小升初典型奥数：周期问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

周期问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年8月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 定义：重复不断、周而复始的循环的现象，叫做周期现象，我们把这种规律性的问题叫做周期问题。 如：在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现．如：人的12生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期有七天等等．像这些问题，我们都称为“简单周期问题”． 1、解决周期规律问题主要确定循环周期。仔细观察出现的现象，认真分析循环规律，总结出经过几次又开始重新开始，得出一个周期是几。（一个循环中经过的次数就是一个周期数）。 2、周期性问题解决方法： 这一类问题一般要利用余数的知识来解答，这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果． 3、关于周期问题公式： 总数÷周期数＝组数，即整除时，结果为周期的最后一个； 总数÷周期数＝组数……余数，即有余数时，余几就在下个周期中数几。 第二部分 典型例题 例题1：在一条长100米的甬路两侧，从头到尾每隔2米栽一棵树，按2棵杨树，1棵柳树的规律栽，杨树，柳树各占植树总棵树的几分之几？ 【答案】解：100÷2+1=51（棵） 51÷3=17（个周期） 柳树：17×1×2=34（棵） 杨树：17×2×2=68（棵） 34+68=102（棵） 34÷102= 68÷102= 答：柳树占植树总数的，杨树占植树总数的． 【详解】周期性问题 先考虑在公路一侧栽树的情况，两端都要栽，栽树的棵数=间隔数+1；再把3棵树看作一个周期，求出一侧植树的总棵数包含几个周期，进而分别求得两种树的棵数，再乘2求得两侧栽的棵数，最后分别用柳树、杨树的棵数除以植树总数即可． 例题2：30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色……的次序串成一圈。一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上。这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上。 【答案】7次 【分析】这些珠子按8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色的次序串成一圈，那么每10粒珠子一个周期，由于是串成一圈，所以相当于是按照8粒红色、2粒黑色的顺序无限排列。 【详解】把30颗珠子编号为1~30，其中6颗黑珠子序号是9，10，19，20，29，30； 由于是转圈跳动，那么黑珠子的序号可以认为是9、10、19、20、29、30分别假设30n； 蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，也就是从10号起跳； 依次到达的是17号、24号、31号、38号、45号、52号、59号、66号…… 这里面，符合要求； 此时这只蚱蜢跳了7次； 答：这只蚱蜢至少要跳7次才能再次落在黑珠子上。 【点睛】本题考查的是周期问题，可以把环形情况下的周期问题转化成直线型的周期问题求解。 例题3：如图，七个小矮人住在A、B、C、D、E、F、G这7座房子中，白雪公主第一天在A房子中做客，从第二天开始按照BCDEFGFEDCBABC……的顺序每天在一个小矮人的房子中做客。请问，第150天白雪公主在哪个房子中做客？ 【答案】F 【分析】通过题目可以看出一个周期有多少个数组成，然后150天，判断里面有多少个周期，再看余几，就能知道第150天住在哪个房间。 【详解】从A到G再到B是一个周期，周期为12， 150÷12＝12（组）……6（个）。 答：第150天白雪公主在F房做客。 【点睛】本题主要考查隐藏的周期问题，先找周期。 例题4：紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，，在9后面写2，，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问：这串数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？ 【答案】6   11995 【分析】根据题意，写出这列数的前面部分数字：19892868842868842……除了开始的“1989”四个数字外，其余按“286884”周期出现，周期数为6个． 【详解】因为，所以，第l999个数字是6． 这1999个数字的和是： 第三部分 高频真题 1．有同样大小的红、白黑珠共180个，按5个红的、4个白的、3个黑的排列着，问：第158个珠是什么颜色的？黑珠共有多少个？ 2．已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个月的5号是星期几？ 3．在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第50颗，那么其中白珠有多少颗？ 4．我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这 12 种动物按顺序轮流代表各年的年号，已知2004年是猴年，2104年是什么年？ 5．实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一枚指针，而且都是每分钟跳一次，第一只钟一圈有12个格，格线上依次标着0﹣11，指针一次跳过2个格（例如从4跳到6）；第二只钟一圈有7个格，格线上依次标着0至6，指针一次跳过3个格．开始时两个指针都指向0，如果把这看作两个指针第1次指向同一个标数，那么当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指着哪个数字？ 6．同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法，大家排成一排1～2报数，报2的同学再1～2报数，这样依次进行下去，最后报2的这名同学先玩，如果这列一共有12人，最先玩的同学是这一列中的第几个？ 7．8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？ 8．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯。所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换。一辆汽车通过第一个红绿灯后，以怎样的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？ 9．在学而思学校内一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，这条路有多长？后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，一共补种了多少棵？ 10．如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？ 11．一些数字按一定规律排列如下：3，5，1，9，7，3，5，1，9，7，3，5，1，9，7，…，那么其中第1至300个数加起来是多少？ 12．小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来． ⑴最后1枚是几分硬币？ ⑵这200枚硬币一共价值多少钱？ 13．小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期几？ 14．奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？ 15．流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3个绿、在2个黑、再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？ 16．节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共2013盏．从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏蓝灯，2盏绿灯不断地排下去．问： (1)第1982盏灯的颜色是什么？ (2)蓝灯共有多少盏？ 17．某个早晨,容器中有200个细菌,白天有光照,容器中的细菌将减少65个,夜间无光照,容器中的细菌将增加40个.则在第几个白天,容器中的细菌全部死亡？ 18．正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米．甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去（如下图），甲的速度是乙的2倍，甲在拐了两个弯之后的第5棵树与乙相遇（把角上的树看作第一棵树）．操场四周栽了多少棵树？ 19．甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色．首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，间隔5厘米不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度是多少？ 20．在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），那么第50组是什么？ 新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运…… 奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会…… 21．下表中每列上一个汉字和下一个字母组成一组，例如，第一组是（我 A），第二组是（们 B）……问：第 82 组是什么？ 我 们 爱 数 学 我 们 爱 数 学 …… A B C D A B C D A B …… 22．长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红色点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有多少根？ 23．有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？ 24．小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列． ⑴第73颗是什么颜色的？     ⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？ ⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？ 25．六（1）班有46名同学参加购买“希望“明信片献爱心活动。他们身上带的钱都是整元数，从10元到55元且各不相等。每个同学把身上带的钱全部用于购买明信片。明信片只有5元/张和3元/张两种，每人都尽量多买5元/张的明信片，他们一共购买了多少张5元/张的明信片？ 26．1999名学生从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与9的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和．现在让第一个同学报l，那么最后一个同学报的数是多少? 27．有同样大小的白、黑、红三种珠子共84粒，按8粒白珠、5粒红珠、7粒黑珠的规律排列。请问最后一粒珠子是什么颜色？为什么？ 28．课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数．甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多1．问“34”是谁报的？“71”是谁报的？ 29．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？ 参考答案： 1．红色   45个 【详解】5+4+3＝12（个） 158÷12＝13……2 180÷12＝15 15×3=45（个） 答：第158个珠是红色的；黑珠共有45个。 2．星期五 【分析】这道题表面看无从下手．实际上本题暗藏着一个重要条件：在一个月内，无论是星期几，它的天数只能是4或5，根据这个知识点，就可知道本月星期一，二都是5天，星期三，日都是4天． 【详解】用列表法可以得到答案． 所以这个月的5号是星期五． 3．12个 【详解】…5． （个）． 4．鼠年 【详解】（2104-2004）÷12=8……4 所以2104年是鼠年。 答：2104年是鼠年。 5．6. 【详解】试题分析：第一只钟的数字是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11一周，每分钟跳过2个格，从0开始，跳过的格依次是2、4、6、8、10、0、2、4、6、8、10、0…规律是6分钟一个循环； 第二只钟的数字是0、1、2、3、4、5、6一周，每分钟跳过3个格，从0开始，跳过的格依次是3、6、2、5、1、4、0、3、6…规律是7分钟一个循环，6和7的最小公倍数42分钟两个钟循环一次是42分钟，一个循环有4次指向同一个数字，分别是0、6、4、2，如下所画出的表格所示，找到指向同一个标数时的规律，即可得解． 解：如图， 根据以上分析，42分钟一个循环，有4次指向相同的数字，分别是0、6、4、2； 30÷4=7…2 那么当两个指针第30次指向同一个标数时，是第8个循环的第二个，即它们的指针指着数字6； 答：它们的指针指着6． 点评：认真分析，找出规律“42分钟一个循环，有4次指向相同的数字，分别是0、6、4、2”是解决此题的关键． 6．第8个 【详解】第一次1～2报数，报2的是第2，4，6，8，10，12这几个同学，这些同学再1～2报数，报2的是第4，8，12这三名同学，最后这三名同学再1～2报数，就只剩下第8个同学是报2，所以最先玩的这个同学是这列中的第8个． 7．8号 【详解】将8名队员看作一组，每组报8个数，72个数可以分成几组：组，没有余数，球正好在一组的最后一位队员手中，因此球应该在8号队员手上． 8．15米/秒 【分析】因为红绿灯变换的时间周期是60秒，所以要想让汽车在所有的红绿灯口都遇到绿灯，那么汽车通过第一个路口后，到下一个路口所花的时间必须是60秒。换句话说，只要60秒走900米，汽车就可以一路绿灯。根据路程＝速度×时间公式，速度＝路程÷时间计算即可。 【详解】900÷60＝15（米/秒） 答：汽车以每秒15米的速度行驶可以一路绿灯。 【点睛】本题考查学生利用除法计算来分析问题和解决问题的能力。 9．100米   6棵 【详解】在小路的一侧种树,每隔5米种一棵,共种了21棵,可知在这21棵树中有20个间隔,每个间隔长是5米,所以小路原来的长度：5×（21－1）＝100（米）， 加长后一侧应种的树的棵数： （100＋30）÷5＋1＝27（棵），应补的棵数：27－21＝6（棵）． 10．15号 【详解】这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792÷16=49…8，所以他走到9号位置.又这个人逆时针共退回485+485=970个位置，由于970÷16＝60…10，因此这个人到了第15(=9+16-10)号椅子. 11．1500 【分析】这一列数是按照3，5，1，9，7这样重复循环排列的，周期是5，按照周期问题求解，先确定周期数，再用每个周期的数之和乘周期数，加上多出来的数即可。 【详解】 答：第1至300个数加起来是1500。 【点睛】本题考查的是周期问题，求解周期问题，最关键的是确定周期是多少。 12．（1）1分   （2）398分 【分析】⑴每个周期有枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，根据余数来判断． ⑵每个周期中6枚硬币共价值（分），用这个数乘周期次数再加上余下的，就可以得到一共价值多少了． 【详解】⑴……2，所以最后一枚是1分硬币． ⑵每个周期中6枚硬币共价值（分），用这个数乘周期次数再加上余下的，就可以得到一共价值多少了（分）． 所以，这200枚硬币一共价值398分． 13．星期四 【详解】21天内，每人取奶7次，方方第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期．…2，所以方方第100次取奶是星期四． 14．欢 【详解】这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5个字为一个周期．因为…3，所以28个字里含有5个周期还多3个字，即第28个字就是所列一个周期中的第3个字，所以第28个字是“欢”字． 15．黄色 【详解】小木球的涂色顺序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次，给小木球涂色的一个周期是，因此只要用2003除以15， …8根据余数是8就可以判断：第2003个小木球出现在上面所列一个周期中第8个，所以第2003个小球是涂黄色． 16．（1）红色  （2）669盏 【详解】略 17．第7天 【分析】该题属于周期中的减少问题，即不完全按照周期回归. 【详解】一昼夜细菌减少65－40=25个 第6天的时候剩余细菌：200-25×6=50，则第7天就可. 18．24棵 【分析】封闭型植树问题,时间一定，路程比等于速度比 【详解】甲走了两个边长加上4个间距，乙走了两个边长减去4个间距，所以甲比乙多走了8个间距，而甲的速度是乙的2倍，所以走的路程也是乙的两倍，所以乙走了8个间距，所以一圈一共有8+8×2=24个间距，所以操场一圈一共有24个间距．操场四周一共栽了24棵树． 19．75厘米 【详解】在前30厘米内未被涂黑的是：1，3，5，在31-60厘米内的是：4，2，因此60厘米一个周期：（1+3+5+4+2）×300/60=75厘米 . 20．北奥 【详解】要知道第50组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么．第一行“新北京新奥运”是6个字一个周期，…2，第50个字就是北．再看第二行“奥林匹克运动会”是7个字一个周期，…1，第50个字就是奥．把第一行和第二行合在一起，第50组就是“北奥”． 21．（们、B） 【详解】解法一：第一行是按照“我、们、爱、数、学”五个字为一周期，第二行按照A、B、C、D四个字母为一周期。 82÷5=16……2，所以第一行是“们”； 82÷4=20……2，所以第二行是“B”； 综上，第82组是（们、B）。 解法二：因为82÷20=4……2， 循环中的第二个字母是B，对应的汉字是们，所以第82组是表中的（们、B）， 答：第82组是（们、B）。 22．根 【分析】根据题意，画出涂色示意图如下；由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点。而每隔30厘米可得到2个4厘米的短木棍。最后（100－30×3）厘米也可以得一个短木棍，故4厘米的短木棍共有：（根）。 【详解】画出涂色示意图如下： 可知，每（5×6）厘米里可以锯2个4厘米的短木棍； 100÷30＝3（个）……10（厘米） 剩下的10厘米还可以锯出1个4厘米长的短木棍。 2×3＋1＝7（根） 答：长度是4厘米的短木棍有7根。 【点睛】由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点，这是解题的关键。画涂色示意图发现，这是一个周期为5与6最小公倍数的周期问题。 23．黄色  绿花最多  红花最少  67朵 【分析】这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有（朵）花．因为……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花．按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249朵花中，自然也是绿花最多，红花最少． 【详解】解法一：……6 红花有：（朵） 绿花有：（朵） 红花比绿花少：（朵） 解法二：……6 一个周期少的：（朵） （朵） 余下的6朵中还有5朵红花，所以（朵）. 24．（1）蓝色   （2）第47颗   （3）14颗 【分析】⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5颗． ⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有(颗)珠子．第10颗黄珠子是第l0组的第2颗，所以它是从头数的第47颗． ⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子．第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有完整的两组(第9、10组)，共l0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗． 【详解】⑴(组)……3(颗)，第73颗是第15组的第3颗，所以是蓝色的．   ⑵ (颗) ⑶ (颗) 25．245张 【分析】把10元到55元列在表格里，并把每个钱数能买的明信片数量整理出来，如下图，发现3元/张的明信片的张数出现了如0、2、4、1、3这样的重复。出现这样的循环9次，余下的55元购买3元/张明信片0张。据此解答。 钱数/元 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 … 5元/张 2 1 0 2 1 3 2 1 3 2 4 … 3元/张 0 2 4 1 3 0 2 4 1 3 0 … 【详解】根据分析，3元/张的明信片的张数出现了如0、2、4、1、3这样的重复。 46÷5＝9……1，说明0、2、4、1、3共重复出现9次，余下的55元购买3元/张明信片0张。 3元/张的明信片共计： （0＋2＋4＋1＋3）×9 ＝10×9 ＝90（张） 5元/张的明信片共计： （10＋11＋12＋……＋54＋55－3×90）÷5 ＝[（10＋55）＋（11＋54）＋（12＋53）＋……＋（31＋34）＋（32＋33）－270] ÷5 ＝（65×23－270）÷5 ＝（1495－270）÷5 ＝1225÷5 ＝245（张） 答：他们一共购买了245张5元/张的明信片。 【点睛】本题考查实际问题中的周期问题。通过对46个钱数用表格形式进行分析计算，得到周期为5，从而求出购买明信片的张数。 26．17 【详解】我们先写出几项，有1，10，6，17，13，9，18，14，10，6，17，… 不难看出从第2个数开始，每7个数存在10，6，17，13，9，18，14这样的循环． 而(1999－1)÷7＝285……3，所以最后一个同学报的是第285组数的第3个数，即17． 27．白色 ；理由见详解 【分析】按8粒白珠、5粒红珠、7粒黑珠的规律排列，一组有（8＋5＋7）粒珠子，用84除以每组珠子数，算出按这样的规律排列了几组，余数是几，第84颗珠子颜色就是这一组中的第几粒珠子颜色。 【详解】8＋5＋7 ＝13＋7 ＝20（粒） 84÷20＝4（组）……4（粒） 答：第84粒珠子是白色的。 【点睛】此题考查的是简单的周期问题知识。关键看几个一组，共分几组，再看余数。 28．“34”是乙报的，“71”是丙报的 【详解】根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了34次．因为是4个人在报数，所以报4次就要重复一遍，也就是说是以4为一个周期重复的．34里面有8个周期还余2次，所以“34”应是重复8遍以后第二个人报的，即乙报的．…3，所以“71”应是第三个人报的，即丙报的． 29．甲5乙13． 【详解】试题分析：本题中两人的糖数和为18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可． 解： 周期为6，2005÷6=334…1，说明2005次操作和一次操作的作用效果是相同的， 那么有两种情况：甲14乙4或甲5乙13，结合题中条件甲比乙少，可知甲5乙13． 点评：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$