专题13 平面解析几何（选择填空题）-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题13平面解析几何（选择填空题） 1．【2024年新高考2卷第5题】已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2．【2023年新课标全国Ⅱ卷第5题】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 3．【2023年新课标全国Ⅰ卷第5题】设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 4．【2023年新课标全国Ⅰ卷第6题】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      5．【2021年新课标全国Ⅰ卷第5题】已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 6．【2021年新课标全国Ⅱ卷第3题】抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 7．【2024年新高考1卷第11题】设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 【答案】ABD 【详解】对于A：设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B：又曲线方程为，而， 故. 当时，， 故在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得，取， 则，而，故此时， 故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得， 故，故D正确. 故选：ABD. 8．【2024年新高考2卷第10题】抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 9．【2023年新课标全国Ⅱ卷第10题】设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    10．【2022年新课标全国Ⅰ卷第11题】已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 【答案】BCD 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 11．【2022年新课标全国Ⅱ卷第10题】已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 12．【2021年新课标全国Ⅰ卷第11题】已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 13．【2021年新课标全国Ⅱ卷第11题】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 14．【2020年新课标全国Ⅱ卷第10题】已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 15．【2024年新高考1卷第12题】设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 16．【2023年新课标全国Ⅱ卷第15题】已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 17．【2023年新课标全国Ⅰ卷第16题】已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 18．【2022年新课标全国Ⅰ卷第14题】写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 19．【2022年新课标全国Ⅰ卷第16题】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【答案】13 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 20．【2022年新课标全国Ⅱ卷第15题】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 21．【2022年新课标全国Ⅱ卷第16题】已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 【答案】 【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法 令的中点为，设，，利用点差法得到， 设直线，，，求出、的坐标， 再根据求出、，即可得解； 解：令的中点为，因为，所以， 设，，则，， 所以，即 所以，即，设直线，，， 令得，令得，即，， 所以， 即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即； 故答案为： [方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法 解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点， 设，，设直线，，， 则，，，因为，所以 联立直线AB与椭圆方程得消掉y得 其中， ∴AB中点E的横坐标,又，∴ ∵，，∴,又，解得m=2 所以直线，即 22．【2021年新课标全国Ⅰ卷第14题】已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 【答案】 【详解】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 故答案为：. 23．【2021年新课标全国Ⅱ卷第13题】若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 . 【答案】 【详解】解：由题可知，离心率，即， 又，即，则， 故此双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 24．【2020年新课标全国Ⅱ卷第14题】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ． 【答案】 【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为， 又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为： 代入抛物线方程消去y并化简得， 解法一：解得    所以 解法二： 设，则, 过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示. 故答案为： 25．【2020年江苏第6题】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是 . 【答案】 【详解】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 26．【2020年江苏第14题】在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是 ． 【答案】 【详解】 设圆心到直线距离为，则， 所以点P到AB的距离为或，且 所以 令（负值舍去） 当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为， 故答案为： 27．【2019年江苏第7题】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 . 【答案】. 【详解】由已知得， 解得或， 因为，所以. 因为， 所以双曲线的渐近线方程为. 28．【2019年江苏第10题】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 . 【答案】4. 【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小. 由，得，， 即切点， 则切点Q到直线的距离为， 故答案为． 29．【2018年江苏第8题】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ． 【答案】2 【详解】因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此 30．【2017年江苏第8题】在平面直角坐标系xOy中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P，Q，其焦点是F1 ，F2 ，则四边形F1 P F2 Q的面积是 ． 【答案】 【详解】右准线方程为，渐近线方程为，设，则，，，则． 31．【2017年江苏第13题】在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若·20，则点P的横坐标的取值范围是 【答案】 【详解】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为． 32．【2016年江苏第3题】在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 . 【答案】 【详解】．故答案应填： 33．【2016年江苏第10题】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ． 【答案】 【详解】由题意得，故，， 又，所以 34．【2015年江苏第10题】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】 【详解】由题意得：半径等于，当且仅当时取等号，所以半径最大为，所求圆为 35．【2015年江苏第12题】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为 【答案】 【详解】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为 1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，且焦点在x轴上， 则， 所以双曲线的渐近线的方程为. 故选：D. 2．（2024·江苏扬州·模拟预测）圆被直线所截线段的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所截线段的长度为. 故选：D. 3．（2024·江苏南京·二模）设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，， 因为直线与以为圆心、为半径的圆切， 所以， 因此由勾股定理可知， 又，所以，因此， 由勾股定理可得， 根据椭圆定义，， . 故选：B 4．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，若线段的中点是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】   直线的斜率不存在时，应该在轴上，不符合题意， 直线的斜率为0时，两点重合，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为0，设直线， 双曲线的两条渐近线方程分别为， 联立解得，不妨令， 联立，解得，则， 因为线段的中点为，所以，即， ②式两边分别平方得③，将①代入③并化简可得， 所以离心率. 故选：D． 5．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为，为的中点， 所以，， 由椭圆定义可得， 所以， 又因为，为的中点， 所以，， 设椭圆的半焦距为， 所以，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以椭圆C的离心率， 故选：A. 6．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】 因为双曲线，则其渐近线方程为， 且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点， 则直线方程为，联立直线方程，解得， 所以，过点作轴的垂线，交轴于点， 因为，则， 则，且， 即，化简可得，则. 故选：C 7．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为抛物线：上一点，若抛物线在点处的切线恰好与圆：相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点为抛物线上一点，可得，解得， 所以抛物线的方程为， 由，可得，则， 所以抛物线在处的切线斜率为，则切线方程为，即． 圆的圆心为，半径为， 又抛物线在点处的切线恰好与圆相切，可得， 解得或（舍去）． 故选：C． 8．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率. 故选：A. 9．（2024·江苏·三模）已知过抛物线的焦点的直线与相交于两点，轴上一点满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】 设，，， 联立方程组得到，消可得， 解得，因为，所以， 而， 而， 解得，此时，， ，故D正确. 故选：. 10．（2024·江苏·模拟预测）经过抛物线焦点的直线与交于，两点，与抛物线的准线交于点，若，，成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，抛物线的准线方程为， 因为过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与抛物线的准线相交， 所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为， 与联立得， 设，显然，则，， 故，又， 故，解得， 故， 又，故，解得， 故. 故选：D 11．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意，， ， ， 由正弦定理得，又， 所以，，又， 可得，所以椭圆的离心率. 故选：B. 12．（2024·江苏扬州·模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，根据题意，三点共线，三点共线. 而，且由知， 故. 所以， 故可设，，. 由于， 故. 从而，，故，. 而，结合余弦定理得. 故，解得，所以. 故选：C. 13．（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．的离心率为 C．的周长为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【详解】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，故， 所以的焦距为，故A正确； 的离心率为，故B正确； 的周长为，故C错误； 对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大， 最大值为，故D正确. 故选：ABD. 14．（2024·江苏南通·二模）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．直线的斜率为 C．为等腰三角形 D． 【答案】ACD 【详解】对于A，连接，，， ，， ， 在中，， 故有，解得，则， 而在中，，，故A正确， 对于B，而的倾斜角为，而， 则，故B错误. 对于C，由已知得，是等腰三角形，故C正确， 对于D，因为，则，故， 易知的方程为，设， 联立方程组，解得或， 故，又，即， 由两点距离公式得， 而，，故D正确. 故选：ACD. 15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（    ） A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为 B．的离心率为 C．旋转前的椭圆标准方程为 D． 【答案】BCD 【详解】由题意可知，斜椭圆关于和对称，联立直线与，可得，联立直线与，可得，所以两焦点所在直线方程为，A选项错误； 由可知，与相交的两点之间距离等于短轴为，与相交的两点之间距离等于长轴为，故焦距为，故的离心率为，选项正确； 旋转不改变椭圆的长短轴大小，所以旋转前的椭圆焦点在轴上，曲线方程为选项正确； 因为，关于的方程有解，所以，解得，所以选项正确， 故选：BCD． 16．（2024·河南·三模）已知椭圆经过点，且离心率为．记在处的切线为，平行于OP的直线与交于A，B两点，则（    ） A．C的方程 B．直线OP与的斜率之积为-1 C．直线OP，l与坐标轴围成的三角形是等腰三角形 D．直线PA，PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形 【答案】ACD 【详解】椭圆方程为：，故A正确； 如图，因为点在第一象限，取椭圆方程的右半部分得：，则， 所以，所以，故B错误； ，则为等腰三角形，故C正确； ，消可得， 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，故D正确. 故选：ACD 17．（2024·江苏连云港·模拟预测）设a，b为实数，已知圆O：，点在圆O外，以线段为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点．下列说法中正确的是（    ） A．当时，点Q的轨迹方程为 B．当，时，直线的方程为 C．当，时， D．若圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，则 【答案】BCD 【详解】对A：如图 时，，所以点Q的轨迹方程为，故A错误； 对B：如图： 当，时，的方程为：即， 所以直线的方程为. 故B正确； 对C：如图： 当，时，在中，， 所以. 故C正确； 对D：因为点在外，所以，又圆O上总存在两个点到点Q的距离为1， 所以，所以，即. 故D正确. 故选：BCD 18．（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（    ） A．若直线的斜率存在，则的取值范围为 B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C．当时，的面积为12 D．当时， 【答案】ABD 【详解】如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和， 对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确； 对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为 ，所以B正确； 对于C中，由，得，即，所以， 设，则， 因为，所以，整理得， 解得或（舍去），所以，， 所以的面积，所以C错误； 对于D项，在直角中，， 所以，所以D正确． 故选：ABD． 19．（2024·江苏苏州·三模）过抛物线的焦点的直线与相交于A，B两点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A：因为直线经过点，可得，即，所以，故A正确； 对于B：设由，所以， 所以所以 所以所以与不垂直，故B不正确； ，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：ACD. 20．（2024·江苏南通·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．点到的距离比到轴的距离大2 B．点到直线的最小距离为 C．以为直径的圆与轴相切 D．记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形 【答案】BC 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为，设， 因为，因此不正确； 因为，则点到直线的距离为， 当时取等号，可得点到直线的最小距离为，因此正确； 设的中点为，则，于是以为直径的圆与轴相切， 因此正确； ，令，则，，解得， 此时，是正三角形，因此不正确． 故选：BC． 21．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线C：，过点的直线与抛物线交于，两点，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，则（   ） A． B．点T与抛物线上任意一点的最短距离为4 C．的最小值为32 D．的最小值为11 【答案】ACD 【详解】若直线的斜率为，其方程为， 直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不为，故可设其方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，A正确； 所以， 所以当时，取最小值，最小值为32．C正确； ， 因为，， 所以， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为，D正确； 设为抛物线上一点，则， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为，B错误； 故选：ACD． 22．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点作斜率为的直线与轴相交于点，与交于两点，且，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与抛物线的准线有公共点 D．以为直径的圆与拋物线的准线没有公共点 【答案】AD 【详解】解：设直线方程为，即，则， 由，消去整理得， 则，, 由可得，，则，整理得， 所以，解得，. 又因为直线过，所以，即， 验证 ，与抛物线有两个交点.故A正确，B错误； 可知：准线方程为，直线的方程：， 由弦长公式得， 则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线没有公共点，C错误，D正确． 故选：AD． 23．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线左支上存在点，使得，则该双曲线离心率的最大值为 ． 【答案】3 【详解】由双曲线左支上一点，可得， 又，所以， 又，所以，所以， 所以该双曲线离心率的最大值为. 故答案为：. 24．（2024·江苏南京·模拟预测）已知圆，点在直线上．若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】圆圆心，半径为 设弦中点为，连接，， 由，，可得点在弦上， 且，，， 又圆心到弦所在直线的距离为： ， 则， 则点在以为圆心半径为5的圆上运动， 又点在直线上， 则直线与以为圆心半径为5的圆有公共点， 则，解之得或， 所以的取值范围是． 故答案为： 25．（2024·江苏·二模）已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为 . 【答案】（或，答案不唯一） 【详解】由题意得圆心，半径，， 故M点在圆O外，设点O到直线l的距离为d， 由得，即， 即，即，解得， 设直线l的方程为， 则或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：（或，答案不唯一）. 26．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】4 【详解】方法一：可知直线过左焦点，斜率， 且直线与双曲线相交，可知，则， 联立方程，消去x可得， 设，则， 由可知， 与联立可得， 代入可得，则， 所以双曲线的离心率； 方法二：由题意可知：直线的斜率，则直线的倾斜角， 可得，， 因为，可知， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率； 方法三：因为直线过点，将直线方程写为参数方程， 代入双曲线可得， 整理得， 可知两解为， 由可知，则， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率； 方法四：若以为极点、轴方向为极轴建立极坐标系， 则双曲线方程可以写为，其中为焦点到相应准线的距离． 由直线的倾斜角为可知，取可得两点， 由条件知在的延长线上，则当时为负值， 可得， 则，即，解得. 故答案为：4. 27．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，右焦点是，点是双曲线右支上异于顶点的动点，的平分线与直线交于点，过作轴，垂足是，若恒成立，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】如图所示，过点作交于点，可得， 因为，所以， 设，则， 由为的角平分线，可得， 所以， 由，可得， 所以， 整理得， 若对于任意的都成立，则必有，解得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：.    28．（2024·江苏宿迁·三模）若椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，的内切圆的半径为1，则的值为 ． 【答案】4 【详解】如图，， 所以，. 故答案为：4.    29．（2024·江苏·三模）已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，过的中点作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，则 ；若，则的离心率为 . 【答案】 【详解】设，则， 设，则，则， 故，结合，可得 故答案为：， 30．（2024·江苏·三模）在中，为的中点，延长与的外接圆交于点，则 . 【答案】 【详解】如图建系，，    设的外接圆的方程为， ， 即， ，即 ， 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题13平面解析几何（选择填空题） 1．【2024年新高考2卷第5题】已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．【2023年新课标全国Ⅱ卷第5题】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 3．【2023年新课标全国Ⅰ卷第5题】设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 4．【2023年新课标全国Ⅰ卷第6题】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 5．【2021年新课标全国Ⅰ卷第5题】已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 6．【2021年新课标全国Ⅱ卷第3题】抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 7．【2024年新高考1卷第11题】设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 8．【2024年新高考2卷第10题】抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 9．【2023年新课标全国Ⅱ卷第10题】设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 10．【2022年新课标全国Ⅰ卷第11题】已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 11．【2022年新课标全国Ⅱ卷第10题】已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 12．【2021年新课标全国Ⅰ卷第11题】已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 13．【2021年新课标全国Ⅱ卷第11题】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 14．【2020年新课标全国Ⅱ卷第10题】已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 15．【2024年新高考1卷第12题】设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 16．【2023年新课标全国Ⅱ卷第15题】已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 17．【2023年新课标全国Ⅰ卷第16题】已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 18．【2022年新课标全国Ⅰ卷第14题】写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 19．【2022年新课标全国Ⅰ卷第16题】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 20．【2022年新课标全国Ⅱ卷第15题】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 21．【2022年新课标全国Ⅱ卷第16题】已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 22．【2021年新课标全国Ⅰ卷第14题】已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 23．【2021年新课标全国Ⅱ卷第13题】若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 . 24．【2020年新课标全国Ⅱ卷第14题】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ． 25．【2020年江苏第6题】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是 . 26．【2020年江苏第14题】在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是 ． 27．【2019年江苏第7题】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 . 28．【2019年江苏第10题】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 . 29．【2018年江苏第8题】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ． 30．【2017年江苏第8题】在平面直角坐标系xOy中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P，Q，其焦点是F1 ，F2 ，则四边形F1 P F2 Q的面积是 ． 31．【2017年江苏第13题】在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若·20，则点P的横坐标的取值范围是 32．【2016年江苏第3题】在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 . 33．【2016年江苏第10题】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ． 34．【2015年江苏第10题】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 35．【2015年江苏第12题】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为 1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·模拟预测）圆被直线所截线段的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（2024·江苏南京·二模）设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，若线段的中点是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 7．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为抛物线：上一点，若抛物线在点处的切线恰好与圆：相切，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏·三模）已知过抛物线的焦点的直线与相交于两点，轴上一点满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 10．（2024·江苏·模拟预测）经过抛物线焦点的直线与交于，两点，与抛物线的准线交于点，若，，成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏扬州·模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）    A． B． C． D． 13．（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．的离心率为 C．的周长为 D．面积的最大值为 14．（2024·江苏南通·二模）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．直线的斜率为 C．为等腰三角形 D． 15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（    ） A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为 B．的离心率为 C．旋转前的椭圆标准方程为 D． 16．（2024·河南·三模）已知椭圆经过点，且离心率为．记在处的切线为，平行于OP的直线与交于A，B两点，则（    ） A．C的方程 B．直线OP与的斜率之积为-1 C．直线OP，l与坐标轴围成的三角形是等腰三角形 D．直线PA，PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形 17．（2024·江苏连云港·模拟预测）设a，b为实数，已知圆O：，点在圆O外，以线段为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点．下列说法中正确的是（    ） A．当时，点Q的轨迹方程为 B．当，时，直线的方程为 C．当，时， D．若圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，则 18．（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（    ） A．若直线的斜率存在，则的取值范围为 B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C．当时，的面积为12 D．当时， 19．（2024·江苏苏州·三模）过抛物线的焦点的直线与相交于A，B两点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 20．（2024·江苏南通·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．点到的距离比到轴的距离大2 B．点到直线的最小距离为 C．以为直径的圆与轴相切 D．记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形 21．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线C：，过点的直线与抛物线交于，两点，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，则（   ） A． B．点T与抛物线上任意一点的最短距离为4 C．的最小值为32 D．的最小值为11 22．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点作斜率为的直线与轴相交于点，与交于两点，且，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与抛物线的准线有公共点 D．以为直径的圆与拋物线的准线没有公共点 23．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线左支上存在点，使得，则该双曲线离心率的最大值为 ． 24．（2024·江苏南京·模拟预测）已知圆，点在直线上．若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是 . 25．（2024·江苏·二模）已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为 . 26．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为 ． 27．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，右焦点是，点是双曲线右支上异于顶点的动点，的平分线与直线交于点，过作轴，垂足是，若恒成立，则双曲线的离心率为 ． 28．（2024·江苏宿迁·三模）若椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，的内切圆的半径为1，则的值为 ． 29．（2024·江苏·三模）已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，过的中点作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，则 ；若，则的离心率为 . 30．（2024·江苏·三模）在中，为的中点，延长与的外接圆交于点，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$