专题2.2频率与概率常考解答题九大类型-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

专题2.2频率与概率常考解答题九大类型 目录 类型一、频率与概率 1 类型二、用频率估计概率 2 类型三、概率与游戏公平性问题 2 类型四、概率与比赛问题 2 类型五、概率与转盘抽奖 2 类型六、概率与放回（不放回）问题 3 类型七、概率与场馆入口问题 3 类型八、概率与新定义问题 3 类型九、概率与决策设计问题 4 压轴能力测评 4 类型一、频率与概率 1．（江苏扬州·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）． (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______． (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个． 类型二、用频率估计概率 2．（2024·浙江杭州·一模）公司在购买某种机器时，往往会给每台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．此类机器一般使用期为五年，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，则每次实际维修时还需支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修服务费为元（含工时费）．甲公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了台这种机器五年使用期内的维修次数，整理得如表： 维修次数 8 9 10 11 12 频数（台数） 10 20 30 30 10 (1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在五年使用期内维修次数不大于10”的概率． (2)试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务更省钱？ 类型三、概率与游戏公平性问题 3．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）将形状、大小完全相同，分别标有数字，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y． (1)计算的结果为0的概率； (2)甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则． 类型四、概率与比赛问题 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 类型五、概率与转盘抽奖 5．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 类型六、概率与放回（不放回）问题 6．（21-22·全国·单元测试）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．    (1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少? (2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少? (3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大? 类型七、概率与场馆入口问题 7．（23-24九年级上·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 类型八、概率与新定义问题 8．（2023·河北唐山·二模）有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率） (1)用列表法求； (2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明； (3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由． 类型九、概率与决策设计问题 9．（20-21九年级下·福建福州·阶段练习）计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 压轴能力测评 一、解答题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近___________； (2)计算盒子里白球有多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 2．（2023九年级上·浙江·专题练习）已知一个不透明布袋中装有形状、大小、材质完全相同的红球和白球共5个，小明进行多次摸球试验，并将数据记录如下表： 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为 　　； (2)从这个布袋中随机摸出两个球，请用树形图或列表法求摸出的两个球恰好“一红一白”的概率． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下： 抽取件数 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 合格频率 a b (1)计算表中a，b的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率． (2)估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件． 4．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某盒子中装有6张黑色卡片和若干张白色卡片，它们除颜色外其余都相同．某班级为估计盒子中白色卡片的张数，分15个组进行摸卡片试验．每一组做300次试验，汇总后，摸到白色卡片的次数为1500次． (1)估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率． (2)请你估计这个盒子中白色卡片接近多少张． 5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某商场有一种游戏，规则是：在一只装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外其余都相同）的不透明的箱子中，随机摸出1个球，摸到红球就可获得一瓶饮料．工作人员统计了参加游戏的人数和获得饮料的人数．（见下表） 参加游戏的人数 200 300 400 500 获得饮料的人数 39 63 82 99 获得饮料的频率 (1)计算并完成表格； (2)估计获得饮料的概率为________（精确到） (3)请你估计袋中白球的数量． 6．（2023·浙江宁波·模拟预测）为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 7．（23-24九年级上·浙江金华·期末）小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率； (2)小敏和小华同学各转动转盘一次，求“指针都落在蓝色区域”的概率； (3)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，两人到1至4层的任意一层出电梯， (1)请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率； (2)小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图是两个转盘，每个转盘都被圆的半径三等分，甲转盘的三个扇形上标有数字2，4，6，乙转盘的三个扇形上标有数字1，3，5，小明和小力分别转动甲、乙转盘，每人转动一次，记录转盘停止后指针指向的数字，若指针指在分界线上则重转．    (1)两人分别转动甲、乙转盘后，可能出现的全部可能有哪些？请用列表或画树状图的方法表示． (2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小力赢，此游戏公平吗？为什么？ 10．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别转动两个转盘，当两个转盘指针指向的数字之积为奇数时，小明获胜；数字之积为偶数时，小刚获胜．（若指针恰好指在等分线上时重新转动转盘） (1)用画树状图或列表的方法求出小明和小刚获胜的概率． (2)这个游戏规则是否公平？说明理由． 11．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）在一次数学兴趣小组活动中，小果和小华两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的若干部分，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动各自制作的转盘，转盘停止后，若圆形转盘针所指区规内数据为a，等边三角形转盘指针所指区规内数据为b，当数据使二次函数图像对称轴在y轴的左侧时，小果获胜；否则小华获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）． (1)请用列表或画树状图的方法表示所以数据的可能结果； (2)请计算小果获胜的概率，并判定这个游戏是否公平． 12．（21-22九年级上·浙江衢州·期末）童老师在教学《简单事件的概率》时，设计了一个“挑战自我”的环节，即挑战的同学从如图1所示的A，B，C，D四张图片中随机选取一张，老师点击该图片，显示挑战问题，挑战的同学思考并回答． (1)求第一位挑战的伟芳同学选取图片C的概率． (2)童老师点击图片C，显示如下问题：自由转动如图2所示的三色转盘一次，求事件“指针落在红色区域”的概率．伟芳同学思考后回答说“该事件的概率是”．你同意伟芳同学的回答吗？若不同意，请写出你的正确答案，并说明理由． (3)请你根据上述情境，编写一道与“简单事件的概率”这节内容相关的数学题，并写出参考答案． 13．（21-22九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，甲、乙两人玩游戏，他们准备了一个可以自由转动的转盘和一个不透明的袋子，转盘分成面积相等的3个扇形，并在每一个扇形内分别标上数﹣1，﹣2，﹣3；袋子中装有除数字以外其他均相同的三个乒乓球，球上标有数字1，2，3．游戏规则：转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字与随机从袋中摸出乒乓球的数字之和为0时，甲获胜；其他情况乙获胜．（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一域为止）． （1）用画树状图或列表法求甲获胜的概率； （2）这个游戏规则对甲，乙双方公吗？请判断并说明理由． 14．（20-21九年级上·浙江·期末）如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成4份，分别标有四个数字，乙转盘被等分成3份，分别标有1，2，3三个数字．自由转动两个转盘，转盘停止后，计算两个转盘指针所指区域内的数字之和，如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止． （1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数之和为0的概率， （2）小明和小亮想用以上两个转盘做游戏，若两数之和为，则小明赢；若两数之和为，则小亮赢．你认为游戏公平吗？请说明理由． 15．（20-21九年级上·浙江·期中）某学校组织部分七年学生到博览会的五个展馆参观，学校将所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计如图所示．请根据统计图回答下列问题： （1）七年级参观博览会的学生有多少名； （2）将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整； （3）若A馆门票仅剩下一张，而小明和小华都想去，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字的五张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只一张；若抽得的数字小于3，门票给小明，否则门票给小华，用所学习的概率知识，说明这个规则对双方是否公平． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2频率与概率常考解答题九大类型 目录 类型一、频率与概率 1 类型二、用频率估计概率 2 类型三、概率与游戏公平性问题 3 类型四、概率与比赛问题 4 类型五、概率与转盘抽奖 5 类型六、概率与放回（不放回）问题 6 类型七、概率与场馆入口问题 7 类型八、概率与新定义问题 8 类型九、概率与决策设计问题 9 压轴能力测评 11 类型一、频率与概率 1．（江苏扬州·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）． (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______． (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个． 【答案】(1)0.6 (2)， (3)白色12个，黑色8个 【分析】（1）根据摸球的次数1000次时摸到白球的频率，即可估计出摸到白球的频率． （2）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率． （3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只． 本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系． 【详解】（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6． 故答案为：0.6． （2）因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 所以摸到白球的概率是；摸到黑球的概率是． 故答案为：，． （3）因为摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是．所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球个，黑球个． 类型二、用频率估计概率 2．（2024·浙江杭州·一模）公司在购买某种机器时，往往会给每台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．此类机器一般使用期为五年，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，则每次实际维修时还需支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修服务费为元（含工时费）．甲公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了台这种机器五年使用期内的维修次数，整理得如表： 维修次数 8 9 10 11 12 频数（台数） 10 20 30 30 10 (1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在五年使用期内维修次数不大于10”的概率． (2)试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务更省钱？ 【答案】(1)0.6 (2)选择购买10次维修服务 【分析】本题考查利用频率估计概率，加权平均数，列表法等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）利用概率公式计算即可． （2）分别求出购买10次，11次的费用即可判断． 【详解】（1）解：由题意得： “1台机器在五年使用期内维修次数不大于10”的概率． （2）解：购买10次时， 某台机器使用期内维修次数 8 9 10 11 12 该台机器维修费用 24000 24500 25000 30000 35000 此时这100台机器维修费用的平均数 ； 购买11次时， 某台机器使用期内维修台数 8 9 10 11 12 该台机器维修费用 26000 26500 27000 27500 32500 此时这100台机器维修费用的平均数 ， ， 所以，选择购买10次维修服务． 类型三、概率与游戏公平性问题 3．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）将形状、大小完全相同，分别标有数字，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y． (1)计算的结果为0的概率； (2)甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平，理由见详解；公平的游戏规则见详解 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率等知识． （1）画树状图得到共有12种的等可能结果，其中的结果为0的共有2种等可能结果，根据概率公式即可求解； （2）分别计算出甲胜的概率为，乙胜的概率为，据此即可得到游戏规则不公平；新的游戏规则只要保证甲胜和乙胜的概率相等即可符合题意． 【详解】（1）解：画树状图如下， 由树状图得共有12种的等可能结果，其中的结果为0的共有2种等可能结果， ∴的结果为0的概率是； （2）解：由树状图得共有12种的等可能结果，其中共有2种等可能结果，所以甲胜的概率为；共有4种等可能结果，所以乙胜的概率为； ∵ ∴游戏规则不公平； 公平的游戏规则为：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜． 此时甲胜和乙胜的概率都是， ∴此游戏规则公平． 类型四、概率与比赛问题 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 类型五、概率与转盘抽奖 5．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，共有9种等可能的结果 (3)会选择方案二；理由见解析 【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图即可解决； （3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； （2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果； （3）解：会选择方案二． 理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二． 类型六、概率与放回（不放回）问题 6．（21-22七年级下·全国·单元测试）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．    (1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少? (2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少? (3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大? 【答案】(1) (2)小玲胜小军的概率是 (3)当小玲摸到棋子B时，胜小军的概率最大 【分析】（1）画出树状图，根据概率公式进行作答即可； （2）已知小玲先摸到了棋子C，还剩9枚棋子，因为棋子C胜棋子D，只有４枚棋子，即可知道这一轮小玲胜小军的概率； （3）分情况讨论，根据概率的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，画出树状图：    共有个等可能的结果，小玲摸到棋子C的结果有3个， 所以若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是； （2）解：因为小玲先摸到了棋子C，若小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，那小军摸到棋子的结果有9个，只有当小军摸到棋子D，此时小玲胜小军，所以这一轮小玲胜小军的概率为； （3）解：①若小玲摸到A棋，小军摸到B，C棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ②若小莹摸到B棋，小军摸到D，C棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ③若小玲摸到C棋，小军摸到D棋，小玲胜， 小玲胜小军的概率是； ④若小玲摸到D棋，小军摸到A棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ∵，由此可见，小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率最大． 【点睛】本题考查了树状图法以及概率公式，正确掌握概率公式是解题的关键． 类型七、概率与场馆入口问题 7．（23-24九年级上·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可． 【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 类型八、概率与新定义问题 8．（2023·河北唐山·二模）有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率） (1)用列表法求； (2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明； (3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由． 【答案】(1) (2)张亮的想法是错的，见解析 (3) 【分析】（1）用列表法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可； （2）求出的所有取值的众数和平均数，比较得出答案； （3）根据的所有取值，是否存在三个值的和为即可． 【详解】（1）由题得，列表为： 第1个 第2个 1 3 3 1 1 3 0 2 1 1 0 4 3 1 2 4 所以，共有12种等可能结果，其中和的绝对值为1的有4种，； （2）由（1）得：，，，，， ∴的所有取值的众数为，而的所有取值的平均数为：， ∵，所以张亮的想法是错的． （3）∵， ∴（答案不唯一） 【点睛】本题考查列表法或树状图法，众数、平均数，列举出所有等可能出现的结果是计算概率的前提，掌握众数、平均数的计算方法是解决问题的关键． 类型九、概率与决策设计问题 9．（20-21九年级下·福建福州·阶段练习）计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 【答案】（1）；（2）2台，理由见解析． 【分析】（1）根据概率的计算公式计算即可； （2）先分别计算各段年入流量的概率，再根据概率计算安装2台发电机和3台发电机对应的年利润的加权平均数，比较之，则可得出答案． 【详解】（1）年入流量不低于120的年数为:， 总的年数为50年． 年入流量不低于120的概率为：． （2）根据题意，能安装2台发电机对应的年入流量为不低于80， 年入流量低于的概率为：，只能运行1台发电机； 年入流量不低于80的概率为：，能2台发电机都运行； 安装2台发电机时的利润为：万元． 能安装3台发电机对应的年入流量为不低于120，由（1）可知：，只能运行1台发电机， 当年入流量时，，只能运行2台发电机； 当年入流量时，，能运行3台发电机， 安装3台发电机时的利润为： 万元， 因为，故安装2台发电机． 【点睛】本题考查了概率的计算，将概率当做权数计算平均数，计算出各段的概率是解题的关键． 压轴能力测评 一、解答题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近___________； (2)计算盒子里白球有多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)15个 (3)15个 【分析】本题主要考查了概率，熟练掌握用频率估计概率，概率的定义及计算公式，用概率还原事件，是解决问题的关键， （1）用频率稳定于，估计概率就是； （2）用60乘，计算即得； （3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据摸到白球的概率为建立方程，解方程检验，即得， 【详解】（1）∵大量重复摸球实验，摸到白球的频率稳定于， ∴摸到白球的概率接近； 故答案为：； （2）（个）， 答：盒子里白球有15个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：， 经检验得：为所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 2．（2023九年级上·浙江·专题练习）已知一个不透明布袋中装有形状、大小、材质完全相同的红球和白球共5个，小明进行多次摸球试验，并将数据记录如下表： 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为 　　； (2)从这个布袋中随机摸出两个球，请用树形图或列表法求摸出的两个球恰好“一红一白”的概率． 【答案】(1)0.4 (2) 【分析】题考查了利用频率估计概率的方法，列表法与树状图法求概率，理解频率、概率的意义以及频率估计概率的方法是解决问题的关键． （1）根据大量的试验结果稳定在0.4左右即可得出结论； （2）先求出袋中红、白球的个数，再列表得出所有等可能结果，继而利用概率公式求解即可． 【详解】（1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （2）∵袋子中红球的个数约为（个）， ∴袋子中白球有3个， 列表如下： 红 红 白 白 白 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 由表可知共有种等可能结果，其中摸出的两个球恰好“一红一白”的有种结果， ∴摸出的两个球恰好“一红一白”的概率为． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下： 抽取件数 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 合格频率 a b (1)计算表中a，b的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率． (2)估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件． 【答案】(1)，， (2)200件 【分析】（1）根据频数÷总数＝频率，分别求出a、b即可，再根据频率可靠性可知总数越大时频率越稳定，故总数为1000时所得频率即为每一件衬衣的合格率； （2）利用一件衬衣的合格率×总数=频数，即可合格的衬衣数量，再用总量-合格的衬衣数量=次品数量． 【详解】（1）解：， ， 根据表格数据，估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.90； （2）解：次品的件数约为（件）． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率的应用，解答此题关键是估计出任取1件衬衣是次品的概率． 4．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某盒子中装有6张黑色卡片和若干张白色卡片，它们除颜色外其余都相同．某班级为估计盒子中白色卡片的张数，分15个组进行摸卡片试验．每一组做300次试验，汇总后，摸到白色卡片的次数为1500次． (1)估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率． (2)请你估计这个盒子中白色卡片接近多少张． 【答案】(1) (2)3张 【分析】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解： ， 答：恰好是白色卡片的概率为； （2）解：总的张数：（张）， 白色卡片的张数：（张）， 答：白色卡片的张数接近3张． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解题意是解题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某商场有一种游戏，规则是：在一只装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外其余都相同）的不透明的箱子中，随机摸出1个球，摸到红球就可获得一瓶饮料．工作人员统计了参加游戏的人数和获得饮料的人数．（见下表） 参加游戏的人数 200 300 400 500 获得饮料的人数 39 63 82 99 获得饮料的频率 (1)计算并完成表格； (2)估计获得饮料的概率为________（精确到） (3)请你估计袋中白球的数量． 【答案】(1)见解析 (2) (3)32 【分析】（1）用获得饮料的人数除以参加游戏的人数即可得； （2）根据（1）中的频率进行估计即可； （3）利用估计的概率和概率公式进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，， 填表如下： 参加游戏的人数 200 300 400 500 获得饮料的人数 39 63 82 99 获得饮料的频率 （2）解：观察表格可知随着参加人数的增加，获得饮料的频率逐渐稳定在附近， 所以估计获得饮料的概率为； （3）解：设袋中有白球x个， 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验，是所列方程的解， 答：估计袋中有32个白球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是了解大量反复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 6．（2023·浙江宁波·模拟预测）为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 【答案】(1)①8；8；；②给九年级颁奖，分析见解析 (2)九年级的获奖率高，计算过程见解析 【分析】本题主要考查了中位数、众数、方差以及加权平均数，掌握各个概念和计算方法是解题的关键． （1）①根据中位数、众数和方差的定义即可解答；②根据两个年级众数和方差解答即可； （2）先根据概率列式计算，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数分； 八年级竞赛成绩中第25、26位的分数都是8分，故中位数分； 九年级竞赛成绩的方差为： ， 故； 故答案为：8；8；； ②如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖， 故如果方差角度来分析，应该给九年级颁奖； （2）解：八年级的获奖率为：， 九年级的获奖率为：， ， 九年级的获奖率高． 7．（23-24九年级上·浙江金华·期末）小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率； (2)小敏和小华同学各转动转盘一次，求“指针都落在蓝色区域”的概率； (3)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)公平，理由见解析 【分析】本题考查的是几何概率，列表法与树状图法求概率的方法，解题的关键是掌握事件可能出现的结果所有可能结果． （1）求出蓝区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率； （2）列举出所有情况，让指针都落在蓝色区域的情况数除以总情况数即为所求的概率； （3）根据（2）中列表法，分别求出指针落在黄色区域和指针都落在蓝色区域的概率，即可得出答案． 【详解】（1）解：把蓝色部分分成圆心角为的两个扇形，共种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能， 指针落在红色区域； （2）解：列表法， 第一次 第二次 红色 黄色 蓝色 蓝色 红色 （红，红） （红，黄） （红，蓝） （红，蓝） 黄色 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） （黄，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 共有种可能，指针刚好落在蓝色区域有种， 指针都落在蓝色区域； （3）解：指针落在黄色区域，指针都落在蓝色区域． 公平． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，两人到1至4层的任意一层出电梯， (1)请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率； (2)小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由． 【答案】(1) (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查了列举法求概率．熟练掌握列举法求概率是解题的关键． （1）根据题意列表格，然后求概率即可； （2）分别求出小亮胜，小芳胜的概率，进行比较，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，列表格如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表可知，共有种等可能的结果，甲、乙二人在同一层楼出电梯共有4种等可能的结果， ∵， ∴甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率为； （2）解：游戏不公平，理由如下： 由（1）可知，小亮胜的概率为； 则小芳胜的概率为； ∵， ∴游戏不公平． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图是两个转盘，每个转盘都被圆的半径三等分，甲转盘的三个扇形上标有数字2，4，6，乙转盘的三个扇形上标有数字1，3，5，小明和小力分别转动甲、乙转盘，每人转动一次，记录转盘停止后指针指向的数字，若指针指在分界线上则重转．    (1)两人分别转动甲、乙转盘后，可能出现的全部可能有哪些？请用列表或画树状图的方法表示． (2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小力赢，此游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)游戏是公平的 【分析】本题主要考查根据列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键． （1）将所有情况放入表格即可； （2）找出满足条件的结果分别求出概率即可得到答案． 【详解】（1）解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 小明 小力 2 4 6 1 2，1 4，1 6，1 3 2，3 4，3 6，3 5 2，5 4，5 6，5 共有9种不同结果，即． （2）解：将题（1）出现的结果相加，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种，P（小明胜）， P（小力胜）， 因此游戏是公平的． 10．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别转动两个转盘，当两个转盘指针指向的数字之积为奇数时，小明获胜；数字之积为偶数时，小刚获胜．（若指针恰好指在等分线上时重新转动转盘） (1)用画树状图或列表的方法求出小明和小刚获胜的概率． (2)这个游戏规则是否公平？说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜及小刚获胜的情况，然后利用概率公式求解即可得到答案； （2）由（小明获胜）（小刚获胜），可得这个游戏规则不公平． 【详解】（1）解：动两个转盘的所有可能结果如下： ∴（小明获胜）， （小刚获胜）； （2）解：不公平，理由如下： （小明获胜），（小刚获胜）， ， 这个游戏规则不公平． 【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求概率，游戏公平性的判断，用树状图或列表法求概率时，首先列出所有等可能出现的结果，找出满足条件的情况，再根据概率公式进行计算即可；判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 11．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）在一次数学兴趣小组活动中，小果和小华两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的若干部分，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动各自制作的转盘，转盘停止后，若圆形转盘针所指区规内数据为a，等边三角形转盘指针所指区规内数据为b，当数据使二次函数图像对称轴在y轴的左侧时，小果获胜；否则小华获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）． (1)请用列表或画树状图的方法表示所以数据的可能结果； (2)请计算小果获胜的概率，并判定这个游戏是否公平． 【答案】(1)见解析 (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】（1）根据题意画出树状图，得出游戏中两数的所有可能的结果数； （2）由二次函数的性质可得同号，再根据概率公式求出相应概率，最后进行判断即可． 【详解】（1）根据题意画图如下： 共有12种结果： （2）二次函数图像对称轴在y轴的左侧 ∴，即需要同号，小果胜； 由（1）知，小果获胜的概率是，小华获胜的概率是， ∵小果和小华概率不相等， ∴游戏不公平； 【点睛】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．同时还考查了二次函数的图像与性质． 12．（21-22九年级上·浙江衢州·期末）童老师在教学《简单事件的概率》时，设计了一个“挑战自我”的环节，即挑战的同学从如图1所示的A，B，C，D四张图片中随机选取一张，老师点击该图片，显示挑战问题，挑战的同学思考并回答． (1)求第一位挑战的伟芳同学选取图片C的概率． (2)童老师点击图片C，显示如下问题：自由转动如图2所示的三色转盘一次，求事件“指针落在红色区域”的概率．伟芳同学思考后回答说“该事件的概率是”．你同意伟芳同学的回答吗？若不同意，请写出你的正确答案，并说明理由． (3)请你根据上述情境，编写一道与“简单事件的概率”这节内容相关的数学题，并写出参考答案． 【答案】(1)伟芳同学选取图片C的概率是； (2)不同意，正确答案是 (3)见解析 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）指针落在红色区域的概率=指针落在红色区域的面积：总面积，据此即可解答； （3）设计一个游戏公平性的问题：首先确定出事件发生的所有情况，分别算出甲胜和乙获胜发生的概率，比较概率的大小，即可判定游戏的公平性，如不公平，设计出两人发生的概率相同就可解决问题． 【详解】（1）解：A，B，C，D四张图片中随机选取一张，伟芳同学选取图片C的概率是； 答：伟芳同学选取图片C的概率是； （2）解：不同意，理由如下： ∵指针落在红色区域的面积为圆面积的， ∴指针落在红色区域的概率是； 答：不同意，正确答案是； （3）问题：你如果利用如图2所示的三色转盘来做游戏，规定转动一次停止后，指针落在蓝色区域则甲获胜．落在红色区域则乙获胜，你认为对双方公平吗？若认为公平，请简要说明理由； 若认为不公平，请提出公平合理的方案． 解：不公平，理由如下： 因为指针落在蓝色区域的概率是；指针落在红色区域的概率是； 所以游戏不公平． 建议：规定转动一次停止后，指针落在蓝色区域则甲获胜．落在红色或黄色区域则乙获胜， 因为指针落在蓝色区域的概率是；指针落在红色或黄色区域的概率也是； 概率相等，所以游戏公平． 【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等． 13．（21-22九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，甲、乙两人玩游戏，他们准备了一个可以自由转动的转盘和一个不透明的袋子，转盘分成面积相等的3个扇形，并在每一个扇形内分别标上数﹣1，﹣2，﹣3；袋子中装有除数字以外其他均相同的三个乒乓球，球上标有数字1，2，3．游戏规则：转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字与随机从袋中摸出乒乓球的数字之和为0时，甲获胜；其他情况乙获胜．（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一域为止）． （1）用画树状图或列表法求甲获胜的概率； （2）这个游戏规则对甲，乙双方公吗？请判断并说明理由． 【答案】（1）；（2）游戏不公平，理由见解析 【分析】（1）列举出所有情况，看针所指区域的数字与随机从袋中摸出乒乓球的数字之和为0时数的情况占所有情况的多少即可求得甲获胜的概率； （2）由（1）可得乙获胜的概率，比较即可． 【详解】解：（1）解法一：（列表法） 由列表法可知：会产生9种结果，它们出现的机会相等，其中和为0的有3种结果． （甲获胜）； 解法二：（树状图） 由树状图可知：会产生9种结果，它们出现的机会相等，其中和为0的有3种结果． （甲获胜）； （2）游戏不公平 （甲获胜）；（乙获胜）， （甲获胜）（乙获胜）， 游戏不公平． 【点睛】本题考查了求概率，解题的关键是掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）；利用概率公式求出相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 14．（20-21九年级上·浙江·期末）如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成4份，分别标有四个数字，乙转盘被等分成3份，分别标有1，2，3三个数字．自由转动两个转盘，转盘停止后，计算两个转盘指针所指区域内的数字之和，如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止． （1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数之和为0的概率， （2）小明和小亮想用以上两个转盘做游戏，若两数之和为，则小明赢；若两数之和为，则小亮赢．你认为游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）不公平，理由见解析 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】解：（1）所有可能出现结果如下： 列表得： 0 1 1 0 2 2 1 0 3 3 2 1 0 总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，而两数之和为0的结果有3种： ，，，， （两数之和为． （2）由（1）中表格可知： （两数之和为，即（小明赢）， （两数之和为，即（小亮赢）， （小明赢）（小亮赢）． 游戏不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15．（20-21九年级上·浙江·期中）某学校组织部分七年学生到博览会的五个展馆参观，学校将所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计如图所示．请根据统计图回答下列问题： （1）七年级参观博览会的学生有多少名； （2）将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整； （3）若A馆门票仅剩下一张，而小明和小华都想去，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字的五张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只一张；若抽得的数字小于3，门票给小明，否则门票给小华，用所学习的概率知识，说明这个规则对双方是否公平． 【答案】（1）200名；（2）见解析；（3）不公平，理由见解析 【分析】（1）由A馆人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用总人数乘以B馆对应的百分比求出其人数，用C馆人数除以总人数可得其对应百分比，从而补全图形； （3）计算出小明、小华获得门票的概率，判断概率是否相等即可得出答案． 【详解】解：（1）七年级参观博览会的学生有（名； （2）馆对应人数为（名， 馆对应百分比为， 补全图形如下： （3）门票给小明的概率为，门票给小华的概率为， ， 此游戏规则对双方不公平． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$