第02讲 4.3对数+4.4对数函数(10大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第02讲 4.3对数+4.4对数函数 目录 题型一：重点考查指数式与对数式相互转换 1 题型二：重点考查对数运算和化简求值 2 题型三：重点考查换底公式的应用 3 题型四：重点考查有附加条件的对数求值问题 4 题型五：重点考查对数（对数型复合函数）函数定义域 5 题型七：重点考查求对数函数（对数型复合函数）的值域 8 题型八：重点考查根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 9 题型九：重点考查对数型复合函数的单调性 11 题型十：重点考查对数函数综合知识 11 题型一：重点考查指数式与对数式相互转换 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则 ． 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列各式中的值： （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； （4）若，则 ． 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：重点考查对数运算和化简求值 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，求的值. 例题2．（24-25高一上·上海·单元测试）求的值． 精练核心考点 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末） . 2．（23-24高二下·湖南娄底·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)． 题型三：重点考查换底公式的应用 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）设，， （1）用含，的式子表示，形式为 . （2）用含，的式子表示，形式为 . 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，，用a，b表示． 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，且，求m的值． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求： (1)； (2)； (3)． 题型四：重点考查有附加条件的对数求值问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知正数 ，满足 ，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 例题3．（2025高三·全国·专题练习）设，求的值． 精练核心考点 1．（多选）（2023·江西萍乡·二模）已知，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知，，则 . 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，且则 ． 题型五：重点考查对数（对数型复合函数）函数定义域 典型例题 例题1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的定义域是 . 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的定义域： (1)； (2)． 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·单元测试）函数的定义域是 ． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六：重点考查对数函数（对数型复合函数）图象问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·湖北·期末）函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   例题2．（24-25高一上·上海·单元测试）对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二下·浙江杭州·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A．B． C． D． 精练核心考点 1．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 2．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数 的图象是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   题型七：重点考查求对数函数（对数型复合函数）的值域 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的值域为 ． 例题2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数（，且）． (1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值； (2)若，求函数，的值域． 例题3．（2024高一上·全国·专题练习）求函数，的值域. 精练核心考点 1．（24-25高一上·全国·假期作业）函数的值域是 ． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数，的最大值和最小值． 3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值域． 题型八：重点考查根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，若的值域为，则的取值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例题2．（23-24高一上·北京·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 例题3．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数. (1)若的值域为，求实数的取值范围； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 精练核心考点 1．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若不等式有解，求实数的取值范围． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数，． (1)若函数过定点，求函数的定义域； (2)若函数值域为，求的取值范围． 题型九：重点考查对数型复合函数的单调性 典型例题 例题1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调递增区间为 ． 例题3．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知函数，则的定义域是 ；单调增区间为 . 精练核心考点 1．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 . 2．（23-24高一下·江苏·开学考试）函数的单调递增区间是 ． 3．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）函数的单调递增区间为 . 题型十：重点考查对数函数综合知识 典型例题 例题1．（23-24高一下·甘肃白银·期中）已知函数． (1)证明：的定义域与值域相同． (2)若，，，求m的取值范围． 例题2．（23-24高一下·内蒙古·期中）已知函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间； (3)求不等式的解集． 例题3．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 精练核心考点 1．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知函数. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 2．（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数且. (1)当时，求在上的值域； (2)求关于的不等式的解集； (3)若函数为上的增函数，求的取值范围. 3．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知（且）是指数函数． (1)求关于x的不等式的解集． (2)求在区间上的值域． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 4.3对数+4.4对数函数 目录 题型一：重点考查指数式与对数式相互转换 1 题型二：重点考查对数运算和化简求值 3 题型三：重点考查换底公式的应用 5 题型四：重点考查有附加条件的对数求值问题 7 题型五：重点考查对数（对数型复合函数）函数定义域 11 题型七：重点考查求对数函数（对数型复合函数）的值域 17 题型八：重点考查根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 20 题型九：重点考查对数型复合函数的单调性 24 题型十：重点考查对数函数综合知识 26 题型一：重点考查指数式与对数式相互转换 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则 ． 【答案】2 【分析】由对数和指数的互化求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列各式中的值： （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； （4）若，则 ． 【答案】 998 4或 【分析】运用指数对数互化和对数性质结论可解. 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为：；998；4或；. 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型二：重点考查对数运算和化简求值 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数运算公式计算即可； （2）根据对数运算公式计算即可； （3）根据对数相等，得，同除得或（舍），再代入运算即可. 【详解】（1）. （2） . （3）由题意，在中，有 由化简得，两边同除得，解得或（舍）， . 例题2．（24-25高一上·上海·单元测试）求的值． 【答案】11 【分析】根据指数以及对数的运算性质即可求解. 【详解】 ． 精练核心考点 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末） . 【答案】12 【分析】根据对数和指数运算法则计算可得结果. 【详解】易知 . 故答案为：12 2．（23-24高二下·湖南娄底·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用指数幂的性质公式化简求解即可； （2）运用对数运算性质公式求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 题型三：重点考查换底公式的应用 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）设，， （1）用含，的式子表示，形式为 . （2）用含，的式子表示，形式为 . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】因为，， （1）由； （2）由. 故答案为：；. 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，，用a，b表示． 【答案】 【分析】由对数的运算得出，进而得出，，最后由换底公式求解即可. 【详解】依题意，由，即，可得， 则 所以． 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）（2）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得，代入运算求解即可. 【详解】（1）因为，则， 则 所以； （2）因为，则，， 可得，，则． 由题意可得，则，且，所以． 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 【答案】 【分析】利用对数换底公式和对数运算性质化简计算即得. 【详解】． 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，且，求m的值． 【答案】或． 【分析】将指数式化成对数式，对已知等式进行分类讨论，利用换底公式计算即得. 【详解】由可得，． 因，①当时，易得，此时等式成立，； ②当时，由可得. 则有，解得． 综上所述：或． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】由对数运算结合换底公式计算即可. 【详解】（1）因为，． 所以． （2）． （3）． 题型四：重点考查有附加条件的对数求值问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知正数 ，满足 ，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，对于A，直接代入利用对数的运算性质计算判断，对于B，结合对数函数的单调性分析判断，对于C，利用作差法分析判断，对于D，对化简变形，结合幂的运算性质及不等式的性质分析判断. 【详解】令，则， 对于A，，所以A正确， 对于B，因为在上递增，且， 所以，即， 即，所以，所以B正确， 对于C，因为 ， 所以，所以C错误， 对于D，， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以D正确， 故选：C 例题2．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】设，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B. 【详解】因为，设 对A，知，易知.选项A正确. 对C，因为，，，所以，，， 于是，选项C正确. 对D，若，则，即，则. 由知.选项D正确. 对B，取，则，由知， 知，所以，即， ，此时，选项B错误. 故选：ACD. 例题3．（2025高三·全国·专题练习）设，求的值． 【答案】1 【分析】根据指数幂与对数的互化公式，得到，再结合对数的运算法则，即可求解. 【详解】由，可得，，则， 所以. 故答案为：. 精练核心考点 1．（多选）（2023·江西萍乡·二模）已知，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项. 【详解】因为， 所以， 对A选项，，所以，故A正确； 对B选项，， 所以，故B选项不正确； 对C选项，因为，， 所以， 而，故上述不等式等号不成立，则，故C不正确； 对D选项， ,故D正确. 故选：AD 2．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知，，则 . 【答案】2 【分析】根据对数性质判断且，由已知条件利用对数运算可求解. 【详解】因为，，则且， 所以， 所以，. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，且则 ． 【答案】2 【分析】先将指数式化成对数式，代入方程，利用对数的运算性质计算即得 【详解】由，化成对数式为：，， 代入方程得，，解得． 故答案为：2. 题型五：重点考查对数（对数型复合函数）函数定义域 典型例题 例题1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数有意义列不等式组求解即可. 【详解】函数的定义域为 ， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用对数函数概念，结合二次不等式解题即可； （2）运用偶次方根的限制条件，结合对数单调性解不等式即可. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足，解得或． 故所求函数的定义域为． （2）要使函数有意义，需，且，即，且， 所以，解得，故所求函数的定义域为 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用函数式有意义，结合对数的定义列出不等式求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，需满足，解得， 所以函数的定义域是． （2）要使函数式有意义，需满足，解得且， 所以函数的定义域是． （3）要使函数式有意义，需满足，解得且， 所以函数的定义域是． 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·单元测试）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的定义域列不等式，解不等式即可. 【详解】由， 得，解得或， 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由对数复合函数有意义即可列出不等式求解. 【详解】由，解得或． 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先由对数式中的真数大于零，然后分母不能为零，即可得到答案. （2）先由根式内部的代数式大于等于零，然后对数式中的真数大于零，即可得到答案； （3）根据对数式中的真数大于零，即可得到答案； （4）根据对数真数大于零底数大于零且不等于，即可得到答案； 【详解】（1）要使函数式有意义，需满足，解得且， ∴函数的定义域是； （2）要使函数式有意义，需满足，即，解得， ∴所求函数的定义域是； （3）要使函数式有意义，需满足，解得， ∴所求函数的定义域是； （4）要使函数式有意义，需满足，解得且， ∴所求函数的定义域是． 题型六：重点考查对数函数（对数型复合函数）图象问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·湖北·期末）函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数在、时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为， 且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，则，当时，则，故排除C. 故选：D 例题2．（24-25高一上·上海·单元测试）对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 例题3．（23-24高二下·浙江杭州·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案. 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反， 且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知， 所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确. 故选：C. 精练核心考点 1．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】通过分析正比例函数和对数函数的特征可得解. 【详解】函数，由对数函数可知，且， 当时，为过原点的减函数，为减函数，则B错误，D正确； 当时，为过原点的增函数，为增函数，则A错误，C错误； 故选：D. 2．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数 的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，结合对数函数的性质即可得解. 【详解】因为，故排除D； 当时，，故排除BC； 结合对数函数的性质可知A正确. 故选：A. 3．（23-24高一下·河南·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】 根据奇偶性排除AB，根据函数值符号排除C，故可得正确的选项. 【详解】 函数的定义域为， 因为，所以函数为奇函数， 图象关于原点对称，排除AB； 当时，，故C错误，D正确. 故选：D. 题型七：重点考查求对数函数（对数型复合函数）的值域 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】配方得到，结合对数函数单调性得到值域. 【详解】， 又在上单调递增， 故，故值域为. 故答案为： 例题2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数（，且）． (1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值； (2)若，求函数，的值域． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）由题意得，然后将坐标代入函数中可求出实数的值； （2）将函数化简得，令，则，然后利用二次函数的性质可求出其值域. 【详解】（1）由题意可知， 代入点，有，注意到，解得， 故实数的值为4； （2）． 令． 由，有， 二次函数的对称轴为， ，， 故的值域为． 例题3．（2024高一上·全国·专题练习）求函数，的值域. 【答案】 【分析】根据对数运算整理函数解析式，利用换元法，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】. 设，且，故， 则且，图象的对称轴为， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，，当时，. ∴的值城为. 精练核心考点 1．（24-25高一上·全国·假期作业）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用换元的思想，将复合函数转换为二次函数，结合求指数函数及对数函数的值域，来求解复合函数的值域问题． 【详解】解：令， 则， 因为， 则，且的对称轴为， 可知， 所以的值域是． 故答案为：． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数，的最大值和最小值． 【答案】的最大值为0，最小值为． 【分析】对函数化简变形得，令，则，，然后利用二次函数的性质可求出函数的最值. 【详解】解： ． ∵，∴．令， 那么，， 函数为二次函数，开口向上，对称轴为， 则函数在上递减，在上递增． 当时，取得最小值，当或2时，取最大值0． 综上所述，的最大值为0，最小值为． 3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先考虑函数定义域，再运用对数函数单调性求解不等式即得； （2）根据求函数值域的从内到外的原则，先由的范围求的范围，再运用对数函数单调性求的范围，最后即得函数值域. 【详解】（1）由可知，即得：， 由得：，即， 因在定义域内是增函数，故得，即， 又因，故的取值范围. （2）由可得， 因在定义域内是增函数，则，故得：， 即函数的值域为. 题型八：重点考查根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，若的值域为，则的取值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【分析】结合图象，对选项逐一分析即可得. 【详解】在同一坐标系中画出函数及的图象， 结合图象，当时， 有时，， 当时，， 其中， 故的值域为为，不符合题意，故舍去； 当时，易得时，， 当时，， 此时，故的值域为，符合要求； 当时，易得时，， 当时，，故的值域为，符合要求； 综上所述，的取值可以是3、4，不能是5或6. 故选：AB. 例题2．（23-24高一上·北京·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用对数函数的定义，可得的取值集合包含区间，再列出不等式求解即得. 【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含区间， 因此，且，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 例题3．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数. (1)若的值域为，求实数的取值范围； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由可取大于0的任意数，则求参数范围； （2）解对数不等式，问题化为在上能成立，结合二次函数性质求参数范围. 【详解】（1）由题设，可取大于0的任意数，故，即或. （2）由，则， 所以在上能成立， 对于开口向上且对称轴， 若，只需，显然无解； 若，只需，故， 综上，. 精练核心考点 1．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先求出两函数的值域，再根据题意转化为两个函数值域的包含关系，可分和两种情况进行分类讨论，列示求解. 【详解】当时，； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复合对数函数定义域的求法列出不等式组，解之即可得解； （2）只需结合换元法、对数函数单调性，求出的最大值即可得解. 【详解】（1）函数有意义，须满足，∴． ∴函数的定义域为． （2）∵不等式有解，∴小于的最大值． ． 令，由于，∴． ∴函数的最大值为， ∴实数的取值范围为． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数，． (1)若函数过定点，求函数的定义域； (2)若函数值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据函数过定点求出的值，再求其定义域即得； （2）将题意转化成函数的值域为，就参数进行分类讨论，结合二次函数的图象分析即得. 【详解】（1）因为函数过定点，则当时，，则，即，则， 由，得， 故函数的定义域为． （2）若函数的值域为，则可取到的所有值， 当时，，显然可以取到，故符合题意； 当时，只需，解得，则； 当时，不能取到的所有值，不合题意. 综上，的取值范围为． 题型九：重点考查对数型复合函数的单调性 典型例题 例题1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：B 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】根据函数的图象求解函数的单调增区间. 【详解】由函数可得函数的图像如图所示． 所以函数的单调增区间为． 故答案为： 例题3．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知函数，则的定义域是 ；单调增区间为 . 【答案】 . 【分析】根据一元二次不等式的解法可得的定义域，结合复合函数的单调性即可求解. 【详解】由，解得，则定义域是， 令，其对称轴方程为，图象是开口向下的抛物线， 则在上为增函数， 又为定义域内的增函数，则的单调增区间为. 故答案为：；. 精练核心考点 1．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对数复合型函数的单调性建立关于a的不等式组，解之即可求解. 【详解】设，因为单调递增， 若在单调递增，则在单调递增， 则满足，即，解得， 故的取值范围是. 故答案为： 2．（23-24高一下·江苏·开学考试）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性规则求解即可. 【详解】解：由，得或． 函数的定义域为或． 令，该函数在上为减函数， 而函数为定义域内的减函数， 则函数的单调递增区间是． 故答案为：． 3．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再根据复合函数单调性的求解方法，即可求解. 【详解】由题得或. 函数在定义域的单调递增区间为，单调递减区间为， 又函数是减函数，所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 题型十：重点考查对数函数综合知识 典型例题 例题1．（23-24高一下·甘肃白银·期中）已知函数． (1)证明：的定义域与值域相同． (2)若，，，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由具体函数的定义域可得，解不等式即可求出的定义域，再结合对数函数的单调性即可求出的值域. （2）设，则，分别求出，即可得出答案. 【详解】（1）证明：由，得， 所以的定义域为． ， 因为在上单调递增． 所以，所以的值域为， 所以的定义域与值域相同． （2）解：由（1）知在上单调递增， 所以当时，． 设， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 因为，，， 所以，即m的取值范围为． 例题2．（23-24高一下·内蒙古·期中）已知函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)递减区间是，递增区间是； (3). 【分析】（1）利用对数函数的定义列出不等式，求解即得. （2）利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出单调区间. （3）判断函数的奇偶性，借助奇偶性、单调性脱去法则求解不等式. 【详解】（1）函数中，由，解得， 所以的定义域为. （2）函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减， 所以的递减区间是，递增区间是. （3）由，得函数为偶函数， 由（2）知，在上单调递增，则， 因此，即，解得， 所以原不等式的解集是． 例题3．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质列方程求解即可； （2）先利用分离常数法结合指数函数性质求得在的值域，然后利用换元法结合对数函数性质，利用二次函数性质求得的值域，最后利用值域关系列不等式求解即可. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 即在定义域上恒成立，整理得，故； （2）由（1）得，则， 因为，所以，所以， 所以在的值域， 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立，即， 所以，解得. 精练核心考点 1．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知函数. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意转化为在上恒成立问题，结合二次函数的图象，需使即得； （2）先判断函数在区间上的单调性，得对任意恒成立，即对任意恒成立，则需使，就参数的取值分类讨论函数的最小值即得的范围. 【详解】（1）由函数的定义域为，可得，在上恒成立， 结合二次函数的图象可知，需使，解得，即的取值范围为； （2）设，则在定义域内是增函数， 因，,故对任意，函数在区间上单调递增， 故，， 依题意，对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，则需使， 因函数图象的对称轴为， ①当，即时，在上单调递增，故由，解得，不合题意，舍去； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，因，故. 综上，的取值范围是. 2．（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数且. (1)当时，求在上的值域； (2)求关于的不等式的解集； (3)若函数为上的增函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）根据增函数加增函数为增函数的结论得到的单调性，从而得到其值域； （2）对分和讨论即可； （3）根据分段函数单调性得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，，因为均为增函数， 所以为增函数， 所以， ， 所以当时，在上的值域为. （2）的定义域为. 当时，因为均为增函数， 所以为增函数，因为， 所以不等式的解集为. 当时，因为均为减函数， 所以为减函数， 所以不等式的解集为. （3）依题意可得， 解得，即的取值范围为. 3．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知（且）是指数函数． (1)求关于x的不等式的解集． (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由指数函数的定义得到方程，求出，，则，利用函数单调性得到不等式，并结合定义域，求出不等式的解集； （2）变形得到，换元后得到，，利用二次函数单调性求出值域. 【详解】（1）由指数函数定义，得，而且且， 解得，，则， 不等式，即， 而函数在R上递增，因此，即， 则，解得，所以原不等式的解集为． （2）， 当，令，则， 所以，， 由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， ，且， 函数在区间上的值域为． 学科网（北京）股份有限公司 $$