专题06 用空间向量研究直线、平面的位置关系-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

06 用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、知识归纳： 1．直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上的任意一点P，存在实数，使得，把与 的 向量称为直线l的方向向量． 2．平面的法向量：如图，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量.给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 . 3．空间中直线、平面的平行 （1）线线平行:若两条不重合的直线的方向向量分别为，则 . （2）线面平行:设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则 . （3）面面平行:设分别是不重合的平面的法向量，则，使得 . 若平面的法向量，平面的法向量，则 . 4．空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直：设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 . （2）线面垂直：设直线的方向向量是，平面的法向量是，则 . （3）面面垂直：若平面的法向量，平面的法向量，则 . 自检自纠：1.向量平行，非零 2. 3.（1）（2）（3）， 4.（1）（2）（3） 二、分层小练： A.基础训练 1．为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】因为 不重合，， 对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确； 对②，平面的法向量垂直等价于平面垂直，故②正确； 对③，若 ，故③错误； 对④，，故④正确. 故选：C. 2．已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为，所以，则，所以. 故选：C. 3．已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】显然与不平行，设平面α的法向量为，则，所以，令，得，.所以．故选：C. 4．已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【详解】因为，又，所以，所以，解得，故选：. 5．已知平面的一个法向量为，点，在平面内，则 ． 【答案】6 【详解】因为，且，所以，解得．故答案为：6. B.提升强化 6．已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，即，所以，又，所以，，所以，当且仅当时，即时，取到等号，所以，故A，B，D错误.故选：C. 7．空间四边形中 分别为的点（不含端点）.四边形为平面四边形且其法向量为.下列论述错误项为（    ） A．，则//平面 B．，则平面 C．，则四边形为矩形. D．，则四边形为矩形. 【答案】C 【详解】由于是平面的法向量,且,不在平面内,则//平面,A正确， 对于B，由于,则四边形为平行四边形，故,平面平面， 所以平面，平面，且平面平面,故, 则平面,平面,则平面,故B正确， 对于C, 由于,则四边形为平行四边形，,显然矛盾，故C错误， 对于D，由于,由选项B可得，由于四边形为平行四边形，故,平面平面，所以平面，平面，且平面平面,故, 由于,因此,故四边形为矩形，D正确. 故选：C    8．已知正方体为中点，为BC中点，则（   ） A．直线PD与直线平行 B．直线与直线垂直 C．直线PQ与直线相交 D．直线PQ与直线异面 【答案】BD 【详解】根据题意，设正方体的棱长为2，以为坐标原点，如图建立坐标系，则,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,2,，,0,，,0,，,2,， 对于A，,0,，,0,，由于对于任意的都不会成立，则与不平行，则直线与直线不平行，A错误； 对于B，,2,，,,，则有，则，即直线与直线垂直，B正确； 对于C，直线与相交，故平面，直线平面，，所以PQ与直线是异面直线，C错误； 对于D，,显然两直线不平行，假设直线与直线相交，则在同一平面上，,故存在实数使得，即，则无解，故与直线既不相交也不平行，是异面直线，D正确． 故选：BD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 06 用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、知识归纳： 1．直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上的任意一点P，存在实数，使得，把与 的 向量称为直线l的方向向量． 2．平面的法向量：如图，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量.给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 . 3．空间中直线、平面的平行 （1）线线平行:若两条不重合的直线的方向向量分别为，则 . （2）线面平行:设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则 . （3）面面平行:设分别是不重合的平面的法向量，则，使得 . 若平面的法向量，平面的法向量，则 . 4．空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直：设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 . （2）线面垂直：设直线的方向向量是，平面的法向量是，则 . （3）面面垂直：若平面的法向量，平面的法向量，则 . 自检自纠：1.向量平行，非零 2. 3.（1）（2）（3）， 4.（1）（2）（3） 二、分层小练： A.基础训练 1．为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 3．已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 5．已知平面的一个法向量为，点，在平面内，则 ． B.提升强化 6．已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 7．空间四边形中 分别为的点（不含端点）.四边形为平面四边形且其法向量为.下列论述错误项为（    ） A．，则//平面 B．，则平面 C．，则四边形为矩形. D．，则四边形为矩形. 8．已知正方体为中点，为BC中点，则（   ） A．直线PD与直线平行 B．直线与直线垂直 C．直线PQ与直线相交 D．直线PQ与直线异面 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$