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：当时， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形， ①当时， ； ②当时， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， 综上所述，当的度数为 或时，的形状是等腰三角形． 【压轴题型五 等边三角形中的动点问题】 1．在中，，，是等边三角形．点在边上，点在外部，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接、、，根据题意得出和全等，然后得出和全等，设，则，，根据题意列出一元一次方程求出的值得出答案． 【详解】取的中点，连接、、，     ，， ，， 为等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 设，则， ， ∴ 在和中，   ，    ， 设，则，， ， ， ，   解得，， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握是解题的关键． 2．已知正方形，点是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点，当最小时， ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．以为边作等边三角形，证明，得到，则点在垂直于线段的直线上，当时，取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：以为边作等边三角形，如图，连接，    ∵等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴点在垂直于线段的直线上， 当时，取得最小值，此时， ∴， 故答案为：． 3．如图，在等边中，，点分别从点同时出发，沿三角形的边运动，当点第一次返回到达点时，同时停止运动．已知点的速度是，点的速度是．设点的运动时间为． (1)当为何值时，两点重合？ (2)当为何值时，为等边三角形？ (3)当点在边上运动时，是否存在时间，使得是以为底边的等腰三角形，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t的值为8时，两点重合 (2)点N运动后，为等边三角形 (3)存在， 【分析】（1）设点运动后，两点重合.由题意可得，解方程即可． （2）设运动时，为等边三角形，根据题意，得，结合等边，，得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，得即，解答即可． （3）当时，可证明，继而得到,设运动时，，故，解答即可．本题考查了等边的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等边三角形的坡度和性质是解题的关键. 【详解】（1）设点运动后，两点重合. 由题意得， 解得， 答：当t的值为时，两点重合. （2）设运动时，为等边三角形， 根据题意，得， ∵，， ∴， 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形， ∴即， 解得． （3）存在，当时，点在边上运动时，是以为底边的等腰三角形，理由如下： ∵等边三角形，， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴, 故是以为底边的等腰三角形， 设运动时，， 故， 解得， ∴当点在边上运动时，存在是以为底边的等腰三角形，此时点N运动的时间为. 4．如图，中，，、分别从点、点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动．已知点的运动速度为，点的运动速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当M、N两点重合时，求t的值． (2)当为等边三角形时，求t的值． (3)点M、N运动过程中，点M、N能否与中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出对应的时间t，若不能请说明理由． 【答案】(1) (2)t为4秒 (3)能，M、N运动的时间为4秒或8秒或16秒 【分析】此题考查等边三角形性质与全等三角形的判定和性质，以及通过题目所给信息，合理设置未知数建立方程，并求出对应的解． （1）写出点与点的运动距离公式，并写出两点重合的表达式，解出方程即可； （2）因为为等边三角形，则为，结合为等边三角形的性质、列式计算，即可作答． （3）结合等腰三角形的性质，进行分类讨论，即点、运动4秒后，可得到等边三角形，即是以为底边的等腰三角形；当点、在边上运动时，可以得到以为底的等腰三角形；当点、在边上运动时，也可以得到以为底的等腰三角形，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：当点第一次到达点时，、同时停止运动，且点第一次到达点需要运动 运动时间． 点的运动距离设为， 则； 设点的运动距离为， 则． 、两点重合， 可表示为：，即 解得：； （2）解：设经过秒后，为等边三角形 ∵ ∴当时，为等边三角形 ， ， 解得： 即为等边三角形时，为4秒． （3）解：由（2）得，点、运动4秒后，可得到等边三角形，即是以为底边的等腰三角形； 当点、在边上运动时，可以得到以为底的等腰三角形． 假设是等腰三角形，则， ， 又， 是等边三角形，， 在和中， ，， ， ， 解得：， 即当为8秒，为以为底边的等腰三角形； 同理可得，当点、在边上运动时，也可以得到以为底的等腰三角形， 此时，，可得： 设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形， ，， 由题意得，， 解得： 综上所述，点、能否与中的某一顶点构成等腰三角形，、运动的时间为4秒或8秒或16秒． 5．如图1，以的两边，为边向外作等边三角形，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，连接，探究的大小； (3)如图3，若，，，，射线上是否存在一点，使也是等边三角形，若存在，试探究满足的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）根据等边三角形的性质，证明，即可得证； （2）根据得出，进而可得，在上截取，则是等边三角形，证明，即可得出结论； （3）假设是等边三角形，证明得出，根据，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， （2）解： 如图所示，设交于点， ∵ ∴ ∵ ∴ 在上截取，则是等边三角形， ∴，，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：射线上存在一点，使也是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴即， ∴， ∴， 又∵， ∴． 6．【初步感知】 (1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；    【类比探究】 (2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：    ①与的位置关系为： ； ②线段、、之间的数量关系为： ； 【拓展应用】 (3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2) 平行 (3)有最小值，5 【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明； （2）①由（1）得，得出，，，则； ②因为，，所以； （3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，， ， ∵， ∴ 即 在和中， ， ∴； （2）平行，，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）有最小值，理由如下： 如图，在射线上取一点，使得，连接，    ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由三角形内角和为，可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 即点E在的角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ∴， 则， 由三角形三边关系可知，， 即当点E与点C重合，时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为5．    【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 【压轴题型六 直角三角形压轴问题（30度角、斜边中线）】 1．如图，在中，，，平分交于点，交延长线于点，交的延长线于点，连接．则下列结论：①；②；③；④；⑤其中不正确的结论有（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】作，，，垂足为、，证明，由全等三角形的性质得出，，证明为等腰直角三角形，可判断①正确；求出，可得为的中线，进而可判断②；证明，，进而可判断③；证明，得出，，求出，证明，可判断④⑤． 【详解】解：作，，，垂足为、， 根据等腰直角三角形的性质有：， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ，， ， 又，， ， ，， 又， 为等腰直角三角形， ，①正确； ，， ， ， 为的中线， ，②正确； 平分，，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ，③正确； ，，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ，，⑤正确； ，④正确； 即不正确的为0个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 2．如图，点A是线段的垂直平分线上任意一点，连接，，作的垂直平分线分别交、于点G、H，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明，而，可得，取关于的对称点，连接，则，证明是等边三角形，可得，而，可得. 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，，而， ∴， ∴， ∴，而， ∴， 取关于的对称点，连接，则， ∵，是的垂直平分线， ∴由轴对称的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，而， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键. 3．如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得；可得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 在与中， ， ； （2）解：由（1）知，，则， ， ； ， ， ， ， 又∵， ，即． 4．在中，于点，，． (1)如图①，过点A作于点H，交于点P，连接． ①求线段的长度； ②求证：； (2)如图②，若D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段的延长线于点N，则的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)①1；②见解析 (2)的值不发生改变，等于 【分析】（1）①证，即可得出； ②过分别作于点，作于点，证，得出．得出平分，即可得出结论； （2）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，则，证出．证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：①，， ， ， ， 在和中，， ， ； ②过分别作于点，作于点，如图1所示： 在四边形中，， ． 在与中，， ， ． ，， 平分， ； （2）解：的值不发生改变，等于．理由如下： 连接，如图2所示： ，，为的中点， ，， ，， ． ， 即， ． 在和中，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定定理、直角三角形的性质、余角的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键． 5．已知为等边的角平分线，动点在直线上（不与点重合），连接．以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图1，若点在线段上，且，则______度． (2)如图2，若点在的反向延长线上，且直线，交于点． ①求的度数； ②若的边长为，，为直线上的两个动点，且．连接，，判断的面积是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②是， 【分析】此题考查手拉手全等模型，和等边三角形的性质，解题关键是通过全等证明角度相等，推出特殊角度的三角形，将面积用公式用底和高表示出来，直接求高然后代值判断即可． （1）已知等边三角形，推论出等腰直角三角形，直接计算即可． （2）①通过手拉手模型证明全等推出等角即可；②已知底边求面积，推出高的值即可，联系第①问中的角度，直接推理出的直角三角形，代值计算即可． 【详解】（1）解：为等边的角平分线 ， ， 是等边三角形， ， （2）解：①和均为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ， 又 ②过作于点， 由①可知，， ， ， 在中，， ， ， 的面积为定值， 6．综合与实践： (1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，，垂足分别为点，．请证明：． (2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点． (3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)9 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，有关中点的相关计算，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用证得，即可求证结论； （2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论； （3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解； 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过作于，如图： 由（1）得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， 是的中点； （3）解：，理由如下： 过点作于，如图： 由（2）得：，，， ， ，， ， ， ， ． 即． 【压轴题型七 直角三角形中的动点问题】 1．如图，在中，，，，若点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，设、分别从点、同时出发，运动的时间为时，是直角三角形（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，分两种情况讨论是解题的关键．先利用含度角的直角三角形性质可得，，然后设运动时间为秒，根据题意可得：，，从而可得，最后分两种情况：当时；当时；分别进行计算即可解答． 【详解】解：，，， ，， 设运动时间为秒， 由题意得：，， ， 分两种情况： 当时，如图： ， ， ， 解得：； 当时，如图： ， ， 解得：； 综上所述：运动的时间为或时，是直角三角形， 故选：C． 19．如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】4或2/2或4 【分析】当为直角三角形时，分两种情况和，然后根据30度角的直角三角形的性质结合求解即可．本题考查了折叠的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将沿翻折，点A的对应点为F， ∴，， ∴， ∴当为直角三角形时，分两种情况： ①当时， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ②当时，如图， 则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：4或2． 3．如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动． (1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由； (2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形 【分析】（1）分别求出的长可知，再由等边三角形的性质得到，即可证明是等边三角形； （2）分当时和当时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可， 本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； 由题意得，当时，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形； （2）解；∵运动时间为， ∴， ∴， 如图1所示，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2所示，当时， 同理可得， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形． 4．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． (1)连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)试求何时是直角三角形？ (3)如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】(1) (2)当为或时； (3)不变，． 【分析】（）根据是等边三角形得，，由题意得，从而证明，再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数； （）设时间为，则，，分别就当时；当时，利用直角三角形的性质定理求得的值； （）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数； 本题考查了等边三角形的性质，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及学会用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， 由题意得：， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）设时间为，则，， 当时， ∵， ∴， ∴，得，解得：； 当时， ∵， ∴ ， ∴，得，解得：, 当第或秒或第一秒时，为直角三角形； （3）不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴，又， ∴ ． 5．如图1，是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为． (1)当运动时间为t秒时，的长为______厘米，的长为______厘米；（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值； (3)如图2，连接、，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)，； (2)t的值为或； (3)不会变化， 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，三角形内角和定理及外角的性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）由等边三角形的性质可得厘米，设点P的运动时间为，则厘米，厘米，再表示出的长度即可； （2）由题意可知，厘米，厘米，厘米，当是直角三角形时，分两种情况讨论：和，根据30度角所对的直角边等于斜边一半列方程，求出t的值即可； （3）根据等边三角形的性质，证明，得到，推出，再根据三角形外角的性质，即可得出的度数． 【详解】（1）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米， 设点P的运动时间为， 由题意可知，厘米，厘米， 厘米， 故答案为：，； （2）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米，， 设点P的运动时间为， 则厘米，厘米，厘米， 当是直角三角形时， 若，则， ， ， 解得：； 若，则， ， ， 解得：， 综上可知，当是直角三角形时，t的值为或； （3）解：不会变化，理由如下： 是等边三角形， ，， 点P、Q分别从顶点A、B以相同速度同时出发，沿线段、运动， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的外角， ， 即不会变化，度数为． 6．如图：等边三角形中，、分别是、边上的点，，与相交于点，，是射线上的动点．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)若为直角三角形，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或． 【分析】（）由等边三角形可得，，即可由证明； （）由全等三角形的性质可得，再利用三角形外角性质即可求解； （）分和两种情况，利用直角三角形的性质即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：如图，    ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 【压轴题型八 直角三角形全等的判定压轴问题】 1．如图，的角平分线相交于点P，若，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．根据，平分，利用勾股定理求出，如图，过点P作交于点D，证明，得到，，设，则，利用勾股定理求出，即可求出结果． 【详解】解：，平分， ， ， ， 如图，过点P作交于点D， 的角平分线相交于点P，，， ， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， 故选：A． 2．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 【答案】 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论．本题考查了角平分线的性质，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线 在与中， ， ， ， 又 ， 为的平分线， 过点作于点， 在与中， ， ， ， ． 在与中， ， 为的平分线 ， 在中， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 3．夯实基础： （1）如图1，点P是的角平分线上的一点，于点E，与点F，有以下结论：①；②；③，其中正确的是____________． 理解应用：    （2）图2，点D是的平分线上一点，点A，点B分别在边上，且，探究与之间有怎样的数量关系？并证明； 拓展延伸： （3）如图3，点D是的平分线上一点，点A，点B分别在边上，，且，探究之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）①②③；（2）．理由见解析；（3）．理由见解析． 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出，，，则可得出结论； （2）过点作于点，于点，证明，得出； （3）过点作于点，于点，证明，得出，证出，则可得出结论． 【详解】解：（1）平分， ， ，， ， ， ， ，，， 故答案为：①②③； （2）． 理由：过点作于点，于点，   平分， ， ，， ， ， ， ． （3）． 理由：过点作于点，于点，    由（1）知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．如图，在中，是边上的高线，已知． (1)如图1，证明：； (2)点是上一点，． ①若，如图2，求的长； ②延长至点，使得，如图3，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）根据是边上的高线，得到，根据直角三角形的性质得到，由，即可得出，即可得出结论； （2）①先证明，再根据，，求出，利用含30度角的直角三角形的特征求出，再利用勾股定理求出，由，即可求解；②根据，，得到，证明，推出，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：是边上的高线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：①是边上的高线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，过点C作，垂足为G， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的特征，三角形外角的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 5．如图1，已知，，，分别以、为边向外作与，且，，，连接交于点． (1)探究：与的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． (2)如图2，若，，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，若，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出的值． 【答案】(1)．理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）作于，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）仿照（1）的证明方法证明； （3）作于，要使得结论成立，则有，可得，可得． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1，过点作于，则， ，， ， ， ， ，， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：猜想：． 证明：如图2中，过点作于，则． ，． ，是等边三角形． ． ，， ． ． ． ，， 是等边三角形． ，． ，． ，， 在和中， ， ． ， 故； （3）结论：， 理由：如图3中，过点作于，则． 要使得结论成立，则有， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 6．如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得． （4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）∵平分，，分别是，的高 ∴． 故答案为：． （2）证明：如图1，作于点， 在和中 ， ∴（）， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴． （3）成立， 证明：如图2， ∵， ∴， 延长交的延长线于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． （4）当时，如图3，在线段上取点，使得． ∵， ∴点是点关于的对称点， ∴， ∴， 可得， ∴，， ∴， ∴． 当时，如图4， 在线段上取点，使得， 同理可得，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分和两种情况讨论． 【压轴题型九 用勾股定理解三角形】 1．如图，，点M，N分别是射线，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，则可得；再证明，从而可得出是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一“性质可得，求得的值，由，可得的值，设，则，，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可． 【详解】解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，如图所示： ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴，，；，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 即当的周长取最小值时，的长为． 故选：B． 2．如图，中，，，，点为边上的动点，当是等腰三解形时，的长为 ． 【答案】，或 【分析】本题考查等腰三角形综合，涉及等腰三角形性质、勾股定理及解方程等知识，由是等腰三解形，分三种情况：，作出图形，构造直角三角形，解直角三角形即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：是等腰三解形， 分三种情况：： ①当时，是等腰三解形； ②当时， ， 点的位置如图所示： 过点作于点，如图所示： 是等腰三角形，， 由等腰三角形三线合一性质得到是的中线，即， 设，则， 在中，，即； 在中，，即； ，即，解得， ； 当时，如图所示： 由②中，可知是等腰直角三角形，即， 当时，，则，即是等腰直角三角形， ，则，解得； 综上所述，的长为，或， 故答案为：，或． 3．在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可推出，得到，再利用三角内角和可得到，求出，最后由，即可得到答案； （2）取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，从而推出，再由，推出，从而得到，得证； （3）①当在边上时，作于，由，推出，设，用表示出、、、、，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可；②当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接，先证明，同①，设，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：的垂直平分线经过点 又 又， （2）证明：如图1，取的中点，连接 又 （3）解：如图2，当在边上时，作于， 由（2）可知， 设， ， ， 在中， 在中， 解得：，即 如图3，当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接． 由题意， 又 设， ． 在中， 在中， 解得：，即 综上，的长为或． 故答案为：的长为或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键． 4．如图， 中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接． (1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，当点F不与点A重合时，请写山线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)（1） (2)结论：，证明见详解 (3)的长为或2 【分析】（1）结论：．利用线段的垂直平分线的性质证明即可． （2）结论：如图2中，过点作交的延长线于，连接．证明，推出，，再证明，可得结论． （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．构建方程求解即可． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1中，   ，， 垂直平分， ． （2）结论：． 理由：如图2中，过点作交的延长线于，连接．   ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． （3）如图中，当点在线段上时，设，则． ，， ， ， ， ， ． 如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．   ，， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的长为或2． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 5．在中，，，过点作的平行线，点是直线上异于点的动点，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，当点在点的右侧时， ①求证：； ②试判定线段，，之间有何数量关系？写出你的结论，并证明； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)①见解析②，证明见解析 (2)线段的长为或 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）①过作直线，交于，由，，直线，可得，是等腰直角三角形，故，，即可证明，得； ②由①知，是等腰直角三角形，故，，即得； （2）分两种情况：当在右侧时，过作直线于，由，，可得是等腰直角三角形，故，在中，，有，由，得，即得；当在左侧时，过作直线交延长线于，同理证明，得，可求出，知，即可求得． 【详解】（1）①证明：过作直线，交于，如图： ，， ， 直线， ， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ； ②解：，证明如下： 由①知，是等腰直角三角形， ，， ， ； （2）当在右侧时，过作直线于，如图： ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中， ， ， 由②知，， ， ； 当在左侧时，过作直线交延长线于，如图： 直线， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中， ， ， ， ， ； 综上所述，线段的长为或． 6．综合与实践． 数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． (1)年世界数学家大会（）在北京召开，这届大会会标（如图）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图），它由个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”，直接写出满足的等量关系为______，并利用图形的“等面积思想”加以证明． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题． 已知线段，点在线段上，，求的最小值，他们解决问题的思路是，如图，在线段的同侧构造了两个和，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答，请你写出解答过程． (3)如图，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)． 【分析】()由可得出答案； ()延长到点，使，连接交于点，作，交延长线于点，由勾股定理求出可得出答案； ()过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，得到 ，由勾股定理求出的长，则可得出答案； 本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：． 证明：由图可知，，正方形的边长为 ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长到点，使，连接交于点，作，交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴最小值为， 即的最小值为； （3）解：过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【压轴题型十 勾股定理与折叠问题】 1．如图，已知在中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则 的值为 （   ） A． B．+ C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键；由折叠的性质可知，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理的逆定理即勾股定理的应用，连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中， ， , ， 故答案为：． 3．在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 4．在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为______； （2）如果，可得的度数为______； 操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． 【答案】操作一：（1）；（2）；操作二： 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理： 操作一：（1）由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式求解即可； （2）由折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理结合已知条件求解即可； 操作二：由勾股定理得，由折叠的性质可得，利用等面积法求出，进而求出，则． 【详解】解：操作一：（1）由折叠的性质可得， ∴的周长， 故答案为：； （2）由折叠的性质可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 操作二：在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1），（2）， 理由见解析． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求出，由由翻折的性质可得，，再进一步得到即可求解． （2）过点作交延长线于点，连接，先证明，得到，进一步即可得到． 【详解】（1）解：在中， ， 由翻折的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）， 理由如下： 过点作交延长线于点，连接，如图： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 【答案】（1）5（2）（3）t的值为2.5或10 【分析】（1）由折叠的性质得到：由折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理即可求解； （2）根据长方形的性质与折叠的性质易得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即可求解； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5， （秒）； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， （秒）； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，t的值为2.5秒或10秒． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 【压轴题型十一 勾股定理的应用】 1．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    2．某渔船上的渔民在A处观测到灯塔在北偏东方向处，这艘渔船以每小时40海里的速度向正东方向航行，1小时后到达处，在处观测到灯塔在北偏东方向处．则处与灯塔的距离是 海里．    【答案】40 【分析】先根据题中角之间的关系证是等腰三角形，则，然后把放到直角三角形中，利用或角，解三角形即可． 【详解】解：过点作直线的垂线，垂足为，设海里，    在中，；在中， 由于得：， 解得：，， 在中，． 答：灯塔与渔船的距离是40海里． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了方向角问题及含30度的直角三角形．解决本题的关键是将三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 3．如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且． （1）求的度数； （2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？    【答案】（1）135°；（2）被监控到的道路长度为米. 【分析】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，则∠CAD=90°，即可得到答案； （2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，由轴对称的性质，得到DF=DA=100，则只要求出AF的长度，即可得到答案. 【详解】解：（1）∵，， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴，∠CAB=45°， ∵， 在△ACD中，有 ， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD=90°， ∴； （2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图：    由轴对称的性质，得DF=DA=100，AE=EF， 由（1）知，∠BAD=135°， ∴∠DAE=45°， ∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE， 在Rt△ADE中，有， 解得：， ∴； ∴被监控到的道路长度为米. 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用轴对称的性质和勾股定理求出所需边的长度，从而进行计算. 4．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 5．（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A．     B．       C．       D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 【答案】（1）C；（2）；（3）竹竿长尺 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、实数与数轴，理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）观察图形，根据各个图形面积之间的和差关系，列出等式整理，逐个判断即可； （2）根据勾股定理求得，根据交点在数轴负半轴，得出答案即可； （3）设竹竿长尺，根据题意，则尺，门高尺，门宽尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵A图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵B图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵C图形中，大正方形的面积两个小正方形的面积两个长方形的面积， ∴，不能证明勾股定理： ∵D图形中，两个小直角三角形的面积大直角三角形的面积整个梯形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； 综上所述，不能证明勾股定理的是C， 故答案为：C； （2）∵由题意得：，，， 在中，， ∴， ∵交点在数轴负半轴， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）设竹竿长尺，则尺，门高尺，门宽尺， 在中， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 答：竹竿长尺． 6．如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】(1)公路与垂直，计算见解析 (2)818万元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直． （2）解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 【压轴题型十二 勾股定理中的最短路径问题】 1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ， ， 它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 2．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质等知识，将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作出关于的对称点，过作交的延长线于D，    根据题意可得：四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为18，底面周长为12， ∴，，，即， 在中，（）, 故答案为：． 3．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 4．[提出问题] 如图1，A，B是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A，B的距离的和最短？ [分析问题] 如图2，若A，D两点在直线l的异侧，则连接AD，与直线l交于一点，根据“两点之间线段最短”，可知该点即为点C，因此，要解决上面提出的问题，只需要将点B（或点A）移到直线l的另一侧的点D处，且保证（或）即可． [解决问题]： (1)在图1中确定点C的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图3，在菱形中，，E是BC边的中点，P是对角线AC上的一个动点，则的最小值为_____． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据最短路径直接画图即可； （2）同（1）一样，对称后连线，求出最短途径，作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出最短路径的值． 【详解】（1）如图，点C即为所求； （2）连接DE，作，交BC延长线于H， ∵四边形是菱形， ∴点B、D关于AC对称， ∴的最小值即为DE的长， ∵， ∴， ∵点E为BC的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】此题考查最短路径以及勾股定理，解题关键是先对称然后连线，找出最短路径，然后通过直角三角形三边关系求出最短路径． 5．问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4)当x为时，函数的最小值是 【分析】（1）计算即可． （2）根据、、，画图计算即可 （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、，画图计算即可． （4）求函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，即可求得 函数的最小值是． 【详解】（1）根据题意得： =． 故答案为：． （2）根据题意得：、、，画图如下： 根据题意： ． （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、， 画图如下： 根据题意： =． （4）函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以点到以及的距离即为所求，即． 当x为时，函数的最小值是． 【点睛】本题考查了网格上的三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x． (1)用含x的代数式表示AC＋CE的值； (2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3)13 【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得； （2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小； （3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值． 【详解】（1）解：∵AB⊥BD，ED⊥BD 在中， ∴AC＝＝， CE＝＝， ∴AC+CE＝； （2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小， 过A作AF⊥DE交ED的延长线于F， ∴DF＝AB＝2， ∴AE＝＝5， ∴AC+CE的最小值是5； （3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C， 设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值． 过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF， 则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5， 所以AE＝＝＝13， 即的的最小值为13． 【点睛】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 特殊三角形72道压轴题型专项训练（12大题型） 【题型目录】 压轴题型一 图形的轴对称、折叠等压轴问题 压轴题型二 等腰三角形的性质与判定压轴问题 压轴题型三 等边三角形的性质与判定压轴问题 压轴题型四 等腰三角形中的动点问题 压轴题型五 等边三角形中的动点问题 压轴题型六 直角三角形压轴问题（30度角、斜边中线） 压轴题型七 直角三角形中的动点问题 压轴题型八 直角三角形全等的判定压轴问题 压轴题型九 用勾股定理解三角形 压轴题型十 勾股定理与折叠问题 压轴题型十一 勾股定理的应用 压轴题型十二 勾股定理中的最短路径问题 【压轴题型一 图形的轴对称、折叠等压轴问题】 1．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论： ①如图1，当点落在BC边上时，； ②如图2，当点落在△ABC内部时，； ③如图3，当点落在△ABC上方时，； ④当时，或，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 3．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处． 小明同学的操作如图2，点在线段上； 小红同学的操作如图3，点在上，点在上． (1)在图1中，若，求的度数； (2)直接写出图2和图3中的度数； (3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)． 4．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． (1)如果，求的度数； (2)如果，则________； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 5．东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边上，点E，G在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为．    (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当点F，，在同一直线上（即）时，探究和的数量关系，并说明理由． (3)在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 6．数学兴趣小组利用直角三角形纸片开展了如下的连续探究活动，请帮助他们完成相关的计算和证明． 【探究一】如图1，在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD．同学们发现，若，，借助，可以计算出的面积．请你完成填空：__________； 【探究二】在“图1”的基础上，过点E作的平分线交BD于点P，连接AP，如图2．同学们发现，沿直线AP折叠这个三角形，与重合，即AP是的角平分线．请你证明：AP平分； 【探究三】在“图2”的基础上，过点P作于点H，如图3．同学们通过测量发现，AH与BH的积是AC与BC的积的一半．请你证明：． 【压轴题型二 等腰三角形的性质与判定压轴问题】 1．如图，在中，，，是的两条中线，，，是上的一个动点，连接，，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为 ． 3．如图，在中，，D、E为边上的两点，且，，是等边三角形． (1)求证：； (2)求的度数． 4．我们知道：如果两个三角形全等，则它们的面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等．已知与是等腰直角三角形，，连接、． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． (3)如图3，在（2）的基础上，作，延长交于点，求证：点为的中点． 5．如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分． (1)求证：； (2)若的面积是18，，求长． 6．△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，． (1)如图1，当和如图摆放，连接，其中与相交于点F．那么与之间存在着怎样的位置关系，请说明理由； (2)如图2，当和如图摆放，F为的中点，连接，并在的延长线上取一点C，连接，使．求证：． 【压轴题型三 等边三角形的性质与判定压轴问题】 1．如图，点A，B，C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点在线段上（不与点、重合），在的上方分别作和，且，，连接，交于点，下列结论正确的是（填序号） ． ；②；③；④平分； 3．如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 4．如图1，在中，为线段上一动点（不与点B、C重合）．连接，作，且，连接． (1)求证：． (2)当平分时，若，求的度数． (3)如图2，设，在点D运动过程中，当时，__________°．（用含的式子表示） 5．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 6．如图，在中，，，是等边三角形，点D在边上． (1)如图1，当点E在边上时，求证； (2)如图2，当点E在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图1，当点E在外部时，于点H，过点E作，交线段的延长线于点G， ，．求的长． 【压轴题型四 等腰三角形中的动点问题】 1．如图是树枝的一部分，一只蚂蚁M以的速度从树枝的A点处出发沿树枝方向向上爬行，另一只蚂蚁N从O点出发，以的速度沿树枝方向爬行，如果足够长，，且两只蚂蚁同时出发，用表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点O恰好构成等腰三角形时，t的值是（    ） A． B． C．或 D．或或 2．如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．点在滑动时， 时，的形状是等腰三角形．     3．如图，在中，，已知，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒．    (1)用含有的代数式表示的长； (2)求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 4．如图，等边的边长为，点M从点B出发沿BC运动，同时，点N从点A出发沿线段的延长线运动，点M，N的速度均为/秒，点M到达点C时，两点停止运动．作于点D，连接交AB于点E．设点M，N的运动时间为t秒． (1)当为等腰三角形时，求t的值； (2)线段的长度是否为定值？若是，请求出其长度；若不是，请说明理由． 5．已知是等腰三角形，且，点D是射线上的一动点，连接，以为腰在右侧作等腰，使，．    (1)如图1，当点D在线段上时，求证：； (2)如图2，当点D在射线上运动时，取中点M，连接，且．当为等腰三角形时，的度数为______； (3)如图3，当点D在线段的延长线上，时，在线段上截取，使，并连接．求证：． 6．如图，在中，，，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作，DE交线段AC于点E． (1)当时，______，______． (2)当线段DC的长度为何值时，？请说明理由． (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【压轴题型五 等边三角形中的动点问题】 1．在中，，，是等边三角形．点在边上，点在外部，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．已知正方形，点是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点，当最小时， ． 3．如图，在等边中，，点分别从点同时出发，沿三角形的边运动，当点第一次返回到达点时，同时停止运动．已知点的速度是，点的速度是．设点的运动时间为． (1)当为何值时，两点重合？ (2)当为何值时，为等边三角形？ (3)当点在边上运动时，是否存在时间，使得是以为底边的等腰三角形，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，中，，、分别从点、点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动．已知点的运动速度为，点的运动速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当M、N两点重合时，求t的值． (2)当为等边三角形时，求t的值． (3)点M、N运动过程中，点M、N能否与中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出对应的时间t，若不能请说明理由． 5．如图1，以的两边，为边向外作等边三角形，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，连接，探究的大小； (3)如图3，若，，，，射线上是否存在一点，使也是等边三角形，若存在，试探究满足的条件；若不存在，请说明理由． 6．【初步感知】 (1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；    【类比探究】 (2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：    ①与的位置关系为： ； ②线段、、之间的数量关系为： ； 【拓展应用】 (3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．    【压轴题型六 直角三角形压轴问题（30度角、斜边中线）】 1．如图，在中，，，平分交于点，交延长线于点，交的延长线于点，连接．则下列结论：①；②；③；④；⑤其中不正确的结论有（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．如图，点A是线段的垂直平分线上任意一点，连接，，作的垂直平分线分别交、于点G、H，若，，则的长为 ． 3．如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．在中，于点，，． (1)如图①，过点A作于点H，交于点P，连接． ①求线段的长度； ②求证：； (2)如图②，若D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段的延长线于点N，则的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 5．已知为等边的角平分线，动点在直线上（不与点重合），连接．以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图1，若点在线段上，且，则______度． (2)如图2，若点在的反向延长线上，且直线，交于点． ①求的度数； ②若的边长为，，为直线上的两个动点，且．连接，，判断的面积是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 6．综合与实践： (1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，，垂足分别为点，．请证明：． (2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点． (3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值． 【压轴题型七 直角三角形中的动点问题】 1．如图，在中，，，，若点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，设、分别从点、同时出发，运动的时间为时，是直角三角形（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ． 3．如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动． (1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由； (2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？ 4．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． (1)连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)试求何时是直角三角形？ (3)如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 5．如图1，是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为． (1)当运动时间为t秒时，的长为______厘米，的长为______厘米；（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值； (3)如图2，连接、，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 6．如图：等边三角形中，、分别是、边上的点，，与相交于点，，是射线上的动点．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)若为直角三角形，求的值． 【压轴题型八 直角三角形全等的判定压轴问题】 1．如图，的角平分线相交于点P，若，则的值为（   ） A． B． C． D．2 2．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 3．夯实基础： （1）如图1，点P是的角平分线上的一点，于点E，与点F，有以下结论：①；②；③，其中正确的是____________． 理解应用：    （2）图2，点D是的平分线上一点，点A，点B分别在边上，且，探究与之间有怎样的数量关系？并证明； 拓展延伸： （3）如图3，点D是的平分线上一点，点A，点B分别在边上，，且，探究之间有怎样的数量关系？并说明理由． 4．如图，在中，是边上的高线，已知． (1)如图1，证明：； (2)点是上一点，． ①若，如图2，求的长； ②延长至点，使得，如图3，证明：． 5．如图1，已知，，，分别以、为边向外作与，且，，，连接交于点． (1)探究：与的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． (2)如图2，若，，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，若，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出的值． 6．如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 【压轴题型九 用勾股定理解三角形】 1．如图，，点M，N分别是射线，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，点为边上的动点，当是等腰三解形时，的长为 ． 3．在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 4．如图， 中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接． (1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，当点F不与点A重合时，请写山线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，，请直接写出线段的长． 5．在中，，，过点作的平行线，点是直线上异于点的动点，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，当点在点的右侧时， ①求证：； ②试判定线段，，之间有何数量关系？写出你的结论，并证明； (2)若，求线段的长． 6．综合与实践． 数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． (1)年世界数学家大会（）在北京召开，这届大会会标（如图）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图），它由个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”，直接写出满足的等量关系为______，并利用图形的“等面积思想”加以证明． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题． 已知线段，点在线段上，，求的最小值，他们解决问题的思路是，如图，在线段的同侧构造了两个和，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答，请你写出解答过程． (3)如图，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 【压轴题型十 勾股定理与折叠问题】 1．如图，已知在中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则 的值为 （   ） A． B．+ C． D． 2．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为 ． 3．在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 4．在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为______； （2）如果，可得的度数为______； 操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． 5．如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 6．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 【压轴题型十一 勾股定理的应用】 1．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 2．某渔船上的渔民在A处观测到灯塔在北偏东方向处，这艘渔船以每小时40海里的速度向正东方向航行，1小时后到达处，在处观测到灯塔在北偏东方向处．则处与灯塔的距离是 海里．    3．如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且． （1）求的度数； （2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？    4．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 5．（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A．     B．       C．       D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 6．如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【压轴题型十二 勾股定理中的最短路径问题】 1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 2．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 3．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 4．[提出问题] 如图1，A，B是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A，B的距离的和最短？ [分析问题] 如图2，若A，D两点在直线l的异侧，则连接AD，与直线l交于一点，根据“两点之间线段最短”，可知该点即为点C，因此，要解决上面提出的问题，只需要将点B（或点A）移到直线l的另一侧的点D处，且保证（或）即可． [解决问题]： (1)在图1中确定点C的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图3，在菱形中，，E是BC边的中点，P是对角线AC上的一个动点，则的最小值为_____． 5．问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 6．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x． (1)用含x的代数式表示AC＋CE的值； (2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 $$