精品解析：湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题

机密★启用前 湖南·2025届高三入学考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的坐标表示，列出不等式，即可得答案. 【详解】由，，可得， 解得， 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，，根据交集定义求. 【详解】∵， ∴. 解，得， ∴. ∴. 故选：D. 3. 已知母线长为10的圆台的侧面积为，且其上底面的半径与下底面的半径满足，则（ ） A 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台侧面积公式计算即可． 【详解】因为该圆台的侧面积为，母线长， 所以，解得，则， 故选：C． 4. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，求出，求出，求出. 【详解】由，有， ，， . 故选：B． 5. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合两角差的正弦公式求解即可. 【详解】由正弦定理得， 即，或． 若，结合，有，故舍去． ．，， 故选：D． 6. 记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】过点作的垂线，垂足为，则， 则，如图所示. 所以的最小值为. 故选：B． 7. 记A，B随机事件，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全概率公式及并事件的概率公式求解． 【详解】记，由全概率公式有， 代入数据有，解得， ， 故选：D． 8. 已知（，）的部分图象如图所示，点是与坐标轴的交点，若是直角三角形，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数性质得三点坐标，再由，结合有，建立方程即可求出，最后将代入函数解析式即可得解. 【详解】由正弦函数性质有，，， 由直角三角形，可得， 结合有， ， ， 解得或（舍去）， ， ， . 故选：C. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷､李豪战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为，则（ ） A. 该组数据的极差为25 B. 该组数据的分位数为19 C. 该组数据的平均数为17 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用极差、百分位数、平均数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A项，极差等于，故A正确； 对于B项，，故分位数为20，故B错误； 对于C项，平均数等于，故C正确； 对于D项，去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知首项为1的数列满足，记的前项和为，则（ ） A. 可能为等差数列 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知分类讨论得出通项及性质判断A,B,C,分类讨论求和即可判断D. 【详解】由题意可得或. 注意到若存在使得，则， 对于C项，只能满足，得， 当时也符合，此时，故数列为等差数列，故A正确； ，故C正确； 若，则，故，故B错误； 此时，奇偶分类讨论有，则，故D正确， 故选:ACD. 11. 已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记边上的高为h，则（ ） A. B. 函数是减函数 C. 点B可能在以为直径的圆上 D. h的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用偶函数的性质求解参数判断A，利用导数判断B，利用圆的性质判断C，利用不等式的取等条件判断D即可. 【详解】对于A选项，由是偶函数得到， 则，解得，故A正确； 对于B选项，， 故，且恒成立， 故得为减函数，故B正确； 对于C选项，由B知，即， 由对称性，可设，则． 若点B在以为直径的圆上，则有， 带入即， 即． 若，则，不满足题意； 若，，而， ， 故B不可能在以为直径的圆上，故C错误； 对于D选项，过点B作x轴的垂线交于点D，则（当且仅当时取等）， 而，记， 则， 当且仅当的时候取等，即时取等，所以两个不等号能同时取等， 故h的最大值为，故D正确． 故答案选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是找到不等式的取等条件，然后得到参数值，得到所要求的最值即可． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由求得，进而利用二倍角公式可得的值. 【详解】因为，所以， 所以。 故答案为：. 13. 写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：__________. ①不是常函数 ②的最小正周期为2 ③不存在对称中心 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】根据函数所具有的性质，结合正弦函数的性质，即可确定答案. 【详解】根据题中函数需满足的条件，可取函数为正弦型函数， 即可取，其图象为： 结合图象可知满足题意， 故答案为：（不唯一） 14. 已知双曲线（，）的左，右焦点为，，过的直线交C的右支于点（点A在点B上方），，过点作直线，交C于点E（点E在第二象限），若直线与直线的交点在直线上，则C的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件分别求出边长，利用余弦定理表示同角的三角函数，建立齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图记直线与直线的交点为P，且连接，则， 由对称性有过坐标原点O且． 由有，， 又，，， ，，，即，， 在中，， 在中，，解得， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是利用给定条件求出各个三角形的边长，然后利用余弦定理表示同一个角，得到所要求的离心率即可． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆过点和. （1）求的离心率； （2）若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆过点和，求得，进而求得，即可得到的离心率； （2）联立和的方程，得到关于的一元二次方程，由，可求得，即可得到的一般式方程. 【小问1详解】 因为椭圆过点和， 所以，解得， 由，得， 所以的离心率. 【小问2详解】 由（1）可得的方程为，， 联立，得， 由，得， 直线的一般式方程为：. 16. 中国能源生产量和消费量持续攀升，目前已经成为全球第一大能源生产国和消费国，能源安全是关乎国家经济社会发展的全局性､战略性问题，为了助力新形势下中国能源高质量发展和能源安全水平提升，发展和开发新能源是当务之急.近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 新能源汽车购买数量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 （1）计算与的相关系数（保留三位小数）； （2）求关于的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量. 参考公式. 参考数值：. 【答案】（1） （2）线性回归方程是，该地区年新能源汽车购买数量约为万辆. 【解析】 【分析】（1）利用所提供数据求，，，，代入参考公式求即可； （2）结合公式求，，由此可得回归方程，再利用回归方程进行预测. 【小问1详解】 ， ， ， 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以关于的线性回归方程是， 当时，（万辆）， 该地区年新能源汽车购买数量约为万辆. 17. 如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，． （1）证明：； （2）若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）侧面是边长为2的正方形得到和的关系，、和的长度，根据侧面是平行四边形得到和，在中，由余弦定理得，判断的形状，证明平面，证明； （2）取的中点，记为D，连接，．证明，，平面，求出二面角的平面角，证明平面，记二面角为，表示出与的关系，找到和的关系，求出，求出，证明，求出. 【小问1详解】 侧面是边长为2的正方形， ，，， 侧面是平行四边形， ， 在中，由余弦定理有， 解得，是直角三角形， ，，，平面， 平面，又平面， ； 【小问2详解】 取的中点，记为D，连接，， ，， ，， ，，平面， 平面，为二面角的平面角． 又平面，， 平面，记二面角为， 则，， ，． 平面，， ，，， 的值为． 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，，讨论和的大小关系． 【答案】（1）极小值为，没有极大值 （2） 答案见详解 （3）答案见详解 【解析】 【分析】（1）对求导，令求得，的零点把定义域划分为和判断各个区间的单调性，从而判断是极大值点还是极小值点，再求出对应的极值即可； （2）对求导，并对的导函数进行整理，整理成因式乘积的形式，然后根据不同的对的导函数正负的影响进行讨论，从而得到的单调性； （3）由（2）可以得到，，结合，得到取不同范围时的范围，再结合函数的单调性，从而判断和的大小关系． 【小问1详解】 ，时，时， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取到极小值，没有极大值． 【小问2详解】 情形一 若，可得恒成立，且， 时，，故在单调递减； 时，，故在单调递增； 情形二 若，，则， 在单调递增； 情形三 若，令，解得或， 又由（1）知当时，可得， 时，，故在单调递减； 和时，，故在和单调递增． 综上所述，若，时，单调递减，时，单调递增； 若，，在单调递增； 若，时，单调递减，和时，单调递增． 【小问3详解】 由（2）知，只能是，， 由，则，解得且， 又当时，，，由在上单调递减可知； 当时，，，由在上单调递增可知． 综上所述，时，；时，． 19. 对于一个非零整数和质数，我们称中含的幂次为定义为最大的非负整数，使得存在非零整数，有，例如等．定义一个非零有理数的，如，且规定．现在对于任意一个有理数，我们定义其“示数”为，其中，规定．记两个有理数的“示数距离”为． （1）直接写出的值； （2）证明：对于一个正整数，存在一列非整数的正有理数使； （3）给定质数，若一个无穷集合中任意一数列，对于任意，则我们称集合是“紧致的”，是否存在质数，使得整数集是“紧致的”？若存在，求出所有；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）不存在质数，使得整数集是“紧致的”，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义分别计算即可； （2）取，，则为非整数的正有理数，结合定义及指数函数单调性即可证明； （3）取，，则，故，结合定义及指数函数单调性即可说明理由． 【小问1详解】 由已知得，，， 所以； ，，； 由，， 所以． 【小问2详解】 取，，则为非整数的正有理数， 有， 因为函数在上单调递减，且， 所以成立． 【小问3详解】 不存在，理由如下： 取，， 则，故， 则，其中， 故， 因为为质数，所以在单调递减，且时，， 所以， 所以不存在质数，使得整数集是“紧致的”． 【点睛】关键点睛：第（2）问中，解题关键是取，，则；第（3）问中，解题关键是取，，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★启用前 湖南·2025届高三入学考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知母线长为10的圆台的侧面积为，且其上底面的半径与下底面的半径满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 4. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 记A，B为随机事件，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知（，）的部分图象如图所示，点是与坐标轴的交点，若是直角三角形，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷､李豪战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为，则（ ） A. 该组数据的极差为25 B. 该组数据分位数为19 C. 该组数据的平均数为17 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 10. 已知首项为1的数列满足，记的前项和为，则（ ） A. 可能为等差数列 B. C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记边上的高为h，则（ ） A. B. 函数是减函数 C. 点B可能在以为直径的圆上 D. h的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：__________. ①不是常函数 ②的最小正周期为2 ③不存在对称中心 14. 已知双曲线（，）的左，右焦点为，，过的直线交C的右支于点（点A在点B上方），，过点作直线，交C于点E（点E在第二象限），若直线与直线的交点在直线上，则C的离心率为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆过点和. （1）求的离心率； （2）若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程. 16. 中国能源生产量和消费量持续攀升，目前已经成为全球第一大能源生产国和消费国，能源安全是关乎国家经济社会发展的全局性､战略性问题，为了助力新形势下中国能源高质量发展和能源安全水平提升，发展和开发新能源是当务之急.近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 新能源汽车购买数量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 （1）计算与相关系数（保留三位小数）； （2）求关于的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量. 参考公式. 参考数值：. 17. 如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，． （1）证明：； （2）若二面角余弦值为，求的值． 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论单调性； （3）若存在两个极值点，，讨论和的大小关系． 19. 对于一个非零整数和质数，我们称中含幂次为定义为最大的非负整数，使得存在非零整数，有，例如等．定义一个非零有理数的，如，且规定．现在对于任意一个有理数，我们定义其“示数”为，其中，规定．记两个有理数的“示数距离”为． （1）直接写出的值； （2）证明：对于一个正整数，存在一列非整数的正有理数使； （3）给定质数，若一个无穷集合中任意一数列，对于任意，则我们称集合是“紧致的”，是否存在质数，使得整数集是“紧致的”？若存在，求出所有；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$