培优01 集合的含参问题-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 培优01 集合的含参问题 类型一 利用集合元素的特性求参数 先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 类型二 由集合间的关系求参数问题 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点； （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 类型三 集合运算中求参数 （1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系； （2）将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 类型四 由集合交集、并集的性质求参数 （1）策略：当题目中含有条件或，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将转化为转化为； （2）方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍； （3）注意点：当题目条件中出现时，若集合不确定，解答时要注意讨论的情况． 题型01 根据元素与集合的关系求参数 1．关于x的不等式的解集为M，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 2．（多选）设非空集合，其中，若集合S满足：当时，有，则下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．设集合中含有三个元素1，，，若，则 . 4．已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 5．已知集合，若，则的取值范围是 ． 6．已知，，求实数的值. 7．已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 题型02 根据集合中的元素个数求参数 8．（多选）集合有且仅有两个子集，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 9．若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 10．若集合只有一个元素，则实数k的值为 ． 11．已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 12．集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 13．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 题型03 根据集合的相等关系求参数 14．设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（多选）已知集合，集合，且，则实数等于（    ） A．2 B． C． D．4 16．（多选）若集合，则的值可能为（    ） A． B．0 C． D．1 17．已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程的解组成的集合，且集合A与集合B是同一个集合，则a＝ ；b＝ ． 18．已知数集，则由实数a的值组成的集合为 ． 19．已知集合，其中，则实数 . 20．已知集合，是否存在实数a，使集合A与集合{1}相等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 题型04 根据集合的包含关系求参数 21．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 22．已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 23．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 24．已知集合或，，若BA，则实数a的取值范围是 ． 25．已知，，其中，若“”是“”的充分而不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 26．已知集合，，且，若命题p：，是真命题，求m的取值范围． 27．已知，若，求a的取值范围． 题型05 根据集合的交、并、补集求参数 28．已知集合，若，则（　　） A． B． C． D． 29．已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 31．设全集，集合或，集合，若，则实数的取值范围为 . 32．若，，，则实数的值所组成的集合为 ． 33．已知集合或，，若，求实数a的取值范围． 34．已知集合或，，若，求实数a的取值范围． 35．已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 题型06 根据交并补混合运算求参数 36．已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 37．记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 38．已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 39．设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 40．已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 41．设全集，集合，. (1)若，求集合并写出的所有子集； (2)若，，求. 42．已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 1．已知集合，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 3．已知，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．（多选）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 5．（多选）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ） A．-2 B． C．0 D．1 6．设集合，集合，若，则 . 7．若集合的所有子集个数是，则的值是 8．已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 . 9．已知集合，集合． (1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 10．已知集合，. (1)当时，求； (2)若中恰有3个元素为奇数，求的取值范围. 11．已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 12．集合. (1)当时，求； (2)已知，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 培优01 集合的含参问题 类型一 利用集合元素的特性求参数 先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 类型二 由集合间的关系求参数问题 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点； （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 类型三 集合运算中求参数 （1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系； （2）将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 类型四 由集合交集、并集的性质求参数 （1）策略：当题目中含有条件或，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将转化为转化为； （2）方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍； （3）注意点：当题目条件中出现时，若集合不确定，解答时要注意讨论的情况． 题型01 根据元素与集合的关系求参数 1．关于x的不等式的解集为M，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．（多选）设非空集合，其中，若集合S满足：当时，有，则下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】因为非空集合，满足：当时，有， 所以当时，由，即，解得或， 同理，当时，由，即，解得， 对于A中，若，则必有，则，解得，所以A正确； 对于B中，若，则，解得，所以B正确； 对于C中，若，则必有，则，此时，所以，所以C不正确； 对于D中，若，则满足，解得或，所以D错误. 故选：AB. 3．设集合中含有三个元素1，，，若，则 . 【答案】或5 【详解】因为集合中含有三个元素1，，，且， 所以，或， 当时，得，此时集合中含有三个元素1，4，25，符合题意， 当时，得或， 当时，集合中只有两个元素1，4，不合题意，舍去， 当时，集合中含有三个元素1，4，，符合题意， 综上，或. 故答案为：或5 4．已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 【答案】8 【详解】已知， 时，解得或； 时，解得或； 时，解得， 又且，所以， 同理， 关于x的方程有实数解， 当时，方程有实数解，的值可以是，的个数为3； 当时，要使方程有实数解，需使，即， 若，则的值可以是，的个数为3； 若，则的值可以是，的个数为2； 所以使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为8. 故答案为：8. 5．已知集合，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为且， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 6．已知，，求实数的值. 【答案】 【详解】集合，，而， 则或， 当时，解得，此时，与矛盾，即， 当时，而，因此，此时，符合题意， 所以实数的值为. 7．已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】(1)中其他所有元素为，，2； (2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 题型02 根据集合中的元素个数求参数 8．（多选）集合有且仅有两个子集，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AD 【详解】集合表示关于的方程的解集， 又集合有且仅有两个子集，所以集合有且仅有一个元素， 当，即时，由，解得，即，符合题意； 当，即时，则，解得，此时，符合题意； 综上可得，或. 故选：AD 9．若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【答案】2 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 10．若集合只有一个元素，则实数k的值为 ． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素， 即方程只有一个根， 当时，时，，，满足题意； 当时，，解得. 故答案为：0或1. 11．已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【答案】(1) (2)时，元素为；时，元素为 (3)或 【详解】（1）若是空集， 则方程无解， 此时， 即. 故的取值范围为. （2）若中只有一个元素， 则方程有且仅有一个实根， 当时，方程为，解得， 方程有且仅有一个实根，满足题意； 当时，， 解得， 此时， 或， 当时，，即该元素为； 当时，，即该元素为. （3）若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且仅有一个元素， 由（1）（2）的结论可得的取值范围是或. 12．集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 13．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 题型03 根据集合的相等关系求参数 14．设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为， 当时，则有，或， 若，显然解得； 若，则，整理得， 因为，， 所以无解； 综上，，即充分性成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 15．（多选）已知集合，集合，且，则实数等于（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】AB 【详解】因为集合，集合，且， 所以，解得或. 故选：AB 16．（多选）若集合，则的值可能为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABD 【详解】根据题意，只有一个实数根， 当时，化为，所以. 当时，，则. 若，则的解集为，所以； 若，则的解集为，所以. 故选：ABD. 17．已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程的解组成的集合，且集合A与集合B是同一个集合，则a＝ ；b＝ ． 【答案】 －3 2 【详解】因为集合A与集合B是同一个集合，且， 所以，即1，2是方程的两个实数根， 所以，解得. 故答案为：，2 18．已知数集，则由实数a的值组成的集合为 ． 【答案】 【详解】若，则，此时，故满足题意； 若，则，此时，这违背了集合中元素的互异性，故不满足题意； 若，则，此时，故满足题意； 故所求集合为. 故答案为：. 19．已知集合，其中，则实数 . 【答案】 【详解】①当时，解得， 当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去； 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； ②当时，解得， 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； 当时，， 得到，符合题意，所以. 故答案为：. 20．已知集合，是否存在实数a，使集合A与集合{1}相等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【详解】  ∵，∴， ∴，即． 又当时，由，得或， 即方程有两个实数根和1， 此时，与矛盾． 故不存在实数a，使． 题型04 根据集合的包含关系求参数 21．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【详解】若，则且， 所以或，故当时有， 而时，不一定是， 故是的充分而不必要条件. 故选：A. 22．已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】A 【详解】由可知是的子集， 结合数轴可知，， 即， 解得， 故选：A 23．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，, 故当时，易求； 当时，由得，或2. 综上得： 故选:C． 24．已知集合或，，若BA，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为BA，所以. 故答案为： 25．已知，，其中，若“”是“”的充分而不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】 由题意得⫋. 所以或， 解得， 即实数m的取值范围是. 26．已知集合，，且，若命题p：，是真命题，求m的取值范围． 【答案】 【详解】由于命题p：，是真命题， 所以，又， 所以， 解得． 即m的取值范围为． 27．已知，若，求a的取值范围． 【答案】或. 【详解】①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； ③若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得； 综上所述，或. 题型05 根据集合的交、并、补集求参数 28．已知集合，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴， 即方程无解， 所以，解得. 故选：D． 29．已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：B. 30．设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【详解】由题知，因为， 所以，，. 故选：C 31．设全集，集合或，集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为集合或，集合， 若，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 32．若，，，则实数的值所组成的集合为 ． 【答案】 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以或， 当时，解得，合题意， 当时，解得或， 若，，，合题意， 若，，，不满足集合中元素的互异性，舍去， 综上所述，. 故答案为：. 33．已知集合或，，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】因为，则有： 当时，集合B为空集，满足题意； 当时，则有且，故有， 综上，实数a的取值范围是． 34．已知集合或，，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】当时，集合B为空集，满足题意； 当时，若要满足，必有,故 综上，实数a的取值范围是． 35．已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①当时，，∴，∴． ②当时，要使，必须满足，解得． 综上所述，的取值范围是． （2）∵，，或， ∴，解得， 故所求的取值范围为． 题型06 根据交并补混合运算求参数 36．已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1）当时，， 因为， 所以；； （2）因为， 所以或， 因为，所以， 因为， 所以或， 得或， 所以m的取值范围为或. 37．记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【详解】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 38．已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 39．设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），且，所以. 若，此时，解得； 若，此时，且，解得， 则实数的取值范围是. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数. 或，，要使中至少存在一个整数， 则，解得，则实数的取值范围是. 40．已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，， 当，即时，，满足题意； 当时，或解得： 综上得的取值范围是：. 41．设全集，集合，. (1)若，求集合并写出的所有子集； (2)若，，求. 【答案】(1)，集合的所有子集为：、、、 (2) 【详解】（1）解：若，， 所以，集合的所有子集为：、、、. （2）解：因为，所以，，因为，所以，， 所以，，解得， 则， ， 所以，，，满足题意， 因此，. 42．已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题意，可得， 所以，． （2）因为，若， 所以解得，所以a的取值范围是． 1．已知集合，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由知：， 当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 当，即或， 若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 若，则，，满足要求. 综上，. 故选：A 2．已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【详解】因为，，所以，得到， 当时，由，解得或，所以， 故，得到，所以， 故选：C. 3．已知，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】因为 所以有，解得或 当时，不满足集合中元素的互异性， 故 则 故选:B. 4．（多选）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 【答案】BD 【详解】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或，所以或， 故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误. 故选：BD. 5．（多选）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ） A．-2 B． C．0 D．1 【答案】BCD 【详解】当时，， 当时，， 对选项A：若，，此时，不满足； 对选项B：若，，此时，满足； 对选项C：若，，此时，满足； 对选项D：若，，此时，满足； 故选：BCD. 6．设集合，集合，若，则 . 【答案】 【详解】因为，，， 所以，，，，， 当时，，集合满足题意， 当时，或（舍去）， 此时，不满足题意， 综上， 故答案为：2 7．若集合的所有子集个数是，则的值是 【答案】或 【详解】由题意只含有一个元素，当且仅当方程只有一个解， 情形一：当时，方程变为了，此时方程只有一个解满足题意； 情形二：当时，若一元二次方程只有一个解， 则只能， 解得. 综上所述，满足题意的的值是或. 故答案为：或. 8．已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】 当时，，满足题意. 当时，时，解得 综上所述，. 故答案为： 9．已知集合，集合． (1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）集合B元素个数为1．， 即，解得：； （2）∵，∴ 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去 综上所述，实数a的取值范围是 10．已知集合，. (1)当时，求； (2)若中恰有3个元素为奇数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， ，，则； （2）因为中恰有3个元素为奇数，， 所以这3个奇数元素为3，5，7， 则，解得，即的取值范围为. 11．已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【详解】（1）因为，所以， 所以将代入，整理得， 解得：或， 当时，，所以； 当时，，所以； 经检验，或都满足条件． （2）因为由可得： 当时，，解得或； 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个不相等的根， 所以，所以，所以无解． 综上：或． 12．集合. (1)当时，求； (2)已知，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题知，， 因为，即，解得， 所以， 当时，， 所以. （2）由题知， 由（1）得，， 由题得，， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得 综上，或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$