第06讲 角的平分线的性质（2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第06讲 角的平分线的性质（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点2．作图—尺规作图的定义 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． 题型强化 题型一．角平分线的性质 1．（2024•易门县二模）如图，用直尺和圆规作在内确定射线，点是射线上一点，过点分别作于点，作于点，若，则的长为　　 A．1.5 B．3 C．4 D．5 2．（2024春•修水县期末）如图，在中，是角平分线，于，于，，，则的面积为 　　． 3．（2024春•宝丰县期末）图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积是60，求的长． 题型二．作图—尺规作图的定义 4．（2022秋•青秀区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　 A． B． C． D． 5．（2020秋•儋州校级月考）只能使用 　　和 　　这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图． 6．如图，利用尺规，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） 分层练习 一、单选题 1．如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ） A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上 2．如图所示，是用尺规作图作已知角的角平分线的示意图，则说明是的角平分线的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，的角平分线和的角平分线相交于点D，过D点作于E．若，则（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 4．如图，平分，于点，于点分别是、的中点，连接．若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 5．如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 7．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 8．如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 9．如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 10．已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则点到边的距离为 ． 12．如图，，，，若，则 ． 13．如图，中，，平分，，，则的面积为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是 ．    15．三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处． 16．如图，中，点、是与三等分线的交点，则的度数是 ． 17．如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 18．如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．    三、解答题 19．如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 20．如图，107国道和320国道在湘潭市相交于点O，在的内部有一个工厂C和D，现在要修建一个货站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作出货站P的位置． 21．如图所示，在中，，是的平分线，交于，在上，，证明：． 22．如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 23．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，点在 上， 求证： ．（要求：请你补全已知和求证，并写出证明过程．） 24．如图，是边的延长线上的一点，在边上取一点，使得，且，作的平分线交于点．    (1)求的度数． (2)过点作于点，连接，若，，的面积为12，求的面积． 25．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题： 如图，在中，，，． (1)利用上面公式求的面积； (2)如图2，的两条角平分线，交于点，求点到边的距离． 26．已知：等边中，D为延长线上一点，连接，点E在上，连接，． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，点F为线段上一点，连接交于点G，若点G为中点，求证：； (3)如图3，点F为线段上一动点，作F关于的对称点，连接，．交于点K，点D在的延长线上运动，始终满足，连接，交于点G，当F'D取得最大值时，此时，求整个运动过程中的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 角的平分线的性质（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点2．作图—尺规作图的定义 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． 题型强化 题型一．角平分线的性质 1．（2024•易门县二模）如图，用直尺和圆规作在内确定射线，点是射线上一点，过点分别作于点，作于点，若，则的长为　　 A．1.5 B．3 C．4 D．5 【分析】由作图可知，平分，由角平分线的性质可得出答案． 【解答】解：由作图可知，平分， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了基本作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 2．（2024春•修水县期末）如图，在中，是角平分线，于，于，，，则的面积为 　4　． 【分析】由角平分线上的点到角的两边距离相等，得，再根据面积公式进行列式，即可作答． 【解答】解：因为是角平分线，于，于， 所以， 则的面积． 故答案为：4． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3．（2024春•宝丰县期末）图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积是60，求的长． 【分析】（1）是；理由：由（2）判定，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （2）如图，过点作于点．由三角形的面积公式作答即可． 【解答】解：（1）是的平分线，理由如下： 在和中， ， ． ， 平分． （2）如图，过点作于点． 平分，， ． ， ． ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的定义．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 题型二．作图—尺规作图的定义 4．（2022秋•青秀区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】利用作图的基本原理，得到线段的关系证明即可． 【解答】解：如图，由作图可知，． 在和中，， ， 故选：． 【点评】本题考查了画一个角等于已知角的基本作图，正确理解作图的基本原理是解题的关键． 5．（2020秋•儋州校级月考）只能使用 　直尺　和 　　这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图． 【分析】根据尺规作图的定义判断即可． 【解答】解：只能使用直尺和圆规这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图． 故答案为：直尺，圆规． 【点评】本题考查作图尺规作图的定义，解题的关键是理解尺规作图的定义． 6．如图，利用尺规，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） 【分析】利用尺规作即可，先证明，再证明即可． 【解答】解：图象如图所示， ， ， ，，， ， ， ． 【点评】本题考查尺规作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题，中考常考题型． 分层练习 一、单选题 1．如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ） A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案． 【详解】解：如图： ，，， 在的角平分线上， 故选B． 【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 2．如图所示，是用尺规作图作已知角的角平分线的示意图，则说明是的角平分线的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作法和全等三角形的判定．掌握证明三角形全等是关键． 根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案； 【详解】解：连接，， 从角平分线的作法得出， ，， ∵， ∴． ∴， 故选：C． 3．如图，，，的角平分线和的角平分线相交于点D，过D点作于E．若，则（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积等，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，过点D作于K，于J，利用面积构建关系式求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点D作于K，于J． ∵的角平分线和的角平分线相交于点D， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 4．如图，平分，于点，于点分别是、的中点，连接．若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质的得到，再利用三角形中位线定理得到即可解答． 【详解】解：∵平分，于点，于点， ∴， ∵分别是、的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形中位线的定理，掌握角平分线的性质是解题的关键． 5．如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，三角形外角的性质， 利用基本作图得到平分，则，利用基本作图可得，所以，可得，所以，，再根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：由基本作图得到平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件，过点作，，然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有个，可得可供选择的地址有个，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴内角平分线的交点满足条件； 如图：点是两条外角平分线的交点，过点作，，， ∴，， ∴， ∴点到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有个； 综上，到三条公路的距离相等的点有个， ∴可供选择的地址有个， 故选：． 7．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，可得可供选择的地址有4个． 【详解】解：作直线所围成的三角形的外角平分线和内角平分线， 如图所示：外角平分线分别相交于点， 且内角平分线相交于点， ∴角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故选：D． 8．如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了角平分线判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 根据得出点在的平分线上，再证明和即可证明． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线， ∴点在的平分线上，故B正确， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故C正确， ∴，故D正确． 故选：A． 9．如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作辅助线构造出、间的距离的线段是解题的关键． 过点作，交于，交于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再根据平行线之间的距离的定义判断出的长即为、间的距离． 【详解】解：如图，过点作，交于，交于， ，， ， 是的平分线，，， ， 是的平分线， ，， ， 点到的距离与到的距离之和为． 故选：C． 10．已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断②的正误；证明可判断③的正误；证明，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线，故①符合要求； ∵，， ∴是的角平分线，故②符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故③符合要求； ∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故④符合要求； 故选：D． 二、填空题 11．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则点到边的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，解题关键是理解角平分线作图方法和熟记角平分线性质． 根据作图可知是的角平分线，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， 过作于，则（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵， ∴， ∴点到边的距离等于， 故答案为：3． 12．如图，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．），解题的关键是根据角平分线的判定得出是的平分线．据此可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴是的平分线， 又∵， ∴． 故答案为：． 13．如图，中，，平分，，，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，先作辅助线，然后根据角平分线的性质即可得到，再根据三角形的面积公式即可计算出的面积．解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出的长． 【详解】解：作于点E，如图所示， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：15． 14．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是 ．    【答案】 【分析】利用基本作图得到点P到x轴和y轴的距离相等，则根据角平分线的性质得到，从而得到m、n的数量关系． 【详解】解：∵由作图痕迹得点在的平分线上， ∴点到轴和轴的距离相等， ∵，且点在第二象限， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． 15．三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处． 【答案】4 【分析】 此题主要考查角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线和外角平分线的交点，作图可知． 【详解】 解：如图 故答案为：4． 16．如图，中，点、是与三等分线的交点，则的度数是 ． 【答案】/52度 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理． 过点N作于G，于E，于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出平分，然后根据三角形内角和等于求出再根据角的三等分求出的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数，从而得解． 【详解】解：如图，过点N作于G，于E，于F， ∵点、是与三等分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 17．如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 18．如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．    【答案】． 【分析】过点作于点，于点，，根据角平分线的性质可得，，再由内角和即可求解． 【详解】如图，过点作于点，于点，，交的延长线于点，    ∵点，是内角与外角的三等分线的交点， ∴是的平分线， 又∵，， ∴ ，同理可得， ∴ ， 又∵，， ∴是的平分线， ∵，， ∴， ∵点，是内角与外角的三等分线的交点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的的性质定理和判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 三、解答题 19．如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 20．如图，107国道和320国道在湘潭市相交于点O，在的内部有一个工厂C和D，现在要修建一个货站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作出货站P的位置． 【答案】见详解 【分析】做出的垂直平分线和的平分线，其交点即为所求．本题考查了作图应用与设计作图，熟悉角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：如图：交点即为所求 21．如图所示，在中，，是的平分线，交于，在上，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据，是的平分线，于，得到，结合，证明即可． 【详解】证明：，是的平分线，于， ， ， ， ． 22．如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，证明是解题的关键． （1），则，根据角平分线的判定即可得到结论； （2）由（1）可得，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又， ∴平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 23．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，点在 上， 求证： ．（要求：请你补全已知和求证，并写出证明过程．） 【答案】，，，垂足分别为点，；；证明见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合题意补全已知和求证，证明，由全等三角形的性质可证明结论． 【详解】已知：如图，点在上，，，，垂足分别为点，． 求证：． 证明：∵，， ∴； ∵在和中， ， ∴， ∴． 24．如图，是边的延长线上的一点，在边上取一点，使得，且，作的平分线交于点．    (1)求的度数． (2)过点作于点，连接，若，，的面积为12，求的面积． 【答案】(1) (2)4.8 【分析】（1）本题考查三角形的有关性质，充分利用已知条件，三角形的外角性质及内角和公式，本题即可求解．利用三角形外角，，在中用三角形内角和表示出以及表示出外角是解答本题的关键． （2）运用角平分线的性质表示出点到边、、的距离，利用已知条件即可求得面积． 【详解】（1）解：（1）∵ ∴（三角形的外角性质） 又∵平分， ∴ ∴ 又∵在中 即 ∴ 又∵是的外角， ∴． （2）（2）如图，过点分别作于点，于点．    平分，， （角平分线上的点到角两边的距离相等） 又，， （角平分线上的点到角两边的距离相等） ; 又，的面积为12， 即 又 ∴． 25．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题： 如图，在中，，，． (1)利用上面公式求的面积； (2)如图2，的两条角平分线，交于点，求点到边的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，角平分线的性质，也考查了阅读能力，解题的关键是读懂材料、学以致用，熟记三角形的面积公式和角平分线的性质． （1）利用阅读材料，先计算出，然后根据“海伦——秦九韶公式”计算面积即可； （2）连接，过点分别作，，，由角平分线的性质得到，从而得到，结合（1）中的面积，列方程求出即可解答． 【详解】（1），，， ， 的面积为：； （2）如下图，连接，过点分别作，，， 的两条角平分线，交于点， ， 的面积为： 由（1）知， ， 解得：， ， 即点到边的距离为． 26．已知：等边中，D为延长线上一点，连接，点E在上，连接，． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，点F为线段上一点，连接交于点G，若点G为中点，求证：； (3)如图3，点F为线段上一动点，作F关于的对称点，连接，．交于点K，点D在的延长线上运动，始终满足，连接，交于点G，当F'D取得最大值时，此时，求整个运动过程中的最小值． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)6 【分析】（1）在上取一点P，使，证明，则，可得是等边三角形，求出，即可得平分； （2）在上取一点P，使，过点F作交于Q，证明，可得，由（1）知，，，根据线段的和差以及三角形外角的性质的，再证，即可得出结论； （3）在上取一点P，使，过点F作交于N，证明，则，当时，最小，则最小，过点C作于H，在中，，因此，，即整个运动过程中的最小值为6． 【详解】（1）证明：如图1所示，在上取一点P，使， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分； （2）证明：如图2所示，过点F作交于Q， ， ， 点G为中点， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）如图3，点F为线段上一动点，作F关于的对称点，， 当最大时，有最大值， 是等边三角形， ， ， 时，有最大值， 在上取一点P，使，过点F作交于N， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， 当时，最小，则最小， 过点C作于H， 是等边三角形， ， 在中，， ， ， 即整个运动过程中的最小值为6． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形内角和，正确作出辅助线是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$