第06讲 反比例函数的应用（6个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第06讲 反比例函数的应用（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点2．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点3．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点4．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点5．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点6．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型强化 题型一．反比例函数系数k的几何意义 1．（2021秋•金安区校级月考）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为2，则的值为　　 A．1 B．2 C．4 D．6 2．（2023•雨山区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数图象于，两点，轴于点，的面积为6，则的值为 　　． 3．（淮南月考）如图，反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，的面积为2． （1）求和的值； （2）若一次函数的图象经过点，求这个一次函数的解析式． 题型二．待定系数法求反比例函数解析式 4．（2023秋•金安区校级月考）如图，已知点是双曲线上任意一点，过点作轴于点，是轴上一点，连接、，若的面积为2，则双曲线的解析式为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•庐江县期末）如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，．若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　　． 6．（2022秋•定远县校级月考）已知：，并且与成正比例，与成反比例．当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 题型三．反比例函数与一次函数的交点问题 7．（2020•包河区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于，两点，过作轴的垂线，交函数的图象于点，连接，则的面积为　　 A．1 B．3 C．5 D．7 8．（2024•无为市模拟）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点、．则： （1）　　； （2）若轴正半轴上存在点（不与原点重合），且，则点的坐标是 　　． 9．（2024•大观区校级二模）如图，点、在反比例函数图象上，直线交轴于点，过点作垂足为．已知，，求值． 题型四．根据实际问题列反比例函数关系式 10．（2022秋•太和县期末）俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，则他存够买设备的钱所需月数与每个月存款额元之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 11．（利辛县校级月考）我校滨湖校区计划劈出一块面积为的长方形土地做花圃，请写出这个花圃的长与宽的函数关系式　　．题型五．反比例函数的应用 12．（2023秋•临泉县期末）已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当为定值时，如图中大致表示压强与受力面积之间函数关系的是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•宿松县期中）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（时之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.8毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为 　 　小时． 14．（2022秋•萧县校级月考）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这一函数的表达式； （2）当气体体积为时，求气体压强的值． （3）若注射器内气体的压强不能超过，则其体积要控制在什么范围？ 题型六．反比例函数综合题 15．（2022秋•定远县校级月考）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 16．（2023秋•裕安区校级月考）如图，、均是等腰直角三角形，点、在函数的图象上，直角顶点、均在轴上，则点的坐标为　　． 17．（2023秋•埇桥区月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的表达式； （2）求的面积； （3）根据函数图象，请直接写出不等式的解集； （4）在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 分层练习 一、单选题 1．若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 3．若反比例函数的图象，在每个象限内，y都随x的增大而增大，则m的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 4．力F作用于物体，产生的压强P与物体受力面积S之间满足关系式，当F一定时，根据表格可以判断a和b的大小关系为（    ） 5 20 30 40 60 800 ■ a ■ b A． B． C． D． 5．如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（      ）    A．4 B． C．2 D． 6．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，连接，则的面积为（    ）    A．4 B．3 C． D． 7．设函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则（    ） A． B． C． D．2 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C 在y轴上，矩形的顶点D在上，顶点F在 y轴上．已知C是的中点，反比例函数 （）的图象经过点B，图中阴影部分的面积为4，则k的值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．二次函数的图形如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（　　） A． B． C． D． 10．已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 11．若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 12．若，都在函数的图像上，且，则 ．（填“”、“”或“”） 13．如图，在平面直角坐标系中，A，B是反比例函数上的两点，设，，且，连接，分别过点A，B作轴，轴．若，则 ． 14．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为 ． 三、解答题 15．在平面坐标系中摆放如图，顶点A在x轴上，，轴，双曲线经过C点及的中点D，，求k的值．    16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点，    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点B作轴，交y轴于点P，过点P作交x轴于点Q，连接，求四边形的面积． 17．如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是4时，求点的坐标． 19．如图，直线与双曲线相交于点，两点，点纵坐标为． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)点在轴上，连接，当的面积为时，求的值； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求k值及面积． (2)根据图象直接写出时，x的取值范围． (3)若反比例函数与一次函数的图象总有交点，求k的取值范围． 21．如图，函数的图象与函数，的图象交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为，C点坐标为． (1)求函数的表达式和B点的坐标； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围． 22．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 23．国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》中规定的酒驾检测判定标准为：饮酒驾驶：驾驶员血液中酒精含量； 醉酒驾驶：驾驶员血液中酒精含量． 根据相关实验数据显示，一般情况下，成人喝低度白酒后，小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）成正比例；小时后（包括小时）与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)写出一般情况下，成人喝低度白酒后，与之间的函数关系式及相应的自变量取值范围； (2)假设某驾驶员晚上在家喝完低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 反比例函数的应用（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点2．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点3．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点4．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点5．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点6．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型强化 题型一．反比例函数系数k的几何意义 1．（2021秋•金安区校级月考）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为2，则的值为　　 A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】根据反比例函数系数的几何意义可知，的面积，再根据图象所在象限求出的值既可． 【解答】解：依据比例系数的几何意义可得，的面积， 即， 解得，， 由于函数图象位于第一、三象限， 故， 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即． 2．（2023•雨山区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数图象于，两点，轴于点，的面积为6，则的值为 　　． 【分析】根据反比例函数的对称性和反比例函数系数的几何意义，可求出，再根据图象所在的象限确定的值即可． 【解答】解：由对称性可知，， ， 轴，的面积为6， ， 又， ， 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义以及反比例函数的性质是正确解答的关键． 3．（淮南月考）如图，反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，的面积为2． （1）求和的值； （2）若一次函数的图象经过点，求这个一次函数的解析式． 【分析】（1）由的面积为2，根据反比例函数的比例系数的几何意义，可知的值，得出反比例函数的解析式，然后把代入，即可求出的值； （2）把点的坐标代入，即可求出这个一次函数的解析式． 【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，轴于点，的面积为2，， ， ， ， ， ， 反比例函数的解析式为， 即，． （2）在一次函数的图象上， ， ． 这个一次函数的解析式为． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 题型二．待定系数法求反比例函数解析式 4．（2023秋•金安区校级月考）如图，已知点是双曲线上任意一点，过点作轴于点，是轴上一点，连接、，若的面积为2，则双曲线的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据平行线的判定定理得到，求得，设双曲线的解析式为，于是得到结论． 【解答】解：连接， 轴于点，轴， ， ， 设双曲线的解析式为， ， 双曲线的解析式为， 故选：． 【点评】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知反比例函数系数的几何意义是解答此题的关键． 5．（2023秋•庐江县期末）如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，．若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　　． 【分析】根据矩形的性质得到，根据正方形的性质得到，设，，得到，，设反比例函数的表达式为，列方程即可得到结论． 【解答】解：四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设，， ，， 设反比例函数的表达式为， ， 解得或（不合题意舍去）， ， ， 这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 6．（2022秋•定远县校级月考）已知：，并且与成正比例，与成反比例．当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【分析】（1）首先设，，再根据可得，然后把时，；当时，代入可得关于、的方程组，解出、的值，可得函数解析式； （2）把代入函数解析式可得答案． 【解答】解：（1）与成正比例，与成反比例， 设，， ， ， 当时，；当时，． ， 解得：， 关于的函数解析式为 （2）当时，原式． 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握正比例函数和反比例函数解析式的形式． 题型三．反比例函数与一次函数的交点问题 7．（2020•包河区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于，两点，过作轴的垂线，交函数的图象于点，连接，则的面积为　　 A．1 B．3 C．5 D．7 【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象交点关于原点对称，可得出、两点坐标的关系，根据垂直于轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出、两点坐标的关系，设点坐标为，表示出、两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象交点关于原点对称， 设点坐标为，则点坐标为，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的特点，垂直于轴的直线上任意两点的坐标特点，三角形的面积，解答此题的关键是找出、两点与、两点坐标的关系． 8．（2024•无为市模拟）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点、．则： （1）　　； （2）若轴正半轴上存在点（不与原点重合），且，则点的坐标是 　　． 【分析】（1）根据反比例函数系数得到，解得，利用待定系数法即可求得的值，进一步求得的值； （2）利用勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）反比例函数过点、， ， ， ， 把、代入得， 解得， ． 故答案为：； （2）设，， ， ， 解得， 点的坐标是或． 故答案为：或． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的应用，求得的坐标是解题的关键． 9．（2024•大观区校级二模）如图，点、在反比例函数图象上，直线交轴于点，过点作垂足为．已知，，求值． 【分析】设，则，作轴于点，证明，通过三角形相似，得到的长度，利用反比例函数表示出点的坐标，然后通过减去表示出的长度，最后根据表示出，再结合题目中，计算出． 【解答】解：设，则，作轴于点， 轴， ， ， ，， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点的坐标，再利用三角形相似进行求解． 题型四．根据实际问题列反比例函数关系式 10．（2022秋•太和县期末）俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，则他存够买设备的钱所需月数与每个月存款额元之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据户外活动设备的售价为6000元，即可得出，变形后即可得出与之间的函数关系式，此题得解． 【解答】解：根据题意得：， ． 故选：． 【点评】本题考查了根据时间问题列反比例函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键． 11．（利辛县校级月考）我校滨湖校区计划劈出一块面积为的长方形土地做花圃，请写出这个花圃的长与宽的函数关系式　　． 【分析】根据等量关系“矩形一边长面积另一边长”即可列出关系式． 【解答】解：由题意得：关于的函数解析式是． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键，属于基础题，难度一般． 题型五．反比例函数的应用 12．（2023秋•临泉县期末）已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当为定值时，如图中大致表示压强与受力面积之间函数关系的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可． 【解答】解：压力、压强与受力面积之间有如下关系式：． 当为定值时，压强与受力面积之间函数关系是反比例函数， 故选：． 【点评】此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象． 13．（2023秋•宿松县期中）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（时之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.8毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为 　4.8　小时． 【分析】将点分别代入，中，求出、，确定出函数关系式，再把代入两个函数式中求出对应的，把所求两个时间作差即可． 【解答】解：由题意可得： 当时，， 当时，函数关系式为， 将代入可得：， 所以与的函数关系式为； 当时，函数关系式为， 将代入可得：， 所以与的函数关系式是：； 当时，将代入可得：， 解得：； 当时，将代入可得：， 解得：． （小时）， 所以成年人服药一次有效的时间是4.8小时． 故答案为：4.8． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 14．（2022秋•萧县校级月考）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这一函数的表达式； （2）当气体体积为时，求气体压强的值． （3）若注射器内气体的压强不能超过，则其体积要控制在什么范围？ 【分析】（1）设出反比例函数解析式，把点坐标代入可得函数解析式； （2）把代入（1）得到的函数解析式，可得； （3）把代入得到即可． 【解答】解：（1）设， 由题意知， ，即； （2）当时，， 气球内气体的气压是； （3）当时，． 为了安全起见，气体的体积应不少于． 【点评】本题考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义． 题型六．反比例函数综合题 15．（2022秋•定远县校级月考）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】设的纵坐标是，则的纵坐标也是，即可求得、的横坐标，则的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【解答】解：设的纵坐标是，则的纵坐标也是． 把代入得，，则，即的横坐标是， 同理可得：的横坐标是：． 则． 则． 故选：． 【点评】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解、的纵坐标是同一个值，表示出的长度是关键． 16．（2023秋•裕安区校级月考）如图，、均是等腰直角三角形，点、在函数的图象上，直角顶点、均在轴上，则点的坐标为　，　． 【分析】若是等腰直角三角形，那么，即直线，联立双曲线解析式可求得，即，然后结合直线的斜率求得直线的解析式，联立反比例函数解析式即可得到点点坐标，由于、的横坐标相同，即可得解． 【解答】解：是等腰直角三角形， 直线，联立可得， ， 由于直线，可设直线，则有： ，； 直线； 联立可得，，即，． 故答案为：，． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及函数图象交点坐标的求法，难度适中． 17．（2023秋•埇桥区月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的表达式； （2）求的面积； （3）根据函数图象，请直接写出不等式的解集； （4）在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法先求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，最后求出直线解析式； （2）利用代入数据计算即可； （3）根据图象直接写出不等式的解集即可； （4）分两种情况讨论使得是等腰三角形，①为等腰三角形的腰时点坐标，②为等腰三角形的底时点坐标即可． 【解答】解：（1）依题意解， ， ， 又点在 的图象上， ， 点的坐标为， ， 解得， ． （2）设直线与轴交于点，则，， ． （3）根据题意，由图象可知不等式的解集为： 或； （4）， ． ①为等腰三角形的腰时点坐标，，，，； ②为等腰三角形的底时点坐标， 综上分析满足条件的点的坐标为：或或 或． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握两种函数性质是解答本题的关键． 分层练习 一、单选题 1．若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；只要点在函数的图象上，则点的坐标一定满足函数的解析式．反之，只要点的坐标满足函数解析式，则点就一定在函数的图象上． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ， ，， ∴只有点在反比例函数图象上． 故选：A． 2．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 3．若反比例函数的图象，在每个象限内，y都随x的增大而增大，则m的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的增减性质是解题的关键． 由题意得，解得，然后问题即可求解． 【详解】∵反比例函数的图象，在每个象限内，y都随x的增大而增大， ∴， ∴， 则m的值可以是3． 故选：D． 4．力F作用于物体，产生的压强P与物体受力面积S之间满足关系式，当F一定时，根据表格可以判断a和b的大小关系为（    ） 5 20 30 40 60 800 ■ a ■ b A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数的性质．根据，当F一定时，P与S成反比例函数，由函数的性质得出结论． 【详解】解：∵F一定， ∴， ∴， ∴当时，P随着S的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 5．如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（      ）    A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积计算，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，，根据三角形的面积公式得到，是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ，B两点纵坐标相同， 设，，则，， ， ， 故选：C． 6．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，连接，则的面积为（    ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】设 ，则的中点为 即可求得 表示出的坐标， 即可表示出，利用三角形面积公式求得 【详解】∵动点在反比例函数的图象上, ∴设 ，则的中点为 ， 的图象经过点， ， ， ∵过点作轴交函数的图象于点, ∴的纵坐标 把 代入得, ， ， ， 故选:. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数的几何意义，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标. 7．设函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是本题的关键．由反比例函数的性质可得，，进而可得，求解即可解题． 【详解】解：， 当时，函数的最大值，函数的最大值， 即有， 解得， 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C 在y轴上，矩形的顶点D在上，顶点F在 y轴上．已知C是的中点，反比例函数 （）的图象经过点B，图中阴影部分的面积为4，则k的值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】设，，根据矩形，得到，结合C是的中点，得到，得到，解得的值即可． 本题考查待定系数法求反比例函数，矩形的性质，不规则图形面积，掌握待定系数法求反比例函数方法，矩形的性质，把不规则图形面积转化为规则图形面积是解题关键． 【详解】解：设，， 根据矩形， 得到， ∵C是的中点， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， 解得， ∵反比例函数 （）的图象经过点B， ∴， 故选D． 9．二次函数的图形如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数、反比例函数和一次函数的图像与系数的关系，根据抛物线图像可得，，由时，，即可得出答案．掌握二次函数的图像与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴的交点在负半轴上， ∴，， ∴一次函数的图像经过一、二、三象限，故选项B、D不符合题意； ∵当时，， ∴反比例函数图像的两个分支分别在二、四象限，故选项A不符合题意． 故选：C． 10．已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，根据解析式求得点，利用，即可解题． 【详解】解：反比例函数图象过点， ，即有， 将代入，有，解得， 将、，代入中， ，解得， 一次函数， 当时，解得，即， ， 故选：B． 二、填空题 11．若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质及题意，可得，即可求得k的范围． 【详解】解：∵反比例数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．若，都在函数的图像上，且，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】可得当时，，随着的增大而减小，据此进行判断，即可求解． 【详解】解：， 当时，，且y随着的增大而减小， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握性质是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，A，B是反比例函数上的两点，设，，且，连接，分别过点A，B作轴，轴．若，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，过点A作轴于点H，延长交轴于点D，先求出，由反比例函数的几何意义得到，根据得到，求出，得到即可． 【详解】过点A作轴于点H，延长交轴于点D， ∵，在反比例函数上 ∴， ∵， ∴， ∴ 由反比例函数的几何意义得到， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 即， 由题意得：， ∵， ∴， 故答案为：2． 14．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，连接, 作轴于, 轴于,则，根据题意求得,由，即可得出 ，解方程求得m的值，从而求得 ． 【详解】连接, 作轴于, 轴于,则， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点, ∴关于原点对称， ， ， 设, ， ， ∴， ，即 ， 解得，（舍去） ， 故答案为:． 三、解答题 15．在平面坐标系中摆放如图，顶点A在x轴上，，轴，双曲线经过C点及的中点D，，求k的值．    【答案】 【分析】，，则点坐标，点坐标，，根据，得出得出①，先求得的坐标，根据点在双曲线上，得出，则②，结合①②，即可求得的值． 【详解】解：设，，则点坐标，点坐标，， ， ， ， 得， 点坐标，， 点在抛物线上，点坐标，， 则， 则， 解， 得．    【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点，    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点B作轴，交y轴于点P，过点P作交x轴于点Q，连接，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数中可得到系数的值，再把点B代入即可求得点B的坐标，进而将两点坐标代入一次函数求解即可； （2）四边形的面积可看做是一个四边形和一个直角三角形的面积和，经证明可得四边形为平行四边形，进而根据面积公式求得． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点， ， ∴反比例函数表达式为，， ， 将、两点的坐标代入， 得，解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：令一次函数的图象与轴交于点，    轴，， ∴四边形为平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答的关键是结合图形分析问题与条件之间的关系． 17．如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数与方程及不等式的关系是解题的关键． （1）将代可求得m的值，从而可得点B坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）设直线交x轴于点C，由求解即可； （3）根据点A、B的横坐标及图象即可确定x的取值范围． 【详解】（1）解：将代入可得：，解得， ∴， 将代入得：，解得， ∴点B坐标为， 将，代入得：，解得： ∴． （2）解：设直线交x轴于点C， 将代入得，解得：， ∴点C坐标为，即， ∴． （3）解：∵、， ∴由函数图像可得对应自变量取值范围为：， ∴当时，x的取值范围． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是4时，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2) 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由即可求解。 【详解】（1）把，代入中，得 ，． 又，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的解析式为． （2）由（1）可知，设点的坐标为，则． ， ． 解得， ． 19．如图，直线与双曲线相交于点，两点，点纵坐标为． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)点在轴上，连接，当的面积为时，求的值； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)双曲线的解析式为，直线解析式为； (2)或； (3)． 【分析】本题是考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，函数与不等式的关系，运用数形结合的思想是解题的关键． ()将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； ()求得直线于轴的交点坐标，然后根据，求得的坐标，进一步求得的值； ()数形结合求出的范围即可； 【详解】（1）将代入双曲线得， ， ∴， ∴双曲线的解析式为， 将代入得， ， ∴， ∴， 将代入得， ， 解得， ∴直线解析式为； （2）如图， 由可知， ， ∴， ∴， ∴的值为或； （3）由可得， 根据函数图象可知，关于的不等式的解集为：． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求k值及面积． (2)根据图象直接写出时，x的取值范围． (3)若反比例函数与一次函数的图象总有交点，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数、反比例函数的图象和性质，把函数关系式联立可求出两个函数图象交点坐标，同时数形结合直观得出不等式的解集． （1）把点坐标代入一次函数关系式可求出的值，确定点的坐标，再代入反比例函数关系式可求出的值，作适当辅助线，根据即可求解； （2）一次函数与反比例函数联立，可求出交点的坐标，再根据图象可得出当时，的取值范围． （3）若反比例函数与一次函数的图象总有交点，就是有实数根，根据根的判别式求出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， 代入反比例函数得， ； 连接， 一次函数，当，， 当，， 联立， 解得：或， ， ； （2）解：反比例函数，由题意得， ，解得，，， 点，点 当，即一次函数的图象位于反比例函数图象上方时， 自变量的取值范围为：或； （3）解：若反比例函数与一次函数的图象总有交点， 即，方程有实数根，也就是有实数根， ， 解得， 的取值范围为：． 21．如图，函数的图象与函数，的图象交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为，C点坐标为． (1)求函数的表达式和B点的坐标； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式． （1）把，代入可求出和b；把代入求出，然后把两个解析式联立起来解方程组即可求出B点坐标； （2）观察函数图象，当时，根据一次函数的图象在反比例函数图象的上方可得答案． 【详解】（1）解：∵点，在函数的图象上， ∴，解得：， ∴函数的表达式为． ∵点在函数的图象上， ， ∴函数的表达式为． 由，解得：或， ∵点， ∴点B的坐标为； （2）由图象可知：当时 则． 22．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式，再将代入解析式，即可得的值； （3）由题可知，饮水机的水温呈周期性变化，利用周期进行计算． 【详解】（1）解：当时，设． 将点，代入上式， 得，解得． （2）解：当时，设， 将点代入上式， 得，解得， ， 将点代入， 得，解得． （3）解：由题可知，开机分钟与开机分钟时饮水机的水温相等， 当时，． 小丽散步分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求反比例函数解析式，根据自变量求函数值，解决本题的关键是熟练掌握待定系数法的应用． 23．国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》中规定的酒驾检测判定标准为：饮酒驾驶：驾驶员血液中酒精含量； 醉酒驾驶：驾驶员血液中酒精含量． 根据相关实验数据显示，一般情况下，成人喝低度白酒后，小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）成正比例；小时后（包括小时）与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)写出一般情况下，成人喝低度白酒后，与之间的函数关系式及相应的自变量取值范围； (2)假设某驾驶员晚上在家喝完低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)； (2)第二天早上不能驾车去上班，理由见解析． 【分析】()利用待定系数法即可求出求出反比例函数及一次函数的解析式； ()根据题意得出时的值，即可判断； 本题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用函数解决实际问题． 【详解】（1）解：由题意可得：当时， 设函数关系式为， 则， 解得， ∴； 当时，设函数关系式为， 则， ∴ ； 综上所述，与之间的两个函数关系式为：； （2）解：第二天早上不能驾车去上班． 理由：∵晚上到第二天早上有个小时， ∴时，， ∴第二天最早上不能驾车去上班． 学科网（北京）股份有限公司 $$