小升初典型奥数：逆推还原问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

逆推还原问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年8月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 1．逆推问题内容： 逆推问题还可称为还原问题，解答这类问题时，要根据题意的叙述顺序，由后向前逆推计算． 2．解题方法： （1）要根据题意的顺序，从最后一组数量关系逆推至第一组数量关系，这就是逆推法中去处顺序的逆推含义． （2）原题相加，逆推用减；原题相减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；原题相除，逆推用乘，这就是逆推法中计算方法的逆运算含义． 【解题方法点拨】 解题思路： ①从结果出发，逐步向前一步一步推理． ②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算． ③列式时注意运算顺序，正确使用括号． 第二部分 典型例题 例题1：少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数。把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子？ 【答案】250个 【分析】根据题意，减去25，还剩25，那么没减去25之前是：25＋25＝50；把这个数除以5等于50，在没除以5之前是：50×5＝250；解决问题。 【详解】（25＋25）×5 ＝50×5＝250 答：共采集了250个树种子 【点睛】从最后结果出发，运用加减、乘除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，进而得出初始结果，解决问题。 例题2：A、B、C三个桶内都有水，如果把A桶内的水倒入B桶，再把B桶内的水倒入C桶，最后再把C桶内的水倒入A桶，这时各桶内的水都是12升，求每个桶内原有水多少升？ 【答案】A：15升   B：11升   C：10升 【分析】该题直接计算比较困难，可以采用逆向思维，利用倒推法来解题，最后桶的水都是12升，往回推，假设C不倒给A，可以算出这时C和A桶内水的体积，然后再假设B不倒给C，可以算出这时B和C内水的体积，再假设A不倒给B，可以算出这时A和B水的体积． 【详解】解:C不倒给A，这时C有水：12÷（1-）=14（升），A有水：12-14×=10（升） B不倒给C，这时B有水：12÷（1-）=16（升），C有水：14-16×=10（升） A不倒给B，这时A有水：10÷（1-）=15（升），B有水：16-15×=11（升） 【点睛】“倒推法“可以使解题过程简化，有时与列表法结合更加一目了然．利用倒推法时，注意分数的单位“1”是原来的水，所以这里应该用分数除法而不是分数乘法，对应的分率也应该是（1-）而不是（1+）． 例题3：果园里有一棵桃树．有一天，三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半．这时树上刚好还有四个桃子，原来树上一共有几个桃子？ 【答案】24. 【详解】试题分析：从最后剩下的4个桃子入手进行逆推，“最后第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半．这时树上刚好还有四个桃子”，这时第三只猴子没吃之前有桃子4×2+3=11个桃子，这些11个桃子是“三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半”后剩下的，所以原来的桃子数是11×2+3=24个．据此解答． 解：（4×2+3）×2+2 =（8+3）×2+2 =11×2+2 =22+2=24（个） 答：原来树上一共有24个桃子． 点评：本题属于逆推问题，解答的关键是从最后的结果进行逆推，先求出最后第三只猴子没吃前的桃子数，进而求出总桃子数． 例题4：某水果店有一批苹果，第一天卖出，第二天卖出第一天剩下的，第三天补进第二天剩下的，这时还存有698千克，问原来有苹果多少千克？ 【答案】698千克 【详解】698÷[1--（1-）×+（1-）×（1-）×] =698÷（1--+） =698÷1=698（千克） 答：原来有苹果698千克． 第三部分 高频真题 1．3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃子多少只？ 2．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？ 3．篮子里有一些苹果，妈妈拿他的一半又一个给了爷爷，再拿剩余的一半又二个给了爸爸，又取最后所余的一半又三个给了女儿，篮子里的苹果正好拿完．问篮子里原来有苹果多少个？ 4．两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1，那么求得的和的后两位数字是72．问另一个加数原来是多少? 5．甲、乙、丙3人的钱数各不相同．甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加两倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加两倍，结果3人的钱数一样多．如果他们3人共有81元，那么3人原来的钱数分别是多少元? 6．办公室有一桶水，第一天喝掉一半多1升，第二天喝掉剩下的一半多2升，第三天喝掉剩下的一半多3升，最后桶里还剩下2升水。问：原来桶里有多少升水？ 7．爸爸去银行取款．第一次取了存款的一半还多20元，第二次取了余下的一半还多30元，这时银行里还剩250元，爸爸原来有存款多少元？ 8．第一次在一盒珠子中，取走总数的又4个，第二次取出余下的又3个，第三次取出余下的又2个，第四次取出余下的又1个，这时盒里还剩1个？问盒内原有珠子多少个﹖ 9．一个人沿着公园马路走了全长的一半后，又走了剩下路程的一半，还剩下1千米，问：公园马路全长多少千米？ 10．甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？ 11．甲、乙、丙、丁四人共做了 270 个零件，如果甲多做 10 个，乙少做 10 个，丙做的个数乘 2，丁做的个数除以 2，那么四人做的个数恰好相等。求甲、乙、丙、丁实际做的个数。 12．A、B、C三个油桶各盛油若干千克。第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次到之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克。问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？ 13．3个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多。求3个笼子里原来各养了多少只兔子？ 14．甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书．问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？ 15．某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？ 16．桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个。这时桃园里还只有100个桃了。那么园中原有多少桃？ 17．有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？ 18．三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？ 19．山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？ 20．A有若干本书，B借走一半加一本；C借走剩下书的一半加两本；D借走再剩下书的一半加3本；最后A还有2本书．问A原有多少本书？ 21．牛老师带着37名同学到野外春游。休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦？”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数。”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗？ 22．文具柜上的某种笔盒每次卖出一半时，就从仓库中调来15个补充．到第八次卖出一半后，恰好余下15个．文具柜原有这种笔盒的个数是多少个？ 23．兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数．如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同．问：兄弟三人的年龄各多少岁？ 24．将一批苹果分给三年级三个班，一班分得总个数的一半少6个，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班。这批苹果共有多少个？ 25．有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆。现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆。照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个。问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？ 26．小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完，这本书有多少页？ 27．甲、乙、丙3人各有糖豆若干粒。甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加一倍；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加一倍；丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加一倍。现在3人的糖豆一样多。如果开始时甲有5l粒糖豆，那么最初乙有糖豆多少粒？ 28．老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159.如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数。请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？ 29．商店里进了一批香蕉，第一天卖出全部的，第二天卖出剩下部分的，这时还剩下48千克．这批香蕉共有多少千克？ 30．同学们玩扔沙袋游戏，甲乙两班共有140袋沙袋，如果甲班先给乙班5只，乙班又给甲班8只，这时两班沙袋相等，两班原来各有沙袋多少只？ 31．小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：小丽原有多少钱？ 32．第24届大冬会吉祥物专卖店购进一批吉祥物“冬冬”。开幕式当天上午卖出一半多30个，下午卖出剩下的一半少10个，还剩下200个。商店原来购进多少个？ 33．有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝．这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完．问：原来酒葫芦里有多少两酒？ 34．有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？ 35．美红商店出售洗衣机，上午出售总数的一半多20台，下午售出剩下的一半少20台，结果还剩105台，美红商店原有多少台洗衣机？ 36．某厂有三个车间，一车间人数占全厂人数的，二车间人数比一车间少，三车间人数比二车间人数多30%，三车间有156人，求这个厂全厂共有多少人？ 37．甲、乙、丙三人打牌。第一局，甲输给了乙和丙，使得乙、丙手中的点数都翻了一番。第二局，甲和乙赢了，从而甲、乙手中的点数翻了一番。最后一局，甲、丙获胜，两人手中的点数翻了一番。这样，甲、乙、丙三人每人都是二赢一输，并且每人手中的点数完全相等，可是甲发现自己输了100点。请问：开始时，甲手上有多少点？（每局三人的点数和保持不变） 38．三棵树上共有48只鸟．后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多．问：一开始三棵树上各有几只鸟？ 39．三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增加到原来的2倍与3倍，第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中，使它们的水分别增加到3倍与2倍，第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中，使它们的水都增加到2倍，这时三个容器中的水都为96毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？ 40．学学和思思见到一种神奇的虫子，它每小时就长一倍，1天能长到20厘米，聪明的小朋友，你知道小虫长到5厘米时需要多少小时吗？ 41．有一根电线，第一次用去了4m，又用去余下的一半；第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m．问这根电线原来有多少米？ 参考答案： 1．18只 【详解】6÷（1-）=8（只） 8÷（1-）=12（只） 12÷（1-）=18（只） 答：篮里原有桃子18只． 2．甲5乙13． 【详解】试题分析：本题中两人的糖数和为18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可． 解： 周期为6，2005÷6=334…1，说明2005次操作和一次操作的作用效果是相同的， 那么有两种情况：甲14乙4或甲5乙13，结合题中条件甲比乙少，可知甲5乙13． 点评：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题． 3．34个 【分析】最后的一半又3个给女儿，说明最后的一半就是3个，女儿得到6个苹果；由“再拿剩余的一半又二个给了爸爸”，则给爷爷后剩余：（3×2+2）×2=16（个）；那么总数为（16+1）×2=34（个）． 【详解】[（3×2+2）×2+1]×2 =[8×2+1]×2 =17×2 =34（个） 答：篮中原有苹果34个． 4．48 【详解】另外一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1后，其与73的和只能是172，不然和为272、372、472、…，则原来的另一个加数的位数超过2位． 所以，原来的另一个加数为172－73－5×10－1＝48． 5．55,19，7 【详解】我们逐步还原： 甲 乙 丙 丙分后 27 27 27 乙分后 27÷(2+1)＝9 9 81－9－9＝63 甲分后 9÷(2+1)＝3 81－3－21＝57 63÷(2+1)＝21 甲分前 81－19－7＝55 57÷(2+1)＝19 21÷(2+1)＝7 即甲、乙、丙三人原来的钱数分别55、19、7元． 6．50升 【分析】已知第三天喝掉剩下的一半多3升，最后桶里还剩下2升水，说明剩下的一半是（2＋3）升水，说明第三天原来一共有[（2＋3）×2]升水，也就是10升水；第二天喝掉剩下的一半多2升，剩下10升水，说明剩下的一半是（10＋2）升水，第二天原来一共有[（10＋2）×2]升水，也就是24升；第一天喝掉一半多1升，剩下24升水，说明一半是（24＋1）升水，第一天原来一共有[（24＋1）×2]升水，据此解答。 【详解】（2＋3）×2 ＝5×2 ＝10（升） （10＋2）×2 ＝12×2 ＝24（升） （24＋1）×2 ＝25×2 ＝50（升） 答：原来桶里有50升水。 【点睛】用倒推法求解还原问题是，每一步都要变成原来的逆运算，也可以画图帮助理解问题。 7．1160元 【分析】250加上30就是第一次取款后的一半，相加后再加上20元就是总数的一半，这样就能计算出总存款数. 【详解】250＋30=280（元）， 280＋280＋20=580（元）， 580＋580=1160（元） 答：爸爸原来有存款1160元. 8．解：第三次拿走后余下的是：（1+1）÷（1﹣）=4（个） 出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9（个） 第一次余下的是：（9+3）÷（1﹣）=16（个） 这盒珠子原来的个数是：（16+4）÷（1﹣）=25（个） 答：盒内原有珠子25个．   【详解】【分析】从最后剩下的1个珠子入手，向前推，如果加上1个，正好是第三次取出后余下的一半，据此求出第三次拿走后余下的是（1+1）÷（1﹣）=4个珠子，这个结果再加上2个正好是第二次取出后余下的，据此可得出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9个，这个结果再加上3个，就是第一次余下的1﹣=， 据此可得第一次余下的是（9+3）=16个，这个结果再加上4个，就是这盒珠子的1﹣=， 据此解决． 9．4千米 【分析】采取倒推的方法，1千米是第一次剩下的路程的一半，所以第一次剩下路程就是：1×2＝2（千米）。而第一次剩下的路程2千米又是全程长的一半，所以全程长为：2×2＝4（千米）。 【详解】如图： 1×2×2＝4（千米） 答：公园马路全长为4千米。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 10．35棵；21棵 【分析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树（28÷2）棵，即14棵；乙班有（28＋14）棵，即42棵；如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树（42÷2）棵，甲班原有树（14＋21）棵。 【详解】列表倒推如下： 甲班 乙班 35 21 14 42 28 28 （28＋28÷2）÷2 ＝（28＋14）÷2 ＝42÷2 ＝21（棵） 28÷2＋21 ＝14＋21 ＝35（棵） 答：甲班原有树棵；乙班原有树棵。 【点睛】解决此类题的关键是用倒推法，从后往前一步步推算，即可得出结果。 11．甲:50  乙:70  丙:30  丁:120 【详解】解：设恰好相等的数量为x， （x-10）+（x+10）+2x+x÷2＝270 解得x＝60 可得，甲:50，乙:70，丙:30，丁:120。 12．26千克；14千克；8千克 【分析】第三次后都为16千克，第三次前是C向A、B倒并使A、B增加到第三次前的2倍，所以A、B两桶第三次前是16千克的一半，是8千克，即A＝B＝8千克，所以第三次前C是（16×3－（16÷2＋16÷2）千克，即32千克；第二次是从B桶把油倒入C、A两桶，所以第二次倒前就是把C、A减半，再算出B；第一次把A桶油倒入B、C两桶，所以第一次倒前就是把B、C减半，再算出A。 【详解】根据题意，列表倒推如下： A B C 结果 16 16 16 第三次倒之前 8 8 32 第二次倒之前 4 28 16 第一次倒之前 26 14 8 （16×3－16÷2－16÷2）÷2÷2 ＝（48－8－8）÷2÷2 ＝32÷2÷2 ＝8（千克） [16÷2＋16÷2÷2＋（16×3－16÷2－16÷2）÷2]÷2 ＝[8＋4＋（48－8－8）÷2]÷2 ＝[8＋4＋16]÷2 ＝28÷2 ＝14（千克） 16÷2÷2＋14＋8 ＝4＋14＋8 ＝26（千克） 答：原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克。 【点睛】解决此类题的关键是用倒推法，从后往前一步步推算，即可得出结果。 13．20只；10只；6只 【分析】3个笼子里的兔子不管怎样取，36只的总数始终不变。变化后“3个笼子里的兔子一样多”，可以求出现在每个笼里的兔子是（36÷3）只。根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了（12＋8）只；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，所以第3个笼子里原有：（12－6）只，第2个笼子里原有：（12＋6－8）只。 【详解】12＋8＝20（只） 12－6＝6（只） 12＋6－8＝10（只） 答：第1个笼子里原来养了20只，第个笼子里原有10只，第3个笼子里原有6只。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 14．33,32,25 【详解】尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷3＝30（本）．根据题目条件，原来各组的图书为 甲组有30＋3＝33（本）， 乙组有30—3＋5＝32（本）， 丙组有30—5＝25（本）． 15．身上有44元；箱子里有84元 【分析】由题意，这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，即第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元，由此一步步向前逆推，则第二次回来前，他身上有64＋32＝96元，箱子里有64÷2＝32元；第二次过去前，他身上有96÷2＝48元，箱子里有32＋48＝80元；第一次回来前，他身上有48＋40＝88元，箱子里有80÷2＝40元；第一次过去前，他身上有88÷2＝44元，箱子里有40＋44＝84元；据此解答。 【详解】第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元； 第二次回来前，他身上有64＋32＝96（元），箱子里有64÷2＝32（元）； 第二次过去前，他身上有96÷2＝48（元），箱子里有32＋48＝80（元）； 第一次回来前，他身上有48＋40＝88（元），箱子里有80÷2＝40（元）； 第一次过去前，他身上有88÷2＝44（元），箱子里有40＋44＝84（元）； 答：原来这人身上有44元，箱子里有84元。 【点睛】本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解。 16．807个 【分析】根据题意，从最后只有100个向前倒推如下：第三群猴没吃，相应有桃：（100＋0.5）×2＝201（个）,第二群猴没吃，相应有桃：（201＋0.5）×2＝403（个）,第一群猴没吃，相应有桃（即桃园中原有桃）：（403＋0.5）×2＝807（个）。所以园中原有807的桃子。 【详解】（100＋0.5）×2＝201（个） （201＋0.5）×2＝403（个） （403＋0.5）×2＝807（个） 答：园中原有807个桃子。 【点睛】本题是从最后得到的结果出发，然后根据四则运算算式中各部分的关系，逐步向前推算，找出最开始的状态。 17．31个 【分析】第5次以后，财迷只剩下32个铜板，相当于第5次过桥前手里有16个； 第4次过桥后给了老人32个，所以第四层结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个； 第3次过桥后给了老人32个，所以第3次结束以后手中有56个，相当于第3次过桥前手中有28个； 第2次过桥后给了老人32个，所以第2次结束以后手中有60个，相当于第2次过桥前手中有30个； 第1次过桥后给了老人32个，所以第1次结束以后手中有62个，相当于第1次过桥前手中有31个． 【详解】第五次后有：32÷2=16（个） 第四次后有：（32+16）÷2=24（个） 第三次后有：（32+24）÷2=28（个） 第二次后有：（32+28）÷2=30（个） 第一次原有：（32+30）÷2=31（个） 答：财迷身上原有31个铜板． 18．260元； 160元；300元 【分析】用倒推法，求每个人原来各有存款多少元，可以从最后结果三个人各有240元开始，把给出的钱数加上，收到的钱数减去，就得到各人原有存款的钱数。 【详解】甲：240＋40－20＝260（元） 乙：240－40＋30－70＝160（元） 丙：240－30＋20＋70＝300（元） 答：甲、乙、丙三人原来分别有存款260元、160元、300元。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 19．16个 【分析】运用逆推法，先用最后的结果剩1个可知，1个等于第二天没吃前的一半少2个，即：（1＋2）×2＝6（个），就是第二天没偷吃前的个数，即第一天偷吃剩下的个数；那么（6＋2）个就是树上原来桃子个数的一半，由此解题即可。 【详解】[（1＋2）×2＋2]×2 ＝[3×2＋2]×2 ＝[6＋2]×2 ＝8×2 ＝16（个） 答：树上原来有16个桃子。 【点睛】本题是从最后得到的结果出发，然后根据四则运算算式中各部分的关系，逐步向前推算，找出最开始的状态。 20．50本 【详解】方法一： 解：设A原有x本书 B借走了；C借走了；D借走了；最后A剩下了，即，x=50 答：A原有50本书． 方法二：用倒退还原法解题． D借前，A还有书：（2+3）×2=10（本） C借前，A还有书：（10+2）×2=24（本） B借前，A有书：（24+1）×2=50（本），这就是A原来有的书的本数． 答：A原有50本书． 21．38岁 【分析】采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推。这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？没减去16时应是多少？没乘2时应是多少？这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数。没加上8时应是：38−8＝30；没除以2时应是：30×2＝60；没减去16时应是：60＋16＝76；没乘2时应是：76÷2＝38。 【详解】[（38−8）×2＋16]÷2 ＝[30×2＋16]÷2 ＝76÷2 ＝38（岁） 答：牛老师今年38岁。 【点睛】解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法。 22．30个 【分析】每次卖出一半余下15个，就补15个，这样不管多少次，始终余15个，所以原有笔盒的个数就是15×2． 【详解】15×2=30（个） 答：文具柜原有这种笔盒的个数是30个． 23．16，10，7 【详解】由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）桔子．由此列表逆推如下表： 老大 老二 老三 初始状态 14-（2÷2）＝13 8-（2÷2）＝7 2×2＝4 老三分过后 16-（4÷2）＝14 4×2＝8 4-（4÷2）＝2 老二分过后 8×2＝16 8-（8÷2）＝4 8-（8÷2）＝4 老大分过后 8 8 8 由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁． 24．180个 【分析】数学上有些问题，如果顺着题目条件的叙述去求解会感到很困难，但是如果改变思考的顺序，从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，问题就很容易解决。这种思考问题的方法叫做还原法，用还原法来解决的问题称为还原问题。 利用逆推还原法，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班，二班分得余下苹果数的一半是48个，那么余下的苹果就是96个。一班分得总个数的一半少6个是96个，则一班分得总个数的一半是90个，则这批苹果的总个数就是180个。 【详解】40＋8＝48（个） 48×2＝96（个） 96－6＝90（个） 90×2＝180（个） 答：这批苹果共有180个。 25．个；个 【分析】我们从最后一步倒着分析。因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有（个）棋子，而甲堆的棋子数是（个），这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向。所以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子。 【详解】32÷2＝16（个） 32＋16＝＝48（个） 48÷2＝24（个） 24＋16＝40（个） 40÷2＝20（个） 20＋24＝＝44（个） 根据题意列表法解答：（单位：个） 甲 乙 结果 32 32 第三次交换前 48 16 第二次交换前 24 40 第一次交换前 44 20 答：甲堆棋子原来各有44个，乙堆棋子原来各有20。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题一般是从最后一步结果出发向前倒推，也可以根据已知条件列表逐步分析，直到解决问题。 26．100页 【分析】（1）根据第二天看了余下的一半又10页，可知：第三天看的10页是第一天余下的一半少10页，所以第一天余下的页数的一半就是：10+10=20（页），所以第一天余下的页数是20×2=40（页）；（2）根据第一天看了这本书的一半又10页，说明这40页是这本书的一半少10页，所以这本书的一半就是40+10=50（页），所以这本书的页数是50×2=100（页）． 【详解】[（10+10×2+10）]×2 =[40+10]×2 =50×2 =100（页） 答：这本书有100页． 27．85粒 【分析】分析题意，先利用乘法求出丙从甲取之前甲的糖豆数量。丙从甲取一些糖豆，使自己的糖豆增加1倍，并且此时三人的糖豆一样多，那么可以用甲的糖豆数量除以3乘2求出此时每个人的糖豆数量。从而利用除法求出乙未从丙处取之前的糖豆数量，再加上51粒求出乙最初有的糖豆数量。 【详解】丙从甲取之前，甲有：51×2＝102（粒） 102÷（1＋1＋1）×（1＋1） ＝102÷3×2 ＝68（粒） 乙未从丙处取之前有68÷2＝34（粒） 开始时，乙有糖豆34＋51＝85（粒） 答：乙有糖豆85粒。 【点睛】本题考查了还原问题，有一定的逻辑推理能力是解题的关键。 28．1 【分析】由于最后黑板上三个数的和为159，又第三个数是前两个数的平均数，所以最后一个数为159÷3＝53，可以这么想，每相邻的三个数中，最后一个数的2倍减去中间一个数，就等于前面的数，如果52前面的数为52，可得从后向前的数依次为：63、53、54、50、58、42、74、10、138，由于开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，所以开始时老师在黑板上写的第一个数是2008﹣138﹣10＝1860. 下面说明没有其它答案：如果53前面的数为53﹣a，可依次算出从后向前的数依次为：53，53﹣a，53＋a，53﹣3a，63＋5a，53﹣11a，53＋21a，53﹣43a，53＋85a，要满足要求，只能是a＝1 【详解】最后一个数为159÷3＝53， 可以这么想，每相邻的三个数中，最后一个数的2倍减去中间一个数，就等于前面的数，如果52前面的数为52，可得从后向前的数依次为：63、53、54、50、58、42、74、10、138， 由于开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008， 所以开始时老师在黑板上写的第一个数是2008﹣138﹣10＝1860. 如果53前面的数为53﹣a，可依次算出从后向前的数依次为：53，53﹣a，53＋a，53﹣3a，63＋5a，53﹣11a，53＋21a，53﹣43a，53＋85a，要满足要求，只能是a＝1 【点睛】利用倒推法，根据所给条件进行分析完成是完成本题的关键。 29．256千克 【分析】这道题目出现了两个分率，它们所对应的单位“1”是不一样的．所对应的“1”是全部香蕉，而对应的“1”是全部香蕉减去第一天卖出的香蕉．48千克这个量同这两个单位1都可以联系上．把全部香蕉减去第一天卖出的香蕉当做“1”，就易求出48千克所对应的分率是，进而，求出全部香蕉减去第二天卖出的香蕉是（千克）．这192千克香蕉占全部香蕉的分率是，则全部香蕉的总重量就是（千克．） 【详解】 答：这批香蕉共有256千克． 30．甲班原有67袋，乙班原有73袋 【分析】通过题中“甲乙两班共有140只沙袋”和“这时两班沙袋相等”这两个条件，我们可以知道甲、乙两班各有140÷2=70（袋），然后可以列表推算： 甲 乙 这时 70 70 第2次 70－8 70＋8 第3次 70－8＋5 70＋8－5 【详解】由分析可得， 最后甲、乙两班各有：140÷2=70（袋） 甲班原有：70－8＋5=67（袋） 乙班原有：70＋8－5=73（袋） 答：甲班原有67袋，乙班原有73袋沙袋． 31．24元 【分析】根据题意，第二次剩下的一半是：4＋1＝5（元），第二次剩下：5×2＝10（元），第一次剩下：10×2＝20（元），原来有：20＋4＝24（元）。 【详解】画线段示意图如下： （4＋1）×2×2＋4＝24（元） 答：小丽原有24元。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 32．820个 【分析】根据线段图可知，上午卖出后的一半是200个与10个的差即190个；那么全部的一半就是190个的2倍与30个的和，据此求原来购进多少个。 【详解】 （个） 答：原来购进820个。 【点睛】本题考查逆推问题，关键是利用逆推的方法，找出两个“一半”所对应的具体的数量，由此列式解答即可。 33．7两酒． 【详解】试题分析：由题意，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，遇到3家酒店，最后喝了8两，酒喝完了，所以最后剩余8两酒；则遇到第三家酒店时是8÷2=4两酒，遇到第二家酒店时是（4+8）÷2=6两酒，遇到第一家酒店时，原来酒葫芦里有酒 （6+8）÷2=7两；据此解答． 解：最后喝了8两，酒喝完了，所以最后剩余8两酒， 8÷2=4（两）， （4+8）÷2=6（两）， （6+8）÷2=7（两）， 答：原来酒葫芦里有7两酒． 点评：本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解． 34．85枚 【分析】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚，由此逆推出第一次四等分之前有多少枚棋子即可。 【详解】第三次分之前有： 1×4＋1 ＝4＋1 ＝5（枚）， 第二次分之前有： 5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（枚）， 第一次分之前有： 21×4＋1 ＝84＋1 ＝85（枚） 答：原来至少有85枚棋子。 【点睛】本题考查了还原问题，有一定的逻辑推理能力是解题的关键。 35．380台 【分析】此题抓住剩下的105台，往前推算，105台再减去20台就是上午卖完剩下的一半，据此乘2，即可得出上午卖完剩下的是85×2=170台，170台，再加上20台，就是这批洗衣机的一半，据此乘2，就是洗衣机的总台数． 【详解】[（105-20）×2+20]×2 =[85×2+20]×2 =190×2 =380（台） 答：美红商店原有380台洗衣机． 36．600人 【详解】×（1-）×（1+30%） =××130% = 156÷=600（人） 答：这个厂全厂共有600人． 37．260点 【分析】翻了一番即扩大到原来的2倍的意思，可以设最后的数量为未知数，从后往前进行倒推，表示出找出三人各自的数量，根据甲输了100点列方程求解。 【详解】解：设三局后每人手中都是点； 根据题意列表 甲 乙 丙 点数总和 第三局后 3 第二局后 2 3 第一局后 3 开始时 3 因为三局后甲手中的点数比开始时减少了100点，即 －＝100 ＝160 于是160×＝260（点） 答：开始时，甲手上有260点。 【点睛】本题考查的是多个量的还原问题，用列表法进行倒推是求解此类问题最常用的方法。 38．一开始第一棵树上有12只鸟，第二棵树上有23只鸟，第三棵树上有13只鸟． 【详解】试题分析：应先从最后结果出发，最后三棵树上鸟的只数都是48÷3=16（只）；则第三棵树上没有飞走10只鸟时是16+10=26只，根据“第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上”可知第三棵树上原来有26÷2=13只，从第二棵树上飞到第三棵树上的有13只，根据“第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上”，这时是16只，可知这10只鸟没有飞到第一棵树之前第一颗树上是16﹣10=6只，因为“第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上”，所以第一棵树上原来有6×2=12只，由此用总只数分别减去第一、二棵树上原有的只数就是第二棵树上原有鸟的只数；据此解答． 解：最后三棵树上各有鸟： 48÷3=16（只）； 第三棵树上原有： （16+10）÷2=13（只）； 第一棵树上原有： （16﹣10）×2=12（只）； 第二棵树上原有： 48﹣12﹣13=23（只）； 答：一开始第一棵树上有12只鸟，第二棵树上有23只鸟，第三棵树上有13只鸟． 点评：本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解． 39．168毫升；88毫升；32毫升 【分析】为了使每一步之间的关系一目了然，列表从后面向前倒推如下；先在第一行填上三个96，第二行的前2个数是：，第3个数是：，第三行的第1个数是：，第3个数是：，第2个数是：，第四行第2个数是：，第3个数是：，第1个数是：，所以三个容器原来有水168毫升、88毫升、32毫升。 【详解】列表解答如下： 容器1 容器2 容器3 最终结果 96 96 96 第三次倒之前 48 48 192 第二次倒之前 16 176 96 原来 168 88 32 答：三个容器原来分别有水168毫升、88毫升、32毫升。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 40．22小时 【分析】小虫每小时长一倍的意思是：第二个小时的身长是第一个小时的2倍，第三个小时的身长是第二个小时的2倍，第四个小时的身长是第三个小时的2倍，……1天是24个小时，从24小时能长到20厘米开始，往前倒推，当长到（20÷2）厘米时，就是第23个小时，以此倒推。 【详解】列表倒推法解题如下： 出生时数 小虫身长（厘米） 24 20 23 10 22 5 答：小虫长到5厘米时需要22小时。 【点睛】本题主要考查了还原问题的解题方法，用列表倒推法解题更直观、易懂。 41．38米 【分析】由“第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m”可知6米是第二次用去5米后剩余长度的一半，那么第二次用去了5米后剩下6×2=12米，第二次没用5米之前是12=5=17米；则第一次用去了4米后剩下17×2=34米，因此这根电线原来长34+4=38（米）． 【详解】（6×2+5）×2+4 =（12+5×2）+4 =17×2+4 =34+4 =38（米） 答：这根电线原来有38米． 学科网（北京）股份有限公司 $$