第二章 直角三角形的边角关系单元测试（能力提升卷）数学鲁教版五四制九年级上册

第二章直角三角形的边角关系单元测试（能力提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24九年级上·山东泰安·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）在中，，，，则等于（ ） A．25 B．12 C．9 D．16 3．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．则可表示为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 5．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 6．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·河南郑州·期末）点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 8．（2024·吉林长春·模拟预测）在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点分别为边的中点，连接，若，则的长度为（    ） A．3 B． C．3.5 D．4 10．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（2024·重庆·模拟预测）计算： ． 12．（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为 ． 13．（2024九年级上·上海·专题练习）用表示这三个数中最小的数，则 ． 14．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若中点刚好落在矩形纸片的边上，已知矩形纸片的边长为，则的长为 ． 15．（2022·浙江衢州·二模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段、可分别绕点A，B转动，已知．当转动到，转动到与垂直，点C恰好落在上；当转动到，转动到，点C到的距离为 ．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，） 16．（2024·宁夏银川·三模）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则的值为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 18．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）求出图中的正弦值、余弦值和正切值． 19．（2024·广东广州·二模）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 20．（2024·河南新乡·模拟预测）如图1、图2分别是某型号吊车的实物图与示意图，吊车底座抽象为矩形，米，米．吊臂现在的长度为30米，仰角．吊钩现在的长度为6米，吊钩垂直于地面．已知米，求吊钩的下端点G到地面的距离．（结果精确到1米．参考数据：，，） 21．（2024·北京西城·模拟预测）如图，在中，，平分，过点作于点，于点，点是的中点，连接，． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)连接，若，求的长． 22．（23-24九年级下·山东聊城·期中）在学习完解直角三角形后，数学老师让每位同学利用周末完成一项数学实践活动，并写出实践报告，下面是大刚同学的实践报告． 活动项目 隔河测量两点间的距离 测量工具 测角仪、皮尺 项目背景 傍河而居成为生活在城市人们的理想选择．如图，小亮和小莹家分别居住在河岸一侧的，处，河岸另一侧居住的大刚完成测量和计算． 测量过程 【步骤一】大刚在河对岸点处，点与点连线垂直两岸，沿着河岸向前走到点，用皮尺测得． 【步骤二】大刚在点用测角仪测得对岸点与垂直两岸方向的夹角，测得对岸点与垂直两岸方向的夹角． 解决问题 根据以上数据计算： （1）两岸之间的距离； （2）小亮、小莹家的距离． （结果精确到．参考数据：，，） 23．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点． (1)如图1，若． ①求证：； ②连接，求证： (2)如图2，若，求的值． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章直角三角形的边角关系单元测试（能力提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24九年级上·山东泰安·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 先计算再平方即可． 【详解】解：． 故选：A ． 2．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）在中，，，，则等于（ ） A．25 B．12 C．9 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦的定义是关键． 根据正弦的定义及条件求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：在中，， ∴， 故选：C． 3．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设扶梯的长度为x米，利用正弦的定义得到，然后求出x即可，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 【详解】解：设扶梯的长度为x米， 由题意得，， 解得, 故选D． 4．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形．利用网格特点得到，然后利用正切的定义求解． 【详解】解：由图得：，， ∴， 故选：C． 5．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 6．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 7．（23-24九年级上·河南郑州·期末）点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，特殊角的三角函数值．先根据特殊三角函数值求出点坐标，再根据对称性解答． 【详解】解：，， 点． 点关于轴对称点的坐标， 关于轴的对称点的坐标是． 故选：B． 8．（2024·吉林长春·模拟预测）在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形． 过点A、点D分别作的垂线，垂足分别为点E、点F，通过证明，得出四边形是矩形，进而得出，，，即可解答． 【详解】解：过点A、点D分别作的垂线，垂足分别为点E、点F， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形周长， 故选：A． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点分别为边的中点，连接，若，则的长度为（    ） A．3 B． C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】根据三角形中位线得出，再由余弦函数确定，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 题目主要考查解三角形，中位线的性质及斜边上的中线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，特殊角的三角函数等知识．连接，过点作于，交于，根据矩形的性质得，从而得出点的运动路径，再利用特殊角的三角函数进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于，交于， 四边形是矩形，点是的中点， 点是，的交点， ， ， ， 点在的垂直平分线上运动， 当时，的值最小， ，，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 的最小值为， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（2024·重庆·模拟预测）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了特殊角的三角形函数值、零指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据特殊角的三角函数值和零指数幂运算法则进行运算，然后进行减法运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为 ． 【答案】 【分析】本题考查角的正切，过点P作轴于点A，构造直角三角形，根据正切等于对边比邻边进行求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点A， ∵点P的坐标为， ∴，， ∵与轴负半轴的夹角为， ∴的正切为， 故答案为：． 13．（2024九年级上·上海·专题练习）用表示这三个数中最小的数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 分别得出各个三角函数的值，再比较大小，即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若中点刚好落在矩形纸片的边上，已知矩形纸片的边长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作于点，则，根据求得，勾股定理求得，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 是等腰直角三角形，且是的中点， ， 即， 解得：， 在中， ， ， 故答案为： 15．（2022·浙江衢州·二模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段、可分别绕点A，B转动，已知．当转动到，转动到与垂直，点C恰好落在上；当转动到，转动到，点C到的距离为 ．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，） 【答案】7.1 【分析】当转动到，转动到与垂直时，点C恰好落在上，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，当转动到，转动到时，过点B作，垂足为F，过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为E，根据题意可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：当转动到，转动到与垂直时，点C恰好落到上，如图： 在中，， 当转动到，转动到时， 过点B作，垂足为F，过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为E， 则，， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点C到的距离为， 故答案为：7.1． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16．（2024·宁夏银川·三模）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段是解本题的关键．先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出，即可求出，最后用三角函数即可得出结论． 【详解】解：由折叠知，，，， ， 在中，， 设，则， ，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， 在中， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可； （2）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）求出图中的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，，． 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理解出，再由正弦、余弦、正切公式代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，． 19．（2024·广东广州·二模）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键． （1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）根据为边上的中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题． 【详解】（1）， ． 在中， ， ， ． （2）为边上的中线， ． 又， ． 20．（2024·河南新乡·模拟预测）如图1、图2分别是某型号吊车的实物图与示意图，吊车底座抽象为矩形，米，米．吊臂现在的长度为30米，仰角．吊钩现在的长度为6米，吊钩垂直于地面．已知米，求吊钩的下端点G到地面的距离．（结果精确到1米．参考数据：，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，过作交的延长线于，延长交于，由正弦函数得，即可求解；掌握解直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，延长交于， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， 在中， ， ， 解得：， (米)； 答：吊钩的下端点G到地面的距离为米． 21．（2024·北京西城·模拟预测）如图，在中，，平分，过点作于点，于点，点是的中点，连接，． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形；证明过程见详解； (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，关键是利用菱形的判定解答． （1）根据角平分线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出，进而利用菱形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质和含角的直角三角形的性质得出，根据，进而解答即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 平分，过点作于点，于点，， ∴，，点是的中点， ，， ， ，，， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， ， 在中，， ． 22．（23-24九年级下·山东聊城·期中）在学习完解直角三角形后，数学老师让每位同学利用周末完成一项数学实践活动，并写出实践报告，下面是大刚同学的实践报告． 活动项目 隔河测量两点间的距离 测量工具 测角仪、皮尺 项目背景 傍河而居成为生活在城市人们的理想选择．如图，小亮和小莹家分别居住在河岸一侧的，处，河岸另一侧居住的大刚完成测量和计算． 测量过程 【步骤一】大刚在河对岸点处，点与点连线垂直两岸，沿着河岸向前走到点，用皮尺测得． 【步骤二】大刚在点用测角仪测得对岸点与垂直两岸方向的夹角，测得对岸点与垂直两岸方向的夹角． 解决问题 根据以上数据计算： （1）两岸之间的距离； （2）小亮、小莹家的距离． （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1）两岸之间的距离约为；（2）小亮、小莹家的距离约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，平行线的性质，矩形的性质等知识点． （1）连接，过点作于点，根据平行线的性质得到，根据三角函数的定义得到结论； （2）根据题意可得，，，根据矩形的性质得到，，求得，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，连接，过点作于点． 根据题意可得， ， ， ，， ， 即，解得． 答：两岸之间的距离约为； （2）根据题意可得，，， 四边形ACDE为矩形， ，， ，， ， ． 答：小亮、小莹家的距离约为． 23．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点． (1)如图1，若． ①求证：； ②连接，求证： (2)如图2，若，求的值． 【答案】(1)①见详解②见详解 (2) 【分析】（1）①根据图形特征及已知证得，再由，的值，推导，从而得到； ②延长，交于点，由全等三角形推得是的中点，在中，，再由即可得出结论； （2）根据条件推出，得到．由及．建立关于的方程，求解的值即可． 本题综合考查了解直角三角形、矩形的性质、相似三角形、实数的运算等知识，综合性较强，灵活运用知识才能很好解决问题． 【详解】（1）解：在矩形中， ． ． ， ． ， ， ． ， ， 即． ②如图，延长，交于点． 在矩形中，． ． 在和中， ， ． ． 中， ． ， ． ． （2）解：在矩形中， ， ， ， ， ， ， ， ， 且， ， ， 且，， ， ． ， 设， 则． 解得或（舍． ． ( 21 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$