专题05 空间向量运算的坐标表示-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

05空间向量运算的坐标表示 一、知识归纳： 1．设则有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 ， 数量积 2．空间向量的平行、垂直及模、夹角：设，则 ； ； ；． 3．向量的坐标及两点间的距离、中点坐标：在空间直角坐标系中，设，则 （1） ；（2） ；AB中点的坐标为 . 自检自纠： 1． ， ，， 2． ，，， 3． ，， 二、分层小练： A.基础训练 1．若、，则线段AB中点的坐标是 ． 2．已知点，则 . 3．已知，，，令，，则对应的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．设，向量，且，则（    ） A． B． C．3 D． 6．（多选）已知向量，则下列向量中与共面的向量是（    ） A． B． C． D． B.提升强化 7．已知，若，则向量的坐标为 ． 8．如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 9．已知空间向量，，，则 ． 10．如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 05空间向量运算的坐标表示 一、知识归纳： 1．设则有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 ， 数量积 2．空间向量的平行、垂直及模、夹角：设，则 ； ； ；． 3．向量的坐标及两点间的距离、中点坐标：在空间直角坐标系中，设，则 （1） ；（2） ；AB中点的坐标为 . 自检自纠： 1． ， ，， 2． ，，， 3． ，， 二、分层小练： A.基础训练 1．若、，则线段AB中点的坐标是 ． 【答案】 【详解】由于、,运用中点坐标公式得到，线段AB中点为，即.故答案为：. 2．已知点，则 . 【答案】6 【详解】，所以． 3．已知，，，令，，则对应的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，所以，， 所以.故选：B 4．已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，，∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为．故选：C 5．设，向量，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得，所以又因为，所以，解得，所以，所以，则，故选：A. 6．（多选）已知向量，则下列向量中与共面的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，设，则得，解得，即，故A正确； 对于B，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故B错误； 对于C，设，则得，解得，即，故C正确； 对于D，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故D错误. 故选：AC. B.提升强化 7．已知，若，则向量的坐标为 ． 【答案】 【详解】因为，所以设，因为,所以． 因为，所以，解得，则，所以 ，故答案为：. 8．如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在直三棱柱中，，以A为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则．由于，所以，解得，所以线段的长度为．故选：A． 9．已知空间向量，，，则 ． 【答案】 【详解】因为，又因为，所以. 10．如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为 . 【答案】3 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则， ，则， 因为，所以当时，取最大值，最大值为3.故答案为：3. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$