第10讲 三角形中角的几何模型二-2024-2025学年人教版八年级数学上册 点拨训练

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第10讲 三角形中角的几何模型二 模型四 A字模型 已知△ABC，延长AB至D，延长AC至E，则∠1+∠2=∠A+180° 【证明】在△ABC中，∠1=∠A+∠ACB，∠2=∠A+∠ABC， 所以∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+180° 例4-1．如图，在中，，若按图中虚线剪去，则等于( ) A. B. C. D. 针对练习4 1.如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 2.如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 模型五 8字模型 如图1-1所示,AC,BD相交于点O,连接AD,BC. 结论:（1）∠A+∠D=∠B+∠C. （2）AD+BC BD+AC 图1-1 【证明】（1）∵∠A+∠D+∠AOD=180°(　　　　　　　　),  ∠B+∠C+∠BOC=180°(　　　　　　　　),  又∠AOD=∠BOC(　　　　　　　　),  ∴∠A+∠D=∠B+∠C. （2） AD<OA+OD①BC<OB+OC② ①+②得:AD+BC<BD+AC 例5-1 .如图1-5,已知∠1=∠2,∠3=∠4,判断∠A,∠C与∠E之间的数量关系,并证明你的结论. 图1-5 针对练习5 1.如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 2．阅读理解：如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫做对顶三角形．如图①，△AOB与△COD互为对顶三角形． （1）问题发现： 如图①，试证明：∠A+∠B＝∠D+∠C； （2）拓展研究： 如图②，若AM是∠BAC的平分线，DM是∠BDC的平分线，∠B＝m°，∠C＝n°，求∠M的度数；（用含m、n的代数式表示） （3）解决问题 在（2）的条件下，若AN与DN分别平分∠PAC与∠QDB，100°＜∠N＜120°，请直接写出m+n的取值范围． 3.【初步认识】 （1）如图①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，BC． 求证：∠A+∠D＝∠B+∠C． 【继续探索】 （2）如图②，∠A＝m°，∠C＝n°，∠ABC，∠ADC的角平分线BP、DP相交于点P． ①若m＝40，n＝32，求∠P的度数； ②用m、n表示∠P的度数为 　 　． （3）如图③，∠ABC，∠ADC的角平分线BP，DP相交于点P，∠DAB，∠DCB的角平分线AQ，CQ相交于点Q．若∠P＝∠Q，判断AD与BC的位置关系并说明理由． 4.如图，已知：，分别平分和，其中，，求的值．    模型六 燕尾模型 ①如图1-6所示,有结论:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. 图1--6 【证明】如图1-6,连接AD并延长到点E. ∵∠BDE=∠B+∠BAD(　　　　　　　　　　),  ∠CDE=∠C+∠CAD(　　　　　　　　　),  ∴∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD. 又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,∠BAC=∠BAD+∠CAD,∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. ②已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O= (∠A+∠C) 例6-1 如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数. 针对练习6 1．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°．李叔叔量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说明理由． 2．如图，已知∠A＝75°，∠B＝25°，∠C＝35°，求∠BDC和∠1的度数． 3．在图①中，应用三角形外角的性质不难得到下列结论：∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD．我们可以应用这个结论解决同类图形的角度问题． （1）在图①中，若∠1＝20°，∠2＝30°，∠BEC＝100°，则∠BDC＝　150°　； （2）在图①中，若BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，BE与CE交于E点，请写出∠BDC，∠BEC和∠BAC三个角之间的关系，并说明理由； （3）如图②，若∠1＝∠ABD，∠2＝∠ACD，试探索∠BDC，∠BEC和∠BAC三个角之间的关系为 　2∠BDC+∠BAC＝3∠BEC　（直接写出结果即可）． 4.在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果，那么 ．    模型七 折叠模型 如图1-11,将一张三角形纸片沿DE折叠,设∠BDA'=∠1,∠CEA'=∠2. 结论:(1)如图①,2∠A=∠1+∠2; (2)如图②,2∠A=∠1-∠2. 图1-11 【证明】(1):由折叠可知,∠ADE=　　　　,∠AED=　　　　,而∠ADE+∠A'DE+∠1=　　　　,∠AED+∠A'ED+∠2=　　　　,  即∠1=180°-　　　　,∠2=180°-　　　　,  ∴∠1+∠2=360°-2∠ADE-2∠AED=2∠A. 自己试着推导结论(2).∠1—∠2=2∠A 例7-1．如图，在△ABC中，∠A=20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB=66°（如图3），则∠ABC的度数为（　　） A. 66° B. 23° C. 46° D. 69° 针对练习7 1.探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于 　 A.90°B.135°C.270° D.315° （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　 （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系 是 　 （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由． 2．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A. 2∠A＝∠1﹣∠2 B. 3∠A＝2（∠1﹣∠2） C. 3∠A＝2∠1﹣∠2 D. ∠A＝∠1﹣∠2 3．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A'，若∠C=120°，∠A=24°，则 ∠A'DB的度数为 _____． 模型八 老鹰抓小鸡模型 如图，∠A+∠O=∠1+∠2；口诀：腋下两角之和等于上下两角之和 例8-1 .如图，把△沿对折，叠合后的图形如图所示．若，，则∠2的度数为（    ） A．24° B．35° C．30° D．25° 针对练习8 1 .如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，则∠BA′C的度数为（    ） A．120° B．110° C．100° D．90° 2.如图，将沿着翻折，使B点与点重合，若，则的度数为 ．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第10讲 三角形中角的几何模型二（解析版） 模型四 A字模型 已知△ABC，延长AB至D，延长AC至E，则∠1+∠2=∠A+180° 【证明】在△ABC中，∠1=∠A+∠ACB，∠2=∠A+∠ABC， 所以∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+180° 例4-1．如图，在中，，若按图中虚线剪去，则等于( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：如图， 为直角三角形，， ， ，， . 故选：C. 针对练习4 1.如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图 ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 2.如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【详解】 解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 模型五 8字模型 如图1-1所示,AC,BD相交于点O,连接AD,BC. 结论:（1）∠A+∠D=∠B+∠C. （2）AD+BC BD+AC 图1-1 【证明】（1）∵∠A+∠D+∠AOD=180°(　　　　　　　　),  ∠B+∠C+∠BOC=180°(　　　　　　　　),  又∠AOD=∠BOC(　　　　　　　　),  ∴∠A+∠D=∠B+∠C. （2） AD<OA+OD①BC<OB+OC② ①+②得:AD+BC<BD+AC 例5-1 .如图1-5,已知∠1=∠2,∠3=∠4,判断∠A,∠C与∠E之间的数量关系,并证明你的结论. 图1-5 [答案]2∠E=∠A+∠C. .[解析] 证明:由模型可知∠1+∠A=∠3+∠E,① ∠4+∠C=∠2+∠E.② ①+②,得∠1+∠A+∠4+∠C=∠3+∠E+∠2+∠E. ∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴2∠E=∠A+∠C. .[点评] 模型结论的推导　三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和　三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 针对练习5 1.如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解． 【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF= ， ∵， ∴， ∴； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 2．阅读理解：如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫做对顶三角形．如图①，△AOB与△COD互为对顶三角形． （1）问题发现： 如图①，试证明：∠A+∠B＝∠D+∠C； （2）拓展研究： 如图②，若AM是∠BAC的平分线，DM是∠BDC的平分线，∠B＝m°，∠C＝n°，求∠M的度数；（用含m、n的代数式表示） （3）解决问题 在（2）的条件下，若AN与DN分别平分∠PAC与∠QDB，100°＜∠N＜120°，请直接写出m+n的取值范围． 【考点】三角形内角和定理；列代数式．版权所有 【答案】（1）见解答；（2）∠M＝m°+n°；（3）120＜m+n＜160． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）根据三角形外角的性质求出∠M＝∠B+∠BAE﹣∠EDM，结合（1）中结论可得∠BAC﹣∠BDC＝∠C﹣∠B，再根据角平分线的定义代入计算即可； （3）根据角平分线定义求出∠MAN＝∠MDN＝90°，利用四边形的内角和定理求出∠N，再根据∠N的取值范围求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠D+∠C+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B﹣∠D+∠C； （2）解：∵∠AED﹣∠B+∠BAE＝∠M+∠EDM ∴∠M＝∠B+∠BAE﹣∠EDM， ∵AM是∠BAC的平分线，DM是∠BDC的平分线， ∴∠BAE＝∠BAC，∠EDM＝∠BDC， 由（1）知∠BAC+∠B＝∠BDC+∠C， ∴∠BAC﹣∠BDC＝∠C﹣∠B， ∴∠M＝∠B+∠BAE﹣∠EDM ＝∠B+∠BAC﹣∠BDC ＝∠B+（∠BAC﹣∠BDC） ＝∠B+（∠C﹣∠B） ＝m°+n°； （3）解：如图③，∵AN与DN分别平分∠PAC与∠QDB，AM是∠BAC的平分线，DM是∠BDC的平分线， ∴∠NAC+∠MAC＝∠PAC+∠BAC﹣∠PAB＝90°，∠NDB+∠BDM＝∠QDB+∠BDC﹣∠QDC＝90°， 即∠MAN＝∠MDN＝90°， ∴∠N＝360°﹣∠MAN﹣∠MDN﹣∠M ＝360°﹣90°﹣90°﹣（m°+n°） ＝180°﹣（m°+n°）， ∵100°＜∠N＜120°， ∴100°＜180°﹣（m°+n°）＜120°， ∴120＜m+n＜160． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，准确识别各角之间的关系是解题的关键． 3.【初步认识】 （1）如图①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，BC． 求证：∠A+∠D＝∠B+∠C． 【继续探索】 （2）如图②，∠A＝m°，∠C＝n°，∠ABC，∠ADC的角平分线BP、DP相交于点P． ①若m＝40，n＝32，求∠P的度数； ②用m、n表示∠P的度数为 　 　． （3）如图③，∠ABC，∠ADC的角平分线BP，DP相交于点P，∠DAB，∠DCB的角平分线AQ，CQ相交于点Q．若∠P＝∠Q，判断AD与BC的位置关系并说明理由． 【考点】三角形内角和定理；平行线的判定．版权所有 【答案】（1）证明见解析；（2）①36°；②（）°；（3）AD∥BC，理由见解析． 【分析】（1）依据题意，在△AOD中，∠A+∠D+∠AOD＝180°，则∠A+∠D＝180°﹣∠AOD，又 在△BOC中，∠B+∠C+∠BOC＝180°，故∠B+∠C＝180°﹣∠BOC，从而可以得解； （2）①依据题意，结合（1）可得，∠A+∠ADC＝∠ABC+∠C，∠A+∠ADP＝∠P+∠ABP，结合BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，从而∠ADP＝∠ADC，∠ABP＝∠ABC，故∠A+∠ADC＝∠P+∠ABC，进而可得2∠A+∠ADC＝2∠P+∠ABC，又∠A+∠ADC＝∠ABC+∠C，从而∠A＝2∠P﹣∠C，即可得∠P＝，代入计算可以得解； ②依据题意，根据①∠P＝，又∠A＝m°，∠C＝n°，进而计算可以得解； （3）依据题意，根据（2）①∠P＝，同理可得，∠Q＝，又∠P＝∠Q，故可得∠A+∠C＝∠B+∠D，又∠A+∠D＝∠C+∠B，则2∠A+∠C+∠D＝2∠B+∠C+∠D，从而∠A＝∠B，故可得解． 【解答】（1）证明：由题意，在△AOD中，∠A+∠D+∠AOD＝180°， ∴∠A+∠D＝180°﹣∠AOD． 又 在△BOC中，∠B+∠C+∠BOC＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BOC． 又∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠B+∠C． （2）解：①由题意，结合（1）可得， ∠A+∠ADC＝∠ABC+∠C， ∠A+∠ADP＝∠P+∠ABP． ∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠ADC，∠ABP＝∠ABC． ∴∠A+∠ADC＝∠P+∠ABC． ∴2∠A+∠ADC＝2∠P+∠ABC． 又∠A+∠ADC＝∠ABC+∠C， ∴∠A＝2∠P﹣∠C． ∴∠P＝． 又∠A＝m°＝40°，∠C＝n°＝32°， ∴∠P＝＝36°． ②由题意，根据①∠P＝， 又∠A＝m°，∠C＝n°， ∴∠P＝（）°． 故答案为：（）°． （3）解：AD∥BC．理由如下： 由题意，根据（2）①可得∠P＝， 同理可得，∠Q＝． 又∠P＝∠Q， ∴＝． ∴∠DAB+∠DCB＝∠ABC+∠ADC． 又∠DAB+∠ADC＝∠DCB+∠ABC， ∴2∠DAB+∠DCB+∠ADC＝2∠ABC+∠DCB+∠ADC． ∴∠DAB＝∠BAC． ∴AD∥BC． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的判定，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4.如图，已知：，分别平分和，其中，，求的值．    【答案】 【分析】根据三角形的外角的性质，可得，，将两式相加，结合角平分线的性质，化简即可求得答案． 【详解】∵，分别平分和， ∴，． 根据题意，得 ， ． ，得 ． 移项，得 ． 化简，得 ． 【点评】本题主要考查三角形的外角的性质和角平分线的定义，牢记三角形的外角的性质和角平分线的定义是解题的关键． 模型六 燕尾模型 ①如图1-6所示,有结论:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. 图1--6 【证明】如图1-6,连接AD并延长到点E. ∵∠BDE=∠B+∠BAD(　　　　　　　　　　),  ∠CDE=∠C+∠CAD(　　　　　　　　　),  ∴∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD. 又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,∠BAC=∠BAD+∠CAD,∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. ②已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O= (∠A+∠C) 例6-1 如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数. 【答案】. 【解析】 【分析】 根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出 【详解】 解：由燕尾角的基本图形与结论可得， ① ② 是的平分线，是的平分线 ，． ①-②得，． 【点评】 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用． 针对练习6 1．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°．李叔叔量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说明理由． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】见解答． 【分析】通过∠BCD与∠A、∠B、∠C的数量关系求出∠BCD，与实际的测量值比较即可． 【解答】解：方法一：如图，连接AC并延长， 在△ADC中， ∠1＝∠D+∠DAC， 在△ABC中， ∠2＝∠B+∠BAC， ∴∠BCD＝∠1+∠2＝∠D+∠B+∠BAC+∠DAC＝∠D+∠B+∠A＝140°， ∴李叔叔量得∠BCD＝142°，就可以断定这个零件不合格． 方法二：如图，延长DC交AB于M， ∵∠AMD＝180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠CMB＝180°﹣∠AMD＝180°﹣60°＝120°， ∴∠MCB＝180°﹣∠B﹣∠CMB＝180°﹣20°﹣120°＝40°， ∴∠DCB＝180°﹣∠MCB＝180°﹣40°＝140°， ∴李叔叔量得∠BCD＝142°，就可以断定这个零件不合格． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，运用三角形外角的性质是解题的关键． 2．如图，已知∠A＝75°，∠B＝25°，∠C＝35°，求∠BDC和∠1的度数． 【考点】三角形的外角性质．版权所有 【答案】∠BDC＝110°，∠1＝135°． 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可直接得出答案． 【解答】解：∵∠A＝75°，∠C＝35°， ∴∠BDC＝∠A+∠C＝75°+35°＝110°， ∵∠B＝25°， ∴∠1＝∠BDC+∠B＝110°+25°＝135°． 【点评】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 3．在图①中，应用三角形外角的性质不难得到下列结论：∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD．我们可以应用这个结论解决同类图形的角度问题． （1）在图①中，若∠1＝20°，∠2＝30°，∠BEC＝100°，则∠BDC＝　150°　； （2）在图①中，若BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，BE与CE交于E点，请写出∠BDC，∠BEC和∠BAC三个角之间的关系，并说明理由； （3）如图②，若∠1＝∠ABD，∠2＝∠ACD，试探索∠BDC，∠BEC和∠BAC三个角之间的关系为 　2∠BDC+∠BAC＝3∠BEC　（直接写出结果即可）． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】（1）150°； （2）∠BDC+∠BAC＝2∠BEC，理由见解析； （3）2∠BDC+∠BAC＝3∠BEC，理由见解析． 【分析】（1）直接根据题干中给出的结论进行计算即可； （2）用题中给出的结论表示出∠BDC与∠BEC，再把两式相减即可得出结论； （3）利用题中给出的结论解答即可． 【解答】解：（1）∵∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD，∠1＝20°，∠2＝30°，∠BEC＝100°， ∴∠BDC＝∠BEC+∠1+∠2＝100°+20°+30°＝150°． 故答案为：150°； （2）∠BDC+∠BAC＝2∠BEC，理由如下： 由题意得，∠BDC＝∠BEC+∠1+∠2①， ∠BEC＝∠BAC+∠ABE+∠ACE②， ∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD， ∴∠ABE＝∠1，∠ACE＝∠2， ①﹣②得，∠BDC﹣∠BEC＝∠BEC﹣∠BAC， ∴∠BDC+∠BAC＝2∠BEC； （3）2∠BDC+∠BAC＝3∠BEC，理由： ∵∠1＝∠ABD，∠2＝∠ACD， ∴∠ABE＝∠ABD，∠ACE＝∠ACD， ∵∠BEC＝∠BAC+∠ABE+∠ACE＝∠BAC+∠ABD+∠ACD①， ∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD②， ②+①得， ∠BDC+∠BEC＝2∠BAC+∠ABD+∠ACD， ∴3∠BDC+3∠BEC＝6∠BAC+5∠ABD+5∠ACD， ∴3∠BDC+3∠BEC＝∠BAC+5（∠ABC+∠ABD+∠ACD）， ∴3∠BDC+3∠BEC＝∠BAC+5∠BDC， ∴2∠BDC+∠BAC＝3∠BEC． 故答案为：2∠BDC+∠BAC＝3∠BEC． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 4.在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果，那么 ．    【答案】70 【分析】延长、，交于点G，连接，根据三角形内角和定理和四边形的内角和为即可求解． 【详解】解：延长、，交于点G，连接，如图，    ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理．正确的作出辅助线是解题关键． 模型七 折叠模型 如图1-11,将一张三角形纸片沿DE折叠,设∠BDA'=∠1,∠CEA'=∠2. 结论:(1)如图①,2∠A=∠1+∠2; (2)如图②,2∠A=∠1-∠2. 图1-11 【证明】(1):由折叠可知,∠ADE=　　　　,∠AED=　　　　,而∠ADE+∠A'DE+∠1=　　　　,∠AED+∠A'ED+∠2=　　　　,  即∠1=180°-　　　　,∠2=180°-　　　　,  ∴∠1+∠2=360°-2∠ADE-2∠AED=2∠A. 自己试着推导结论(2).∠1—∠2=2∠A 例7-1．如图，在△ABC中，∠A=20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB=66°（如图3），则∠ABC的度数为（　　） A. 66° B. 23° C. 46° D. 69° 【答案】D 【解析】根据翻折后对应角相等得到，利用已知条件和三角形的内角和等于180°，建立等量关系可求∠ABC的度数． 解：由题意可得，∠C'EB=∠CEB=66°， 设∠ABC=x,则， ∵三角形的内角和等于180°， ∴在△ABC中，∠A+∠ABC=180°-∠C，即20°+x=180°-∠C； 在△BCE中，∠CEB+∠CBE=180°-∠C，即； ∴， 解得：x=69°， 故选：D． 针对练习7 1.探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于 　 A.90°B.135°C.270° D.315° （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　 （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系 是 　 （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由． 【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90° ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°． ∴∠1+∠2等于270°． 故选C； （2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°， 故答案是：220°； （3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A （4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的， ∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF ∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF ∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF） 又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A． 2．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A. 2∠A＝∠1﹣∠2 B. 3∠A＝2（∠1﹣∠2） C. 3∠A＝2∠1﹣∠2 D. ∠A＝∠1﹣∠2 【答案】A 【解析】根据折叠的性质可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到，，然后列式整理即可得解． 解：根据折叠的性质，得． 在中，， 在中，， ∴，即． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及折叠的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质把角与角之间联系起来是解题的关键． 3．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A'，若∠C=120°，∠A=24°，则 ∠A'DB的度数为 _____． 【答案】108° 【解析】根据三角形的内角和等于180°求出∠B，根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE=∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解． 解：∵∠C=120°，∠A=24°， ∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-24°-120°=36°， ∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′， ∴∠ADE=∠B=36°， ∠A′DE=∠ADE=36°， ∴∠A′DB=180°-36°-36°=108°． 故答案为：108°． 模型八 老鹰抓小鸡模型 如图，∠A+∠O=∠1+∠2；口诀：腋下两角之和等于上下两角之和 例8-1 .如图，把△沿对折，叠合后的图形如图所示．若，，则∠2的度数为（    ） A．24° B．35° C．30° D．25° 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，即可求得∠2的度数． 【详解】∵∠A=60°， ∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°， ∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°， ∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°， ∴∠1+∠2=240°-120°=120°， ∵∠1=95°， ∴∠2=120°-95°=25°， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，熟记定理及性质并准确识图是解题的关键． 针对练习8 1 .如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，则∠BA′C的度数为（    ） A．120° B．110° C．100° D．90° 【答案】A 【详解】由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2＝2∠A得到∠A＝60°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案． 解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角， ∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE， ∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE， ∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE， 即∠1+∠2＝2∠A， ∵∠1+∠2＝120°， ∴∠A＝60°， ∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB， ∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB） ＝（180°﹣∠A） ＝90°﹣∠A． ∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）， ＝180°﹣（90°﹣∠A） ＝90°+∠A ＝90°+×60° ＝120°． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 2.如图，将沿着翻折，使B点与点重合，若，则的度数为 ．    【答案】/40度 【分析】由翻折的性质可知，，，，由，，，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 学科网（北京）股份有限公司 $$