第01讲 4.1指数+4.2指数函数(9大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第01讲 4.1指数+4.2指数函数 目录 题型一：重点考查根式的化简(求值) 1 题型二：重点考查条件求值 3 题型三：重点考查指数型函数图象过定点问题 4 题型四：重点考查指数函数图象的识别 4 题型五：重点考查利用指数函数的单调性解不等式 7 题型六：重点考查指数型复合函数的单调性 8 题型七：重点考查与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 9 题型八：重点考查可化为一元二次函数型 10 题型九：重点考查与指数函数的相关的综合问题 11 题型一：重点考查根式的化简(求值) 典型例题 例题1．（2024高一·全国·专题练习）若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高一上·全国·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 例题3．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 精练核心考点 1．（2024高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 2．（23-24高一·全国·课后作业）化简(1) (x＜π，n∈N*)； (2). 3．（23-24高一·上海·课后作业）化简：（1）；          （2）． 题型二：重点考查条件求值 典型例题 例题1．（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，则 ； （2）若，，则 ； 例题2．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）已知，则 ． 例题3．（2024高一上·全国·专题练习）已知，计算：. 精练核心考点 1．（23-24高一上·重庆黔江·阶段练习）回答下面两题： 计算：已知，则 = 2．（23-24高一上·浙江·期中）计算： 已知，求的值． 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，求的值． 题型三：重点考查指数型函数图象过定点问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）的图象经过一定点，则该定点坐标为 ． 例题2．（24-25高一上·上海·单元测试）若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是 ． 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数（且）的图象必经过点 ． 2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数（且）的图象过定点P，则定点P的坐标是 . 题型四：重点考查指数函数图象的识别 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C．D． 例题2．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（    ）      A．   B．   C．   D．   例题3．（多选）（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，则函数的图象可能是（    ） A．     B．   C．   D．   精练核心考点 1．（23-24高一上·广东东莞·期末）函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高三上·山东·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   题型五：重点考查利用指数函数的单调性解不等式 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知不等式，且，则实数x的取值范围为 ． 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）满足的的取值范围为 ． 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）解不等式：（其中且）． 2． （2024高一·全国·专题练习）解不等式. 题型六：重点考查指数型复合函数的单调性 典型例题 例题1．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·云南大理·期末）函数在上单调递减，则的范围为 . 例题3．（23-24高一·全国·课堂例题）讨论函数的单调性． 精练核心考点 1．（23-24高一下·云南·阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则的单调递减区间为 . 3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数在区间D上单调递增，请写出一个满足条件的区间D为 ． 题型七：重点考查与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 典型例题 例题1．（23-24高一上·北京平谷·期末）函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·上海·假期作业）已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）求的最值． 精练核心考点 1．（23-24高三下·北京·开学考试）函数的值域为 . 2．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 . 3．（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域 题型八：重点考查可化为一元二次函数型 典型例题 例题1．（23-24高三上·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·宁夏银川·期中）已知函数，则其值域为 . 例题3．（23-24高一下·江苏南通·开学考试）已知函数，其中 (1)若的最小值为，求的值； (2)若存在，使成立，求的取值范围． 精练核心考点 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）函数在上的值域为 . 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，． (1)设，求的取值范围； (2)求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 题型九：重点考查与指数函数的相关的综合问题 典型例题 例题1．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数且. (1)若，求函数的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 例题2．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）设函数（）. (1)若函数是奇函数，求a与b的值； (2)在（1）的条件下，判断并证明函数的单调性，并求不等式的解集. 例题3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 2．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）已知是自然对数的底数，. (1)若是偶函数，求实数的值； (2)在（1）的条件下，用单调性定义证明函数在上是增函数； (3)在（1）（2）的条件下解不等式 3．（23-24高一下·广西·开学考试）已知定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若对任意的，都有，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 4.1指数+4.2指数函数 目录 题型一：重点考查根式的化简(求值) 1 题型二：重点考查条件求值 5 题型三：重点考查指数型函数图象过定点问题 7 题型四：重点考查指数函数图象的识别 8 题型五：重点考查利用指数函数的单调性解不等式 12 题型六：重点考查指数型复合函数的单调性 14 题型七：重点考查与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 17 题型八：重点考查可化为一元二次函数型 19 题型九：重点考查与指数函数的相关的综合问题 23 题型一：重点考查根式的化简(求值) 典型例题 例题1．（2024高一·全国·专题练习）若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把等式左边变形为，结合，可得，则答案可求. 【详解】解：由， 可得，即．实数的取值范围是． 故选：． 例题2．（2024高一上·全国·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由成立，即可得出，解得即可. 【详解】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 故答案为：. 例题3．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）将带分数化为假分数，小数化为分数，利用根式的运算性质化简计算即可； （2）分和两种情况讨论，利用根式的运算性质化简计算即可； （3）将二次根式中被开方数化为完全平方的形式，利用根式的性质化简计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式. 当时，原式； 当时，原式. 因此，原式； （3）原式 【点睛】本题考查根式的化简计算，熟练利用根式的性质是关键，考查计算能力，属于中等题. 精练核心考点 1．（2024高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 2．（23-24高一·全国·课后作业）化简(1) (x＜π，n∈N*)； (2). 【答案】（1）答案见解析（2）. 【分析】（1）对分类讨论即可； （2）根据根式的运算法则及性质计算即可. 【详解】(1)∵x＜π，∴x－π＜0. 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上可知， (2)∵a≤， ∴1－2a≥0， ∴＝＝＝. 【点睛】本题主要考查了根式的意义及其运算性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 3．（23-24高一·上海·课后作业）化简：（1）；          （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由于，所以直接开方可得结果； （2）由于，所以直接开方化简即可 【详解】（1）原式 ． （2）原式=， ∵， ∴， 所以，原式＝． 【点睛】此题考查了二次根式的化简，属于中档题. 题型二：重点考查条件求值 典型例题 例题1．（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，则 ； （2）若，，则 ； 【答案】 【分析】（1）首先求出，即可求出，从而得解； （2）利用立方差公式将分子因式分解，再结合幂的运算法则计算可得； 【详解】（1）因为，所以，则， 所以，所以； （2）因为，， 所以 ； 例题2．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）已知，则 ． 【答案】3 【分析】两边平方后，求出答案. 【详解】因为，所以，即． 故答案为：3 例题3．（2024高一上·全国·专题练习）已知，计算：. 【答案】4 【分析】对两边平方，求出，再对此式两边平方，化简可得，从而代入可求结果. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以，所以. 精练核心考点 1．（23-24高一上·重庆黔江·阶段练习）回答下面两题： 计算：已知，则 = 【答案】 【分析】首先求，即可化简求值. 【详解】）， 所以. 2．（23-24高一上·浙江·期中）计算： 已知，求的值． 【答案】 【分析】利用完全平方公式和立方差公式求值. 【详解】由，则有， ，， ∴． 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，求的值． 【答案】18. 【分析】根据给定条件，结合指数幂的化简求出，再借助因式分解法求值即得. 【详解】由，得， 所以． 题型三：重点考查指数型函数图象过定点问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）的图象经过一定点，则该定点坐标为 ． 【答案】 【分析】当时，为常数，从而可求出函数图象过的定点. 【详解】当，即时，， 所以的图象经过定点. 故答案为： 例题2．（24-25高一上·上海·单元测试）若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据的图象过点可得答案. 【详解】的图象过点， 图象由的图象右移3个单位、上移7个单位得到， 故过定点． 故答案为：． 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数（且）的图象必经过点 ． 【答案】 【分析】根据函数（且）的图象过定点可得答案. 【详解】因为函数（且）的图象必经过点， 所以函数的图象必经过点. 故答案为：. 2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数（且）的图象过定点P，则定点P的坐标是 . 【答案】 【分析】根据指数函数（且）的图象恒过点求解即可. 【详解】∵指数函数（且）的图象恒过点， ∴对于函数（且）， 令，得，此时， 故函数（且）的图象过定点. 故答案为：. 题型四：重点考查指数函数图象的识别 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】利用排除法，根据指数函数和二次函数的图象与性质分析判断即可 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 例题2．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由二次函数性质即可得，再由指数函数性质及图象即可判断得出结果. 【详解】根据函数的图象可知， 再由指数函数图象及性质可知，为单调递增，可排除AB， 且与轴交点为，又，所以，即交于轴正半轴上，排除D，可知C正确； 故选：C 例题3．（多选）（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，则函数的图象可能是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】BCD 【分析】利用指数函数图象性质，对底数进行分类讨论逐一判断选项即可求得结果. 【详解】根据题意，由指数函数性质可知 当时，函数单调递减，且， 若，则函数图象过坐标原点，此时图象为D； 当时，函数，图象可能是C； 当时，函数单调递增，且， 此时交轴正半轴，函数图象可以为B； 故选：BCD 精练核心考点 1．（23-24高一上·广东东莞·期末）函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】结合指数函数单调性以及特殊点即可判断. 【详解】由题意， 所以当时，单调递增，且， 当时，单调递减，且， 且当从左边趋于0时，趋于，当从右边趋于0时，趋于1. 故选：A. 2．（23-24高三上·山东·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案. 【详解】因为，所以，定义域为； 因为，所以， 故，所以为奇函数，排除B， 当逼近于，逼近于，排除D， 由，，则，排除C， 故选：A. 3．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解. 【详解】∵， ∴时，， 当时，函数为上的单调递增函数，且， 当时，函数为上的单调递减函数，且， 故选：B 题型五：重点考查利用指数函数的单调性解不等式 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知不等式，且，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性将原不等式化为，然后解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式，且， 所以，，解得， 所以实数x的取值范围为. 故答案为： 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用指数不等式的解法求解即可． 【详解】解：不等式，即， 所以，解得， 则满足的的取值范围是． 故答案为：． 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）解不等式：（其中且）． 【答案】答案见解析 【分析】对分类讨论，再结合指数函数单调性解不等式即可求解. 【详解】当时，； 当时，． 综上，当时，解集为；时，解集为． 2．（2024高一·全国·专题练习）解不等式. 【答案】 【分析】 根据指数型复合函数的单调性建立不等式，解之即可求解. 【详解】因为在上为增函数，且， 所以，解得. 题型六：重点考查指数型复合函数的单调性 典型例题 例题1．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可得到答案. 【详解】内函数，其在上单调递增， 而外函数在上单调递减， 则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为， 故选：B. 例题2．（23-24高一上·云南大理·期末）函数在上单调递减，则的范围为 . 【答案】 【分析】函数是由指数变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得的单调性，从而解出答案. 【详解】因为，所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得在单调递增，在单调递减. 因为函数在上单调递减所以. 故答案为：. 例题3．（23-24高一·全国·课堂例题）讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【详解】此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此也可根据复合函数的单调性对其进行讨论． 函数的定义域为R， 令，则.列表如下：     由表可知，原函数在上是减函数，在上是增函数. 精练核心考点 1．（23-24高一下·云南·阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性判断的单调性，即可求出参数的取值范围. 【详解】令，， 显然在上单调递增，且的值域为， 又， 所以在上单调递减，在上单调递增， 令，解得， 由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 因为函数在区间上单调递减，所以， 即的取值范围为. 故选：A 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】将原函数视为复合函数，利用复合函数的性质求解即可. 【详解】令，， 则是由和构成的复合函数， 由指数函数性质得在上单调递减， 由二次函数性质得的单调递增区间为， 由复合函数性质得的单调递减区间为. 故答案为： 3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数在区间D上单调递增，请写出一个满足条件的区间D为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据指数型函数的单调性判断方法，将指数取为，分别判断外函数和内函数的单调性，再由“同增异减”的方法即得函数的单调区间，再取其任意子集即得. 【详解】对于函数，不妨设，则在上递减， 而的对称轴为直线， 故当时，函数为减函数，当时，函数为增函数. 根据复合函数的“同增异减原则”可得：函数在上递增，在上递减. 故依题意可知，区间可取区间的任何子集，如. 故答案为：.（答案不唯一） 题型七：重点考查与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 典型例题 例题1．（23-24高一上·北京平谷·期末）函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意得，结合指数函数单调性即可求解. 【详解】由题意，所以，. 故选：C. 例题2．（23-24高一上·上海·假期作业）已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 【答案】(1)；0； (2)作图见解析， 【分析】（1）直接代入式子计算、即可； （2）结合指数函数性质分离常数法求函数值域，结合函数的单调性作出的图象. 【详解】（1）， ； （2）由（1）知，，， 所以为奇函数，图象关于原点对称，且， 为增函数， 因为，所以， 得函数的值域为. 的图象如下图， 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）求的最值． 【答案】，无最大值． 【分析】将整理得到，再利用换元法得到即可求解． 【详解】， ， 令， 即， 当且仅当， 即时等号成立． 所以，无最大值． 精练核心考点 1．（23-24高三下·北京·开学考试）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质以及反比例函数、指数函数的性质即可得到答案. 【详解】当时，， 当时，则，即， 综上的值域为， 故答案为：. 2．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 . 【答案】16 【分析】求出的范围，根据复合函数的单调性求解. 【详解】由，而， 因为单调递增，所以，则的最大值是16. 故答案为：16 3．（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域 【答案】 【分析】根据题意，分离常数，然后由反比例函数的值域，即可得到结果. 【详解】因为，且定义域为， 当时，，则， 所以，所以函数的值域为. 题型八：重点考查可化为一元二次函数型 典型例题 例题1．（23-24高三上·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将转化为关于的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可. 【详解】设，则，，有最小值. 当时，二次函数开口向下，无最小值； 当时，无最小值； 当时，若在上有最小值，则对称轴，解得. 故选：A 例题2．（23-24高一上·宁夏银川·期中）已知函数，则其值域为 . 【答案】 【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上值域的问题，结合二次函数单调性，即可求得结果. 【详解】解：令，∵，∴， ∴， 又关于对称， 即时，函数取得最小值，即， 即时，函数取得最大值，即， ,. 故答案为：. 例题3．（23-24高一下·江苏南通·开学考试）已知函数，其中 (1)若的最小值为，求的值； (2)若存在，使成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数解析式变形为，结合可求得实数的值； （2）令，，由可得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，， 当时，即当时，函数取得最小值，即，解得. （2）解：令，则，由可得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，所以，，. 精练核心考点 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）函数在上的值域为 . 【答案】 【分析】本题考查换元法，再结合二次函数求值域． 【详解】 ∵则令 在递增 ∴ 故答案为：． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 【答案】最小值，最大值3. 【分析】首先换元，转化为关于的二次函数求最值. 【详解】， 令，因为，所以， 代入原函数后得， 所以当即时，取得最小值. 当即时，取得最大值3. 综上，当时，取得最小值，当时，取得最大值3. 3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，． (1)设，求的取值范围； (2)求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】(1) (2)当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为 【分析】（1）根据指数函数的单调性求得正确答案. （2）利用换元法，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】（1）由于在区间上单调递增， 所以，即的取值范围是. （2）令，则，其中， 根据二次函数的性质可知，当，时，函数取得最小值为； 当时，函数取得最大值为. 题型九：重点考查与指数函数的相关的综合问题 典型例题 例题1．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数且. (1)若，求函数的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）换元令，可得，结合二次函数即可得最小值； （2）换元令，可得恒成立，结合运算求解. 【详解】（1）若，则， 令， 故原式化为， 若时，可知在上单调递增， 可知在上单调递增，可知； 若时，可知在上单调递减， 可知在上单调递减，可知； 综上所述：， 可知当时，取到最小值为1. （2）因为， 设， 由题意得即恒成立，即恒成立， 且，则，解得， 所以实数的取值范围为. 例题2．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）设函数（）. (1)若函数是奇函数，求a与b的值； (2)在（1）的条件下，判断并证明函数的单调性，并求不等式的解集. 【答案】(1)； (2)为R上的减函数，证明见解析，. 【分析】（1）根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值； （2）根据函数单调性的定义或性质证明函数的单调性，并利用单调性的性质解不等式. 【详解】（1）由函数是奇函数，得， 即对定义域内任意实数x都成立， 整理得对定义域内任意实数x都成立， 则，而，解得， 所以. （2）由（1）知，函数为R上的减函数， ，则，，于是， 因此，因此函数为R上的减函数， 而，不等式，等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 例题3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】 （1）由奇函数性质即可得解，并注意检验； （2）结合指数函数单调性以及单调性的定义即可得证； （3）由奇函数的性质、以及函数单调性可等价转换表达式为一元二次不等式，由此即可顺利得解. 【详解】（1）由题意，函数定义域为R，则，解得， 当时，，定义域为全体实数，且， 所以函数是奇函数，满足题意； （2）由（1）可知单调递增，理由如下： 不妨设，则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数单调递增； （3）由题意， 所以实数的取值范围为. 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得对应的a值，进而可得结论； （2）由减函数可得对任意的，都有，变形可得恒成立，又可得，可得． 【详解】（1）令，则， 若，则；若，则. 所以当时，是偶函数； 当时，是奇函数； 当时，是非奇非偶函数. （2）设，则，， ， 因为函数在上严格减函数，所以恒成立， 所以，即，恒成立， 又因为，，所以，，所以． 2．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）已知是自然对数的底数，. (1)若是偶函数，求实数的值； (2)在（1）的条件下，用单调性定义证明函数在上是增函数； (3)在（1）（2）的条件下解不等式 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用偶函数的定义求出的值. （2）利用函数单调性定义证明函数在上是增函数. （3）由（1）（2）的结论，脱去法则“f”，再解不等式即得答案. 【详解】（1）由是偶函数，得，即， 整理得，而不恒为0， 所以. （2）由（1）知，，任取， 则， 由，得，即，则， 因此，所以函数在上是增函数. （3）由（1）知，不等式化为：， 由（2）知，，解得或， 所以原不等式的解集为. 3．（23-24高一下·广西·开学考试）已知定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若对任意的，都有，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)4 【分析】（1）利用奇函数定义赋值得的方程组求解即可； （2）利用函数单调性定义证明； （3）利用函数奇偶性和单调性解不等式，转化为二次函数在上恒成立求解. 【详解】（1）题意可得，解得. 因为，所以，解得. 经验证，符合题意. （2）证明：由（1）可知. 任取，则. 因为，所以，则，即. 故在上单调递增. （3）不等式等价于. 因为为奇函数，所以. 因为在上单调递增，所以，即. 因为，所以， 解得，即的最大值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$