专题10 数列（解答题）-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题10数列（解答题） 1．【2024年新高考1卷第19题】设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 2．【2023年新课标全国Ⅱ卷第18题】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 3．【2023年新课标全国Ⅰ卷第20题】设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 4．【2022年新课标全国Ⅰ卷第17题】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 5．【2022年新课标全国Ⅱ卷第17题】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 6．【2021年新课标全国Ⅰ卷第17题】已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 7．【2021年新课标全国Ⅱ卷第17题】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 8．【2020年新课标全国Ⅱ卷第18题】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 9．【2020年新课标全国Ⅰ卷第18题】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 10．【2020年江苏第20题】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ~k”数列． （1）若等差数列是“λ~1”数列，求λ的值； （2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 11．【2019年江苏第20题】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”； （2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和． ①求数列{bn}的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值． 12．【2018年江苏第20题】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列． （1）设，若对均成立，求d的取值范围； （2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）． 13．【2018年江苏第26题】设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数． （1）求的值； （2）求的表达式(用n表示)． 14．【2017年江苏第19题】对于给定的正整数k,若数列{an}满足 对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列{an} 是“P(k)数列”. (1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”； （2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列. 15．【2015年江苏第20题】设是各项为正数且公差为d的等差数列 （1）证明：依次成等比数列； （2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由. 1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 2．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 3．（2024·江苏·三模）设数列的前项的和为. (1)若是公差为的等差数列，且成等比数列，求； (2)若，求证：. 4．（2024·江苏·模拟预测）已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 6．（2024·江苏宿迁·一模）已知为公差不为0的等差数列的前项和，且． (1)求的值； (2)若，求证：． 7．（2024·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，. (1)求，，并证明：数列是等差数列； (2)求. 8．（2024·江苏南通·三模）已知函数． (1)若，求的最小值； (2)设数列前项和，若，求证：． 9．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)数列的每一项均为正数，，数列的前n项和为，当时，求n的最小值． 10．（2024·江苏盐城·模拟预测）在数列的第项与第项之间插入个1，称为变换．数列通过变换所得数列记为，数列通过变换所得数列记为，以此类推，数列通过变换所得数列记为（其中）． (1)已知等比数列的首项为1，项数为，其前项和为，若，求数列的项数； (2)若数列的项数为3，的项数记为． ①当时，试用表示； ②求证：． 11．（2024·江苏宿迁·三模）在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 12．（2024·重庆开州·模拟预测）设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”． (1)若，求数列的“点”； (2)已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围； (3)若，数列的“点”的个数为，证明：． 13．（2024·江苏南通·二模）已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和； (3)是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 14．（2024·广东梅州·二模）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”． (1)若，求其生成数列的前项和； (2)设数列的“生成数列”为，求证：； (3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列． 15．（2024·江苏苏州·模拟预测）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知． (1)求数列、的通项公式； (2)记点到直线（即直线）的距离为， （I）求证：； （II）求证：，若值与（I）相同，则求此时的最小值． 16．（2024·江苏苏州·模拟预测）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为． (1)求随机变量的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求证：． 17．（2024·江苏南京·二模）设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项和为，已知对任意整数属于，当时，都成立. (1)设，，求数列的通项公式； (2)设，求数列的通项公式. 18．（2024·江苏泰州·模拟预测）（1）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，，求数列的通项公式； （2）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，其中为常数. ①若，，记，数列的前项和满足，求数列的通项公式： ②记，证明：数列中存在小于1的项. 19．（2024·江苏徐州·一模）对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列． (1)若数列为2，4，3，7，求的值； (2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，． （i）探究与的关系； （ii）证明：． 20．（2024·江苏南京·二模）已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”. (1)若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由； (2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； (3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题10数列（解答题） 1．【2024年新高考1卷第19题】设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 2．【2023年新课标全国Ⅱ卷第18题】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 3．【2023年新课标全国Ⅰ卷第20题】设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 4．【2022年新课标全国Ⅰ卷第17题】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 5．【2022年新课标全国Ⅱ卷第17题】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． （2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 6．【2021年新课标全国Ⅰ卷第17题】已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． [方法三]：累加法 由题意知数列满足． 所以， ， 则． 所以，数列的通项公式． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 7．【2021年新课标全国Ⅱ卷第17题】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)7. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 8．【2020年新课标全国Ⅱ卷第18题】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 【答案】（1）；（2） 【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则， 整理可得：， ， 数列的通项公式为：. (2)由于：，故： . 9．【2020年新课标全国Ⅰ卷第18题】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)， 所以，所以数列的通项公式为. （2）［方法一］：规律探索 由于，所以 对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有2个1； 对应的区间分别为，则，即有个2； 对应的区间分别为，则，即有个3； 对应的区间分别为，则，即有个4； 对应的区间分别为，则，即有个5； 对应的区间分别为，则，即有37个6． 所以． ［方法二］【最优解】： 由题意，，即，当时，． 当时，，则 ． ［方法三］： 由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，． 所以 ． 所以数列的前100项和． 10．【2020年江苏第20题】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ~k”数列． （1）若等差数列是“λ~1”数列，求λ的值； （2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1 （2） （3） 【详解】（1） （2） ， （3）假设存在三个不同的数列为数列. 或 或 ∵对于给定的，存在三个不同的数列为数列，且 或有两个不等的正根. 可转化为，不妨设，则有两个不等正根，设. ①    当时，，即，此时，，满足题意. ②    当时，，即，此时，，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去. 综上， 11．【2019年江苏第20题】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”； （2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和． ①求数列{bn}的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值． 【答案】（1）见解析； （2）①bn=n；②5. 【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0. 由，得，解得． 因此数列为“M—数列”. （2）①因为，所以． 由得，则. 由，得， 当时，由，得， 整理得． 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=n. ②由①知，bk=k，. 因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m. 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）=，则． 令，得x=e.列表如下： x e (e，+∞) + 0 – f（x） 极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 12．【2018年江苏第20题】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列． （1）设，若对均成立，求d的取值范围； （2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）． 【答案】（1）d的取值范围为； （2）d的取值范围为，证明见解析． 【详解】（1）由条件知：． 因为对n=1，2，3，4均成立， 即对n=1，2，3，4均成立， 即11，1d3，32d5，73d9，得． 因此，d的取值范围为． （2）［方法一］：分参求最值 由条件知：． 若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立， 即， 即当时，d满足． 因为，则， 从而，，对均成立． 因此，取d=0时，对均成立． 下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）． ①当时，， 当时，有，从而． 因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当x>0时，， 所以单调递减，从而<f（0）=1． 当时，， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，d的取值范围为． ［方法二］： ．     ① 记， 则由①知，． 下面探究的单调性． 先探究数列的单调性． ． 因为，所以，所以， 即为单调递增数列，所以． 再探究数列的单调性． ，记，由知单调递增，所以． 下面证当时，，即证． 因为，所以只要证． 设，则，即为． 设，则． 所以． 所以在内单调递减，故，由上可知数列为单调递减数列，所以． 即，d的取值范围为． ［方法三］： 前面步骤同方法二，只是探究数列的单调性方式不同， 因为，所以． 设，则． 因为，所以，所以在上单调递减． 由上可知数列为单调递减数列，所以．后略． ［方法四］： 前面步骤同方法二，只是探究数列的单调性方式不同， ，则． 令，则，所以在上单调递减．所以为单调递减数列，． 综上所述，存在满足要求的d，且． 13．【2018年江苏第26题】设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数． （1）求的值； （2）求的表达式(用n表示)． 【答案】（1）2  5 （2）n≥5时， 【详解】（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有 ， 所以． 对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，． （2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以． 为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，． 当n≥5时， ， 因此，n≥5时， ． 14．【2017年江苏第19题】对于给定的正整数k,若数列{an}满足 对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列{an} 是“P(k)数列”. (1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”； （2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】（1）因为是等差数列，设其公差为，则， 从而，当时， ， 所以， 因此等差数列是“数列”. （2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此， 当时，，① 当时，.② 由①知， ，③ ，④ 将③④代入②，得，其中， 所以是等差数列，设其公差为. 在①中，取，则，所以， 在①中，取，则，所以， 所以数列是等差数列. 15．【2015年江苏第20题】设是各项为正数且公差为d的等差数列 （1）证明：依次成等比数列； （2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由. 【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在 【详解】（1）证明：因为（，，）是同一个常数， 所以，，，依次构成等比数列． （2）令，则，，，分别为，，，（，，）． 假设存在，，使得，，，依次构成等比数列， 则，且． 令，则，且（，）， 化简得（），且．将代入（）式， ，则． 显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列． （3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列， 则，且． 分别在两个等式的两边同除以及，并令（，）， 则，且． 将上述两个等式两边取对数，得， 且． 化简得， 且． 再将这两式相除，化简得（）． 令， 则． 令， 则． 令，则． 令，则． 由，， 知，，，在和上均单调． 故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立． 所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列． 1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为①，所以②，③， 由③得：，所以， ②-①得：，整理得：， 又因为各项均为正数，所以， 所以是公差的等差数列，． （2）由（1），， 所以， 所以． 2．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. （2），，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 3．（2024·江苏·三模）设数列的前项的和为. (1)若是公差为的等差数列，且成等比数列，求； (2)若，求证：. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知，故， 解得，所以或. （2）因为①，所以②， 所以由②①得，， 所以时，， 所以由得， 所以， 显然也符合上式，所以， 所以. 4．（2024·江苏·模拟预测）已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， 设，则，又， 所以，. （2） . 5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以 ， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列； （2）由（2）可得，即， ， 所以， 前项和， ， 两式相减可得， 化简可得． 6．（2024·江苏宿迁·一模）已知为公差不为0的等差数列的前项和，且． (1)求的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【详解】（1）解法一：设的公差为， 由①，得②， 则②-①得， 即，又，则； 解法二：设的公差为， 因为， 所以对恒成立， 即对恒成立， 所以， 又，则； （2）由得，即， 所以， 又即，则， 因此 则 ． 7．（2024·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，. (1)求，，并证明：数列是等差数列； (2)求. 【答案】(1)，，证明见解析； (2)420. 【详解】（1）当时，由条件得，所以. 当时，由条件得，所以. 因为，所以（）， 两式相减得：，即， 所以， 从而数列为等差数列. （2）由（1）知， 所以， 所以数列为等差数列，首项为， 所以， 所以. 8．（2024·江苏南通·三模）已知函数． (1)若，求的最小值； (2)设数列前项和，若，求证：． 【答案】(1)0 (2)证明见详解 【详解】（1）因为，则， 因为，则，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （2）因为， 若，则，满足； 若，由（1）可知：， 即，当且仅当时，等号成立， 令，可得， 且， 可得， 所以； 综上所述：. 9．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)数列的每一项均为正数，，数列的前n项和为，当时，求n的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2024． 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以，所以（常数）， 故数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）知，，得 所以 ， 当时，即，所以n的最小值为2024． 10．（2024·江苏盐城·模拟预测）在数列的第项与第项之间插入个1，称为变换．数列通过变换所得数列记为，数列通过变换所得数列记为，以此类推，数列通过变换所得数列记为（其中）． (1)已知等比数列的首项为1，项数为，其前项和为，若，求数列的项数； (2)若数列的项数为3，的项数记为． ①当时，试用表示； ②求证：． 【答案】(1)36 (2)①；②证明见解析 【详解】（1）设等比数列的公比为，显然， 由，得，解得. 故数列有8项，经过1次变换后的项数为， 即的项数为36. （2）①由的项数为，则当时，， 所以 ②因数列是一个3项的数列，所以， 由，所以， 于是，则有 所以，得，即， 所以. ，，于是， 则有，可得，有，即， 所以， 综上所述，． 11．（2024·江苏宿迁·三模）在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以n=1时，， 所以数列是各项为0的常数列，即， 所以． （2）①由得 所以① 所以② ②-①得：③ 所以④ ④-③得，所以 即 所以数列是等差数列． ②当时，由得，所以， 又，故的公差为1，所以， 所以， 即 ． 12．（2024·重庆开州·模拟预测）设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”． (1)若，求数列的“点”； (2)已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围； (3)若，数列的“点”的个数为，证明：． 【答案】(1)3，5 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为 所以， 所以数列 的 “ 点” 为 3，5 ， （2）依题意，， 因为数列存在 “点”， 所以存在 ，使得 ， 所以， 即. 因为，所以，所以， 又随的增大而增大， 所以当时，取最大值， 所以，又，所以. 当时，有， 所以数列存在 “点”， 所以的取值范围为， （3）①若，则数列不存在 “点”，即. 由得，，所以， ②若存在，使得. 下证数列有 “点”. 证明: 若，则2是数列的 “点”; 若，因为存在，使得， 所以设数列中第1个小于的项为， 则，所以是数列的第1个 “点”. 综上，数列存在 “点”.               不妨设数列的 “点” 由小到大依次为， 则是中第1个小于的项， 故，因为 ， 所以，所以，所以 所以 所以. 综上，，得证. 13．（2024·江苏南通·二模）已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和； (3)是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【详解】（1），，当时，， 两式相减得，即， 则有，当时，，则，即， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，，则，数列是等差数列， 于是，解得，则， 所以的前项和 . （3）由（1）知，， 由成等差数列，得，整理得， 由，得，又，，不等式成立， 因此，即，令，则, 从而，显然，即， 所以存在，使得成等差数列. 14．（2024·广东梅州·二模）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”． (1)若，求其生成数列的前项和； (2)设数列的“生成数列”为，求证：； (3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为关于单调递增， 所以， ， 于是， 的前项和． （2）由题意可知，， 所以， 因此，即是单调递增数列，且， 由“生成数列”的定义可得． （3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，是等差数列． 当是一个常数列，则其公差必等于0，， 则，因此是常数列，也即为等差数列； 当是一个非常数的等差数列，则其公差必大于0，， 所以要么，要么， 又因为是由正整数组成的数列，所以不可能一直递减， 记，则当时，有， 于是当时，， 故当时，，…， 因此存在正整数，当时，，…是等差数列． 综上，命题得证． 15．（2024·江苏苏州·模拟预测）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知． (1)求数列、的通项公式； (2)记点到直线（即直线）的距离为， （I）求证：； （II）求证：，若值与（I）相同，则求此时的最小值． 【答案】(1)，； (2)（I）证明见解析；（II）证明见解析 【详解】（1）曲线上点处的切线的斜率为， 故得到的方程为， 联立方程，消去y得：， 化简得：，所以：或， 由得到点的坐标， 由就得到点的坐标， 所以：， 故数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以：，； （2）（I）由（1）知：，， 所以直线的方程为：， 化简得：， 因为， 所以， ； （II） ， 与（I）中相同，当时，此时最小值为． 16．（2024·江苏苏州·模拟预测）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为． (1)求随机变量的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求证：． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题可知的可能取值为0，1，2， 根据相互独立事件的概率公式得到：即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换，即为甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换，即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则 ， 的分布列为： 0 1 2 （2）由全概率公式可知： ， 即，即，， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， ， 即的通项公式； （3） ， 所以 得证. 17．（2024·江苏南京·二模）设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项和为，已知对任意整数属于，当时，都成立. (1)设，，求数列的通项公式； (2)设，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以时，， 又，所以时，， 即，又，所以为公差为4等差数列， 所以，所以时，， 所以； （2）方法1： ，所以时，， 即①， 所以时，②， 所以时，由得，③， 同理，时，④， 由③得，时，， 所以时，两式相加得， 即，结合④得，时，， 即， 所以时，， 设，则时，， 由得，时，， 所以， ， 所以时，， 所以是公差为等差数列，所以时，， 又由①得，所以， 又，， 所以，所以，又，所以，， 所以时，符合此式， 所以. 方法2： ，所以时，， 即①， 所以时，②， 所以时由得，③， 同理，时，④， 由③得，成等差数列，设公差为, 成等差数列，设公差为； 由④得，成等差数列，公差为， 成等差数列，设公差为； 成等差数列，设公差为； 所以，， ， ，所以， 又由①得，所以⑤， 同理 ， 所以，与⑤联立解得， 所以， 故，， 所以时，符合此式， 所以. 18．（2024·江苏泰州·模拟预测）（1）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，，求数列的通项公式； （2）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，其中为常数. ①若，，记，数列的前项和满足，求数列的通项公式： ②记，证明：数列中存在小于1的项. 【答案】（1）；（2）①，；②证明见解析 【详解】（1）因为对于，都有，所以为等差数列. ， ，. （2）①当时，因为，所以， 由累加法得，. 因为，故. 当时，也满足上式，所以，. 那么. 从而. 又因为，由两边夹定理可得，. 因此上面的推导过程中的等号都成立，即， ②法一：由题意得. 先证明：，当时，. （i）若，则当时，成立： （ii）若，取 当有. 即成立. 当时，. 所以数列中存在小于1的项； 法二：当时，因为，所以， 由累加法得，， 又，故. 当时，也满足上式，所以， 所以. 当，时，， 即，故即. 所以数列中存在小于1的项. 19．（2024·江苏徐州·一模）对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列． (1)若数列为2，4，3，7，求的值； (2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，． （i）探究与的关系； （ii）证明：． 【答案】(1)172； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）依题意，，， . （2）（i）记， ， ， ， ，所以. （ii）设是每项均为非负整数的数列， 当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列， 则， 当存在，使得时，若记数列为，则， 因此，从而对于任意给定的数列， 由，，由（i）知， 所以. 20．（2024·江苏南京·二模）已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”. (1)若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由； (2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； (3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：． 【答案】(1)不是“X数列” (2)证明见解析；， (3)证明见解析 【详解】（1）由题， 所以有，， 故根据“X数列”的定义不是“X数列”. （2）因为， 所以当时，； 当时，； 则不满足，所以， 令，即， 则当时，有，； 当时，有；故即， 则对每一个，有且仅有一个且，使得， 综上，对任意，有且仅有一个，使得， 所以为“X数列”， 由上，， 即的“余项数列”通项公式为，. （3）因为是正项数列，所以单调递增， 所以，故， 因为，且为“X数列”， 所以，故由得， 的“余项数列”为等差数列，故其公差， 因为，所以， 若，则当时，，与矛盾， 故，所以，，即， 对于，若，则，与正项数列矛盾， 所以，故， 所以，故， 所以， 又， 所以，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$