第二章 一元二次方程章节压轴题模拟训练-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

第二章 一元二次方程章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．已知，且满足，，那么的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键．由a、b满足的条件可得出a、b为方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中可求出结论． 【详解】解：，且满足，， 、b为方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到，求解公共部分即可； 【详解】解：根据题意得， 解得且． 故答案为且． 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及判别式，解一元二次方程，代数式求值．熟练掌握的两个实数根和满足是解题的关键．将，转化为，由题意知，代入求解，再结合判别式即可读求出结果． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 解得：或， ∵即， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据根与系数关系，用表示两根之和与两根之积，结合已知条件求出关于的一元二次方程，根据公式法即可求出的值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，． ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式（，）． 5．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，先把等式左边的代数式配方，再根据非负数的性质求出的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义．理解一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．将代入即可求解． 【详解】解：已知是一元二次方程的一个解 ，即， 故答案为：． 7．已知，且，则 ． 【答案】3或/或3 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 把看作关于的一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴方程两边同时除以，可得． 令，则，化简得， 解得：或， 即或， 故答案为：3或． 8．方程的实数根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，将转化为，然后将方程的左边进行因式分解即可求解．一元二次方程的一般解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据方程的特点选用合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， ∴方程的实数根为，． 故答案为：，． 9．设、是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入式子求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，， ∴ 故答案为：． 10．如果，则 ． 【答案】36 【分析】先将变形成，进而求得a、b的值，然后再对因式分解即可解答． 【详解】解： ，解得：； ． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、因式分解法的应用、非负数的性质等知识点，掌握完全平方公式的结构并配方成平方和等于零的形式是解答本题的关键． 11．若实数x满足，则的值是 ． 【答案】5 【分析】根据方程特点设，则原方程可化为，接下来解一元二次方程求y，即为的值，最后验根即可解答．本题属于换元法解方程的问题，关键是掌握这类问题的求解方法． 【详解】解：方程整理得：， 设， 则原方程变形为：， ， ，， 当时，， ， ， 则， 故答案为：5 12．如图，中，，垂足为在的延长线上，且，若，则的长为 ． 【答案】30 【分析】作平分交于，过点作，得，设，得，，可知，在上取点，使得，连接，，可知，得，，进而可知，得，可证，得，则，再证，得，，在中，，在中，，得，即可求解． 【详解】解：作平分交于，过点作， ∵，则， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 在上取点，使得，连接，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题考查角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解一元二次方程等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 13．如图，四边形中，，点在上，连接、、，，，，若，则的长度是 ． 【答案】3 【分析】设，过点作于点，首先证明四边形为矩形，易得，再结合等腰三角形“三线合一”的性质可得，证明为等腰三角形，可得，进而可得，在中，由勾股定理可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：设， 如下图，过点作于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，证明为等腰三角形是解题关键． 14．如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为   ． 【答案】/ 【分析】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，可证得，得出，，同理：，，得出，再证得四边形是矩形，得出，，，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点， 则， 由旋转得：，，， ，， ，， ，， 正方形的边长为2，点是边上的动点， 设，则， ，， 在和中， ， ， ，， 同理：，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，， ，即， ， 线段的取值范围为． 故答案为：． 15．如图，在中，于点D，F为中点，连接并延长交于E，若，，则 ．    【答案】/ 【分析】先证明，可得，，利用勾股定理可得，证明是直角三角形，即是直角三角形，可得，，进而可得，，化简，可得，即：，将代入，可得：，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即、是直角三角形， ∵，， ∴， ∴，， ∵，F为中点， ∴， ∴在中，，即， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即是直角三角形， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴，即：， 将代入， 可得：， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，直角三角形的判定等知识，灵活运用勾股定理，是解答本题的关键． 二、解答题 16．已知关于的方程． (1)取什么值时，方程有两个实数根． (2)如果方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系和根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数关系和根的判别式，即可求解． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ， 解得：； （2）解：∵方程有两个实数根，，且， ，，， ，即， 平方得：， 整理得：， 解得： 17．武汉某文化公司向市场投放型和型商品共件进行试销，型商品成本价元/件，型商品成本价元/件，要求两种商品的总成本价不超过元，已知型商品的售价为元/件，型商品的售价为元/件，全部售出且获得的利润不低于元．设该公司投放型商品件，销售这批商品的利润为元． (1)求与之间的函数解析式，并求出的取值范围； (2)该公司决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时，求的值． (3)公司发现，将这两款商品成套以的价格销售时可以卖出套。公司决定降价成套出售，经过市场调查发现：销售单价每降价元，可多卖出套.当销售单价为多少元时利润可达到元且尽可能让利于顾客？ 【答案】(1)， (2) (3)元 【分析】（）根据题意即可得出与之间的函数关系式，根据两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元，列不等式组可得的范围； （）根据题意得，再根据一次函数的性质解答即可求解； （）设销售单价为元时，利润可达到元，根据题意列出一元二次方程即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确题意，正确列出一次函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∵两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元， ∴， 解得， ∴与之间的函数解析式为，的取值范围是； （2）解：根据题意可知一共捐出元， ∴， 当时, 的最大值小于，不符合最大收益为元， ∴.这种情况不存在； 当时，可知时，取最大值， ∴， 解得， ∴的值为； （3）解：设销售单价为元时，利润可达到元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：当销售单价为元时利润可达到元且尽可能让利于顾客． 18．请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 【答案】(1)是，理由见解析；(2)2 (3)或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； （2）解：∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； （3）解：， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 19．为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校．充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加10%，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． (1)5月份借阅图书的学生人数______，6月份借阅图书的学生人数______， (2)求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ (3)由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值． 【答案】(1)1100，1440 (2)从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为 (3) 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）5月份借阅图书的人数是，则6月份借阅图书的人数为：5月份借阅图书的人数人； （2）根据增长后的量增长前的量增长率）．设平均每年的增长率是，列出方程求解即可． （3）求出国庆节的总利润、国庆节后的进货量、进货价以及售价，再由题意：比国庆节的总利润多1200元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1） 由题意，得5月份借阅图书的人数是：（人， 则6月份借阅图书的人数为：（人， 故答案为：1100，1440； （2）设平均增长率为． 解得： 答：从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为； （3）国庆节的总利润为：（元， 国庆节后的进货量为：本，进货价为：， 由题意得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ，答：的值为． 20．已知关于的一元二次方程：． (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根； (2)当为何值时，方程的一个根是另一个根的倍？请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)当或时，方程的一个根是另一个根的2倍，理由见解析 【分析】本题考查根的判别式，相反数，以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可以得到，由此得证； （2）设方程的两根分别为、，由方程两根关系结合根与系数的关系，从而求解； 【详解】（1）证明：在方程中，， 对于任意实数，方程都有实数根； （2）解：∵方程的一个根是另一个根的倍， ∴设方程的两根分别为、， 则，； ， 解得：，； 解得：，． ∴当或时，方程的一个根是另一个根的2倍． 21．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)① (2)的值为18 (3)代数式的值为或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用． （1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”； （2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18； （3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可． 【详解】（1）的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①； （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 22．（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3；（2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 23．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 （2）①∵方程为， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ② ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ③解∶直线，过定点， ∴两个根为， ∴， ∴． 24．【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）． 【证明结论】（补全横线上的说理过程） 因为， 所以①当且仅当，即时， ，所以； ②当，即时，______． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？ 【答案】【证明结论】见解析；【应用结论】（1）当时，函数的值最小，最小值是2；（2）当时，函数的值最小，最小值是7；【拓展应用】（3）米，米 【分析】本题考查了完全平方公式、算术平方根、利用平方根解方程、解分式方程等知识点，熟练掌握完全平方公式和算术平方根是解题关键，规律的总结和应用，能够结合实际问题熟练应用规律是解决本题的关键． 证明结论：根据题目中思路解答即可； 应用结论：（1）根据题目中给的结论将函数式进行变式，即可求出最小值； （2）先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值； （3）由题意得：篱笆的总长度为米，先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值，可求出钢丝网的最短长度． 【详解】解：证明结论：，所以． 应用结论： （1）根据结论可知， 所以函数的最小值为2， 此时， 解得：或（舍去）， 所以，当时，函数的值最小，最小值是2． （2）根据结论可知， 所以函数的最小值为7， 此时，，解得，或4（舍去）， 所以当时，函数的值最小，最小值是7． （3）由题意得：篱笆的总长度为米． 因为， 所以蓠笆总长度最短为米， 此时，， 所以， 答：为米时，所用篱笆总长度最短，最短长度为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．已知，且满足，，那么的值为 . 2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则m的值为 ． 4．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为 ． 5．若，则的值是 ． 6．已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 7．已知，且，则 ． 8．方程的实数根为 ． 9．设、是方程的两根，则 ． 10．如果，则 ． 11．若实数x满足，则的值是 ． 12．如图，中，，垂足为在的延长线上，且，若，则的长为 ． 13．如图，四边形中，，点在上，连接、、，，，，若，则的长度是 ． 14．如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为   ． 15．如图，在中，于点D，F为中点，连接并延长交于E，若，，则 ．    二、解答题 16．已知关于的方程． (1)取什么值时，方程有两个实数根． (2)如果方程有两个实数根，，且，求的值． 17．武汉某文化公司向市场投放型和型商品共件进行试销，型商品成本价元/件，型商品成本价元/件，要求两种商品的总成本价不超过元，已知型商品的售价为元/件，型商品的售价为元/件，全部售出且获得的利润不低于元．设该公司投放型商品件，销售这批商品的利润为元． (1)求与之间的函数解析式，并求出的取值范围； (2)该公司决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时，求的值． (3)公司发现，将这两款商品成套以的价格销售时可以卖出套。公司决定降价成套出售，经过市场调查发现：销售单价每降价元，可多卖出套.当销售单价为多少元时利润可达到元且尽可能让利于顾客？ 18．请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 19．为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校．充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加10%，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． (1)5月份借阅图书的学生人数______，6月份借阅图书的学生人数______， (2)求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ (3)由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值． 20．已知关于的一元二次方程：． (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根； (2)当为何值时，方程的一个根是另一个根的倍？请说明理由． 21．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 22．（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 23．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 24．【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）． 【证明结论】（补全横线上的说理过程） 因为， 所以①当且仅当，即时， ，所以； ②当，即时，______． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？ 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