2024年秋季八年级数学开学提升训练卷（北师大版，测试范围：七年级下册-八年级上册第二章）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

2024年秋季学期开学素养提升训练 八年级数学学科试卷 【北师大版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：七年级下册-八年级上册第二章 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运动标记中是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．在下列调查中，适宜采用全面调查的是（     ） A．了解某校七年（5）班学生校服的尺码情况 B．了解全国所有中学生的视力情况 C．调查《中国好声音》 栏目的收视率 D．调查一批灯管的使用寿命 3．平面直角坐标系中，点所在象限是（　 　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．9的平方根是(　　) A．± B．3 C．±81 D．±3 6．以下条件中，不能判断图中的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（　　） A．32° B．58° C．68° D．60° 8．下列运算正确的是（　　） A．（2m3）3＝2m6 B．3a2·2a2＝6a4 C．3a＋2a＝5a2 D．a6÷a2＝a3 9．如图，一只兔子和一只小狗从同一地点出发．下面说法正确的是（　　） A．小狗的速度始终比兔子快 B．整个过程中，小狗和兔子的平均速度相同 C．在前3秒内，小狗比兔子跑得快 10．如图，已知与均为等腰直角三角形，点E在边上，连接，的延长线交于点F，且平分；则下列结论中：①，②；③，④平分，正确的个数有(   )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．在不透明的纸盒中装有3个红球和2个黄球(除颜色外其余均相同)，现从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率为 ． 12．计算： ． 13．小强解方程组时，求得方程组的解为，由于不慎，将一些墨水滴到了作业本上，刚好遮住了●处和◆处的数，那么◆处表示的数应该是 14．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为 ． 15．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序实数对（m，n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4，3）表示分数，则（9，2）表示的分数是 ． 16．如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为 ． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）（1）计算： （2） 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 19．（6分）已知：如图，． (1)求证：； (2)求的度数． 20．（8分）某学校体育兴趣小组，为了更好的开展活动，需要了解学校1000名学生对A，B，C，D四项体育活动的喜好情况，随机抽取了100名学生进行了“你最喜欢哪种运动”的调查（必选且只选一种），根据调查绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： (1)在抽取的100人中最喜欢运动项目A的人数为 ； (2)求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角度数； (3)补全条形统计图； (4)依据本次调查结果，估计全校1000人名学生中最喜欢B运动项目的人数． 21．（8分）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)若时，求的长． 22．（8分）某景区提供豪华型和舒适型两种型号的观光车租用，其中豪华型车每辆可乘坐5人，两种观光车的单人票价不同（均按人数收费），若40人租用豪华型车，30人租用舒适型车共需940元；若30人租用豪华型车，40人租用舒适型车共需880元． (1)求两种观光车的单人票价； (2)某公司组织员工去该景区游玩，景区现有16辆豪华型车和若干辆舒适型车供租用．为了提高游玩体验，公司和景区管理部门协调决定优先租用豪华型观光车，如果豪华型观光车租完，再租用舒适型观光车，景区管理部门并在观光车的租赁总费用中优惠200元．若景区管理部门希望该公司人均观光车的费用不低于12元，求该公司租用观光车的员工人数范围． 23．（10分）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上． ①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由； ②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由． (2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由． 24．（10分）数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为a、b的正方形纸片A、B，以及长为b、宽为a的长方形纸片C，观察图形并解答下列问题： (1)小玲想用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要A纸片 张，B纸片 张，C纸片 张（空格处填写数字） (2)①观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：_______________. ②根据①中的关系，若x满足，则的值为 ． (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是8，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积． 25．（10分）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图若于垂直轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足， 请直接写出的值； 求点的坐标； (2)如图，直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请直接写出与的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季学期开学素养提升训练 八年级数学学科试卷 【北师大版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：七年级下册-八年级上册第二章 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运动标记中是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项B的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2．在下列调查中，适宜采用全面调查的是（     ） A．了解某校七年（5）班学生校服的尺码情况 B．了解全国所有中学生的视力情况 C．调查《中国好声音》 栏目的收视率 D．调查一批灯管的使用寿命 【答案】A 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】A．了解某校七年（5）班学生校服的尺码情况，适合全面调查； B．了解全国所有中学生的视力情况，适合抽样调查； C．调查《中国好声音》 栏目的收视率，适合抽样调查； D．调查一批灯管的使用寿命，适合抽样调查； 故选：A． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3．平面直角坐标系中，点所在象限是（　 　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据横坐标为正，纵坐标为负，即可判断点在第四象限，即可求解． 【详解】解：∵点横坐标为正，纵坐标为负， ∴点所在象限是第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限点的坐标特征，解题的关键 掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标特点：①第一象限的点：横坐标，纵坐标；②第二象限的点：横坐标，纵坐标；③第三象限的点：横坐标，纵坐标；④第四象限的点：横坐标，纵坐标． 4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判定三边是否构成直角三角形的方法即可求解． 【详解】解：、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，能构成直角三角形，符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形三边的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．9的平方根是(　　) A．± B．3 C．±81 D．±3 【答案】D 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 【详解】∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3， 故选D． 【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 6．以下条件中，不能判断图中的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵∠1=∠2，∴AD∥BC，符合题意； B、∵∠2=∠4，∴AB∥CD，不符合题意； C、∵∠1=∠A，∴AB∥CD，不符合题意； D、∵∠2+∠3=180°，∴AB∥CD，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 7．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（　　） A．32° B．58° C．68° D．60° 【答案】B 【详解】根据题意可知∠1+∠2=90°， 所以∠2=90°-∠1=58°． 故选B 8．下列运算正确的是（　　） A．（2m3）3＝2m6 B．3a2·2a2＝6a4 C．3a＋2a＝5a2 D．a6÷a2＝a3 【答案】B 【分析】根据积的乘方与幂的乘方以及单项式乘以单项式，合并同类项，同底数幂的除法运算逐项分析判断． 【详解】解：A. （2m3）3＝8m9，故该选项不正确，不符合题意， B. 3a2·2a2＝6a4，故该选项正确，符合题意， C. 3a＋2a＝5a，故该选项不正确，不符合题意， D. a6÷a2＝a4，故该选项不正确，不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方以及单项式乘以单项式，合并同类项，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键． 9．如图，一只兔子和一只小狗从同一地点出发．下面说法正确的是（　　） A．小狗的速度始终比兔子快 B．整个过程中，小狗和兔子的平均速度相同 C．在前3秒内，小狗比兔子跑得快 【答案】B 【分析】由图可知：在前3秒内，小狗比兔子跑得慢，即可判定A、C，根据小狗与兔子同时出发，同时到达，即可判定B． 【详解】解：由图可知：在前3秒内，小狗比兔子跑得慢，故A、C错误； 由图可知：小狗与兔子同时出发，8分钟时都跑了8米， 故整个过程中，小狗和兔子的平均速度相同，故B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用图象解决问题，从图象中获取相关信息是解决本题的关键． 10．如图，已知与均为等腰直角三角形，点E在边上，连接，的延长线交于点F，且平分；则下列结论中：①，②；③，④平分，正确的个数有(   )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据证明与全等，进而证明，，再利用全等三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵与均为等腰直角三角形， ∴，， 在与中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分，故④正确； 故选：D 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等解答． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．在不透明的纸盒中装有3个红球和2个黄球(除颜色外其余均相同)，现从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率为 ． 【答案】 【分析】用红球个数除以球的总个数得到概率． 【详解】一次摸到红球的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握计算概率的方法． 12．计算： ． 【答案】4y6 【分析】利用幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答． 【详解】解：（2y3）2=4y6， 故答案为：4y6． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 13．小强解方程组时，求得方程组的解为，由于不慎，将一些墨水滴到了作业本上，刚好遮住了●处和◆处的数，那么◆处表示的数应该是 【答案】 【分析】把代入，解出的值即可． 【详解】解：方程组的解为， 把代入， 解得： ◆处表示的数应该是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意将值代入方程求出的值是解答本题的关键． 14．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2022 【分析】本题考查二元一次方程组的解，将原方程组中的两个方程相加可得，即，再将代入计算即可． 【详解】解：， 得，， 即， 又∵， ∴， 解得． 故答案为：2022． 15．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序实数对（m，n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4，3）表示分数，则（9，2）表示的分数是 ． 【答案】 【分析】观察题图可知以下规律：是第几行就有几个分数；每行每个分数的分子都是1；每行第一个分数的分母为行号，第n（n为大于2的整数）行的第二个分数的分母为n（n－1）；每行首尾对称． 【详解】解：由题意可得，（9，2）表示第9行，从左到右第2个数，即． 故答案为：． 16．如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为 ． 【答案】6 【分析】 设点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，连接、、、、，当点、在上时，的周长最小． 【详解】 解：分别作点关于、的对称点、，连接，连接、、、、． 点关于的对称点为，关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 是等边三角形， ． 的周长的最小值． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查轴对称——最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）（1）计算： （2） 【答案】（1）2（2）2 【分析】（1）根据有理数的乘方的运算法则、零指数幂的意义、绝对值的性质和负整数指数幂的意义即可求解； （2）根据二次根式的运算法则求解． 【详解】解：（1） ； (2) = =3－1 =2． 【点睛】本题考查有理数的乘方、零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式等知识点，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19．（6分）已知：如图，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行线的判定与性质即可证得结论； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明： ； （2）解：由（1）得， 又                    又                   ． 20．（8分）某学校体育兴趣小组，为了更好的开展活动，需要了解学校1000名学生对A，B，C，D四项体育活动的喜好情况，随机抽取了100名学生进行了“你最喜欢哪种运动”的调查（必选且只选一种），根据调查绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： (1)在抽取的100人中最喜欢运动项目A的人数为 ； (2)求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角度数； (3)补全条形统计图； (4)依据本次调查结果，估计全校1000人名学生中最喜欢B运动项目的人数． 【答案】(1)25 (2)108° (3)见解析 (4)350人 【分析】（1）根据A的百分比乘以总人数，进行计算即可； （2）求出喜欢体育运动项目C的学生所占的百分比即可； （3）根据体育项目A、体育项目C的频数补全直方图即可； （4）用1000乘以总体中喜欢体育项目B的占比进行计算即可． 【详解】（1）（1）100×25%=25（人）， 故答案为：25； （2）360°×=108°， 答：扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角度数为108°； （3）喜欢体育项目A的人数为100×25%=25，喜欢体育项目C的人数为100-25-35-10=30（人）， 补全统计图如下： （4）1000×＝350（人）， 答：估计全校1000名学生中最喜欢B运动项目的人数约为350人． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21．（8分）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)若时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明，即可根据证明； （2）勾股定理求得根据已知条件证明是等腰三角形可得，进而根据即可求解． 【详解】（1）证明： 是等腰直角三角形， ， ， ， 在与中 ； ， （2）在中，，， , , , , , ∴∠ADC=∠ACD， , ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 22．（8分）某景区提供豪华型和舒适型两种型号的观光车租用，其中豪华型车每辆可乘坐5人，两种观光车的单人票价不同（均按人数收费），若40人租用豪华型车，30人租用舒适型车共需940元；若30人租用豪华型车，40人租用舒适型车共需880元． (1)求两种观光车的单人票价； (2)某公司组织员工去该景区游玩，景区现有16辆豪华型车和若干辆舒适型车供租用．为了提高游玩体验，公司和景区管理部门协调决定优先租用豪华型观光车，如果豪华型观光车租完，再租用舒适型观光车，景区管理部门并在观光车的租赁总费用中优惠200元．若景区管理部门希望该公司人均观光车的费用不低于12元，求该公司租用观光车的员工人数范围． 【答案】(1)豪华型观光车每人票价的单人票价为16元，舒适型观光车的单人票价为10元 (2)该公司租用观光车的员工人数m的范围为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设豪华型观光车每人票价的单人票价为x元，舒适型观光车的单人票价为y元，根据“40人租用豪华型车，30人租用舒适型车共需940元；30人租用豪华型车，40人租用舒适型车共需880元”，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司租用观光车的员工人数为m人，分及两种情况考虑，当时，根据该公司人均观光车的费用不低于12元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，当时，根据该公司人均观光车的费用不低于12元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，综上，即可得出该公司租用观光车的员工人数范围． 【详解】（1）解：设豪华型观光车每人票价的单人票价为x元，舒适型观光车的单人票价为y元，根据题意可得： ， 解得：． 答：豪华型观光车每人票价的单人票价为16元，舒适型观光车的单人票价为10元； （2）解：设该公司租用观光车的员工人数为m人， 根据题意得：当，即时，， 解得：， ∴； 当，即时，， 解得：， ∴． 综上所述，该公司租用观光车的员工人数m的范围为． 23．（10分）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上． ①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由； ②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由． (2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，（1）①由，，可得，从而可证，故． ②若，则可使得．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，便可得证． （2）题干已知条件可证，故，，从而可证明． 【详解】（1）解：① 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ②解：，理由如下： ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴，即． 24．（10分）数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为a、b的正方形纸片A、B，以及长为b、宽为a的长方形纸片C，观察图形并解答下列问题： (1)小玲想用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要A纸片 张，B纸片 张，C纸片 张（空格处填写数字） (2)①观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：_______________. ②根据①中的关系，若x满足，则的值为 ． (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是8，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)3，1，4 (2)①；②7 (3)12 【分析】(1)由可知需A纸片3张，B纸片4张，C纸片1张. (2) ①根据面积法即可求出，，之间的等量关系. ②可设，，则可得，.由即可求出的值. (3)由图可知，且.设，，则，.由可求出的值，再根据即可求出阴影部分的面积. 【详解】（1）解：由图知A纸片面积为，B纸片面积为，C纸片面积为， ∵ ∴需要A纸片3张，B纸片4张，C纸片1张 ； 故答案为：3，4，1 （2）解：①根据面积法可得 故答案为： ②设，，则， ∵， ∴ ， 故答案为：7 （3）解：由图知 ∵长方形的面积是8， ， 设 则， 由，得 ， 即，     ∴阴影部分的面积为12 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，及完全平方公式的变形使用，熟练掌握完全平方公式及能够用换元法解题是解题的关键. 25．（10分）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图若于垂直轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足， 请直接写出的值； 求点的坐标； (2)如图，直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) ，；； (2)． 【分析】()先判断出，从而得出，求出 ，即可； ()利用三角形全等得出 ，同()的方法判断出 ，得出即可． 【详解】（1） ∵，，， ∴，， ∴，； 由可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）结论： . 理由：如图中，延长交于点， ∵轴平分，轴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是考查了同角的余角相等，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是判断出． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$