九年级数学第一次月考卷（苏科版，测试范围：第一章～第二章）-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空10题，解答8题。 2．测试范围：第一章~第二章（苏科版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（　　） A． B．x2﹣4＝2y C．﹣2x2+3＝0 D．（a﹣1）x2﹣2x＝0 【分析】根据一元二方程的定义进行判断即可． 【解答】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．x2﹣4＝2y是二元二次方程，不符合题意； C．﹣2x2+3＝0是一元二次方程，符合题意； D．当a＝1时，（a﹣1）x2﹣2x＝0化为一元一次方程﹣2x＝0，不符合题意． 故选：C． 2．（3分）将一元二次方程4x2+81＝5x化为一般形式后，常数项为81，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．4，5 B．4，﹣5 C．4，81 D．4x2，﹣5x 【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可． 【解答】解：方程整理得：4x2﹣5x+81＝0， 则二次项系数和一次项系数分别为4，﹣5． 故选：B． 3．（3分）如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是（　　） A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600 C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600 【分析】由人行通道的宽度为x m，可得出每个展位的长为（25﹣2x）m，宽为m，根据每个展位的面积都为200m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵人行通道的宽度为x m， ∴每个展位的长为（25﹣2x）m，宽为m． 依题意得：•（25﹣2x）＝200， 即（40﹣4x）（25﹣2x）＝600． 故选：B． 4．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，点B．点E为⊙O上一点（点E与A，B两点不重合）．若∠P＝70°，则∠AEB＝（　　） A．75° B．30°或50° C．60°或120° D．75°或105° 【分析】连接OA，OB，分为E是优弧上一点，和E是劣弧上一点，两种情况计算即可． 【解答】解：（1）如图，点E为优弧上一点，连接OA，OB， ∵PA，PB分别与⊙O相切， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠P＝30°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°， ∴， （2）如图，点E为劣弧上一点，若M是优弧上一点，连接OA、OB， ∵PA，PB分别与⊙O相切， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠P＝30°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°， ∴， ∵四边形AEBM是⊙O的内接四边形， ∴∠AMB+∠AEB＝180°， ∴∠AEB＝180°﹣75°＝105°， 故选：D． 5．（3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣2） 【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可． 【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示： 在CB的垂直平分线上找到一点D， CD＝DB＝DA， ∴点D是过A、B、C三点的圆的圆心， 即D的坐标为（﹣1，﹣2）， 故选：C． 6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　） A． B． C． D．2 【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF＝BF＝AE＝BG＝2，由勾股定理列方程即可求出结果． 【解答】解：连接OE，OF，ON，OG， 在矩形ABCD中， ∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4， ∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点， ∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°， ∴四边形AFOE，FBGO是正方形， ∴AF＝BF＝AE＝BG＝2， ∴DE＝3， ∵DM是⊙O的切线， ∴DN＝DE＝3，MN＝MG， ∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN， 在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2， ∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42， ∴NM， ∴DM＝3， 故选：A． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 7．（3分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣9a+3b的值为 　2018　． 【分析】把x＝3代入关于x的方程ax2﹣bx＝6得﹣9a+3b＝﹣6，再把所求结果整体代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：把x＝3代入关于x的方程ax2﹣bx＝6得：9a﹣3b＝6， ∴﹣9a+3b＝﹣6， ∴2024﹣9a+3b＝2024﹣6＝2018， 故答案为：2018． 8．（3分）已知⊙O的圆心坐标为（3，0），直径为6，则⊙O与y轴的位置关系是 　相切　． 【分析】由已知条件可证得圆心O到y轴的距离为等于⊙O的半径，根据直线与圆的位置关系可得结论． 【解答】解：∵⊙O的圆心坐标为（3，0）， ∴圆心O到y轴的距离为3， ∵⊙O的直径为6， ∴⊙O的半径为3， ∴圆心O到y轴的距离为等于⊙O的半径， ∴⊙O与y轴相切． 故答案为：相切． 9．（3分）如图，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，已知AB＝8，CE＝2，那么⊙O的半径长是　5　． 【分析】连接OA，由垂径定理的推论得出AB⊥CD，由已知可得AEAB＝4，OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOE中，利用勾股定理求r． 【解答】解：连接OA， ∵，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB， ∴AB⊥CD， ∴AEAB＝4，又OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r， 在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2， 解得：r＝5， 故答案为：5． 10．（3分）若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的母线长是 　6　． 【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm， 则：4π， 解得l＝6． 故答案为：6． 11．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为 　4049　． 【分析】先利用一元二次方程的根的意义和根与系数的关系得出x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024，即2024x1，最后代入即可得出结论． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0两个实数根， ∴x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024， ∴2024x1＝0， ∴2024x1， ∴2024x1 x22 ＝（x1+x2）2﹣2x1x2 ＝12+4048 ＝4049． 故答案为：4049． 12．（3分）已知⊙O的直径为8，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的最短弦的长度为 　　． 【分析】与OP垂直的弦最短，利用勾股定理求． 【解答】解：与OP垂直的弦AB最短．证明如下： 过点P任作一条弦CD，作OQ垂直于CD，垂足为Q，连接OD， AB＝2AP＝222， CD＝2QD＝22， 在Rt△OPQ中，OP＞OQ，即3＞OQ， ∴42﹣32＜42﹣OQ2， ∴AB＜CD， ∴弦AB最短， 故答案为：． 13．（3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，则∠BAO＝　75　°． 【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解即可． 【解答】解：如图：连接AD， ∵∠O＝130°，OA＝OD， ∴∠OAD（180°﹣130°）＝25°， ∵∠C＝130°， ∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°， ∴∠BAO＝∠BAD+∠OAD＝25°+50°＝75°． 故答案为：75． 14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上．将沿AC翻折与AB交于点D．若OA＝3cm，的度数为40°，则　　cm． 【分析】作D关于AC的对称点E，连接AE，BE，OE，则，然后再根据的度数为40°知∠CAB＝20°，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得∠AOE＝180°﹣80°＝100°，最后运用弧长公式即可解答． 【解答】解：如图，作D关于AC的对称点E，连接AE，BE，OE， 则， ∵ 的度数为40°， ∴∠CAB＝20°， ∴∠EAB＝2∠CAB＝40°， ∴∠EOB＝2∠EAB＝80°， ∴∠AOE＝180°﹣80°＝100°， ∴的长度为， ∴ 的长度为． 故答案为：． 15．（3分）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝　105　°． 【分析】连接OA，OB，OE，OF，利用正六边形的性质得到OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，则△OAB为等边三角形，D，O，A在一条直线上；利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得∠AON的度数，则结论可得． 【解答】解：连接OA，OB，OE，OF，如图， ∵点O是正六边形ABCDEF的中心， ∴OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°， ∴△OAB为等边三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD＝180°， ∴D，O，A在一条直线上，∠OAB＝60°，OA＝AB． ∵以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN， ∴∠NAB＝90°，AB＝AN， ∴∠NAO＝30°，OA＝AN， ∴∠AON＝∠ANO75°， ∴∠NOD＝180°﹣∠AON＝105°． 故答案为：105． 16．（3分）如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为　　． 【分析】如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．因为AC＝CA′，DE＝EA，所以ECDA′，求出DA′的最大值即可解决问题． 【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′． 由题意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB5， ∴BA′， ∵AC＝CA′，DE＝EA， ∴ECDA′， ∵DA′≤BD+BA′， ∴DA′≤5， ∴DA′的最大值为5， ∴EC的最大值为， 故答案为． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）解方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）x2+ax﹣2a2＝0．（a为常数且a≠0） 【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后两个一次方程即可； （2）先利用因式分解法把方程转化为x+2a＝0或x﹣a＝0，然后两个一次方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， 所以x1＝5，x2＝﹣1； （2）x2+ax﹣2a2＝0， （x+2a）（x﹣a）＝0， x+2a＝0或x﹣a＝0， 所以x1＝﹣2a，x2＝a． 18．（6分）如图，A、B是⊙O上的点，以OB为直径作⊙O1．仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）在图①中，在⊙O1上作出一个点C，使与的长度相等； （2）在图②中，在⊙O上作出一个点D，使与的长度相等． 【分析】（1）连接OA交⊙O1于点C，点C即为所求． （2）连接AB交⊙O1于点T，作直线OT交⊙O于点D，点D′，点D，点D′即为所求． 【解答】解：（1）如图，点C即为所求． （2）如图，点D或D′即为所求． 19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0 （1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边a＝3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明； （2）注意：分b＝c，b＝a两种情况做． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝（k﹣2）2， ∵无论k取何值，（k﹣2）2≥0，即△≥0， ∴无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）解：①当b＝c时，则Δ＝0， 即（k﹣2）2＝0， ∴k＝2， 方程可化为x2﹣4x+4＝0， ∴x1＝x2＝2， 而b＝c＝2， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+2+2＝7； ②解：当b＝a＝3时， ∵x2﹣（k+2）x+2k＝0． ∴（x﹣2）（x﹣k）＝0， ∴x＝2或x＝k， ∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根， ∴k＝b＝3， ∴c＝2， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+3+2＝8； 综上所述，△ABC的周长为7或8． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若AC＝13，BC＝10，求DE长． 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，得出∠ODB＝∠C，进而得出OD∥AC，由DE⊥AC，得出OD⊥EF，即可证明EF是⊙O的切线； （2）先求出BD＝5，再由勾股定理求出，最后再用面积法求解即可． 【解答】（1）证明：如图1，连接OD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥EF， ∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC， ∴BD＝5， ∴， ∵在直角△ADC中，AD＝12，CD＝BD＝5，AC＝13， ∴ 即． 21．（10分）如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆周角定理分析得出OD⊥EF，即可得出圆心O到EF的距离为圆的半径； （2）利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可； 【解答】解：（1）如图所示，连接OD， ∵D为的中点， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥EF， ∴OD的长是圆心O到EF的距离， ∵AB＝90cm， ∴． （2）如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G． ∵DA＝DF， ∴∠F＝∠BAD， 由（1）得∠CAD＝∠BAD， ∴∠F＝∠CAD， ∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD， ∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2， ∴，解得OD＝6， 在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，， ∴， ∴． 22．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000， 整理，得：y2﹣130y+4000＝0， 解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 23．（12分）【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图1，AB是⊙O的弦，∠AOB＝100°，点P1、P2分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则∠AP1B＝　50　°，∠AP2B＝　130　°． （2）如图2，AB是⊙O的弦，圆心角∠AOB＝m（m＜180°），点P是⊙O上不与A、B重合的一点，求弦AB所对的圆周角∠APB的度数（用m的代数式表示） 　（）°或180°﹣（）°　． 【问题解决】 （3）如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB＝135°，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接AF、BE，交于点P，若始终保持AE＝CF，在点E从点A运动到点C过程中，PC的最小值是 　4　． 【分析】（1）根据圆周角定理计算∠AP1B的度数，然后根据圆内接四边形的性质求∠AP2B的度数； （2）与（1）的求法一样（注意分类讨论）； （3）先作AB的垂直平分线得到AB的中点P，再以AB为直径作圆交AB的垂直平分线于O，然后以O点为圆心，OA为半径作⊙O，则⊙O在⊙P内的弧为满足条件的点C所组成的图形； （4）由等边三角形的性质证明△AEB≌△CFA可以得出AF＝BE，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，结合勾股定理分别求得DC、DP，即可得解． 【解答】解：（1）∠AP1B∠AOB100°＝50°， ∠AP2B＝180°﹣∠APB＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：50，130； （2）当P在优弧AB上时，∠A PB∠AOB＝（）°； 当P在劣弧AB上时，∠A PB＝180°﹣（）°； 故答案为：（）°；180°﹣（）°； （3）如图劣弧AB（不包含A、B两个端点）就是所满足条件的点C所组成的图形； （4）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝12，∠BAC＝∠C＝60°． 在△AEB和△CFA中， ， ∴△AEB≌△CFA（SAS）， ∴AF＝BE． 点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，PC最小，此时△ABP为等腰三角形．且∠ABP＝∠BAP＝30°，OC⊥AB，如图3： ∴∠AOB＝120°， ∵AB＝12，AP＝2DP， ∴AD＝6，DP， ∴DP＝2， 在Rt△ADC中，DC6， ∴PC＝624． 故答案为： 24．（12分）已知△ABC的外接圆，圆心为点O，点P是该三角形的内心． （1）如图1，在△ABC中，直线AP与△ABC外接圆交点为D，求证：BD＝PD＝CD； （2）如图2，若该△ABC，M是弧ABC中点，MN⊥BC与点N， ①求证：AB+BN＝CN； ②如图3，若△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，求证：直线MN经过内心点P； ③将上述第②题中∠BAC＝90°改为∠BAC为任意角，参考图3，其他条件均不变，试猜想该结论是否成立：　是　（是，或者不是）． 【分析】（1）连接BP，可推出∠ABP＝∠CBP，∠BAD＝∠BCD，∠DAC＝∠CBD，从而∠DBP＝∠DPB，从而BD＝PD，进一步得出结论； （2）过点M作ME⊥AB，交AB的延长线于E，连接BM，可证得Rt△AME≌Rt△CMN，从而MN＝EM，进而证得△BME≌△BMN，从而BE＝BN，进一步得出结论； ②设AE，AC切⊙P于点E，F，设AB＝a，AE＝AF＝x，则AC＝2a，在BC上截取CQ＝AB＝a，可证得△ABM≌△CQM，从而BM＝QM，进而得出BN＝NQBQ，根据⊙P是△ABC的内切圆可得出BC＝BE+CF＝（a﹣x）+（2a﹣x）＝3a﹣2x，从而BQ＝BC﹣CQ＝2a﹣2x，进而得出BNBQ＝a﹣x，从而BE＝BN，进一步得出结论； ③由②得出结论． 【解答】（1）证明：如图1， 连接BP， ∵点P是△ABC的内心， ∴AP、BP分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABP＝∠CBP， ∴， ∴CD＝BD， ∵∠BAD＝∠BCD，∠DAC＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠BAD， ∴∠CBD+∠CBP＝∠BAD+∠ABP， ∴∠DBP＝∠DPB， ∴BD＝PD， ∴BD＝PD＝CD； （2）①证明：如图2， 过点M作ME⊥AB，交AB的延长线于E，连接BM， 则∠E＝90°， ∵MN⊥BC， ∴∠BNM＝∠CNM＝90°， ∴∠E＝∠BNM＝∠CMN， ∵M是弧ABC中点， ∴AM＝CM， ∵， ∴∠MAB＝∠MCB， ∴Rt△AME≌Rt△CMN（HL）， ∴MN＝EM，CN＝AE， ∵BM＝BM， ∴△BME≌△BMN（HL）， ∴BE＝BN， ∵AB+BE＝AE， ∴AB+BN＝CN； ②证明： 设AE，AC切⊙P于点E，F，设AB＝a，AE＝AF＝x，则AC＝2a，在BC上截取CQ＝AB＝a， ∵∠C＝∠BAM，AM＝CM， ∴△ABM≌△CQM（SAS）， ∴BM＝QM，CQ＝AB＝a， ∵MN⊥BC， ∴BN＝NQBQ， ∵⊙P是△ABC的内切圆， ∴BC＝BE+CF＝（a﹣x）+（2a﹣x）＝3a﹣2x， ∴BQ＝BC﹣CQ＝2a﹣2x， ∴BNBQ＝a﹣x， ∴BE＝BN， ∴⊙P切BC于N， ∴M、N、P共线， ∴PN⊥BC， ∴直线MN经过圆内心点P； ③解：由②知：直线MN经过圆内心点P， 故答案为：是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空10题，解答8题。 2．测试范围：第一章~第二章（苏科版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（　　） A． B．x2﹣4＝2y C．﹣2x2+3＝0 D．（a﹣1）x2﹣2x＝0 2．（3分）将一元二次方程4x2+81＝5x化为一般形式后，常数项为81，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．4，5 B．4，﹣5 C．4，81 D．4x2，﹣5x 3．（3分）如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是（　　） A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600 C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600 4．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，点B．点E为⊙O上一点（点E与A，B两点不重合）．若∠P＝70°，则∠AEB＝（　　） A．75° B．30°或50° C．60°或120° D．75°或105° 5．（3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣2） 6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　） A． B． C． D．2 第II卷 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 7．（3分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣9a+3b的值为 　 　． 8．（3分）已知⊙O的圆心坐标为（3，0），直径为6，则⊙O与y轴的位置关系是 　 　． 9．（3分）如图，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，已知AB＝8，CE＝2，那么⊙O的半径长是　 　． 10．（3分）若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的母线长是 　 　． 11．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为 　 　． 12．（3分）已知⊙O的直径为8，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的最短弦的长度为 　 　． 13．（3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，则∠BAO＝　 　°． 14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上．将沿AC翻折与AB交于点D．若OA＝3cm，的度数为40°，则　 　cm． 15．（3分）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝　 　°． 16．（3分）如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为　 　． 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）解方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）x2+ax﹣2a2＝0．（a为常数且a≠0） 18．（6分）如图，A、B是⊙O上的点，以OB为直径作⊙O1．仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）在图①中，在⊙O1上作出一个点C，使与的长度相等； （2）在图②中，在⊙O上作出一个点D，使与的长度相等． 19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0 （1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边a＝3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若AC＝13，BC＝10，求DE长． 21．（10分）如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）． 22．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23．（12分）【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图1，AB是⊙O的弦，∠AOB＝100°，点P1、P2分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则∠AP1B＝　 　°，∠AP2B＝　 　°． （2）如图2，AB是⊙O的弦，圆心角∠AOB＝m（m＜180°），点P是⊙O上不与A、B重合的一点，求弦AB所对的圆周角∠APB的度数（用m的代数式表示） 　 　． 【问题解决】 （3）如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB＝135°，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接AF、BE，交于点P，若始终保持AE＝CF，在点E从点A运动到点C过程中，PC的最小值是 　 　． 24．（12分）已知△ABC的外接圆，圆心为点O，点P是该三角形的内心． （1）如图1，在△ABC中，直线AP与△ABC外接圆交点为D，求证：BD＝PD＝CD； （2）如图2，若该△ABC，M是弧ABC中点，MN⊥BC与点N， ①求证：AB+BN＝CN； ②如图3，若△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，求证：直线MN经过内心点P； ③将上述第②题中∠BAC＝90°改为∠BAC为任意角，参考图3，其他条件均不变，试猜想该结论是否成立：　 　（是，或者不是）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$