专题11 函数值域的求法（7大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题11 函数值域的求法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、直接法 3 题型二、配方法 3 题型三、换元法 4 题型四、分离常数法 4 题型五、基本不等式法 4 题型六、单调性法 5 题型七、判别式法 5 压轴能力测评（6题） 6 一、定义域优先 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。 二、常见函数的值域 (1) 一次函数的值域为R. (2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， (3)反比例函数的值域为. (4)指数函数的值域为. (5)对数函数的值域为R. (6)正，余弦函数的值域为，正切函数的值域为R. (7)对勾函数：对勾函数： 值域： 三、求函数值域的常见方法 1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解； 2、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域； 3、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元； （3）型的函数，可用“”或“”换元； 4、分离常数法：形如的函数，应用分离常数法求值域，即，然后求值域； 5、基本不等式法：形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 6、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）形如的函数可用函数单调性求值域； （2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。 7、判别式法：形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 【题型一 直接法】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东广州·期中）下列函数定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高一·江苏·假期作业）函数，的值域为 ，函数，的值域为 ． 3．（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）函数在的值域为 . 【题型二 配方法】 一、单选题 1．（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（    ） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 二、填空题 2．（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 三、解答题 3．（24-25高一上·上海·假期作业）求值域： (1)， (2)， 【题型三 换元法】 一、填空题 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 2．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）函数的值域为 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为 ． 【题型四 分离常数法】 一、填空题 1．（24-25高一上·全国·单元测试）函数的值域是 ． 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 3．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 二、单选题 4．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【题型五 基本不等式法】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若，函数的值域为 . 3．（23-24高一上·上海·期中）当时，函数的值域为 . 4．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ． 三、解答题 5．（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【题型六 单调性法】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上的值域为 ． 3．（2024高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为 三、解答题 4．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的值域 5．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 【题型七 判别式法】 一、单选题 1．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 二、填空题 3．（22-23高一下·上海嘉定·开学考试）已知函数的值域为，则常数 ． 4．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为 ． 三、解答题 5．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，其中. (1)当，求函数的值域； (2)，求区间上的最小值. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 . 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为 ，值域为 . 三、解答题 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 6．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 函数值域的求法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、直接法 3 题型二、配方法 4 题型三、换元法 5 题型四、分离常数法 6 题型五、基本不等式法 8 题型六、单调性法 11 题型七、判别式法 13 压轴能力测评（6题） 16 一、定义域优先 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。 二、常见函数的值域 (1) 一次函数的值域为R. (2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， (3)反比例函数的值域为. (4)指数函数的值域为. (5)对数函数的值域为R. (6)正，余弦函数的值域为，正切函数的值域为R. (7)对勾函数：对勾函数： 值域： 三、求函数值域的常见方法 1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解； 2、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域； 3、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元； （3）型的函数，可用“”或“”换元； 4、分离常数法：形如的函数，应用分离常数法求值域，即，然后求值域； 5、基本不等式法：形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 6、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）形如的函数可用函数单调性求值域； （2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。 7、判别式法：形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 【题型一 直接法】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东广州·期中）下列函数定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求解各函数的定义域和值域，即可判断各选项. 【详解】对于A，的定义域和值域都是，A错； 对于B，的定义域为，值域为，B对； 对于C，的定义域和值域都是，C错； 对于D，的定义域和值域都是，D错. 故选：B. 二、填空题 2．（23-24高一·江苏·假期作业）函数，的值域为 ，函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数的解析式及定义域直接求解. 【详解】∵，，，∴函数的值域为． ∵，∴，∴函数的值域为. 故答案为：，. 3．（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）函数在的值域为 . 【答案】 【分析】根据不等式性质运算求解即可. 【详解】因为，则，可得， 所以在的值域为. 故答案为：. 【题型二 配方法】 一、单选题 1．（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（    ） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】根据题意，求出的最大值，即为结果. 【详解】，故水喷出的最大高度是米. 故选：A. 二、填空题 2．（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 三、解答题 3．（24-25高一上·上海·假期作业）求值域： (1)， (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过配方，由二次函数的值域即可求解； （2）根据题意，由二次函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以函数的值域为. （2）因为，其中对称轴为，且， 则时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为， 所以函数值域为. 【题型三 换元法】 一、填空题 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 【答案】 【分析】设，求出新函数的定义域即可求出值域. 【详解】设，，所以， 由图象易知值域为. 故答案为：. 2．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】设，则，， 所以， 因为，在上单调递减， 所以，所以函数的值域为． 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为 ． 【答案】13 【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得可得， 令，则，， ∴当时取得最大值， 但由于，故当即时，，解得． 故答案为：13． 【题型四 分离常数法】 一、填空题 1．（24-25高一上·全国·单元测试）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分离常数，求得值域. 【详解】， 因为，所以，所以值域为. 故答案为：. 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 【答案】 【分析】利用反比例函数的定义域和值域都是，来求分式函数的值域. 【详解】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 3．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 【答案】 【分析】将函数变形为，再由的取值范围及不等式的性质计算可得. 【详解】因为， 又，所以，所以， 所以， 所以. 故答案为： 二、单选题 4．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 5．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 令，则，所以，所以 所以，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 【题型五 基本不等式法】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在和的情况下，结合基本不等式可求得结果. 【详解】当时，（当且仅当时取等号）； 当时，（当且仅当时取等号）； 综上所述：的值域为. 故选：C. 二、填空题 2．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若，函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期中）当时，函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则， 则，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 4．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ． 【答案】2 【分析】利用换元法，结合对勾函数性质求解即可. 【详解】令，则原函数化为函数 函数图像如下：    由对勾函数性质得在上单调递增， 所以当时，函数取最小值 故答案为：2 三、解答题 5．（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据题意化简得，结合基本不等式，即可得到结果； （2）根据题意，将函数化简变形为，再结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】（1）， 当且仅当时等号成立，则函数值域为. （2）因为， ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为，此时. 【题型六 单调性法】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再利用函数的单调性可求出函数的值域. 【详解】因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，， 所以函数的值域为. 故选：C 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【分析】运用换元法求值域即可. 【详解】令，，， 则， 在上单调递增， 则当时，，当时，， 即在区间上的值域为. 故答案为：. 3．（2024高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据单调性可求得函数最小值以及最大值，即得答案. 【详解】由题意知函数均在上单调递增， 故在定义域上为增函数， 所以，， 即的值域为， 故答案为： 三、解答题 4．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的值域 【答案】(1)在上单调递减；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果； （2）利用单调性求最值，即可得到值域. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故在上单调递减. （2）在上单调递减，所以 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 故值域为. 5．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）利用定义法取值、作差、变形再判断符号即可； （2）根据函数单调性即可得到其值域. 【详解】（1）在上单调递增. 证明：任取，且， ， ，且， ，即， 在上单调递增. （2）由（1）可知在上单调递增， ， 所以在上的值域为. 【题型七 判别式法】 一、单选题 1．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值. 【详解】设，则， 因为， 所以，即：， 所以， 解得：， 又因为，为正实数， 所以， 所以的最大值为. 故选：C. 2．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【分析】将已知转化为关于的二次方程，根据，可求得最值. 【详解】根据题意， 若方程有解，则， 即， 所以， 当时，，此时，即， 也就是说当且仅当时，. 故选：D 二、填空题 3．（22-23高一下·上海嘉定·开学考试）已知函数的值域为，则常数 ． 【答案】7或 【详解】因为，所以， ，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故答案为：7或. 4．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为：. 三、解答题 5．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，其中. (1)当，求函数的值域； (2)，求区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式法求值域； （2）求得，对分类讨论，根据二次函数的性质求最值. 【详解】（1）时，，即，整理得， 当时，， 当时，由，得， 解得，且， 综上，，则的值域是. （2）且， 当时，即时， 函数在区间上单调递增，此时； 当时，即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时，综上所述： 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 二、填空题 2．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解. 【详解】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【分析】第一空：利用偶次根式被开方数非负即可得解；第二空，对平方，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为， 所以，解得，即的定义域为； 易知． 又， 对于，其开口向下，对称轴为， 所以时，有最大值， 当或时，有最小值0， 所以当时，的值域为， 则的值域为，故求的值域为． 故答案为：；. 三、解答题 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 6．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【详解】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$