专题2.5 直线与圆的位置关系（4类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.5 直线与圆的位置关系 【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】 1 【考点2：直线与圆的交点坐标、弦长】 6 【考点3：圆的切线方程、切点坐标、切线长】 11 【考点4：直线与圆位置关系中的最值问题】 17 【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】 【知识点：直线与圆的位置关系的判断及求参】 ①直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离． ②两种研究方法 1．（2024·山东淄博·二模）若圆，则直线与圆C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【分析】直线经过定点，然后证明定点在圆内可判断. 【详解】经过定点，由于，则定点在圆内. 故直线与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心到直线l的距离与半径的关系判断作答. 【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为， 依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，即， 而圆的圆心为，半径为， 于是得圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆相切. 故选：C 3．（2024高二上·四川乐山·阶段练习）已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 【答案】C 【分析】由题意结合点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，即得答案. 【详解】由题意知点在圆内，故， 故圆心到直线的距离， 故直线l与圆C相离， 故选：C 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【分析】求出圆心到直线的距离的表达式，再由在圆外，求出，与的关系，进而求出 与的关系，判断出直线与圆的位置关系． 【详解】因为点在圆外，所以可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故选：A． 5．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【答案】C 【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 6．（多选）（23-24高二下·河南·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 【答案】AB 【分析】选项A，将方程变形成，即可求解；选项B，将圆变形标准形式，即可求解；选项C，利用直线与圆的位置关系，即可求解；选项D，利用直线过圆心，即可求解. 【详解】对于选项A，直线的方程可化为，由， 解得，所以直线过定点，故选项A正确， 对于选项B，圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，故选项B正确， 对于选项C，当直线与圆有交点时，直线的斜率存在，不妨设直线方程为，即， 由，整理得到，得到， 又，所以，解得，故选项C错误， 对于选项D，若平分圆的周长，将圆心的坐标代入直线的方程，解得此时，故选项D错误， 故选：AB. 7．（多选）（23-24高二下·广西桂林·期末）直线l：，圆C：，下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角为 B．圆C的圆心坐标为（1，0） C．当时，直线l与圆C相切 D．当时，直线l与圆C相交 【答案】BCD 【分析】根据直线l斜率和倾斜角的关系，即可判断A选项；将圆心求出，即可判断B选项；利用点到直线的距离公式求出，即可得出直线l与圆的位置关系，即可判断C选项；利用点到直线的距离公式求出，即可表示出直线l与圆的位置关系，计算求参，即可判断D选项. 【详解】直线l：的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，A选项错误； 而圆：，即，可知圆心，半径，B选项正确； 当时，直线l：， 设圆心到直线l的距离为，则， 所以直线与圆相切，故C正确； 对于D项，圆：，即，可知圆心，半径, 因为直线与圆C交于两点，所以圆心C到直线l的距离， 即，解得， 所以当时，直线l与圆C相交，故D项正确； 故选：BCD. 8．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若直线与圆有公共点，则的一个取值是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由直线与圆有公共点，得直线和圆的位置关系为相切或相交，利用圆心到直线的距离公式及，建立的不等式求解即可. 【详解】直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 显然点在圆外，直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离， 化简得，解得. 又，则或1或2. 即的一个取值是. 故答案为：（填或填也正确） 9．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 【考点2：直线与圆的交点坐标、弦长】 【知识点：直线与圆的交点坐标、弦长】 1．（2024高二下·全国·随堂练习）过三点的圆交于轴于两点，则＝（ ） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】由，则为直角三角形，所以可得圆心为的中点，半径为，从而可求出圆的方程，则可求出圆与轴的交点，进而可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以为直角三角形， 所以过三点的圆的圆心，半径为， 所以过三点的圆的方程为， 令，则，得， 所以， 故选:C 2．（2024·四川达州·二模）已知圆心为的与直线相切，则直线被截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】首先求出圆心到直线的距离即为半径，再求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】因为圆心到直线的距离， 即圆的半径， 又圆心到直线的距离， 所以直线被截得的弦长为. 故选：D 3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】为直角，故在以为直径的圆上，确定圆方程，取计算得到答案. 【详解】为直角，故在以为直径的圆上， 圆心为，半径为， 圆方程为，取得到或， 即点坐标为或. 故选：B. 4．（23-24高二下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】运用点到直线的距离公式，结合弦长公式求解即可. 【详解】，化为一般式，即，直线上有且仅有一点， 使，则圆心到直线的距离,即， 圆心. . 故选：D. 5．（2024·青海西宁·二模）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值. 【详解】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 6．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设，直线方程与圆的方程联立求出点坐标，设经过点A，B，的圆的方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设， 由解得， 可得， 设经过点A，B，的圆的方程为 ， 所以，解得， 即，可得. 故答案为：. 7．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用圆的切线性质求出，进而求得圆的半径即得答案. （2）求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式计算即得. 【详解】（1）依题意，设圆的方程为， 由圆与轴相切于点，得， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以．    8．（23-24高二上·广西南宁·期末）已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【答案】(1) (2)面积最大值为8，直线方程为或 【分析】（1）法1：求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理得到弦长； 法2：联立直线与圆的方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案； 法3：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，利用两点间距离公式求出答案； （2）设出直线方程，求出圆心C到直线的距离，利用垂径定理表达出面积，求出最大值，并得到，，得到直线方程. 【详解】（1）法1：圆C的圆心坐标为，半径， 圆心C到直线的距离.    则截得的弦长； 法2：设，联立方程组得， 消得， ； 法3：设，联立方程组得， 消得，解得， 则， . （2）圆C的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去， 设直线的方程为，即， 则圆心C到直线的距离为， 又的面积， 所以当时取最大值8， 由，得， 解得，， 所以直线的方程为或. 【考点3：圆的切线方程、切点坐标、切线长】 【知识点：圆的切线方程、切点坐标、切线长】 1．圆弦长问题的两个主要考查角度 (1)已知直线与圆的方程求圆的弦长． (2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等． 2．求解弦长问题的两个方法 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 1．（23-24高二上·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线的斜率，利用点斜式即可得解. 【详解】因为点在圆上，又的圆心为 所以， 易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：， 所以圆在点处的切线方程为，即． 故答案为： 2．（24-25高二·上海·课堂例题）若从点引圆的切线，则切线长是 ． 【答案】 【分析】由两点之间的距离公式可得，再根据勾股定理即可得解. 【详解】记圆，圆心为，半径， 则， 所以切线长为. 故答案为：3. 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意得当最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案． 【详解】， 圆心，半径． 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． 4．（2024高三·全国·专题练习）圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由直线与圆相切的几何关系，确定点的关键方程，再利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由可得，由可得 ，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 其方程为．又点在直线上， 故直线与圆有公共点，所以， 解得，所以或． 故答案为：或 5．（2024高二下·全国·课后作业）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解. 【详解】由得， 所以圆心为，半径为， 设切点分别为，连接，则为两切线的夹角， 由于， 所以， 由二倍角公式可得， 故选：B. 6．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，可知当OP最小时，最大，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最大，即最大， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最大值． 故选：C． 7．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心坐标为，根据点在圆上列方程可得，可得方程； （2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得. 【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，有， 解得（舍去）或， 故圆的标准方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 由题知，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.    8．（23-24高二上·天津武清·期末）已知圆C过两点，， 且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作圆C的切线，求切线方程. 【答案】(1)（或标准形式） (2)或 【分析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案； （2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案． 【详解】（1）根据题意，因为圆过两点，， 设的中点为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即 又因为圆心在直线上，联立，解得， 所以圆心，半径，故圆的方程为； （2）圆的圆心为，半径， 当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切； 当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为， 即（*）， 由圆心C到切线的距离， 即，可得， 将代入（*），得切线方程为，即， 综上，所求切线方程为或. 【考点4：直线与圆位置关系中的最值问题】 【知识点：直线与圆位置关系中的最值问题】 1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． 2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 1．（2024高三·全国·专题练习）直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】首先根据两条直线所过的定点，以及位置关系，确定点的轨迹方程，即可利用几何关系求最值. 【详解】直线过定点，直线过定点， 且直线与直线垂直， 所以点在以为直径的圆上，圆心，半径， 其方程为． 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为． 故答案为： 2．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，即可根据面积公式即可求解. 【详解】 四边形的面积, 当与直线垂直时，此时取最小值，故最小值为， 又半径，所以，则四边形面积的最小值为. 故答案为： 3．（23-24高二上·吉林延边·期中）若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离为， 所以线段PQ长度的最小值为. 故选：B 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（      ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由数形结合即可求点到直线距离的最大值. 【详解】依题意，所以， 因为为的中点，所以， 如图所示，过点作直线的垂线，垂足为， 连接，则圆心到直线的距离为， 因为当且仅当三点共线时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 故选：C    5．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析发现两圆心和的连线恰好垂直于直线，从而得出当与和共线时最小，从而得解. 【详解】 因为圆：的标准方程为； 圆：的标准方程为： 所以和的圆心坐标分别为、，半径，， 所以直线的斜率，而直线的斜率为1 所以直线与直线垂直，如图， 所以当与和共线时最小，此时， 又此时，， 所以最小值为. 故选：C 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目阿波罗尼斯圆的条件不妨取，使得，从而将所求转化为，根据题意，所表示的圆与圆相同可解得点坐标，再利用三角形两边之和大于第三边得到 (当且仅当在线段上时取等)即可得解. 【详解】设，不妨取，使得， 则， 整理得， 此方程与相同， 所以有，解得， 所以， 所以，当且仅当在线段上时，取等号. 因为，所以在圆内； ，所以在圆外； 所以线段与圆必有交点（记为）， 当重合时，，为其最小值， 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题时，关键是利用阿波罗尼斯圆将变为，再由当在线段上时，求出最小值. 7．（多选）（23-24高二下·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 【答案】ACD 【分析】将直线的方程化简为点斜式，判断出A项的正误；根据时被圆截得弦长最短，算出的最小值，从而判断出B项的正误； 利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合圆的性质求出的最大值与的大小，从而判断出CD两项的正误． 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径． 对于A，直线，可化为， 所以直线经过点，斜率为， 因此直线过定点，A项正确； 对于B，当时，直线到圆心的距离达到最大值， 此时，可知的最小值是，故B项不正确；    对于C，， 由于的最小值是，此时取最大值，故最大值为0， 故C项正确； 对于D，设的中点为，连接，则， 可得 ， 故D项正确． 故选：ACD． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【详解】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 直线与圆的位置关系 【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】 1 【考点2：直线与圆的交点坐标、弦长】 3 【考点3：圆的切线方程、切点坐标、切线长】 5 【考点4：直线与圆位置关系中的最值问题】 7 【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】 【知识点：直线与圆的位置关系的判断及求参】 ①直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离． ②两种研究方法 1．（2024·山东淄博·二模）若圆，则直线与圆C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 3．（2024高二上·四川乐山·阶段练习）已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 5．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 6．（多选）（23-24高二下·河南·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 7．（多选）（23-24高二下·广西桂林·期末）直线l：，圆C：，下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角为 B．圆C的圆心坐标为（1，0） C．当时，直线l与圆C相切 D．当时，直线l与圆C相交 8．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若直线与圆有公共点，则的一个取值是 . 9．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【考点2：直线与圆的交点坐标、弦长】 【知识点：直线与圆的交点坐标、弦长】 1．（2024高二下·全国·随堂练习）过三点的圆交于轴于两点，则＝（ ） A． B．8 C． D．10 2．（2024·四川达州·二模）已知圆心为的与直线相切，则直线被截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 4．（23-24高二下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（2024·青海西宁·二模）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为 ． 7．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 8．（23-24高二上·广西南宁·期末）已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【考点3：圆的切线方程、切点坐标、切线长】 【知识点：圆的切线方程、切点坐标、切线长】 1．圆弦长问题的两个主要考查角度 (1)已知直线与圆的方程求圆的弦长． (2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等． 2．求解弦长问题的两个方法 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 1．（23-24高二上·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）若从点引圆的切线，则切线长是 ． 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 4．（2024高三·全国·专题练习）圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ． 5．（2024高二下·全国·课后作业）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D．6 6．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 8．（23-24高二上·天津武清·期末）已知圆C过两点，， 且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作圆C的切线，求切线方程. 【考点4：直线与圆位置关系中的最值问题】 【知识点：直线与圆位置关系中的最值问题】 1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． 2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 1．（2024高三·全国·专题练习）直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是 ． 2．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 . 3．（23-24高二上·吉林延边·期中）若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（      ）． A． B． C． D．4 5．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 7．（多选）（23-24高二下·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$