第三章 概率的进一步认识（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第三章 概率的进一步认识（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为（　　） A． B． C． D． 2．在一个不透明的袋子中装有黄球个、白球个，这些球除颜色外无其他差别，随机从中摸出一个小球后不放回，则两次摸到的球都是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．假定按照同一种方式掷两枚六面体骰子，则两枚骰子朝上的点数相同的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如图随机闭合开关中的两个，能让灯泡至少一盏发光的概率为（   ） A． B． C． D． 5．在一个口袋中有个完全相同的小球，它们的标号分别为，，，，，同时从中随机摸出两个小球，则摸出的两个小球的标号之和为的概率是（　　） A． B． C． D． 6．小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是矩形ABCD的两边AD，BC上的点，EF∥AB，点M，N是EF上任意两点．则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（      ） A． B． C． D． 7．下列事件是必然事件的是（　　） A．打开电视机，正在播放动画片 B．在一只装有5个红球的袋中摸出1球，一定是红球 C．某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖 D．2022年世界杯德国队一定能夺得冠军 8．把同一副扑克牌中的红桃2、红桃3、红桃4三张牌背面朝上放在桌子上，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．三张完全相同的卡片上分别写有函数，，，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内随的增大而增大的概率是 . 10．在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则的值大约为 ． 11．在1，2，3，4，5这五个数中，任取两数相加，其和为偶数的概率是 ． 12．不透明的袋子里装有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率是 ． 13．将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题: （1）参加征文比赛的学生共有 人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，表示等级的扇形的圆心角为__ 图中 ； （4）学校决定从本次比赛获得等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 15．为看丰富学生课余文化生活，某中学组织学生进行才艺比赛，每人只能从以下五个项目中选报一项:.书法比赛，.绘画比赛，.乐器比赛，.象棋比赛，.围棋比赛根据学生报名的统计结果，绘制了如下尚不完整的统计图： 图1 各项报名人数扇形统计图： 图2 各项报名人数条形统计图： 根据以上信息解答下列问题： （1）学生报名总人数为 人； （2）如图1项目D所在扇形的圆心角等于 ； （3）请将图2的条形统计图补充完整； （4）学校准备从书法比赛一等奖获得者甲、乙、丙、丁四名同学中任意选取两名同学去参加全市的书法比赛，求恰好选中甲、乙两名同学的概率. 16．为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列间题： 组别 分数段（分） 频数 频率 A组 30 0.1 B组 90 n C组 m 0.4 D组 60 0.2 (1)在表中：________，________； (2)补全频数分布直方图； (3)4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A、C两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明． 17．“元宵节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“元宵”的习俗．东营市某食品厂为了解市民对去年销量较好的黑芝麻馅元宵、豆沙馅元宵、花生馅元宵、水果馅元宵（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味元宵的喜爱情况，在节前对某小区居民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）喜欢花生馅元宵的有多少人？将两幅不完整的图补充完整； （3）若有外型完全相同的A、B、C、D馅元宵各一个，煮熟后，小张吃了两个．求他第二个吃到的恰好是D馅元宵的概率．（用列表或画树状图的方法） 18．数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣．某校同学们对“概率发展的历史背景”的了解程度在九年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图．根据统计图的信息，解答下列问题： (1)求条形统计图中m的值； (2)若该校九年级共有学生1500名，估计该校约有多少名学生不了解“概率发展的历史背景”； (3)计算在图2中“很了解”部分圆心角α的度数； (4)调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两名去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用画树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是 ． 20．一个均匀的立方体6个面上分别标有数1、2、3、4、5、6，如图是这个立方体表面展开图，抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于下一面上的数的的概率是 21．从这五个数中任取一个数，作为关于的一元二次方程中的值，则所得方程中有两个不相等的实数根的概率为 ． 22．现有张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有解的概率为 ． 23．为了庆祝“六一儿童节”，育才初一年级同学在班会课进行了趣味活动，小舟同学在模板上画出一个菱形，将它以点为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后得到如图所示的图形，其中，，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概率为 ．    二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数．小金和小东进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为．若，则小金胜；若，则为平局；若，则小东胜． (1)若，用树状图或列表法求出小金获胜的概率． (2)当小金和小东的获胜概率相同时，求整数的值． 25．2021年8月，国务院教育督导委员会办公室印发《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》（简称通知），要求各省（区、市）教育督导部门，组织当地中小学校责任督学开展“五项管理”督导工作．为贯彻《通知》精神，开州区某学校团委组织了“手机管理”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为 人， ； (2)请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女姓）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 26．九年级数学课外小组在开展活动时，设计了这样一个数学活动．有A、B 两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有1，3，5；B组卡片上分别写有，，．每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y． (1)若甲抽出的数字是1，乙抽出的数是，它们恰好是的解，求m的值； (2)在（1）成立条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的概率．（请用树状图或列表法求解） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 概率的进一步认识（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得在1至100的100个整数中，是7的倍数的有14个，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】∵， ∴在1至100的100个整数中，是7的倍数的有14个． ∴取到的卡号是7的倍数的概率为． 故选A． 【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键． 2．在一个不透明的袋子中装有黄球个、白球个，这些球除颜色外无其他差别，随机从中摸出一个小球后不放回，则两次摸到的球都是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列表法列出所有可能的情况数，找出两次都是白球的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：列表如下： ∴所有等可能的情况数为种，其中两次都是都是白球的情况数是种 ∴两次摸出球都是白球的概率是： 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 3．假定按照同一种方式掷两枚六面体骰子，则两枚骰子朝上的点数相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出表格，由表格即可求出所有等可能的结果和两个骰子向上点数相同的情况，根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意列表得： ∴共有36种等可能的结果，两个骰子向上点数相同的有6种情况， ∴两枚骰子朝上的点数相同的概率是， 故选：D． 【点睛】本题考查了列表法和树状图求概率，熟记知识点是解题关键． 4．如图随机闭合开关中的两个，能让灯泡至少一盏发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：由题意可得： 开关 K1K2 K1K3 K2K3 结果 L2亮 L1L2均亮 L1L2均不亮 共有3种等可能结果，其中能让灯泡至少一盏发光的有2种， ∴随机闭合开关中的两个，能让灯泡至少一盏发光的概率为， 故选：D： 【点睛】此题考查的是列举法求概率．注意不重复不遗漏的列出所有可能的结果，概率=所求情况数与总情况数之比． 5．在一个口袋中有个完全相同的小球，它们的标号分别为，，，，，同时从中随机摸出两个小球，则摸出的两个小球的标号之和为的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，首先根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果摸出两个小球的标号之和为的情况，再利用概率公式即可求得答案，解题的关键掌握概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下： 所有等可能得情况由种，两个小球的标号之和为有 两个小球的标号之和为的概率， 故选：． 6．小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是矩形ABCD的两边AD，BC上的点，EF∥AB，点M，N是EF上任意两点．则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将图形氛围四边形ABFE和四边形DCFE两部分，可得四边形ABFE内阴影部分是四边形DCFE面积的一半，四边形DCFE内阴影部分是四边形DCFE面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率； 【详解】∵四边形ABFE内阴影部分面积四边形ABFE面积， 四边形DCFE内阴影部分面积四边形DCFE面积， ∴阴影部分的面积矩形ABCD的面积， ∴飞镖在阴影部分的概率是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了几何概率的知识点，准确计算是解题的关键． 7．下列事件是必然事件的是（　　） A．打开电视机，正在播放动画片 B．在一只装有5个红球的袋中摸出1球，一定是红球 C．某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖 D．2022年世界杯德国队一定能夺得冠军 【答案】B 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：A．打开电视机，正在播放动画片是随机事件，故不符合题意； B．在一只装有5个红球的袋中摸出1球，一定是红球是必然事件，符合题意； C．某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖是随机事件，故不符合题意； D．2022年世界杯德国队一定能夺得冠军是随机事件，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 8．把同一副扑克牌中的红桃2、红桃3、红桃4三张牌背面朝上放在桌子上，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：根据题意画树状图如下： ∵共有6种等可能的结果，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的有4种情况， ∴从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为：；故选：D． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．三张完全相同的卡片上分别写有函数，，，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内随的增大而增大的概率是 . 【答案】． 【分析】由三张完全相同的卡片上分别写有函数y=3x，y=，y=x2，其中函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的有y=3x，y=x2，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵三张完全相同的卡片上分别写有函数y=3x，y=，y=x2，其中函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的有y=3x，y=x2， ∴所得卡片上函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是：． 故答案为. 【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 10．在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则的值大约为 ． 【答案】20 【分析】先利用频率估计概率，再利用概率求数量即可． 【详解】解：通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右， ∴（摸到红球）， 即：（摸到红球）， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，以及利用概率求数量．熟练掌握概率是频率的稳定值，以及概率的计算公式是解题的关键． 11．在1，2，3，4，5这五个数中，任取两数相加，其和为偶数的概率是 ． 【答案】/ 【分析】先列表展示出所有等可能的结果，再数出其中和为偶数的的情况，然后根据概率的概念计算即可 【详解】解：列表得： ∴它们的和是偶数的概率为 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件可能发生的可能的结果m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率． 12．不透明的袋子里装有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率是 ． 【答案】 【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【详解】∵不透明的袋子里装有2个白球，1个红球， ∴球的总数=2+1=3， ∴从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率=． 故答案为． 【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 13．将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于 ． 【答案】． 【分析】根据概率公式计算概率即可． 【详解】∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5， ∴朝上的数字为奇数的概率是＝； 故答案为：． 【点睛】此题考查的是求概率问题,掌握概率公式是解决此题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题: （1）参加征文比赛的学生共有 人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，表示等级的扇形的圆心角为__ 图中 ； （4）学校决定从本次比赛获得等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）30；（2）图见解析；（3）144°，30；（4） ． 【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比即可求出总人数； （2）根据条形统计图得出A、C、D等级的人数，用总人数减A、C、D等级的人数即可； （3）计算C等级的人数所占总人数的百分比，即可求出表示等级的扇形的圆心角和的值； （4）利用列表法或树状图法得出所有等可能的情况数，找出一名男生和一名女生的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：（1）根据题意得成绩为A等级的学生有3人，所占的百分比为10%， 则3÷10%=30， 即参加征文比赛的学生共有30人； （2）由条形统计图可知A、C、D等级的人数分别为3人、12人、6人， 则30−3−12−6=9（人），即B等级的人数为9人，补全条形统计图如下图 （3）， ，∴m=30 （4）依题意，列表如下: 男 女 女 男 (男，女) (男，女) 女 (男，女) (女，女) 女 (男，女) (女，女) 由上表可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，所以； 或树状图如下 由上图可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，所以． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用列表法或者树状图法求概率，弄清题意是解题的关键． 15．为看丰富学生课余文化生活，某中学组织学生进行才艺比赛，每人只能从以下五个项目中选报一项:.书法比赛，.绘画比赛，.乐器比赛，.象棋比赛，.围棋比赛根据学生报名的统计结果，绘制了如下尚不完整的统计图： 图1 各项报名人数扇形统计图： 图2 各项报名人数条形统计图： 根据以上信息解答下列问题： （1）学生报名总人数为 人； （2）如图1项目D所在扇形的圆心角等于 ； （3）请将图2的条形统计图补充完整； （4）学校准备从书法比赛一等奖获得者甲、乙、丙、丁四名同学中任意选取两名同学去参加全市的书法比赛，求恰好选中甲、乙两名同学的概率. 【答案】（1）200；（2）54°；（3）见解析；（4） 【分析】（1）根据A的人数及所占的百分比即可求出总人数； （2）用D的人数除以总人数再乘360°即可得出答案； （3）用总人数减去A,B,D,E的人数即为C对应的人数，然后即可把条形统计图补充完整； （4）用树状图列出所有的情况，找出恰好选中甲、乙两名同学的情况数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）学生报名总人数为（人）， 故答案为：200； （2）项目所在扇形的圆心角等于， 故答案为：54°； （3）项目的人数为， 补全图形如下： （4）画树状图得： 所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种. 恰好选中甲、乙两名同学的概率为. 【点睛】本题主要考查扇形统计图与条形统计图的结合，能够从图表中获取有用信息，掌握概率公式是解题的关键． 16．为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列间题： 组别 分数段（分） 频数 频率 A组 30 0.1 B组 90 n C组 m 0.4 D组 60 0.2 (1)在表中：________，________； (2)补全频数分布直方图； (3)4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A、C两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明． 【答案】(1)120；； (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用列表法或树状图法求概率，理解题意，能从分布表中获取有用信息，列表得到所有的可能结果是解答的关键． （1）先根据A组的频数和频率求得被调查的总人数，进而可求得m、n； （2）根据m值补全频数分布直方图即可； （3）列表得到所有等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：被调查的总人数为（人）， ， ， 故答案为120；； （2）解：由，可补全频数分布直方图如下： （3）解：列表如下： 由列表可知，共有12种等可能结果，其中抽中A、C两组同学的有2种结果， 抽中A、C两组同学的概率为． 17．“元宵节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“元宵”的习俗．东营市某食品厂为了解市民对去年销量较好的黑芝麻馅元宵、豆沙馅元宵、花生馅元宵、水果馅元宵（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味元宵的喜爱情况，在节前对某小区居民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）喜欢花生馅元宵的有多少人？将两幅不完整的图补充完整； （3）若有外型完全相同的A、B、C、D馅元宵各一个，煮熟后，小张吃了两个．求他第二个吃到的恰好是D馅元宵的概率．（用列表或画树状图的方法） 【答案】（1）600（2）120（3） 【详解】（1）本次参加抽样调查的居民有：60÷10%=600（人） （2）喜欢花生馅元宵的有：600-180-60-240=120（人） 条形统计图和扇形统计图如图所示.   （3）由题意可画出树状图： ∵共有12种等可能的结果，而第二个吃到的恰好是D馅元宵有3种情况， ∴第二个吃到的恰好是D馅元宵的概率是： 18．数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣．某校同学们对“概率发展的历史背景”的了解程度在九年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图．根据统计图的信息，解答下列问题： (1)求条形统计图中m的值； (2)若该校九年级共有学生1500名，估计该校约有多少名学生不了解“概率发展的历史背景”； (3)计算在图2中“很了解”部分圆心角α的度数； (4)调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两名去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用画树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1) (2)（名） (3) (4)恰好抽中一名男生和一名女生的概率为P（一男一女） 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用了解很少的人数除以其人数占比求出参与调查的学生人数，再求出m的值即可； （2）用1500乘以样本中不了解的人数占比即可得到答案； （3）用360度乘以样本中很了解的人数占比即可得到答案； （4）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽中一名男生和一名女生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：（名）， ∴参与调查的学生人数为60名， ∴（名）； （2）解：由题意得，该校不了解“概率发展的历史背景”的学生数为（名）； （3）解：由题意得，“很了解”部分圆心角； （4）解：根据题意画树状图为： 根据树状图可知共有6种等可能的结果，其中恰好抽中一名男生和一名女生的可能共有4种， ∴恰好抽中一名男生和一名女生的概率为P（一男一女）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率所求情况数与总情况数之比求解； 此题可以采用列表法或树状图求解,可以得到一共有9种情况，两辆汽车一辆左转，一辆右转的有2种情况，根据概率公式求解即可． 【详解】解：画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示： 这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有结果的可能性相等， 两辆汽车一辆左转，一辆右转） 故答案为：． 20．一个均匀的立方体6个面上分别标有数1、2、3、4、5、6，如图是这个立方体表面展开图，抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于下一面上的数的的概率是 【答案】 【详解】6和3所在的面是的关系，所以概率是. 21．从这五个数中任取一个数，作为关于的一元二次方程中的值，则所得方程中有两个不相等的实数根的概率为 ． 【答案】． 【分析】利用根的判别式求出方程有两个不相等的实数根时k的取值范围，再求出概率． 【详解】解：要使方程有两个不相等的实数根，则，即，解得， ∴、、满足条件，∴概率是．故答案是：． 【点睛】本题考查概率求解和一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握求解概率的方法，和利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况的方法． 22．现有张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有解的概率为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根，求出a的取值范围，再根据分式方程有解，求出a的取值范围，综合两个结果即可得出答案． 【详解】一元二次方程有实数根， ∴. ∴， ∴，1，2， 关于的分式方程的解为：， 且且， 解得：且， ∴， ∴使得关于的一元二次方程， 有实数根，且关于的分式方程有解的概率为：. 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程有实数根、分式方程有解和概率的计算公式，掌握一元二次方程有实数根和分式方程有解是解题的关键． 23．为了庆祝“六一儿童节”，育才初一年级同学在班会课进行了趣味活动，小舟同学在模板上画出一个菱形，将它以点为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后得到如图所示的图形，其中，，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概率为 ．    【答案】 【分析】连接BD、AC、OA、OC．先求得菱形ABCD的面积和△ACO的面积，然后可求得四边形ABCO和凹四边形ADCO的面积，最后依据它们的面积比进行求解即可． 【详解】解：连接BD、AC、OA、OC，AC与BD相交于点E．    ∵ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝， ∴∠BAD＝60°， ∴△ABD为等边三角形． ∴BD＝AB＝． ∴AE＝ABsin60°＝×＝6． ∴AC=2 AE =12． ∴＝BD•AC＝24． ∴． 由旋转的性质可知OC＝OA，∠COA＝90°， ∴OC＝AC＝×12＝6． ∴△AOC的面积＝OC•OA＝36． ∴ ＝， ． ∴命中阴影部分的概率． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查的是几何概率问题，解答本题主要应用了菱形的性质、旋转的性质，求得四边形ABCO和凹四边形ADCO的面积是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数．小金和小东进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为．若，则小金胜；若，则为平局；若，则小东胜． (1)若，用树状图或列表法求出小金获胜的概率． (2)当小金和小东的获胜概率相同时，求整数的值． 【答案】(1) (2)或0 【分析】（1）通过列表可知共有6种等可能的结果，其中的结果有2种，再由概率公式解即可； （2）通过列表可知共有6种等可能的结果，由小金和小东的获胜概率相同可知的结果有3种，的结果有3种，据此求出m的值即可． 【详解】（1）解：当时，根据题意列表如下： 6 小东胜 平 小金胜 2 小东胜 小东胜 小金胜 所以小金获胜的概率为． （2）解：根据题意列表如下：            6 小东胜 小金胜 2 小东胜 小金胜 通过列表可知共有6种等可能的结果，小金和小东的获胜概率相同可知的结果有3种，的结果有3种；所以由表可得，即整数． 25．2021年8月，国务院教育督导委员会办公室印发《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》（简称通知），要求各省（区、市）教育督导部门，组织当地中小学校责任督学开展“五项管理”督导工作．为贯彻《通知》精神，开州区某学校团委组织了“手机管理”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为 人， ； (2)请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女姓）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)40，30 (2)见解析 (3) 【分析】（1）用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等奖”人数所占的百分比得到m的值； （2）利用“三等奖”人数为12补全条形统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：获奖总人数为8÷20%=40（人）， m%=×100%=30%， 即m=30； 故答案为40；30； （2）解：“三等奖”人数为40-4-8-16=12（人）， 条形统计图补充为： （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率==． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 26．九年级数学课外小组在开展活动时，设计了这样一个数学活动．有A、B 两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有1，3，5；B组卡片上分别写有，，．每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y． (1)若甲抽出的数字是1，乙抽出的数是，它们恰好是的解，求m的值； (2)在（1）成立条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的概率．（请用树状图或列表法求解） 【答案】(1)(2) 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）将，代入方程计算即可求出的值； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的情况数，即可求出所求的概率 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）列表得：         组组     1     3     5 所有可能为：、、、、、、、、， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$