专题14 平面解析几何（解答题）-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题14平面解析几何（解答题） 1．【2024年新高考1卷第16题】已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 2．【2024年新高考2卷第19题】已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 3．【2023年新课标全国Ⅱ卷第21题】已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 4．【2022年新课标全国Ⅰ卷第21题】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 5．【2022年新课标全国Ⅱ卷第21题】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 6．【2021年新课标全国Ⅰ卷第21题】在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 7．【2021年新课标全国Ⅱ卷第20题】已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是． 8．【2020年新课标全国Ⅱ卷第21题】已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 9．【2020年新课标全国Ⅰ卷第22题】已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 10．【2020年江苏第18题】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B． （1）求△AF1F2的周长； （2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值； （3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标． 11．【2019年江苏第17题】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求点E的坐标． 12．【2018年江苏第18题】在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为． （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程． 13．【2017年江苏第17题】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2. （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标. 14．【2016年江苏第18题】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4). （1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程； （3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围.    15．【2016年江苏第25题】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）. （1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； （2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为； ②求p的取值范围. 16．【2015年江苏第18题】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程. 1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为4，上一点满足，且的面积为． (1)求的方程； (2)过的渐近线上一点作直线与相交于点，，求的最小值． 2．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为点在椭圆上，过椭圆的焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，点不在轴上，点关于轴的对称点为求的面积的最大值. 3．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆：的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线交于，两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图.    (1)求的方程： (2)若过作，垂足为. （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 4．（2024·江苏苏州·三模）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. (1)求实数b的取值范围; (2)若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值; (3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 5．（2024·江苏宿迁·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，是双曲线上的两个动点，且恒有，是否存在定圆与直线相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由． 6．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知椭圆短轴长为2，椭圆上一点到距离的最大值为3． (1)求的取值范围； (2)当椭圆的离心率达到最大时，过原点斜率为的直线与交于两点，分别与椭圆的另一个交点为． ①是否存在实数，使得的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； ②记与交于点，求线段长度的取值范围． 7．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线，动直线与抛物线交于，两点，分别过点、点作抛物线的切线和，直线与轴交于点，直线与轴交于点,和相交于点．当点为时，的外接圆的面积是． (1)求抛物线的方程； (2)若直线的方程是，点是抛物线上在，两点之间的动点（异于点，），求的取值范围； (3)设为抛物线的焦点，证明：若恒成立，则直线过定点 8．（2024·江苏·三模）已知为等轴双曲线上一点，且到的两条渐近线的距离之积等于. (1)求的方程； (2)设点在第一象限，且在渐近线的上方，分别为的左､右顶点，直线分别与轴交于点.过点作的两条切线，分别与轴交于点（在的上方），证明：. 9．（2024·江苏南通·三模）已知抛物线的焦点为，直线过点交于两点，在两点的切线相交于点的中点为，且交于点．当的斜率为1时，． (1)求的方程； (2)若点的横坐标为2，求； (3)设在点处的切线与分别交于点，求四边形面积的最小值． 10．（2024·江苏南京·模拟预测）已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为.当与轴垂直时， (1)求双曲线的标准方程； (2)若交轴于点，，. ①求证：为定值； ②若，当时，求实数的取值范围. 11．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆（）的左右顶点分别为，，且，，，四个点中恰有三个点在椭圆上.若点是椭圆内（包括边界）的一个动点，点是线段的中点. (1)若，且与的斜率的乘积为，求的面积； (2)若动点满足，求的最大值. 12．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为.等轴双曲线的顶点是的焦点，焦点是的顶点.点在上，且位于第一象限，直线与的交点分别为和，其中在轴上方. (1)求和的方程； (2)求证：为定值； (3)设点满足直线的斜率为1，记的面积分别为.从下面两个条件中选一个，求的取值范围. ①；②. 13．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知A，B是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下方，PA，PB与抛物线E分别交于C，D两点，C，D恰好为PA，PB的中点．设AB，CD的中点分别为点M，N． (1)证明：轴； (2)若点P为半椭圆上的动点，求四边形ABDC面积的最大值． 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线：的离心率为2，点在上，、为双曲线的下、上顶点，为上支上的动点（点与不重合），直线和直线交于点，直线交的上支于点. (1)求的方程； (2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围 15．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知平面直角坐标系中，椭圆与双曲线． (1)若的长轴长为8，短轴长为4，直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，当运动时，求点的轨迹方程； (2)若的长轴长为4，短轴长为2，过的左焦点作直线与相交于两点（在轴上方），分别过作的切线，两切线交于点，求面积的最小值． 16．（2024·江苏盐城·一模）已知抛物线：，圆：，为坐标原点. (1)若直线：分别与抛物线相交于点A，（在B的左侧）、与圆相交于点S，（S在的左侧），且与的面积相等，求出的取值范围； (2)已知，，是抛物线上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中，均与圆相切，请判断此时圆心到直线的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由. 17．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知椭圆长半轴长为，离心率为，过左焦点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，且． (1)求椭圆方程； (2)求直线的方程； (3)若点位于直线的左侧且为椭圆上一点，点关于点的对称点为，设直线，的交点为，求面积的最大值． 18．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 19．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值，并求出该定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 20．（2024·江苏·三模）已知椭圆C：，过右焦点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．当轴时，，椭圆C的离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线MN过定点，并求定点坐标； (3)设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题14平面解析几何（解答题） 1．【2024年新高考1卷第16题】已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解的或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 2．【2024年新高考2卷第19题】已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. （3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 3．【2023年新课标全国Ⅱ卷第21题】已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 4．【2022年新课标全国Ⅰ卷第21题】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线． 易知直线l的斜率存在，设，， 联立可得，， 所以，，且． 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去， 故． （2）［方法一］：【最优解】常规转化 不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，， 当均在双曲线左支时，，所以， 即，解得（负值舍去） 此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当均在双曲线右支时， 因为，所以，即， 即，解得（负值舍去）， 于是，直线，直线， 联立可得，， 因为方程有一个根为，所以，， 同理可得，，． 所以，，点到直线的距离， 故的面积为． ［方法二］： 设直线AP的倾斜角为，，由，得， 由，得，即， 联立，及得，， 同理，，，故， 而，， 由，得， 故 5．【2022年新课标全国Ⅱ卷第21题】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴． ∴C的方程为：； （2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符； 总之，直线的斜率存在且不为零. 设直线的斜率为,直线方程为, 则条件①在上，等价于； 两渐近线的方程合并为, 联立消去y并化简整理得： 设,线段中点为,则, 设, 则条件③等价于, 移项并利用平方差公式整理得： ， ,即, 即； 由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为, ∴由, ∴, 所以直线的斜率, 直线,即, 代入双曲线的方程,即中， 得：, 解得的横坐标：, 同理：， ∴ ∴, ∴条件②等价于， 综上所述： 条件①在上，等价于； 条件②等价于； 条件③等价于； 选①②推③: 由①②解得：,∴③成立； 选①③推②： 由①③解得：，， ∴，∴②成立； 选②③推①： 由②③解得：，，∴， ∴，∴①成立. 6．【2021年新课标全国Ⅰ卷第21题】在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【答案】（1）；（2）. 【详解】(1) 因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为. （2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立 如图所示，设, 设直线的方程为．    联立, 化简得. 则． 故． 则． 设的方程为，同理． 因为，所以， 化简得， 所以，即． 因为，所以． [方法二] ：参数方程法 设．设直线的倾斜角为， 则其参数方程为， 联立直线方程与曲线C的方程， 可得， 整理得． 设， 由根与系数的关系得． 设直线的倾斜角为，， 同理可得 由，得． 因为，所以． 由题意分析知．所以， 故直线的斜率与直线的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理 因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆． 设,直线的方程为， 直线的方程为, 则二次曲线． 又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为： ， 整理可得： ， 其中． 由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即. 7．【2021年新课标全国Ⅱ卷第20题】已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以， 又，所以椭圆方程为； （2）由（1）得，曲线为， 当直线的斜率不存在时，直线，不合题意； 当直线的斜率存在时，设， 必要性： 若M，N，F三点共线，可设直线即， 由直线与曲线相切可得，解得， 联立可得，所以， 所以, 所以必要性成立； 充分性：设直线即， 由直线与曲线相切可得，所以， 联立可得， 所以， 所以 ， 化简得，所以， 所以或，所以直线或， 所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立； 所以M，N，F三点共线的充要条件是． 8．【2020年新课标全国Ⅱ卷第21题】已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）18. 【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即. 当y=0时，解得，所以a=4， 椭圆过点M(2，3)，可得， 解得b2=12. 所以C的方程：. (2)设与直线AM平行的直线方程为：， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.    联立直线方程与椭圆方程， 可得：， 化简可得：， 所以，即m2=64，解得m=±8， 与AM距离比较远的直线方程：， 直线AM方程为：， 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：， 由两点之间距离公式可得. 所以△AMN的面积的最大值：. 9．【2020年新课标全国Ⅰ卷第22题】已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1）；（2）详见解析. 【详解】（1）由题意可得：，解得：， 故椭圆方程为：. (2)［方法一］：通性通法 设点， 若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程消去并整理得：， 可得，， 因为，所以，即， 根据,代入整理可得： ，         所以， 整理化简得， 因为不在直线上，所以， 故，于是的方程为， 所以直线过定点直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 由得：， 得，结合可得：， 解得：或（舍）. 此时直线过点. 令为的中点，即， 若与不重合，则由题设知是的斜边，故， 若与重合，则，故存在点，使得为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系 将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即． 设，因为则，即． 代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点． 又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立． 故存在，使得． ［方法三］：建立曲线系 A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得． 则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）． 用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）． 即． 对比项、x项及y项系数得 将①代入②③，消去并化简得，即． 故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q． 经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． ［方法四］： 设． 若直线的斜率不存在，则． 因为，则，即． 由，解得或（舍）． 所以直线的方程为． 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则． 令，则． 又，令，则． 因为，所以， 即或． 当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线恒过． 综上，直线恒过，所以． 又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动． 取线段的中点为，则． 所以存在定点Q，使得为定值． 10．【2020年江苏第18题】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B． （1）求△AF1F2的周长； （2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值； （3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标． 【答案】（1）6；（2）-4；（3）或. 【详解】（1）∵椭圆的方程为 ∴, 由椭圆定义可得：. ∴的周长为； （2）设，根据题意可得. ∵点在椭圆上，且在第一象限，，∴， ∵准线方程为，∴， ∴，当且仅当时取等号. ∴的最小值为. （3）[方法一]：点到直线距离公式法 设，点到直线的距离为. ∵，，∴直线的方程为,即 ∵点到直线的距离为， 又∵，∴， ∴，即即①或②， 又∵点M在椭圆③上， 联立①③解得，；联立②③，无解. ∴或. [方法二]【最优解】：转化法 同方法一得到直线的方程，且M到直线AF1的距离为O到直线AF1的距离的3倍，由于F1(-1,0),O(0,0),∴点M在过(2,0)或(-4,0)且与直线AF1平行的直线上，即在直线①或直线②上，将①代入椭圆方程无解；将②代入椭圆方程并化简得,解得,分别代入②得，，∴或. [方法三]：向量法 设直线交与N，由（１）可得直线的方程为． 由得（M，O在同侧）或（M，O在异侧）． 当M为或，N为，不合题意； 当与x轴不垂直时，设直线的方程为， 与直线的方程联立解得． 若，则， 代入椭圆方程得， 解得或，此时或； 若，则， 代入椭圆方程中得，此方程无解． 综上所述，M点的坐标为或． [方法四]：角参数法 同方法一得到直线的方程为．点到直线的距离． 设，则， 即． 若，即，无解； 若，即（*）, ∴，其中，且可以限定为锐角. ∴∴, ∴ 或，分别代入（*）得到或 故点M的坐标为或． 11．【2019年江苏第17题】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）. 【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c. 因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1. 又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=， 因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2. 由b2=a2-c2，得b2=3. 因此，椭圆C的标准方程为. （2）解法一： 由（1）知，椭圆C：，a=2， 因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1. 将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4. 因为点A在x轴上方，所以A(1，4). 又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2. 由，得， 解得或. 将代入，得， 因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：. 由，得，解得或. 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以. 将代入，得.因此. 解法二： 由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1. 因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB， 从而∠BF1E=∠B. 因为F2A=F2B，所以∠A=∠B， 所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A. 因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴. 因为F1(-1，0)，由，得. 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以. 因此. 12．【2018年江苏第18题】在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为． （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程． 【答案】（1），；（2）①；②． 【详解】（1）因为椭圆C的焦点为， 可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上， 所以，解得 因此，椭圆C的方程为． 因为圆O的直径为，所以其方程为． （2）［方法一］：【通性通法】代数法硬算 ①设直线l与圆O相切于，则， 所以直线l的方程为，即． 由，消去y，得（*）， 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点， 所以． 因为，所以，因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB的面积为，所以，从而． 设，由（*）得， 所以． 因为，所以，即， 解得舍去），则，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为． ［方法二］： 圆的参数方程的应用 设P点坐标为． 因为原点到直线的距离，所以与圆O切于点P的直线l的方程为． 由消去y，得． ①因为直线l与椭圆相切，所以． 因为，所以，故，． 所以，P点坐标为． ②因为直线与圆O相切，所以中边上的高，因为的面积为，所以． 设，由①知 ， 即， 即． 因为，所以，故，所以． 所以直线l的方程为． ［方法三］：直线参数方程与圆的参数方程的应用 设P点坐标为，则与圆O切于点P的直线l的参数方程为：（t为参数）， 即（t为参数）． 代入，得关于t的一元二次方程． ①因为直线l与椭圆相切，所以，， 因为，所以，故，． 所以，P点坐标为． ②同方法二，略． 13．【2017年江苏第17题】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2. （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，， 解得，于是， 因此椭圆E的标准方程是. （2）由（1）知，，. 设，因为点为第一象限的点，故. 当时，与相交于，与题设不符. 当时，直线的斜率为，直线的斜率为. 因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为， 从而直线的方程：， ① 直线的方程：. ② 由①②，解得，所以. 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或. 又在椭圆E上，故. 由，解得；，无解. 因此点P的坐标为. 14．【2016年江苏第18题】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4). （1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程； （3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围.    【答案】(1)；(2)2x−y+5=0或2x−y−15=0.(3). 【详解】圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，. （1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切， 所以，于是圆N的半径为，从而，解得. 因此，圆N的标准方程为. （2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为. 设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0， 则圆心M到直线l的距离 因为 而 所以，解得m=5或m=-15. 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. （3）设 因为，所以……① 因为点Q在圆M上，所以…….② 将①代入②，得. 于是点既在圆M上，又在圆上， 从而圆与圆有公共点， 所以解得. 因此，实数t的取值范围是. 15．【2016年江苏第25题】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）. （1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； （2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为； ②求p的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析;②. 【详解】（1）抛物线的焦点为 由点在直线上，得，即 所以抛物线C的方程为 （2）设，线段PQ的中点 因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ， 于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为 ①由消去得 因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以 从而，化简得. 方程（*）的两根为，从而 因为在直线上，所以 因此，线段PQ的中点坐标为 ②因为在直线上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范围为 16．【2015年江苏第18题】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程. 【答案】（1）（2）或． 【详解】（1）由题意，得且， 解得，，则， 所以椭圆的标准方程为． （2）当轴时，，又，不合题意． 当与轴不垂直时，设直线的方程为，，， 将的方程代入椭圆方程，得， 则，的坐标为，且 ． 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意． 从而，故直线的方程为， 则点的坐标为，从而． 因为，所以，解得． 此时直线方程为或． 1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为4，上一点满足，且的面积为． (1)求的方程； (2)过的渐近线上一点作直线与相交于点，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中， 因为，所以． 所以的面积， 解得． 在中，由余弦定理，得 ， 所以． 因为在双曲线上，所以，得． 所以的方程为． （2） 法1：设，则， 当直线轴时，设直线与交于点， 所以，即， 所以． 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， ，利用对称性不妨设在直线上． 联立，得． 联立并消去，得， 所以． 则， 同理，得． 所以 （当且仅当时，取等号，满足）， 综上，的最小值为1． 法2：设，则， 当垂直轴时，设的方程为：， 则． 因为两式相减，得，所以． 当的斜率存在时，设的方程为：， 由消去并化简， 得． 所以 则，同理． 所以 ． 综上所述，当轴时，的最小值为1． 2．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为点在椭圆上，过椭圆的焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，点不在轴上，点关于轴的对称点为求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点在椭圆上，且，所以 又因为过椭圆的焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为 所以即，代入得：， 再由，可得：， 解得：故椭圆的方程为. （2） 设所以直线的方程为 则点到直线的距离为 所以三角形的面积 因为点在直线上， 所以 由得 所以 因为所以 当且仅当时等号成立， 所以的面积的最大值为. 3．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆：的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线交于，两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图.    (1)求的方程： (2)若过作，垂足为. （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由椭圆定义可知，， 所以的周长为，所以， 又因为椭圆离心率为，所以，所以， 又，所以椭圆的方程： （2）(i)设点，，，， 则直线的方程为，则， 由得，， 所以， 因为，所以， 所以，故， 又， 同理，， 由，，三点共线，得， 所以， 直线的方程为 由对称性可知，如果直线过定点，则该定点在轴上， 令得， ， 故直线过定点. （ii）由题意知点，点的轨迹为以，为直径的圆（除，外），    圆心为，半径为，故. 4．（2024·江苏苏州·三模）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. (1)求实数b的取值范围; (2)若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值; (3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)当时四边形ABDC的面积最大 (3)，理由见解析 【详解】（1）圆的半径为2，因为直线和圆交于A，B两点， 所以圆心到直线的距离， 解得， 则实数b的取值范围为； （2）设，则， 由得， 所以，， 则， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ， 令， ，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时四边形ABDC的面积最大， 且最大值为；    （3），则，且直线、的斜率存在， 由（2），，， 直线，直线， 联立得， 若为常数，则，其中为常数， 可得，解得， 所以当时点在一条平行于轴的直线上.    5．（2024·江苏宿迁·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，是双曲线上的两个动点，且恒有，是否存在定圆与直线相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【详解】（1）解：设双曲线的焦距为，因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， 可得，所以， 因为，可得，且， 所以，解得或（舍去）， 又因为点在双曲线上，所以， 联立方程组得或（舍去）， 所以双曲线方程为：． （2）解：（ⅰ）若直线的斜率不存在，设方程为， 因为，再设，则，可得， 由，联立方程组，解得，可得原点到直线的距离为． （ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为， 又，设，则，即， 则，（*） 联立方程组，整理得 当且，即且时， ， 代入（*）得， 即（其中）， 原点到直线的距离为， 综合（ⅰ）（ⅱ），存在以原点为圆心，半径为的圆与直线相切， 所求定圆的方程为． 6．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知椭圆短轴长为2，椭圆上一点到距离的最大值为3． (1)求的取值范围； (2)当椭圆的离心率达到最大时，过原点斜率为的直线与交于两点，分别与椭圆的另一个交点为． ①是否存在实数，使得的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； ②记与交于点，求线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)① 存在；；② 【详解】（1）设，由题知，，即， 则，即， 记， 则在上的最大值为9，对称轴为， ①当，即时，，成立； ②当，即时， ， 当且仅当，即时等号成立，可知不成立； 综上，； （2）由（1）得，， 所以当时，离心率达到最大，此时，椭圆， ①存在，理由如下， 设，则，其中，即， ， 由， 得， 即， 所以，， 所以， ， 由， 得， 即， 所以，， 可得， 所以，的斜率； ②由①知， ， 由，，即， 将代入椭圆方程得：， 所以，的轨迹方程为， 所以，线段长度的取值范围为． 7．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线，动直线与抛物线交于，两点，分别过点、点作抛物线的切线和，直线与轴交于点，直线与轴交于点,和相交于点．当点为时，的外接圆的面积是． (1)求抛物线的方程； (2)若直线的方程是，点是抛物线上在，两点之间的动点（异于点，），求的取值范围； (3)设为抛物线的焦点，证明：若恒成立，则直线过定点 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1） 当点为时，设外接圆的半径为，， 则，， 在中有，，， 则，，即，， 设直线，与联立得， 令，又，得， 所以抛物线方程为； （2）联立，整理得，解得或， 不妨设，， 设，，则，， 所以， 又，，， 设，， 则， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，而， 故的取值范围是； （3）由得，设，， 直线，，即， 令，得，同理，， 所以， 直线与直线两方程联立解得， 得， 又，由得， 得， 设直线的方程为，与联立得， 则， 所以，则直线过定点. 8．（2024·江苏·三模）已知为等轴双曲线上一点，且到的两条渐近线的距离之积等于. (1)求的方程； (2)设点在第一象限，且在渐近线的上方，分别为的左､右顶点，直线分别与轴交于点.过点作的两条切线，分别与轴交于点（在的上方），证明：. 【答案】(1) (2)证明见详解 【详解】（1）设， 为等轴双曲线上一点， ， 双曲线渐近线为， ， ， 的方程为. （2）设， 直线方程为，直线的方程为， ， 设过且与双曲线相切的直线为， 联立， 得， ， 即， 设直线的斜率分别为，则， 方程， ， 同理方程， ， ， ， ， ， ， . 9．（2024·江苏南通·三模）已知抛物线的焦点为，直线过点交于两点，在两点的切线相交于点的中点为，且交于点．当的斜率为1时，． (1)求的方程； (2)若点的横坐标为2，求； (3)设在点处的切线与分别交于点，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)3 【详解】（1）由题意，直线的斜率必存在. 设直线的方程为， 联立得，所以 当时，， 此时， 所以，即. 所以的方程为. （2）由(1)知，， 则，代入直线得，则中点. 因为，所以， 则直线方程为，即， 同理，直线方程为， 所以， ，所以. 因为，即，此时， 所以直线的方程为，代入，得， 所以，所以. （3）由（2）知， 所以直线方程为， 代入，得，所以，所以为的中点. 因为在处的切线斜率， 所以在处的切线平行于， 又因为为的中点，所以. 由(1)中式得，所以， 因为直线方程为， 所以. 又到直线的距离， 所以， (当且仅当时取“”) 所以， 所以四边形的面积的最小值为3. 10．（2024·江苏南京·模拟预测）已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为.当与轴垂直时， (1)求双曲线的标准方程； (2)若交轴于点，，. ①求证：为定值； ②若，当时，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由题意得，， 则当l与x轴垂直时，不妨设， 由，得， 将代入方程，得，解得， 所以双曲线E的方程为． （2）①设，，， 由与，得， 即，，将代入E的方程得：， 整理得：①， 同理由可得②． 由①②知，，是方程的两个不等实根． 由韦达定理知，所以为定值． ②又，即， 整理得：， 又，不妨设，则， 整理得，又，故， 而由①知，，故， 代入， 令，得， 由双勾函数在上单调递增，得， 所以m的取值范围为．    11．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆（）的左右顶点分别为，，且，，，四个点中恰有三个点在椭圆上.若点是椭圆内（包括边界）的一个动点，点是线段的中点. (1)若，且与的斜率的乘积为，求的面积； (2)若动点满足，求的最大值. 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）因为与关于轴对称，所以这两个点必定都在椭圆上， 则必定不在椭圆上，点在椭圆上， 故有，解得， 即椭圆， 因为点是线段的中点，点是线段的中点， 所以，， 所以，. 设，则，， 化简得，所以或， 又因为点是椭圆内（包括边界）的一个动点，所以. 因为，所以，所以. 所以的面积为； （2）因为动点满足，所以点在以为直径的圆上， 因为点是线段的中点，所以， 因为，，所以， 设，则当时，点在线段上，此时， 当时，设，点在以，为焦点的椭圆上， 若，则， 所以，所以点在椭圆外，不成立，故舍去， 若，设，则，所以， 因为，所以，， 所以， 所以的最大值是，当且仅当，，三点共线时等号成立， 另解：设，因为点是椭圆内（包括边界）的一个动点， 所以， 所以， 所以，所以，所以. 当时，取得最大值是. 12．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为.等轴双曲线的顶点是的焦点，焦点是的顶点.点在上，且位于第一象限，直线与的交点分别为和，其中在轴上方. (1)求和的方程； (2)求证：为定值； (3)设点满足直线的斜率为1，记的面积分别为.从下面两个条件中选一个，求的取值范围. ①；②. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)选择条件①或②均为 【详解】（1）设的方程为， 则，所以，所以的方程为. 所以的顶点为，则，所以. 所以的方程为. （2） 设，则，直线的斜率为，直线的斜率为，所以. 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立消去并整理得，， 设，，则. 所以. 同理可求得，. 所以， 故为定值. （3） 因为，所以. 因此直线平分. 所以点到直线与的距离相等. 所以.（注：选择条件①或②均可得此结果） 由（2）知，. 因为且， 所以. 所以. 故的取值范围为. 13．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知A，B是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下方，PA，PB与抛物线E分别交于C，D两点，C，D恰好为PA，PB的中点．设AB，CD的中点分别为点M，N． (1)证明：轴； (2)若点P为半椭圆上的动点，求四边形ABDC面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 由C，D分别为PA，PB的中点，则， 所以直线AB和直线CD的斜率相等，即， 设，，，， 则点M的横坐标，点N的横坐标， 由，得， 因式分解得，约分得， 所以，即，所以轴． （2）设，则，且， 由，，所以， 整理得，同理得， 所以，是方程的两个根， ，得，， 有，得轴，又， 所以， 因为， 所以， ， ，当时，取得最大值， 所以四边形ABDC面积的最大值为． 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线：的离心率为2，点在上，、为双曲线的下、上顶点，为上支上的动点（点与不重合），直线和直线交于点，直线交的上支于点. (1)求的方程； (2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围 【答案】(1) (2)直线过定点 (3) 【详解】（1），点在上， 故， 又， ，， 的方程为. （2）斜率存在，设：，与联立消去得： ，设，， 则， ，， 又， 设，则，，则，则， ， ， ， 即， 化简得， ， （舍去）， 因为当时，，故点与重合，不合题意， ：直线过定点； （3）在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， 在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， ， ，故， 由于，分别为和的外接圆面积， 故， 则， 设：，与联立消去得：， 设，，则，， ，， ，， 因为，所以，，， . 15．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知平面直角坐标系中，椭圆与双曲线． (1)若的长轴长为8，短轴长为4，直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，当运动时，求点的轨迹方程； (2)若的长轴长为4，短轴长为2，过的左焦点作直线与相交于两点（在轴上方），分别过作的切线，两切线交于点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 因为的长轴长为8，短轴长为4，所以，， 联立方程，得， 又与有唯一的公共点，所以， 即，的横坐标为， 把代入中，，所以， 过且与垂直的直线为，则， 所以，，又，所以， 即，所以的轨迹方程为． （2） 因为的长轴长为4，短轴长为2，所以， ，左焦点， 当斜率为0时，分别为椭圆的左、右顶点，此时切线平行无交点， 当斜率不为0时，设， 由得， 设，则， ， 椭圆在轴上方对应方程为， 则点处切线斜率为， 点处切线方程为，即， 同理可得点处的切线方程为， 由得， 代入①得， 所以，所以， 而， 所以，即，又， 所以． 令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 则当时，． 所以面积的最小值为. 16．（2024·江苏盐城·一模）已知抛物线：，圆：，为坐标原点. (1)若直线：分别与抛物线相交于点A，（在B的左侧）、与圆相交于点S，（S在的左侧），且与的面积相等，求出的取值范围； (2)已知，，是抛物线上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中，均与圆相切，请判断此时圆心到直线的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，定值为1. 【详解】（1）因为与的面积相等，且与的高均为原点到直线的距离， 所以，则， 设，，，， 则，即， 直线：代入抛物线，得， 因为直线与抛物线交于，两点， 所以，则， 直线：代入圆：， 得， 因为直线与圆于S，T两点，所以， 即， 即， 所以， 由，得， 又，则， 将其代入得，解得； 将其代入得，解得. 综上，的取值范围为.    （2）由题，易知直线，，斜率一定存在， 设，，， 则， 则直线的方程为：， 即，即， 因为圆：的圆心为，半径为， 因为直线与圆相切，则， 平方化简得：， 看成关于，为变量的式子得：， 同理得直线与圆C相切，化简式子后得：， 所以可以同构出直线的方程为：， 所以圆心到直线的距离为： ， 此时圆心到直线的距离为定值，定值为.    17．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知椭圆长半轴长为，离心率为，过左焦点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，且． (1)求椭圆方程； (2)求直线的方程； (3)若点位于直线的左侧且为椭圆上一点，点关于点的对称点为，设直线，的交点为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，，解得，则， 所以椭圆方程为； （2）设，，由（1）可知， 因为，又直线的斜率为，所以， 所以，所以，即， 所以，解得或（舍去），则， 即，，则，所以直线的方程为； （3）因为点关于点的对称点为，所以为的中点， 设，则， 由、、三点共线，所以，解得， 所以， 因为为的中点，所以，， 所以， 所以， 当过点的切线与平行时，的面积最大，设， 则，且切线方程为，则， 则，又点位于直线左侧，解得，即， 所以点到直线的距离为， 又， 所以，所以. 其中，椭圆上一点的切线方程为的证明过程如下： ①当切线斜率存在时，设过点的切线方程为， 联立方程，整理得， 由可得， 所以 由韦达定理可知，即， 把代入中，得， 所以 化简得． ②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式． 综上，椭圆上一点的切线方程为． 18．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 【答案】(1)或 (2)①；② 【详解】（1）若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 综上所述：抛物线的方程为或. （2）因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为，    且,， ①当经过抛物线的焦点时，令，得， 在中，令，得， 又因为，则，可得直线， 由，解得或，即， 所以直线，即； ②设，，， 由，消去整理得， 所以，，， 且，即， 则， 令，得 ， 所以直线经过定点， 所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为. 19．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值，并求出该定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，；（ii） 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆的离心率为，所以，即， 据，得，即. 所以直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为， 故，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）（i）设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点， 联立方程组整理得， 所以，， （i）所以 为定值，得证； （ii）法一：直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点， 直线的方程为，令，得，故 联立方程组整理得， 解得或0（舍），， 所以的面积 ， 由（i）可知，，故，代入上式， 所以， 因为点在轴下方且不在轴上，故或，得， 所以， 显然，当时，， 当时，， 故只需考虑，令，则， 所以， 当且仅当，，即时，不等式取等号， 所以的面积的最大值为. 法二：直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点， 直线的方程为，令，得，故， 由（i）可知，，故， 所以点是线段的中点， 故的面积，其中为点到直线的距离， 思路1  显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值， 设直线的方程为，即， 联立方程组整理得， 据，解得（正舍）， 所以平行直线：与直线：之间的距离为 ，即的最大值为， 所以的面积的最大值为. 思路2  因为直线的方程为， 所以， 依题意，，，，故， 所以， 因为在椭圆上，故，即， 所以， 当且仅当时取等号，故， 所以， 即的面积的最大值为. 思路3 因为直线的方程为， 所以， 因为在椭圆上，故， 设，，不妨设， 所以， 当，，时，， 即的面积的最大值为. 20．（2024·江苏·三模）已知椭圆C：，过右焦点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．当轴时，，椭圆C的离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线MN过定点，并求定点坐标； (3)设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【详解】（1）由题意可得，解得，， 则椭圆C的标准方程为． （2）B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0， 设直线，联立椭圆，消去x得：， 由韦达定理得：， ， 则中点， 由，所以以代替m可得， 所以， ， 化简得， 则过定点． 当时，取，，则过定点； 当时，取，，则过定点； 综上直线MN过定点． （3）M，N分别为AB，DE的中点， ， 由（2）知， 以代替m可得， 所以， 当且仅当即时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$