专题2.5 圆的方程（特色专题卷）-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.5 圆的方程 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高二·浙江·学业考试）圆心为，半径的圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·阶段练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海杨浦·期末）已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）圆：关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三上·江西·阶段练习）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为 A． B． C． D． 6．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二上·广西河池·阶段练习）动点满足且两动点之间的距离为2，则动点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西榆林·二模）已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高二上·贵州贵阳·阶段练习）方程表示圆的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 10．（23-24高二上·甘肃白银·期末）如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（    ）    A． B． C． D． 11．（23-24高二上·山西太原·期中）1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知的顶点，重心，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B．为等边三角形 C．欧拉线方程为 D．外接圆的方程为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为 ． 13．（23-24高三上·青海西宁·期中）已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为 ． 14．（2024高二上·江西南昌·阶段练习）圆的方程为：，点，为坐标原点，若上存在点，使得，则的取值范围是 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高二上·全国·课后作业）已知圆C的半径为，圆心在直线上，且过点，求圆C的标准方程. 16．（2024·全国·模拟预测）（1）求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程； （2）求与圆外切于点且半径为的圆的方程. 17．（23-24高二上·北京·期中）已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆与点和，且. （1）求直线和的方程； （2）求圆的方程. 18．（23-24高二上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点. (1)求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于两点。若，求圆的方程. 19．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知圆经过点，，且它的圆心在直线上. （1）求圆关于直线对称的圆的方程； （2）若点为圆上任意一点，且点，求线段的中点的轨迹方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 圆的方程 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高二·浙江·学业考试）圆心为，半径的圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】根据题意，圆心为，半径 圆的标准方程为； 故选：B． 2．（2024高三·全国·阶段练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求出线段的垂直平分线，利用弦的垂直平分线的交点是圆心即可得到圆心坐标，再算出圆心与A点的距离即半径，即可得到圆的标准方程，从而得到一般方程. 【详解】因为线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平 分线方程为，即与直线方程联立，得圆心坐标为.又圆 的半径，所以，圆的方程为， 即. 故选：C. 【点睛】本题考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，是一道容易题. 3．（23-24高二上·上海杨浦·期末）已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数的不等式，解出即可. 【详解】由于方程表示的曲线为圆，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题. 4．（2024高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）圆：关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算圆心关于直线对称的点是，得到圆方程. 【详解】因为圆，即， 所以圆的圆心坐标为，半径为. 圆心关于直线对称的点是，则，解得. 则所求圆的方程为. 故选：. 【点睛】本题考查了圆关于直线对称问题，意在考查学生的计算能力. 5．（2024高三上·江西·阶段练习）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求的中点坐标得圆心，再由圆心到点A的距离得半径，从而得圆的方程. 【详解】圆心为的中点，半径为， 则以线段为直径的圆的方程为. 故选D. 【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，属于基础题. 6．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆的标准方程，根据点在圆外以及方程为圆的方程列不等式组求解即可. 【详解】，即 因为点在圆外， ，解得 故选：D. 7．（2024高二上·广西河池·阶段练习）动点满足且两动点之间的距离为2，则动点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，根据题意分析可得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，即可得结果. 【详解】以点A为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系，如图， 则，设点， 由，得，化简并整理得：， 可知点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其周长为， 故选：C． 8．（2024·陕西榆林·二模）已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分，数形结合求出的最大值和最小值，进而求出比值. 【详解】由，得. 因为，所以或. 当时，；当时，. 所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6； 当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为.故的最大值与最小值的比值是. 故选：A 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高二上·贵州贵阳·阶段练习）方程表示圆的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】CD 【分析】 先求方程表示圆的充要条件，再根据集合的包含关系可得正确的选项. 【详解】可化为：， 因为该方程表示圆，故即或， 即方程表示圆的充要条件为或. 因为，均为的真子集， 不是的真子集， 故，均为方程表示圆的充分不必要条件， 故选：CD. 10．（23-24高二上·甘肃白银·期末）如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由各小圆的圆心和半径，求出圆的标准方程和一般方程，对照选项判断. 【详解】由题可知小正方形边长为2，则内切圆半径为1， 可得第一象限的小圆的圆心为，方程为， 即，A选项正确； 第二象限的小圆的圆心为，方程为， 即，B选项正确； 第三象限的小圆的圆心为，方程为， 即，C选项正确； 第四象限的小圆的圆心为，方程为， 即，没有选项符合； 外接圆圆心为，半径为，方程为，没有选项符合. 故选：ABC 11．（23-24高二上·山西太原·期中）1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知的顶点，重心，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B．为等边三角形 C．欧拉线方程为 D．外接圆的方程为 【答案】ACD 【分析】 根据重心公式计算得到A正确；计算得到B错误；计算线段垂直平分线的方程得到C正确；计算外接圆圆心为，得到圆方程，D正确，得到答案. 【详解】为的重心，设，由重心坐标公式， 解得，，选项A正确； ，所以不是等边三角形，故选项B错误； ，的外心､重心､垂心都位于线段的垂直平分线上，的顶点，线段的中点的坐标为，线段所在直线的斜率，线段垂直平分线的方程为，即，的欧拉线方程为，故选项C正确； 因为线段的垂直平分线方程为，的外心为线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，所以交点的坐标满足，解得，外接圆半径，所以外接圆方程为，故选项D正确. 故选：ACD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为 ． 【答案】； 【分析】利用待定系数法，结合配方法即可得解. 【详解】依题意，设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 所以所求圆的一般方程为， 则其标准方程为. 故答案为：. 13．（23-24高三上·青海西宁·期中）已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解. 【详解】依题意，设，由，得， 即，整得得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 14．（2024高二上·江西南昌·阶段练习）圆的方程为：，点，为坐标原点，若上存在点，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出点的坐标，利用，求出点的轨迹方程，又因为点在圆上，将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得到答案. 【详解】设点，因为，， 化简整理可得. 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 又点在圆上，即圆与圆相交有公共点， 又因为，半径， 则满足，即，即， 可得，解得，即 ， 可得或. 综上实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系，解题的关键是计算出动点的轨迹方程，其轨迹程是圆，进而转化为圆和圆的位置关系，考查了转化思想，属于常考题型，需要掌握解题方法. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高二上·全国·课后作业）已知圆C的半径为，圆心在直线上，且过点，求圆C的标准方程. 【答案】或 【分析】设出圆心坐标，代入点，求出圆心，得到标准方程. 【详解】因为圆心在直线上，， 所以设圆心为. 所以圆C的标准方程为. 因为圆C过点， 所以. 解得或-1. 所以圆心C的坐标是或. 所以所求圆C的标准方程是或. 16．（2024·全国·模拟预测）（1）求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程； （2）求与圆外切于点且半径为的圆的方程. 【答案】(1)；(2). 【详解】试题分析： (1)由题意可得圆的一条直径所在的直线方程为，据此可得圆心，半径，则所求圆的方程为. (2)圆的标准方程为，得该圆圆心为，半径为，两圆连心线斜率.设所求圆心为，结合弦长公式可得，.则圆的方程为. 试题解析： （1）过点且与直线垂直的直线为， 由 . 即圆心，半径， 所求圆的方程为. （2）圆方程化为，得该圆圆心为，半径为，故两圆连心线斜率.设所求圆心为， ，∴， ，∴. ∴. 点睛：求圆的方程，主要有两种方法： (1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 17．（23-24高二上·北京·期中）已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆与点和，且. （1）求直线和的方程； （2）求圆的方程. 【答案】（1），；（2）或. 【分析】（1）直线的斜率，中点坐标为，从而直线的斜率为，由此能求出直线的方程； （2）设圆心，由在上，得，又直径，从而，，由此能出圆的方程. 【详解】（1）∵点为圆心的圆经过点和， 线段的垂直平分线交圆与点和，且. ∴直线的斜率，中点坐标为，直线的方程为 ∴直线的斜率为， ∴直线方程为，即. （2）设圆心， 则由在上，得①， 又直径，∴，②， 由①②，解得，或， ∴圆的方程为或. 18．（23-24高二上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点. (1)求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于两点。若，求圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设可得圆的方程，求出两点的坐标计算出的面积即可证明； （2）由条件得出原点在线段的垂直平分线上，所以直线与直线垂直，由斜率之积为-1求得，从而得到圆C的方程. 【详解】（1）设圆心为， 圆过原点，，圆方程为， 令，得，令，得， 为定值； （2）垂直平分线段， ，直线的方程是， ，解得或（舍）， 则圆的方程为. 19．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知圆经过点，，且它的圆心在直线上. （1）求圆关于直线对称的圆的方程； （2）若点为圆上任意一点，且点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）设出圆的圆心坐标，然后题意列出方程，解出圆的半径，得到圆的方程；再解出点关于直线的对称点坐标，写出对称圆的方程. （2）利用相关点法，设点，，设法用含的式子表示点的坐标，然后将点代入圆方程即可得到点的轨迹方程. 【详解】解析（1）由已知可设圆心，又由已知得， 从而有，解得， 所以圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 圆心关于的对称点为， 所以圆关于直线对称的圆的方程为. （2）设，，则由及为线段的中点得， ，解得. 又点在圆上，所以，即， 故所求的轨迹方程为:. 【点睛】本题考查圆的方程求解，圆关于直线的对称圆以及点的轨迹方程问题，其中轨迹方程问题难度稍大，注意相关点法的运用. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$