第四章 图形的相似（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第四章 图形的相似（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．如图，直线，直线，与直线，，分别交于点，，和点，，，若，，则的长是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．如图，点E是的边的中点，平分交于点F，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，把菱形沿着它的对角线方向平移，得到菱形，若，则图中阴影部分的面积与四边形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，对角线，交于点，为三等分点且，连接交于点，若的面积为1，则的面积为（    ） A．16 B．20 C．24 D．18 6．如图，直线，每相邻两条直线之间的距离均相等，点A，B，C分别在直线a，c，e上，交于点，交于点，分别交直线b，c于点G，F．若四边形的面积为2，则的面积为（　　） A． B．5 C． D． 7．如图，在梯形中，，，，，对角线、交于点．当边的长度发生变化时，下列说法中正确的是（   ） A．点到边的距离不变 B．点到边的距离不变 C．点到边的距离不变 D．点到边的距离不变 8．如图，在矩形中，点在上，若且，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝ ． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，分别交AB、BC于点E、F，则线段EF的长为 ． 11．如图，在矩形中，对角线、交于点O，交于点E，连接交于点F，则 ． 12．如图，在中，平分，于点F，D为的中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为 ． 13．如图，垂足分别是与交于点，则的长为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． (1)在图1中，______； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找点P，使得； ②如图3，在上找点P，使得． 15．如图，在锐角三角形中，于点E，点D在边上，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，已知，求． 16．如图①，大风阁是西安汉城湖的标志性建筑，取意于汉高祖刘邦的《大风歌》“大风起兮云飞扬，威加海内兮归故乡，安得猛士兮守四方”的意境．小华和晓丽在一个阳光明媚的周末去测量大风阁的高度，如图②，首先，在C处放置一面平面镜，小华沿着的方向后退，到点E处恰好在平面镜中看到大风阁顶端A的像，小华的眼睛到地面的距离米，米；然后，同一时刻大风阁在阳光下的影子顶端在M处，同时，晓丽测得小华身高的影长米，小华的身高米，米， 已知，点B、M、C、E、G在同一水平直线上，点E、D、F在一条直线上，请求出大风阁的高度．（平面镜大小、厚度忽略不计） 17．在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间， (1)用含的代数式表示：线段 ； ． (2)当为何值时的面积为？ (3)当与相似时，求出的值． 18．如图所示，在矩形中，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点G处，点C落在点H处，交于点K，连接交于点O，． (1)求证：； (2)探索与的数量关系，并说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图,AB⊥MN,CD⊥MN,垂足分别为B,D,AB=2,CD=4,BD=3.若在直线MN上存在点P,能使△PAB与△PCD相似,则PB= 20．如图，在正方形中，是边的中点，连接，过点作于点，延长交于点，连接，则的值为 ． 21．如图，在矩形中，，将沿翻折，使点B落在处，为折痕，再将沿翻折，使点C恰好落在线段上的点处，为折痕，连接，若，则 度， ． 22．如图，在矩形中，，．点E是边上一动点，连接．将沿翻折得到，延长与直线相交于点G．当点A，F，C三点共线时，线段的长为 ．    23．如图矩形中，，点分别在边上，且，连与分别交于点．则 ．    二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 25．已知正方形与正方形，正方形绕点旋转一周． (1)如图1，连接，很明显______，从而我们可以得出的值为______； (2)如图2，连接，求的值； (3)当正方形旋转至图3位置时，连接，分别取的中点，连接，试探究：与的关系，并说明理由； (4)连接，分别取的中点，连接，，请直接写出线段扫过的面积． 26．【问题初探】 在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数． ①小聪同学给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，得到与的数量关系，进而求出的度数． ②小慧同学给出另一种解题思路：在上截取，使得，连接，得到与之间的数量关系，进而求出的度数． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 王老师发现之前两名同学都根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想；为了帮助学生更好地发现数学直觉，感悟转化思想，培养几何直观，王老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，菱形中，，点是线段上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，探究与的数量关系． 【学以致用】 如图，在中，，，，为上一点，满足.为延长线上一点，，与延长线交于点，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】根据位似的性质，可知两个四边形的周长之比也为，即可得解． 【详解】解：由题知： ， 故选A． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，知道位似图形周长比等于相似比是解题的关键． 2．如图，直线，直线，与直线，，分别交于点，，和点，，，若，，则的长是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选B． 3．如图，点E是的边的中点，平分交于点F，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得出，进而得到，得出，结合线段中点性质即可判断A，C选项；再根据等腰三角形的性质和角平分线的性质即可判断B选项；最后根据和中，底边和上的高相等，比较底边即可判断D选项． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，即，，故A选项错误，C选项正确； ∵平方， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确； ∵在和中，底边和上的高相等， ∴，故D选项正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4．如图，把菱形沿着它的对角线方向平移，得到菱形，若，则图中阴影部分的面积与四边形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．首先得出，则 ，进而得出，即可得出答案． 【详解】， ， ， 菱形的对角线，把菱形沿着它的对角线方向平移，得到菱形， ，，， ， ∴图中阴影部分图形的面积与四边形的面积之比为：． 故选：A． 5．如图，在中，对角线，交于点，为三等分点且，连接交于点，若的面积为1，则的面积为（    ） A．16 B．20 C．24 D．18 【答案】C 【分析】证明，由相似三角形的性质得出，，得出，求出三角形的面积，则可得出答案． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为三等分点且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为1，∴， ∴， ∴， ∴．故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 6．如图，直线，每相邻两条直线之间的距离均相等，点A，B，C分别在直线a，c，e上，交于点，交于点，分别交直线b，c于点G，F．若四边形的面积为2，则的面积为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据以及每相邻两条直线之间的距离均相等，得到D，E，F分别为各边中点，G为中点，即可证明，可得，同理得到，，再推出，可利用得到方程，解之可得． 【详解】解：，每相邻两条直线之间的距离均相等， ∴D，E，F分别为各边中点，G为中点， ∴， ∴， ∴， 同理：，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是分析出平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 7．如图，在梯形中，，，，，对角线、交于点．当边的长度发生变化时，下列说法中正确的是（   ） A．点到边的距离不变 B．点到边的距离不变 C．点到边的距离不变 D．点到边的距离不变 【答案】A 【分析】先证得，，则，，过点作于点，过点作，的延长线交于，于，过点作于，证明得，由此可对选项进行判断；证明得，由此可对选项进行判断；根据，得，由此可对选项进行判断；设，则，，则，，进而得，根据可得，由此可对选项进行判断． 【详解】解：四边形为梯形，，，， ， ， ，， ，， 过点作于点，过点作，的延长线交于，于，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 即． ， 点到边的距离不变， 故选项A正确，符合题意； ，， ， 又，的延长线交于， 四边形为矩形， ，， ， ， 即， ， 当边的长度发生变化时，随的变化而变化， 故选项B不正确，不符合题意； ，， ， 当边的长度发生变化时，随的变化而变化， 故选项D不正确，不符合题意； 设，则，， ，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 即， 整理得：， 当边的长度发生变化时，随的变化而变化， 故选项C不正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，点到直线的距离，熟练掌握梯形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 8．如图，在矩形中，点在上，若且，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别以，为直角边作等腰和等腰，判定，即可得到的长． 【详解】解：如图，分别以，为直角边作等腰和等腰，    依题意得， ， ， ， , 即 解得：（负值舍去）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，作辅助线构造等腰直角三角形以及相似三角形是解决问题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝ ． 【答案】 【分析】过O点作OM∥AD，求出AM和MO的长，利用△AEF∽△MEO，得到关于AF的比例式，求出AF的长即可． 【详解】解：过O点作OM∥AD， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD， ∴OM是△ABD的中位线， ∴AM=BM=AB=，OM=BC=4． ∵AF∥OM， ∴△AEF∽△MEO， ∴， ∴， ∴AF=． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，分别交AB、BC于点E、F，则线段EF的长为 ． 【答案】． 【分析】依据勾股定理以及线段垂直平分线的的性质，即可得到BE的长，再根据△ABC∽△FBE，即可得到EF的长． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴由勾股定理得，AB＝， 由题可得，AD＝AC＝6， ∴BD＝10﹣6＝4， 由题可得，MN垂直平分BD， ∴BE＝2，∠BEF＝∠ACB＝90°， 又∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△FBE， ∴， 即， 解得EF＝， 故答案为：． 【点睛】题主要考查了勾股定理和相似三角形解的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 11．如图，在矩形中，对角线、交于点O，交于点E，连接交于点F，则 ． 【答案】 【分析】设，证明是的中位线，得，再证明得，进而得，，由此可得的值． 【详解】解：设， ∵四边形为矩形，对角线、交于点O， ∴，，，， ∵，则， ∴，则是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，三线合一，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 12．如图，在中，平分，于点F，D为的中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边中线性质得到，结合角平分线推出，得到，进而证得是的中位线，求出即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵于点F，D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的应用，正确理解直角三角形斜边中线的性质及三角形中位线性质定理是解题的关键． 13．如图，垂足分别是与交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】先证明△ACD≌△CBE，得到CE=AD=3，CD=BE=1，求出DE=2，再证明△ADH∽△BEH，利用求出EH. 【详解】∵, ∴∠ACD+∠BCE=90°， ∵， ∴∠ADC=∠E=90°， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， ∵AC=BC， ∴△ACD≌△CBE， ∴CE=AD=3，CD=BE=1， ∴DE=2， ∵，∴AD∥BE， ∴△ADH∽△BEH， ∴, ∴EH=. 故答案为：. 【点睛】此题考查全等三角形的性质及判定定理，相似三角形的判定及性质定理，正确理解题意，证得△ACD≌△CBE，求出DE=2是解题的关键. 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． (1)在图1中，______； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找点P，使得； ②如图3，在上找点P，使得． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据网格性质可得，进而可得，即得； （2）①仿照（1）的图形构造相似比为的相似三角形即可； ②利用对称，即可图形转化为（1）的形式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①如图中，点P即为所求； ②如图中，点P即为所求； 15．如图，在锐角三角形中，于点E，点D在边上，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，已知，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． （1）证明，得到，即可证明结论； （2）由可得，即可证明相似； （3）根据相似三角形的性质，证明，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， （2）证明：由（1）得， ， 又， ； （3）解：由（2）得， ， ， ， ， ， ． 16．如图①，大风阁是西安汉城湖的标志性建筑，取意于汉高祖刘邦的《大风歌》“大风起兮云飞扬，威加海内兮归故乡，安得猛士兮守四方”的意境．小华和晓丽在一个阳光明媚的周末去测量大风阁的高度，如图②，首先，在C处放置一面平面镜，小华沿着的方向后退，到点E处恰好在平面镜中看到大风阁顶端A的像，小华的眼睛到地面的距离米，米；然后，同一时刻大风阁在阳光下的影子顶端在M处，同时，晓丽测得小华身高的影长米，小华的身高米，米， 已知，点B、M、C、E、G在同一水平直线上，点E、D、F在一条直线上，请求出大风阁的高度．（平面镜大小、厚度忽略不计） 【答案】大风阁的高度为23.7米． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．根据题意得到：，，，由此推知，，所以由相似三角形对应边成比例求得线段的长度即可． 【详解】解：由题可得：，，， ，． ，， ，． 解得． 大风阁的高度为23.7米． 17．在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间， (1)用含的代数式表示：线段 ； ． (2)当为何值时的面积为？ (3)当与相似时，求出的值． 【答案】(1) (2)当或3时，三角形的面积为 (3)当或1时，与相似 【分析】本题主要考查三角形的面积公式，相似三角形的性质， （1）由运动知，得出结论； （2）根据的面积为，建立方程，解方程即可求出答案； （3）分或两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． 【详解】（1）由运动知，， 故答案为：； （2）由（1）知，， 的面积为， ， 或3， 当或3时，三角形的面积为． （3）与相似，， 或， 或， 当，则， ， 当时，则， ， 当或1时，与相似． 18．如图所示，在矩形中，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点G处，点C落在点H处，交于点K，连接交于点O，． (1)求证：； (2)探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似综合题，综合运用了相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质和折叠的性质得出角相等，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可； （2）根据相似三角形的判定和性质和矩形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∵， ∴，∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点E作于N， 由折叠性质得：， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图,AB⊥MN,CD⊥MN,垂足分别为B,D,AB=2,CD=4,BD=3.若在直线MN上存在点P,能使△PAB与△PCD相似,则PB= 【答案】3或1或 【分析】分三种情形①延长CA交MN于P1，此时△P1AB∽△P1CD．②当点P2在BD上时．③当点P3在BD的延长线时．分别列出方程即可即可． 【详解】如图， ①延长CA交MN于P1， ∵AB⊥MN，CD⊥MN， ∴AB∥CD ∴△P1AB∽△P1CD， ∴， ∴P1B=BD=3． ②当点P2在BD上时，设P2B=x，若△ABP2∽△CDP2则有， ∴， ∴x=1， ∴P2B=1， 若△ABP2∽△P2DC，则有，方程无解． ③当点P3在BD的延长线时，∵△P3AB∽△CP3D， ∴， ∴， ∴x=或（舍弃） ∴P3B=， 综上所述，满足条件的PB的长为3或1或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、一元一次方程、一元二次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型． 20．如图，在正方形中，是边的中点，连接，过点作于点，延长交于点，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形得到性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形得到性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．延长与的延长线交于点，证和全等得，再根据点是边的中点得，由此可证和全等，则，进而得，设，再证和相似得，据此得，在中由勾股定理得，则，由此可得值． 【详解】解：延长与的延长线交于点，如图所示： 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是边的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 即点为的中点， ， ， 设， ，， ， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ． 故答案为： 21．如图，在矩形中，，将沿翻折，使点B落在处，为折痕，再将沿翻折，使点C恰好落在线段上的点处，为折痕，连接，若，则 度， ． 【答案】 【分析】根据翻折的性质即可求出，再证，可求出的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由翻折性质可得：，， ∵， ∴， 即； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折性质得：，，，， ∴ 解得：或4， ∵， ∴或（舍）， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了翻折性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键． 22．如图，在矩形中，，．点E是边上一动点，连接．将沿翻折得到，延长与直线相交于点G．当点A，F，C三点共线时，线段的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、翻折的性质、相似三角形的性质和判定，本题利用勾股定理算出，利用翻折得到，证明，利用相似三角形的性质建立等式求解，即可解题．熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 【详解】解：当点A，F，C三点共线时，如图，   四边形是矩形， ，， 在中， ，， 由勾股定理，得， 将沿翻折得到， ，， ， 又， ， ，即， 解得， 故答案为：． 23．如图矩形中，，点分别在边上，且，连与分别交于点．则 ．    【答案】 【分析】作，得到多个相似三角形，由得出，再由得出，最后由得出， 所以可计算出． 【详解】解：作交AF于点I，则，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质，解题的关键是利用相似三角形的性质将线段都用表示出来，从而求解． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比； （1）由，得到，代入即可求解， （2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长， 【详解】（1）解：∵为中点， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴，， ∵矩形的周长为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．已知正方形与正方形，正方形绕点旋转一周． (1)如图1，连接，很明显______，从而我们可以得出的值为______； (2)如图2，连接，求的值； (3)当正方形旋转至图3位置时，连接，分别取的中点，连接，试探究：与的关系，并说明理由； (4)连接，分别取的中点，连接，，请直接写出线段扫过的面积． 【答案】(1)，1 (2) (3) (4) 【分析】（1）利用正方形的性质、旋转的性质可得，，可得，根据全等三角形的性质可得． （2）通过证明，可得． （3）连接，过点作，交直线于点，连接，设与交于点，与交于点，证明，得，根据得，证明，根据得，利用，证明，可得，，根据，点是的中点可得，最终可得． （4）取中点，连接，根据，三角形中位线定理可得，，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，3为半径的圆上运动，可得线段扫过的面积为． 【详解】（1）解：根据正方形的性质、旋转的性质可得， （2）解：如图，连接、 四边形和四边形都是正方形 ，， （3）解：如图，连接，过点作，交直线于点，连接，设与交于点，与交于点， 点是的中点 又 （） 又 ，点是的中点 （4）解：如图，取中点，连接 点是的中点，点是的中点，点是的中点 点在以点为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，3为半径的圆上运动 线段扫过的面积 【点睛】此题考查了全等三角形、相似三角形、三角形中位线定理、正方形的性质等，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． 26．【问题初探】 在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数． ①小聪同学给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，得到与的数量关系，进而求出的度数． ②小慧同学给出另一种解题思路：在上截取，使得，连接，得到与之间的数量关系，进而求出的度数． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 王老师发现之前两名同学都根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想；为了帮助学生更好地发现数学直觉，感悟转化思想，培养几何直观，王老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，菱形中，，点是线段上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，探究与的数量关系． 【学以致用】 如图，在中，，，，为上一点，满足.为延长线上一点，，与延长线交于点，求的长． 【答案】； ； ． 【分析】选择小聪解题思路：根据“一线三等角”模型证明，可得，，根据、、三边关系可推得，，即是等腰直角三角形，根据其性质即可求解；选择小慧解题思路：根据“”证明，可得，又是等腰直角三角形，则，即可求解； 延长到点，使，连接，根据“”证明，则，再根据等腰三角形的性质即可求解； 过点作于，由可求得，通过证明可得，，利用相似三角形的性质推得和的数量关系后，即可根据勾股定理得到的长． 【详解】解：选择小聪同学的解题思路，过点作交的延长线于点， ， 依题得；正方形中，，，且， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ， ． 解：延长到点，使，连接， 依题得：，， 菱形中，，，， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 解：过点作于， ，， ， ， ，， ，， ， 且， ， ，， ，， 得，， ，， ，， 在中，． 【点睛】本题考查的知识点是四边形综合、全等三角形的判定与性质、正方形性质、菱形性质、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形或相似三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$