专题09 数列（选择填空题）-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题09数列（选择填空题） 1．【2023年新课标全国Ⅱ卷第8题】记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 2．【2023年新课标全国Ⅰ卷第7题】记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 3．【2022年新课标全国Ⅱ卷第3题】图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 【答案】D 【详解】设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 4．【2021年新课标全国Ⅱ卷第12题】设正整数，其中，记．则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项，，， 所以，，A选项正确； 对于B选项，取，，， 而，则，即，B选项错误； 对于C选项，， 所以，， ， 所以，，因此，，C选项正确； 对于D选项，，故，D选项正确. 故选：ACD. 5．【2024年新高考2卷第12题】记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 6．【2021年新课标全国Ⅰ卷第16题】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 . 【答案】 5 【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位； 故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想， 设， 则， 两式作差得： ， 因此，. 故答案为：；. 7．【2020年新课标全国Ⅱ卷第15题】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ． 【答案】 【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以的前项和为， 故答案为：. 8．【2020年江苏第11题】设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是 ． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意. 等差数列的前项和公式为， 等比数列的前项和公式为， 依题意，即， 通过对比系数可知，故. 故答案为： 9．【2019年江苏第8题】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是 . 【答案】16. 【详解】由题意可得：， 解得：，则. 10．【2017年江苏第9题】等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知= ，=，则= ． 【答案】32 【详解】由题意可得，所以两式相除得代入得，填32． 11．【2016年江苏第8题】已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是 . 【答案】 【详解】由得，因此 12．【2015年江苏第11题】数列满足，且（），则数列的前10项和为 ． 【答案】 【详解】∵数列满足，且（）， ∴当n≥2时，． 当n=1时，上式也成立，∴．∴． ∴数列的前n项的和 ∴数列的前10项的和为 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列满足，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，则，， 因为，可得， 所以有，解得， 故选：B. 2．（2024·江苏盐城·模拟预测）在等差数列中，已知则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由题意得， ， 即，解得. 故选：C. 3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（    ） A．第28项 B．第29项 C．第30项 D．第32项 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 令， 得，即是中的第30项. 故选：C. 4．（2024·江苏南通·三模）设数列的前项和为，若，则（   ） A．65 B．127 C．129 D．255 【答案】B 【详解】时，，则. 时，， ， 是2为首项，2为公比的等比数列，， 故选：B. 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【详解】设正项等比数列的公比为， 则是首项为，公比为的等比数列， 若，，则， 所以，即， 解得或（舍去）. 故选：C. 6．（2024·江苏·模拟预测）设数列满足，且，则（    ） A．1 B． C．10 D．100 【答案】B 【详解】依题意，则， 故是以10为公比的等比数列， 所以 所以. 故选：B. 7．（2024·江苏·一模）等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为， 由，得：， 即：， 所以，， 又，所以，， 所以，. 故选：A. 8．（2024·江苏南京·二模）我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列．记的前n项和为，则（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【详解】因为，，，， 所以， ， ， ， ， ，…， 可以看出数列的前20项为， 故. 故选：C. 9．（2024·江苏苏州·二模）已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 当时，，则， 整理得，即， 而，解得， 于是，数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即， 由，得， 当为奇数时，，即，显然为递增数列， 当时，，于是， 当为偶数时，，即，显然恒有，于是， 所以实数的取值范围为. 故选：B 10．（2024·江苏盐城·模拟预测）若数列满足，的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 当时，， ， ， ； 当时，，解得：，不满足，； 当时，， 又满足，. 故选：D. 11．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设各项均不相等的等比数列的前n项和为，若，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由数列为各项均不相等的等比数列，设公比为， 由，得，又因为， 当时，则，化简得，解得，或（舍）； 当，则，化简得，因， 所以无解； 综上可得，故C正确. 故选：C. 12．（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】时， 时， ， 故选：D. 13．（2024·江苏盐城·模拟预测）凸五边形有5条对角线，那么凸边形有（    ）条对角线． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线， 则得到在凸的基础上，多一个顶点，则多条对角线， 设凸边形有条对角线， 所以， 则，， 累加得， 则， 故选：D. 14．（2024·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 【答案】A 【详解】因为，，所以， 因为是等比数列，所以成等比数列， 所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确. 故选：A. 15．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 所以 ， 而当时，单调递增， 又因为，且， 所以满足条件的最大整数. 故选：C. 16．（2024·江苏南京·模拟预测）设数列的前项和为，则满足的数列的一个通项 .（写出一个正确的答案即可，不必考虑所有情况） 【答案】（答案不唯一） 【详解】不妨设，则， 故答案为：（答案不唯一） 17．（2024·江苏·模拟预测）围棋起源于中国，至今已有多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设大小为的眼有口气，大小为的眼有口气，则与满足的关系是，，.则的通项公式为 ． 【答案】. 【详解】根据题意，，当时， 可得， 即； 又当时，不满足；故. 故答案为：. 18．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】数列中，，，显然， 则有，即，而， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． 故答案为： 19．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则 ， 【答案】 3 【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，，可得，，，即， 当时，，可得或，或，或1或2，即， 当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即， 当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，函数在定义域上的值域为， 记中元素的个数为，设，则，， 所以， 则可得递推关系：， 所以, 当时，成立，则，则， 所以， 故答案为：3； 20．（2024·江苏泰州·模拟预测）设为数列的前项和，，，则 （1） ； （2） . 【答案】 / / 【详解】（1）令，所以， 所以，（2）因为， 所以， 当为偶数时，可得， 所以，当为奇数时，可得， 所以， 所以. 故答案为：；. 21．（2024·江苏宿迁·三模）表示不小于x的最小整数，例如，．已知等差数列的前n项和为，且，．记，则数列的前10项的和 ． 【答案】 【详解】由，可得，解得， 又，得，解得， 所以数列的公差为，， 又， ，同理，，，，， 所以数列的前10项的和为. 故答案为：. 22．（2024·江苏·模拟预测）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率约为10%，且每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起的十年内每年年初的计划存栏数依次为，则 ，数列的通项公式 ( 1≤n≤10， )． 【答案】 【详解】由题意可知， ， 由得， 所以，得， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， 即. 故答案为：①1242；②. 23．（2024·江苏苏州·三模）已知函数. ①当时，，记前项积为，若恒成立，整数的最小值是 ; ②对所有n都有成立，则的最小值是 . 【答案】 3 【详解】，，，故， 设，，则， 故在上单调递减， 则，故当时，， 则 ， 所以， 综上，，若恒成立，整数的最小值为3， ， 化简得，即， 令，， 当时，， 所以在上单调递减， 又， 所以，故， 解得，所以的最小值为. 故答案为：3， 24．（2024·江苏扬州·模拟预测）对于有穷数列，从数列中选取第项､第项､､第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为 ． 【答案】2016 【详解】数列中的每一项，含有一个项的子列有个，含有两个项的子列有个， 含有三个项的子列有个，含有四个项的子列有个，含有五个项的子列有个，含有六个项的子列有个， 因此和式中，数列中的每一项，都出现次， 所以所求和为. 故答案为：2016 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题09数列（选择填空题） 1．【2023年新课标全国Ⅱ卷第8题】记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 2．【2023年新课标全国Ⅰ卷第7题】记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．【2022年新课标全国Ⅱ卷第3题】图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 4．【2021年新课标全国Ⅱ卷第12题】设正整数，其中，记．则（    ） A． B． C． D． 5．【2024年新高考2卷第12题】记为等差数列的前n项和，若，，则 . 6．【2021年新课标全国Ⅰ卷第16题】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 . 7．【2020年新课标全国Ⅱ卷第15题】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ． 8．【2020年江苏第11题】设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是 ． 9．【2019年江苏第8题】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是 . 10．【2017年江苏第9题】等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知= ，=，则= ． 11．【2016年江苏第8题】已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是 . 12．【2015年江苏第11题】数列满足，且（），则数列的前10项和为 ． 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列满足，则（    ） A．3 B． C．1 D． 2．（2024·江苏盐城·模拟预测）在等差数列中，已知则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（    ） A．第28项 B．第29项 C．第30项 D．第32项 4．（2024·江苏南通·三模）设数列的前项和为，若，则（   ） A．65 B．127 C．129 D．255 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 6．（2024·江苏·模拟预测）设数列满足，且，则（    ） A．1 B． C．10 D．100 7．（2024·江苏·一模）等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏南京·二模）我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列．记的前n项和为，则（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 9．（2024·江苏苏州·二模）已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏盐城·模拟预测）若数列满足，的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设各项均不相等的等比数列的前n项和为，若，则公比（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 13．（2024·江苏盐城·模拟预测）凸五边形有5条对角线，那么凸边形有（    ）条对角线． A． B． C． D． 14．（2024·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 15．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 16．（2024·江苏南京·模拟预测）设数列的前项和为，则满足的数列的一个通项 .（写出一个正确的答案即可，不必考虑所有情况） 17．（2024·江苏·模拟预测）围棋起源于中国，至今已有多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设大小为的眼有口气，大小为的眼有口气，则与满足的关系是，，.则的通项公式为 ． 18．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 19．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则 ， 20．（2024·江苏泰州·模拟预测）设为数列的前项和，，，则 （1） ； （2） . 21．（2024·江苏宿迁·三模）表示不小于x的最小整数，例如，．已知等差数列的前n项和为，且，．记，则数列的前10项的和 ． 22．（2024·江苏·模拟预测）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率约为10%，且每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起的十年内每年年初的计划存栏数依次为，则 ，数列的通项公式 ( 1≤n≤10， )． 23．（2024·江苏苏州·三模）已知函数. ①当时，，记前项积为，若恒成立，整数的最小值是 ; ②对所有n都有成立，则的最小值是 . 24．（2024·江苏扬州·模拟预测）对于有穷数列，从数列中选取第项､第项､､第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$