精品解析：重庆市渝中区巴蜀中学校2022-2023学年八年级下学期5月月考数学模拟试题

重庆巴蜀中学2022-2023学年八年级下学期数学周考定时训练（5月模拟卷） 一、选择题 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直角坐标系中，的顶点A在x轴上，，，，现将绕原点O按顺时针方向旋转，得到，且点C在x轴上，则点D的坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 若二次函数图象经过，，，四点，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若式子有意义，则一次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 如图是小贝散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：）的函数图象．下列说法错误的是( ) A. 小贝在散步过程中停留了 B. 小贝在第时间段匀速步行 C. 小贝匀速步行的速度是 D. 小贝在散步过程中步行的平均速度是 7. 如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线（）经过点，且对称轴为直线．有四个结论：①；②；③；④若，则时函数值小于时的函数值，其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程4﹣有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A. 16 B. 10 C. 8 D. 3 10. 已知两个多项式，， ①若时，则有或4； ②若a为整数，且为整数，则或5； ③当时，若，则； ④若当式子中a取值为与时，对应的值相等，则m的最大值为． 以上结论正确的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题 11. 抛物线y＝+4x+2与x轴的交点个数是_____． 12. 已知：点与点关于原点O成中心对称，则______． 13. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是_____． 14. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则满足不等式：的x的取值范围是__________． 15. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为_________ 16. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在AB上，连接B′C，若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为____． 17. 某商场购进一批单价为20元的日用商品.如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是_____元时，才能在半月内获得最大利润. 18. 一次函数图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，点C的坐标为________，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是__________． 19. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=60°．若BM=2，CN=4，则MN的长为_____． 20. 若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为______． 三、解答题 21. 计算： （1）； （2）． 22. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，珈跏的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹） ∵四边形是平行四边形， ∴①______ ∴， ∵平分， ∴， ∴②______ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴③______， ∵，， ∴垂直平分， ∴④______， ， ∴四边形是菱形． 23. 某电动车品牌新推出的甲、乙两款车型颇受民众喜爱，于是某店从甲车型和乙车型车主中各随机抽取20名车主对其所使用车型的各项性能进行评分（满分30分，成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 甲车型20名车主评分为：11，15，16，19，19，20，21，21，23，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30； 乙车型车主评分在C组中的数据是：20，23，24，24，22，24． 甲车型和乙车型得分统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲车型 25 c 乙车型 b 28 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为哪款车型的性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该店所有顾客中甲车型和乙车型的车主共有24000人，估计这些车主中对所使用的车型非常满意的人数是多少？ 24. 如图，在四边形中，对角线、相交于点．点是对角线的中点，连接、．已知，，，． （1）求证：； （2）若，求长． 25. 如图，数轴上有A，B两点，对应的数分别为和4，动点P，Q分别从A，B同时出发都向右运动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度/秒，设P、Q的运动时间为x秒，若用，分别表示和的长度，请回答下列问题： （1）请直接写出，与x的关系为： ， ． （2）在直角坐标系中画出，的函数图象，根据所画图象，写出一条关于函数的性质 ． （3）观察图象，直接写出不等式的解集为 ． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴分别交于点A，点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求线段的长度； （2）点P是第四象限内抛物线上的一动点，连接，点M是线段的中点，连接、、求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的抛物线图象恰好与x轴交于点A，D两点（点A在点D左侧），点E为直线上一点，过点E作x轴的平行线交原抛物线对称轴于点F，G为平面内任意一点，当以C，E，F，G为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 27. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ． （1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系． （2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆巴蜀中学2022-2023学年八年级下学期数学周考定时训练（5月模拟卷） 一、选择题 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 3. 如图，直角坐标系中，的顶点A在x轴上，，，，现将绕原点O按顺时针方向旋转，得到，且点C在x轴上，则点D的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的长，然后利用旋转的特点，得出、的长，从而得出点D的坐标． 【详解】解：∵是直角三角形，，，， ∴， ∵是旋转得到， ∴，， ∴． 故选A 【点睛】本题考查旋转的特点，注意旋转前后的对应线段相等是解本题的关键． 4. 若二次函数的图象经过，，，四点，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次函数的图象经过，求出对称轴，再根据函数图象判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过，， 二次函数对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， ， ，，的大小关系为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，能够找出对称轴是解题的关键． 5. 若式子有意义，则一次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性及零指数幂的定义求出，由此得到答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， ∴，， ∴一次函数图象过一，二，四象限， 故选：C． 【点睛】此题考查一次函数图象与性质，正确掌握二次根式的非负性及零指数幂的定义是解题的关键． 6. 如图是小贝散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：）的函数图象．下列说法错误的是( ) A. 小贝在散步过程中停留了 B. 小贝在第时间段匀速步行 C. 小贝匀速步行的速度是 D. 小贝在散步过程中步行的平均速度是 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象提供的信息逐项求解即可． 【详解】由图象可知： 小贝在散步过程中停留了，故A选项正确，不符合题意； 小贝在第时间段匀速步行，故B选项正确，不符合题意； 小贝匀速步行的速度为，故C选项错误，符合题意； 小贝在散步过程中步行的平均速度为，故D选项正确，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了函数的图象，正确的识别图象、数形结合是解题的关键． 7. 如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先可求得直线的解析式，利用勾股定理求出，求出直线的解析式，求出点的坐标，可得结论． 【详解】解：设直线的解析式为 把，分别代入解析式，得 解得 ∴直线解析式为， ，， ， ，， ， ， ， ∴直线的解析式为， 令，则， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，求一次函数的解析式，勾股定理，理解题意，灵活运用平移的性质是解决本题的关键． 8. 如图，抛物线（）经过点，且对称轴为直线．有四个结论：①；②；③；④若，则时的函数值小于时的函数值，其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线与x轴的交点有两个对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（−1，0），代入解析式则可对③进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴ac＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2−4ac＞0，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， 而点（3，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（−1，0）， ∴a−b＋c＝0，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴横坐标是1−m的点的对称点的横坐标为1＋m， ∵若m＞n＞0， ∴1＋m＞1＋n， ∴x＝1−m时的函数值小于x＝1＋n时的函数值，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 9. 若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程4﹣有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A. 16 B. 10 C. 8 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组至少有4个整数解，确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有整数解确定出满足题意整数a的值，求出之和即可． 【详解】解：解不等式组得：， ∴﹣2≤x＜a﹣1， ∵不等式组至少有4个整数解， ∴a﹣1＞1， 解得：a＞2， 分式方程去分母得：4（y﹣1）﹣ay＝﹣6， 解得：y＝， ∵分式方程有整数解，且， ∴a﹣4＝±1或a﹣4＝-2， 解得：a＝5或a＝3或a＝2（舍去）， 则符合条件的所有整数a的和为5+3＝8． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解分式方程及利用不等式组的解求待定字母的取值，解题的关键是熟练掌握不等式组的解法及检验分式方程的解． 10. 已知两个多项式，， ①若时，则有或4； ②若a为整数，且为整数，则或5； ③当时，若，则； ④若当式子中a取值为与时，对应的值相等，则m的最大值为． 以上结论正确的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式、分式的运算法则进行化简，并运用函数思想对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴或4， ∴①的结论正确； ② ∵为整数， ∴为整数，即为整数， ，，，． ∴②的结论错误； ③，即， 化简得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴③的结论错误； ④， ∵中a取值为与时，对应的值相等， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴，则当时，m有最大值． ∴④的结论正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了整式、分式的运算法则，及二次函数图像性质，综合运用以上知识是解题的关键． 二、填空题 11. 抛物线y＝+4x+2与x轴的交点个数是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：∵Δ=-4×3×2=-8＜0， ∴抛物线与x轴没有交点． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题关键是把求二次函数y=+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程的根的判别式的应用进行解决． 12. 已知：点与点关于原点O成中心对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据关于原点对称点的特点求得的值，然后代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称 即 故答案为：2023 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的特点，即横、纵坐标均互为相反数． 13. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是_____． 【答案】65° 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得BC=B′C，然后判断出△BCB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CBB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′A′C，然后根据旋转的性质可得∠A=∠B′A′C． 【详解】∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C， ∴BC=B′C， ∴△BCB′是等腰直角三角形， ∴∠CBB′=45°， ∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°， 由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°， 故答案为65°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 14. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则满足不等式：的x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图象，直线都在直线的上方，则满足，从而可得不等式的解集． 【详解】解：当时，直线都在直线的上方，即． 满足的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是利用直线的交点坐标确定不等式的解集，掌握数形结合的方法是解题的关键． 15. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 16. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在AB上，连接B′C，若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB′＝90°，根据勾股定理计算． 【详解】∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3， ∴AB＝3，∠CAB＝45°， ∵△ABC和△A′B′C′全等， ∴∠C′AB′＝∠CAB＝45°，AB′＝AB＝3， ∴∠CAB′＝90°， ∴B′C＝＝3， 故答案为3． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，解题关键在于利用勾股定理计算 17. 某商场购进一批单价为20元的日用商品.如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是_____元时，才能在半月内获得最大利润. 【答案】35. 【解析】 【详解】试题分析：设销售单价为x元，销售利润为y元．根据题意得：y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x） =-20x2+1400x-20000，当x=时，可获得利润最大. 考点：二次函数的应用. 18. 一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，点C的坐标为________，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，根据中点坐标公式求出、点的坐标，再求出直线的解析式，再求出与轴的交点的坐标即可． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴垂直平分 ∴， ∴最小， ∵，，点，分别是，的中点， ∴，，， ∴，即的长为定值， ∴当最小即点与点重合时，周长最小， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 当点与点重合时即，周长最小． 故答案为：；． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定一次函数的解析式，最短路线问题，中位线定理和中点坐标公式．掌握最短路线问题中点的确定及求出直线的解析式是解题关键． 19. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=60°．若BM=2，CN=4，则MN的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】利用旋转作△APC，连接PC，根据旋转得：△ABM≌△ACP，PC=BM=2，证明△MAN≌△PAN，则MN=PN，作高线PD，利用勾股定理计算PD和PN的长，可得结论． 【详解】∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴△ABM绕点A逆时针旋转120°至△APC，连接PN， ∴△ABM≌△APC， ∴∠B=∠ACP=30°，PC=BM=2，∠BAM=∠CAP， ∴∠NCP=60°， ∴∠CPD=30°. ∵∠MAN=60°， ∴∠BAM+∠NAC=∠NAC+∠CAP=60°=∠MAN， ∵AM=AP，AN=AN， ∴△MAN≌△PAN， ∴MN=PN， 过点P作BC的垂线，垂足为D， ∴CD=PC=1，DN=CN﹣CD=4﹣1=3， ∴PD=， ∴PN===2， ∴MN=PN=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识.解此题的关键是根据旋转作辅助线，注意：全等三角形的对应边相等，难度适中． 20. 若一个四位数千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义和已知条件分别设，，再根据定义进行计算，由为整数，以及的最大值，得出符合条件的取值为或，进而解题． 【详解】解：∵数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3， 故数p的十位数是，数q的十位数是， 设数p，q的百位数分别m、n，则数p的千位数是，数q的千位数是，而且，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴， ∴ ∵整数， ∴为的约数，而要使的最大值则有 ∴或， 当时，即，， 此时，当，时，的最大值为， 当时，即，， 此时，当，时，的最大值为， 综上所述：当，时，的最大值为， 故答案为： 【点睛】本题考查新定义运算，数整除、分式的化简，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是通过为整数推出为的约数． 三、解答题 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）先根据单项式与多项式的乘法法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可； （2）把括号内通分，并把除法转化为乘法，再利用完全平方公式、平方差公式整理，然后约分化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： = ． 22. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，珈跏的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹） ∵四边形是平行四边形， ∴①______ ∴， ∵平分， ∴， ∴②______ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴③______， ∵，， ∴垂直平分， ∴④______， ， ∴四边形是菱形． 【答案】作图见解析；①；②；③；④ 【解析】 【分析】根据题目要求作图即可；证明，得出，证明，得出，证明垂直平分，得出，即可得出，说明四边形是菱形． 【详解】证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴①， ∴， ∵平分， ∴， ∴②， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴③， ∵，， ∴垂直平分， ∴④， ， ∴四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④． 【点睛】本题主要考查了尺规作垂线，菱形的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定． 23. 某电动车品牌新推出的甲、乙两款车型颇受民众喜爱，于是某店从甲车型和乙车型车主中各随机抽取20名车主对其所使用车型的各项性能进行评分（满分30分，成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 甲车型20名车主评分为：11，15，16，19，19，20，21，21，23，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30； 乙车型车主评分在C组中的数据是：20，23，24，24，22，24． 甲车型和乙车型得分统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲车型 25 c 乙车型 b 28 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为哪款车型的性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该店所有顾客中甲车型和乙车型的车主共有24000人，估计这些车主中对所使用的车型非常满意的人数是多少？ 【答案】（1）40；24；28 （2）甲车型的性能更好，理由见解析 （3）估计这些车主中对所使用的车型非常满意的人数是11400人 【解析】 【分析】（1）先求出乙车型C组所占百分比，然后求出a的值即可；先求出乙车型A、B组数据的个数，然后根据中位线的定义得出b的值即可；根据众数的定义求出c的值即可； （2）根据平均数、中位数、众数和方差进行解答即可； （3）用样本所占百分比估计总体即可． 【小问1详解】 解：∵乙车型C组所占百分比为， ∴， ∵A、B组数据的个数为， ∴排在第10和第11位的两个数都是24， ∴中位数为，即， 根据甲车型的评分可知众数为； 故答案为：40；24；28． 【小问2详解】 解：甲车型的性能更好，理由如下： 甲车型和乙车型的平均数相等，但甲车型的方差比乙车型的小，所以甲车型的性能更好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这些车主中对所使用的车型非常满意的人数是11400人． 【点睛】本题考查平均数，中位数，方差的意义，解题的关键是熟练掌握平均数是表示一组数据的平均程度，中位数是将（或从大到小）重新排列一组数据从小到大（或最中间两个数的平均后，最中间的那个数数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 24. 如图，在四边形中，对角线、相交于点．点是对角线的中点，连接、．已知，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由点是对角线的中点，，得到，又，是公共边，即可证明全等． （2）延长交于，证出垂直平分，又，得到，又，证出四边形是平行四边形，得到，利用勾股定理求出，从而得到的长． 【小问1详解】 证明：∵点是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，延长交于E， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识，适当添加辅助线，把所学知识融会贯通是解题的关键． 25. 如图，数轴上有A，B两点，对应的数分别为和4，动点P，Q分别从A，B同时出发都向右运动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度/秒，设P、Q的运动时间为x秒，若用，分别表示和的长度，请回答下列问题： （1）请直接写出，与x的关系为： ， ． （2）在直角坐标系中画出，的函数图象，根据所画图象，写出一条关于函数的性质 ． （3）观察图象，直接写出不等式的解集为 ． 【答案】（1）； （2）见解析；当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大 （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据代入即可求出；分类讨论当点P在点O左侧时，根据求解；当点P在点O右侧或与点Q重合时，根据求解；当点P在点Q右侧时，根据求解即可； （2）分别选取函数图象上的两点即可作图，再根据函数的增减性写出的一条性质即可； （3）先求出，图象交点的横坐标，再根据图象求解即可． 【小问1详解】 设P、Q的运动时间为x秒， 由题意得， ∵数轴上有A，B两点，对应的数分别为和4， ∴， ∵， ∴， 当点P在点O左侧时，即时， ∵， ∴， 当点P在点O右侧或与点Q重合时，即时， ∵， ∴， 当点P在点Q右侧时，即时， ∵， ∴， 综上，； 故答案为：；； 【小问2详解】 当时，；当时，； 当时，；当时，；或当时，；当时，； 作图如下： 当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大； 故答案为：当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大； 【小问3详解】 令，即，或 解得或， 由图象得当或时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，函数关系式，画一次函数图象，一次函数图象的交点，利用一次函数图象解一元一次不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴分别交于点A，点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求线段的长度； （2）点P是第四象限内抛物线上的一动点，连接，点M是线段的中点，连接、、求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的抛物线图象恰好与x轴交于点A，D两点（点A在点D左侧），点E为直线上一点，过点E作x轴的平行线交原抛物线对称轴于点F，G为平面内任意一点，当以C，E，F，G为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 【答案】（1） （2）的最大值是，此时P点坐标 （3）、、、 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的解析式令，即可求解； （2）过P点作轴交于点Q，，将面积转化为，即可求解； （3）设原抛物线上的点向左平移个单位后的对应点为，过作轴，可求出原抛物线上向左平移个单位，向上平移了个单位，从而求出平移后的抛物线为：，并求出直线的解析式为，设，根据菱形的性质找出满足条件的位置即可求解． 【小问1详解】 解：当时， ， 解得：，， . 故线段的长度. 【小问2详解】 解：由（1）得：，， 设直线的函数表达式为，则有 ， 解得：， 直线的函数表达式为； 如图，过P点作轴交于点Q， 设点， ， ， ， ， 是的中点， ， 当时， 故的最大值是，此时P点坐标. 【小问3详解】 解：如图，设原抛物线上的点向左平移个单位后的对应点为，过作轴， ，， ， 由（1）（2）得： ，， ， ， 原抛物线上向左平移个单位，向上平移了个单位， 平移后的抛物线为：， 在平移后的抛物线上， ， 整理得：， 解得：，， ， 平移后的抛物线为：， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为； ①如图， 当在轴上方时， ， 此时不存在G点，使以C，E，F，G为顶点的四边形是菱形； ②当在轴上下方时， 如图，此时C，E，F，G为顶点的四边形是菱形， 设，则有，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 点横坐标为：； 如图，同理可求： 点的横坐标为：， 点的横坐标为：， 点的横坐标为：． 综上所述：以C，E，F，G为顶点的四边形是菱形时，点横坐标为：、、、． 【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，动点产生的面积最值问题，二次函数图象平移中动点存在性问题，掌握二次函数的基本性质，根据菱形的性质找出动点的位置是解题的关键． 27. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ． （1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系． （2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长． 【答案】（1）BQ=CP； （2）成立：PC=BQ，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）结论：BQ=CP．如图1中，作PH∥AB交CO于H，可得△PCH是等边三角形，只要证明△POH≌△QPB即可； （2）成立：PC=BQ．作PH∥AB交CO的延长线于H．证明方法类似（1）； （3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．设CE=CO=a，则FC=FP=2a，EF=a，在Rt△PCE中，表示出PC，根据PC+CB=4，可得方程，求出a即可解决问题； 【小问1详解】 结论：BQ=CP． 理由：如图1中，作PH∥AB交CO于H． 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点， ∴CO=AO=BO，∠CBO=60°， ∴△CBO是等边三角形， ∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°， ∴∠CHP=∠CPH=60°， ∴△CPH是等边三角形， ∴PC=PH=CH，∴OH=PB， ∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP， ∵∠OPQ=∠OCP=60°， ∴∠POH=∠QPB， ∵PO=PQ， ∴△POH≌△QPB， ∴PH=QB， ∴PC=BQ． 【小问2详解】 成立：PC=BQ．理由：作PH∥AB交CO的延长线于H． 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点， ∴CO=AO=BO，∠CBO=60°， ∴△CBO是等边三角形， ∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°， ∴∠CHP=∠CPH=60°， ∴△CPH是等边三角形， ∴PC=PH=CH， ∴OH=PB， ∵∠POH=60°+∠CPO，∠QPO=60°+∠CPQ， ∴∠POH=∠QPB， ∵PO=PQ， ∴△POH≌△QPB， ∴PH=QB， ∴PC=BQ． 【小问3详解】 如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF． ∵∠OPC=15°，∠OCB=∠OCP+∠POC， ∴∠POC=45°， ∴CE=EO， 设CE=CO=a，则FC=FP=2a，EF=a， 在Rt△PCE中，PC= = =， ∵PC+CB=4， ∴， 解得a=， ∴PC=， 由（2）可知BQ=PC， ∴BQ=． 【点睛】此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$