专题15 计数原理与概率统计（选择填空题）-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题15计数原理与概率统计（选择填空题） 1．【2024年新高考2卷第4题】某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 2．【2023年新课标全国Ⅱ卷第3题】某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 3．【2022年新课标全国Ⅰ卷第5题】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 4．【2022年新课标全国Ⅱ卷第5题】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 5．【2021年新课标全国Ⅰ卷第8题】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【详解】 ， 故选：B 6．【2021年新课标全国Ⅱ卷第6题】某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：D. 7．【2020年新课标全国Ⅱ卷第6题】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．2种 B．3种 C．6种 D．8种 【答案】C 【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法 所以，不同的安排方法共有种 故选：C 8．【2020年新课标全国Ⅰ卷第3题】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 【答案】C 【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有种. 故选：C 9．【2024年新高考1卷第9题】随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 10．【2023年新课标全国Ⅱ卷第12题】在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 11．【2023年新课标全国Ⅰ卷第9题】有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【答案】BD 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：因为是最小值，是最大值， 则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差， 例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差， 显然，即；故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 12．【2021年新课标全国Ⅰ卷第9题】有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD 【详解】A：且，故平均数不相同，错误； B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； C：，故方差相同，正确； D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确； 故选：CD 13．【2021年新课标全国Ⅱ卷第9题】下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（    ） A．样本的标准差 B．样本的中位数 C．样本的极差 D．样本的平均数 【答案】AC 【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势； 故选：AC. 14．【2020年新课标全国Ⅱ卷第9题】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加; B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量; C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%; D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量; 【答案】CD 【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误； 由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误; 由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确; 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确; 15．【2020年新课标全国Ⅰ卷第12题】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（    ） A．若n=1，则H(X)=0 B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大 C．若，则H(X)随着n的增大而增大 D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y) 【答案】AC 【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确. 对于B选项，若，则，， 所以， 当时，， 当时，， 两者相等，所以B选项错误. 对于C选项，若，则 ， 则随着的增大而增大，所以C选项正确. 对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且 （ ）. . 由于，所以 ，所以 ， 所以， 所以，所以D选项错误. 故选：AC 16．【2024年新高考1卷第14题】甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 【答案】/0.5 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 17．【2023年新课标全国Ⅰ卷第13题】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 18．【2022年新课标全国Ⅰ卷第13题】的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】-28 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 19．【2022年新课标全国Ⅱ卷第13题】已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 【答案】/． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 20．【2020年江苏第3题】已知一组数据的平均数为4，则的值是 . 【答案】2 【详解】∵数据的平均数为4 ∴，即. 故答案为：2. 21．【2020年江苏第4题】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 . 【答案】 【详解】根据题意可得基本事件数总为个. 点数和为5的基本事件有，，，共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为. 故答案为：. 22．【2019年江苏第5题】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 . 【答案】. 【详解】由题意，该组数据的平均数为， 所以该组数据的方差是. 23．【2019年江苏第6题】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . 【答案】. 【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况. 若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况， 若选出的2名学生都是女生，有种情况， 所以所求的概率为. 24．【2018年江苏第3题】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ． 【答案】90. 【详解】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为，故平均数为. 25．【2018年江苏第6题】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 【答案】 【详解】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为 26．【2017年江苏第3题】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件. 【答案】18 【详解】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18． 27．【2017年江苏第7题】记函数的定义域为,在区间上随机取一个数，则的概率是 ． 【答案】 【详解】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是，故答案为. 28．【2016年江苏第4题】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 . 【答案】0.1 【详解】这组数据的平均数为，．故答案应填：0.1 29．【2016年江苏第7题】将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】 【详解】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为 30．【2015年江苏第2题】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 . 【答案】6 【详解】 31．【2015年江苏第5题】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ． 【答案】 【详解】根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则 一次取出2只球，基本事件为、、、、、共6种， 其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种； 所以所求的概率是． 1．（2024·江苏泰州·模拟预测）样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（    ） A．16 B．17 C．23 D．24 【答案】C 【详解】这组数据一共有个数据，从小往大排列为14，16，18，20，21，22，24，28， 因为，这组数据的第三四分位数是从小往大排列的第个和第个数据的平均数， 即. 故选：C. 2．（2024·江苏南通·模拟预测）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（    ） A．12种 B．24种 C．30种 D．60种 【答案】C 【详解】求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去社区，再从余下4人中选2人去社区， 所以不同的选法有（种）. 故选：C 3．（2024·江苏·模拟预测）已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列如下：甲队：；乙队：.这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由得分数据知：甲乙两队的中位数为； 甲乙两队的总得分相等， 为， 所以. 故选：A 4．（2024·江苏盐城·一模）若从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和是3的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，基本事件总数， 这2个数的和为3的倍数包含的基本事件为，，，，，，，，，，，， 共12个，即， 则这2个数的和是3的倍数的概率是. 故选：C. 5．（2024·江苏泰州·模拟预测）某校高三800名学生的考试成绩近似服从正态分布，某生成绩为102分，则该生成绩的年级排名大约是（   ） （附：参考数据：，则，，，．） A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名 【答案】B 【详解】因为成绩近似服从正态分布， 所以， 所以， 所以成绩大于等于的学生人数为， 所以成绩为的学生的年级排名约为， 故选：B. 6．（2024·江苏·模拟预测）一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A =“x1 = 3”，事件B =“x2 = 6”，事件C =“x1 + x2 = 9”，则 （     ） A．AB = C B．A + B = C C．A，B互斥 D．B，C相互独立 【答案】D 【详解】对于A:事件发生时，事件不一定发生，所以A错； 对于B: 发生时，不一定发生，所以B错； 对于C: 时，同时发生，所以C错； 对于D: ，所以D正确. 故选：D 7．（2024·全国·模拟预测）中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【答案】C 【详解】由题意，生行、净行由男生扮演，则从3名男生中选2人，再全排列，有种扮演方式； 旦行由女生扮演，则从2名女生中选1人，有种扮演方式； 剩下的2人有种扮演方式， 故共有（种）不同的人物角色扮演方式． 故选：C 8．（2024·江苏·二模）羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当，所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是， 第二局若是乙当裁判，则第三局甲或丙担任裁判的概率都是， 第二局若是丙当裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概率都是， 由全概率公式可知，如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为. 故选：C. 9．（2024·江苏无锡·模拟预测）在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】D 【详解】由题意可得：，则， 可得，所以. 故选：D． 10．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为， 每一层均要乘以，共做10次选择， 故服从二项分布，， 又， 令最大， 则， 即, 解得，又因为，所以, 所以， ，且． 故选：B． 11．（2024·江苏宿迁·三模）甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相邻，且乙丙不相邻， 则不同排法共有（    ） A．24 种 B．36 种 C．48 种 D．72 种 【答案】B 【详解】甲乙捆绑在一起看成一个整体，与丙以外的2人全排列，有种， 又因为乙丙不相邻， 所以把乙放入一共有3种， 所以一共有种， 故选：B. 12．（2024·江苏扬州·模拟预测）将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】考虑取定的值，分类统计事件“”所含的样本点数，将对应的值作为一个数组，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） （1,5） （1,6） 2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） （2,5） （2,6） 3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） （3,5） （3,6） 4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （4,5） （4,6） 5 （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） （5,5） （5,6） 6 （6,1） （6,2） （6,3） （6,4） （6,5） （6,6） 第一类：时，满足“”的样本点有个； 第二类：时，满足“”的样本点有个； 第三类：时，满足“”的样本点有个； 第四类：时，满足“”的样本点有个； 第五类：时，满足“”的样本点有个； 第六类：时，满足“”的样本点有1个. 由分类加法计数原理，满足“”的样本点共有：个， 而一颗骰子抛掷一次有6种结果，抛掷三次有个样本点， 因结果有限，且每个样本点发生的可能性相等，故是古典概型. 则“”的概率为. 故选：D. 13．（2024·江苏苏州·模拟预测）在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（    ） A．该班级此次练习数学成绩的均分为118 B．该班级此次练习数学成绩的方差为16.625 C．利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生 D．从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为 【答案】BCD 【详解】对于A，该班级此次练习数学成绩的均分，故A错误； 对于B，该班级此次练习数学成绩的方差 ，故B正确； 对于C，利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取的男生人数为，C正确； 对于D，从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率，故D正确． 故选BCD． 14．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知随机事件两两独立，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则与相互独立 【答案】ABD 【详解】对于A，因为相互独立，所以，故A正确； 对于B，因为相互独立，所以， ，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误； 对于D，，所以， 又因为，，所以， 所以与相互独立，故D正确. 故选：ABD. 15．（2024·江苏南通·二模）已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对B，，B正确； 对A，，，A错误； 对C，，，C正确； 对D， ，D正确. 故选：BCD. 16．（2024·江苏·一模）有n（，）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件（，2，3，…，n），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对A，，所以A错误； 对B，，故，所以B正确； 对C，，所以C正确； 对D，由题意：，所以， ，，所以， 所以， 则，所以D错误． 故选：BC． 17．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（    ）（若，） A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意，故A正确； 对于B，由，则， 又， 于是，即， 因此，即，则，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，， 设， ， 解得，， 由， 解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，故D正确. 故选：ACD. 18．（2024·江苏·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于D，令， 令， 两式相减得，故D正确； 易知， 而中的常数项为1，含项为， 含项为，含项为， 同理中的常数项为，含项为， 含项为，含项为， 所以，故B错误； ，故C正确. 故选：ACD 19．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，有一组数据为，3，，，8，10，，12，13，若在这组数据中去除第5个数8，则（   ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变 【答案】AD 【详解】原数据的平均数为， 去除第5个数8后的平均数为， 所以平均数不变，故A正确； 当时，原数据的中位数为， 去除第5个数8后的中位数为， 此时中位数改变，故B错误； 对于C，原数据的方差 ， 去除第5个数8后的方差， 所以，即方差改变，故C错误； 对于D，因为，所以这个数对于极差没有影响，即极差不变，故D正确. 故选：AD. 20．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设事件为奇数，事件，事件，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意可知：， 可得. 对于选项A：因为，则， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，则， 可得， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以，故D错误； 故选：ABC. 21．（2024·江苏宿迁·三模）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据（见表格），若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（    ） 1 2 3 4 5 1 A． B．当时的残差为 C．样本数据y的40百分位数为1 D．去掉样本点后，y与x的相关系数不会改变 【答案】BD 【详解】由，，所以样本中心点为， 对于A，将它代入，得，解得，故A错误； 对于B，当时，，所以残差为，故B正确； 对于C，样本数据的第40百分位数为，故C错误； 对于D，由相关系数公式可知，， 所以5组样本数据的相关系数为： ， 去掉样本中心点后相关系数为： ， 所以去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变，故D正确. 故选：BD. 22．（2024·江苏无锡·模拟预测）某校团委为泙价5个社团暑期开展活动的情况，在各社团中分别抽取部分社员进行调查．若各社团抽取的社员人数的平均数为8，方差为4，则各社团被抽取的社员人数的最大值可能为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】BC 【详解】因为，则， 且， 则， 不妨设最大， 1.若，则不成立，故A错误； 2.若，例如，满足题意，故B正确； 3.若，例如，满足题意，故C正确； 4.若，则， 可得，可知该方程组无正整数解，故D错误； 故选：BC． 23．（2024·江苏南京·三模）下列命题中正确的是（    ） A．已知随机变量，则 B． C．已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8 D．某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则这10名学生成绩的方差为10.5 【答案】ABD 【详解】对于A，随机变量，，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，依题意，这组数据共8个，从小到大排列为5，6，7，7，8，8，8，9， 因为，所以第30百分位数是7，故C错误； 对于D，依题意，设5名男生为，5名女生为， 这10名学生的平均成绩， 这100名学生数学成绩的方差，故D正确. 故选：ABD. 24．（2024·江苏南京·二模）2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩分为四组，分别为，得到频率分布直方图如图所示，则（    ）    A． B．这组样本数据的分位数为88 C．若从这100名学生成绩不低于80分的学生中，随机抽取3人，则此3人的分数都不低于90分的概率为 D．若用样本的频率估计总体，从该校高中学生中随机抽199人，记“抽取199人中成绩不低于90的人数为”的事件为，则最大时，. 【答案】AB 【详解】对于A，由频率分布直方图得，故A对； 对于B，由频率分布直方图结合选项A可知： 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 所以分位数在80到90分之间，故分位数为，故B对； 对于C，成绩不低于80分的共有人，不低于90分的共有人， 则随机抽取3人，则此3人的分数都不低于90分的概率，故C错； 对于D，由频率分布直方图可知，成绩不低于90分的概率， 由题意，由题意， 令即， 所以即， 解得，故为29或30，故D错. 故选：AB. 25．（2024·江苏连云港·模拟预测）某排球赛共有三个组：第一、二组各有6个队，第三组有7个队，首先各组进行单循环赛，然后各小组的第一名共3个队分主客场进行决赛，最终决出冠、亚军，则该排球比赛一共需要比赛 场． 【答案】57 【详解】首先在3个小组进行单循环赛，第一组有6个队，需进行场比赛，第二组有6个队，需进行场比赛，第三组有7个队，需进行场比赛，第一阶段需要进行场比赛. 然后各小组的第一名共3个队分主客场进行决赛，有场比赛， 所以共需要比赛场. 故答案为：57. 26．（2024·江苏盐城·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学坐在一排个座位上，由于某种原因，甲旁边要留一个空座位，则共有 种坐法． 【答案】 【详解】将四名同学任意排序，有种排法； 将空座位插入到甲左右两边的位置，有种方法； 根据分步乘法计数原理可知：不同的坐法有种. 故答案为：. 27．（2024·江苏宿迁·三模）设，若，且，则 ． 【答案】1024 【详解】根据题意，是二项式系数最大的项，则， 令，得， . 故答案为：1024. 28．（2024·江苏南京·二模）现有8道单选题（每题都是四个选择），某学生对其中6道有思路，2道题完全没有思路.假设有思路的题都能做对，没有思路的题仅能随机猜，那么从8题中随机选择1题，此学生能够做对的概率为 . 【答案】 【详解】， 故答案为：. 29．（2024·江苏苏州·模拟预测）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ． 【答案】 【详解】由题知， 所以， 即，则． 因， 所以， 则． 故答案为：. 30．（2024·江苏苏州·三模）已知，则 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题15计数原理与概率统计（选择填空题） 1．【2024年新高考2卷第4题】某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 2．【2023年新课标全国Ⅱ卷第3题】某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 3．【2022年新课标全国Ⅰ卷第5题】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 4．【2022年新课标全国Ⅱ卷第5题】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 5．【2021年新课标全国Ⅰ卷第8题】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 6．【2021年新课标全国Ⅱ卷第6题】某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 7．【2020年新课标全国Ⅱ卷第6题】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．2种 B．3种 C．6种 D．8种 8．【2020年新课标全国Ⅰ卷第3题】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 9．【2024年新高考1卷第9题】随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 10．【2023年新课标全国Ⅱ卷第12题】在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 11．【2023年新课标全国Ⅰ卷第9题】有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 12．【2021年新课标全国Ⅰ卷第9题】有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 13．【2021年新课标全国Ⅱ卷第9题】下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（    ） A．样本的标准差 B．样本的中位数 C．样本的极差 D．样本的平均数 14．【2020年新课标全国Ⅱ卷第9题】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加; B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量; C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%; D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量; 15．【2020年新课标全国Ⅰ卷第12题】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（    ） A．若n=1，则H(X)=0 B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大 C．若，则H(X)随着n的增大而增大 D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y) 16．【2024年新高考1卷第14题】甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 17．【2023年新课标全国Ⅰ卷第13题】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 18．【2022年新课标全国Ⅰ卷第13题】的展开式中的系数为 （用数字作答）． 19．【2022年新课标全国Ⅱ卷第13题】已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 20．【2020年江苏第3题】已知一组数据的平均数为4，则的值是 . 21．【2020年江苏第4题】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 . 22．【2019年江苏第5题】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 . 23．【2019年江苏第6题】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . 24．【2018年江苏第3题】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ． 25．【2018年江苏第6题】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 26．【2017年江苏第3题】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件. 27．【2017年江苏第7题】记函数的定义域为,在区间上随机取一个数，则的概率是 ． 28．【2016年江苏第4题】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 . 29．【2016年江苏第7题】将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 30．【2015年江苏第2题】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 . 31．【2015年江苏第5题】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ． 1．（2024·江苏泰州·模拟预测）样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（    ） A．16 B．17 C．23 D．24 2．（2024·江苏南通·模拟预测）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（    ） A．12种 B．24种 C．30种 D．60种 3．（2024·江苏·模拟预测）已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列如下：甲队：；乙队：.这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024·江苏盐城·一模）若从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和是3的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏泰州·模拟预测）某校高三800名学生的考试成绩近似服从正态分布，某生成绩为102分，则该生成绩的年级排名大约是（   ） （附：参考数据：，则，，，．） A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名 6．（2024·江苏·模拟预测）一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A =“x1 = 3”，事件B =“x2 = 6”，事件C =“x1 + x2 = 9”，则 （     ） A．AB = C B．A + B = C C．A，B互斥 D．B，C相互独立 7．（2024·全国·模拟预测）中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 8．（2024·江苏·二模）羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏无锡·模拟预测）在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 10．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（2024·江苏宿迁·三模）甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相邻，且乙丙不相邻， 则不同排法共有（    ） A．24 种 B．36 种 C．48 种 D．72 种 12．（2024·江苏扬州·模拟预测）将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·江苏苏州·模拟预测）在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（    ） A．该班级此次练习数学成绩的均分为118 B．该班级此次练习数学成绩的方差为16.625 C．利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生 D．从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为 14．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知随机事件两两独立，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则与相互独立 15．（2024·江苏南通·二模）已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A． B． C． D． 16．（2024·江苏·一模）有n（，）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件（，2，3，…，n），则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（    ）（若，） A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 18．（2024·江苏·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，有一组数据为，3，，，8，10，，12，13，若在这组数据中去除第5个数8，则（   ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变 20．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设事件为奇数，事件，事件，则（    ）    A． B． C． D． 21．（2024·江苏宿迁·三模）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据（见表格），若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（    ） 1 2 3 4 5 1 A． B．当时的残差为 C．样本数据y的40百分位数为1 D．去掉样本点后，y与x的相关系数不会改变 22．（2024·江苏无锡·模拟预测）某校团委为泙价5个社团暑期开展活动的情况，在各社团中分别抽取部分社员进行调查．若各社团抽取的社员人数的平均数为8，方差为4，则各社团被抽取的社员人数的最大值可能为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 23．（2024·江苏南京·三模）下列命题中正确的是（    ） A．已知随机变量，则 B． C．已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8 D．某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则这10名学生成绩的方差为10.5 24．（2024·江苏南京·二模）2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩分为四组，分别为，得到频率分布直方图如图所示，则（    ）    A． B．这组样本数据的分位数为88 C．若从这100名学生成绩不低于80分的学生中，随机抽取3人，则此3人的分数都不低于90分的概率为 D．若用样本的频率估计总体，从该校高中学生中随机抽199人，记“抽取199人中成绩不低于90的人数为”的事件为，则最大时，. 25．（2024·江苏连云港·模拟预测）某排球赛共有三个组：第一、二组各有6个队，第三组有7个队，首先各组进行单循环赛，然后各小组的第一名共3个队分主客场进行决赛，最终决出冠、亚军，则该排球比赛一共需要比赛 场． 26．（2024·江苏盐城·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学坐在一排个座位上，由于某种原因，甲旁边要留一个空座位，则共有 种坐法． 27．（2024·江苏宿迁·三模）设，若，且，则 ． 28．（2024·江苏南京·二模）现有8道单选题（每题都是四个选择），某学生对其中6道有思路，2道题完全没有思路.假设有思路的题都能做对，没有思路的题仅能随机猜，那么从8题中随机选择1题，此学生能够做对的概率为 . 29．（2024·江苏苏州·模拟预测）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ． 30．（2024·江苏苏州·三模）已知，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$