精品解析：山东省济宁市任城区2022-2023学年九年级下学期二模数学试题

2022-2023学年度第二学期二模检测 初四数学试题 注意事项： 1．本科目试卷分试题卷和答题卡两部分，共100分。考试时间为120分钟。 2．答题前，考生务必在答题卡的密封区内填写校名、姓名和准考证号。 3．所有答案都务必做在答题卡标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。 4．考试结束后，只需上交答题卡。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的绝对值为（ ） A. 7 B. C. D. 2. 下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列熟悉的几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 正五边形 C. 平行四边形 D. 矩形 4. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在Rt△PQR中，∠PRQ＝90°，RP＝RQ，边QR在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP的长为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的数是(　　) A. －2 B. －2 C. 1－2 D. 2－1 8. 在平面直角坐标系，中，点和点在抛物线上，已知点，，在该抛物线上．若，则，，的大小为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C 二次函数关系 D. 反比例函数关系 10. 在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”．例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”．若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将数字用科学记数法可表示为__________. 12. 已知一组数据从小到大依次为，0，4，x，6，15．其中中位数为5．则众数为_____． 13. 某圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥侧面展开图的面积为________．（结果保留） 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，分别落在x轴和y轴上，是矩形的对角线．将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G．点P为x轴正半轴上一动点，当取最小值时，则点P的坐标为________． 15. 将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，，记，，，，，，，，则______． 三、解答题（本大题共55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16 先化简，再求值：-÷，其中． 17. 某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）求本次调查共抽取了多少名学生的征文； （2）将上面条形统计图和扇形统计图补充完整； （3）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名； （4）本次抽取3份以“诚信”为主题的征文分别是小义、小玉和大力的，若从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表法求小义和小玉同学的征文同时被选中的概率． 18. 我国为了维护队钓鱼岛的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同，当轮船航行到距钓鱼岛的处时，飞机在处测得轮船的俯角是；当轮船航行到处时，飞机在轮船正上方的处，此时．轮船到达钓鱼岛时，测得处的飞机的仰角为．试求飞机的飞行距离（结果保留根号）． 19. 随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位及养老建筑不断增加． （1）该市的养老床位数从2017年底的2万个增长到2019年底的2.88万个，求该市这两年（从2017年底到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率； （2）该市某社区今年准备新建一养老中心，如果计划赡养200名老人，建筑投入平均5万元/人，且计划赡养的老人每增加5人，建筑投入平均减少1000元/人，那么新建该养老中心需申报的最高建筑投入是多少？ 20. 如图，为的直径，点D在上，连接，，过点D的切线与的延长线交于点A，，与交于点F． （1）求证：； （2）当的半径为10，时，求的长． 21. 在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． （1）如图1，当点N与点C重合时，求证：； （2）将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 22. 如图，抛物线y=ax2-2ax-3a（a>0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，且OB=OC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标； （3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年度第二学期二模检测 初四数学试题 注意事项： 1．本科目试卷分试题卷和答题卡两部分，共100分。考试时间为120分钟。 2．答题前，考生务必在答题卡的密封区内填写校名、姓名和准考证号。 3．所有答案都务必做在答题卡标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。 4．考试结束后，只需上交答题卡。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的绝对值为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的绝对值等于7， 故选A． 2. 下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案． 【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上， 得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形； 又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解题的关键是需要对圆柱有充分的理解；难度不大． 3. 下列熟悉的几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 正五边形 C. 平行四边形 D. 矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 5. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠C的度数，再根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵∠A＝40°，AB＝AC， ∴∠ABC=∠C=70°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠E=∠C=70°． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的内角和定理等知识，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题关键． 6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 7. 如图，在Rt△PQR中，∠PRQ＝90°，RP＝RQ，边QR在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP的长为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的数是(　　) A. －2 B. －2 C. 1－2 D. 2－1 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出QP的长，进而可得出QP1的长度，再由Q点表示的数为1可得答案. 【详解】根据题意可得QP==2， ∵Q表示的数为1, ∴P1表示的数为1-2. 故选C. 【点睛】此题主要考查了用数轴表示无理数，关键是利用勾股定理求出直角三角形斜边长. 8. 在平面直角坐标系，中，点和点在抛物线上，已知点，，在该抛物线上．若，则，，的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论b的正负情况，根据可得对称轴在与直线之间，再根据各点到对称轴的距离判断y值大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上且经过原点， 当时，抛物线顶点为原点，时y随x增大而增大，不满足题意， 当时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，不满足题意， ∴，抛物线对称轴在y轴右侧，时，时， 即抛物线和x轴的2个交点，一个为，另外一个在和之间， ∴抛物线对称轴在直线与直线之间， 即， ∴点（与对称轴距离最近，点与对称轴距离最远， ∴． 解法二：∵点和点在抛物线）上， ∴，， ∵， ∴， ∴与异号， ∵， ∴， ∴，， ∵，，在该抛物线上， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选∶B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 9. 如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系 【答案】B 【解析】 【分析】过梯子中点O作地面于点D．由题意易证，即得出．由O为中点，，，即可推出，即．即可选择． 【详解】如图，过梯子中点O作地面于点D． ∴， 又∵， ∴， ∴， 根据题意O为中点，，． ∴，整理得：． 故y与x的函数关系为一次函数关系． 故选B． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质以及一次函数的实际应用．作出辅助线构成相似三角形是解答本题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”．例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”．若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴于点，连接、，如图，根据点在直线上可求出，设直线与轴相交于点，易求出，，根据勾股定理可求出、、的值，从而可求出“理想矩形” 面积． 【详解】解：过点作轴于点，连接、，如图． 点的坐标为， ，，． 点在直线上， ， 解得． 设直线与轴相交于点， 当时，，点，， ， ，． 中，． 在中，． 所求“理想矩形” 面积为； 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将数字用科学记数法可表示为__________. 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10 n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，根据上述概念，确定a与n即可把原数表示为科学记数法的形式即可. 【详解】． 故答案为． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法以及近似数表示方法．科学记数法的表示形式为a×10 n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 已知一组数据从小到大依次为，0，4，x，6，15．其中中位数为5．则众数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据中位线的定义求出x的值，然后根据众数定义求出结果即可． 【详解】解：由中位数的定义得：， 解得， ∵6出现的次数最多， ∴众数为6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查（1）中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数；（2）众数：一组数据中出现次数最多的那个数． 13. 某圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥侧面展开图的面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积底面周长母线长2进行求解即可． 【详解】解：由题意得，该圆锥侧面展开图的面积， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，分别落在x轴和y轴上，是矩形的对角线．将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G．点P为x轴正半轴上一动点，当取最小值时，则点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转和矩形的性质，易证，根据相似三角形的性质，即可求出的值，然后待定系数法求解析式，即可得到点F、G的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，点即为所求． 【详解】解：根据旋转可得， 在矩形中， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ，， ， ， 将点代入反比例函数解析式， 可得，，， 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图所示：   则，， ，， 此时取最小值， 四边形是矩形， ， ， ， 即， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键． 15. 将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，，记，，，，，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找到题中数字的规律，令，则，可得到前个数里面包含1个1，2个，3个，个，7个，运用有理数的加法计算即可得到答案． 【详解】解：令，则， 前个数里面包含1个1，2个，3个，个，7个， ， 故填：． 【点睛】本题考查了列代数式，有理数四则混合运算，与有理数有关的规律探究，解题的关键在于找到题中数字规律． 三、解答题（本大题共55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 先化简，再求值：-÷，其中． 【答案】，2． 【解析】 【分析】根据分式的混合运算，先算除法，再算减法，化简后再代入求值即可. 【详解】解：原式=-• =﹣ =， 当时，原式． 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是利用分式的通分、约分进行化简，注意因式分解在解题中的作用. 17. 某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）求本次调查共抽取了多少名学生的征文； （2）将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整； （3）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名； （4）本次抽取的3份以“诚信”为主题的征文分别是小义、小玉和大力的，若从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表法求小义和小玉同学的征文同时被选中的概率． 【答案】（1）50；（2）作图见解析；（3）360；（4）． 【解析】 【分析】（1）用“诚信”的人数除以所占的百分比求出总人数； （2）用总人数减去“爱国”“敬业”“诚信”“的人数，求出“友善”的人数，从而补全统计图，分别求出百分比即可补全扇形图； （3）用样本估计总体的思想解决问题即可； （4）根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可； 【详解】解：（1）本次调查共抽取的学生有3÷6%=50（名）； （2）选择“友善”的人数有50﹣20﹣12﹣3=15（名），占=30%，“爱国”占=40%，“敬业”占=24%．条形统计图和扇形统计图如图所示： （3）该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有1200×30%=360名； （4）记小义、小玉和大力分别为A、B、C， 树状图如图所示： 共有6种情形，小义和小玉同学的征文同时被选中的有2种情形，小义和小玉同学的征文同时被选中的概率=． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，列树状图求概念，从图形中获取需要的信息，以及正确的画树状图是解题的关键． 18. 我国为了维护队钓鱼岛的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同，当轮船航行到距钓鱼岛的处时，飞机在处测得轮船的俯角是；当轮船航行到处时，飞机在轮船正上方的处，此时．轮船到达钓鱼岛时，测得处的飞机的仰角为．试求飞机的飞行距离（结果保留根号）． 【答案】飞机的飞行距离为km 【解析】 【分析】作，，在和中分别求出、的值，继而可求得的值． 【详解】解：作，，垂足分别为、， 由题意得：，， 在中，， 则， ． ， ， 在中，，即， ． 则． 答：飞机的飞行距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，然后解直角三角形，难度一般． 19. 随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位及养老建筑不断增加． （1）该市的养老床位数从2017年底的2万个增长到2019年底的2.88万个，求该市这两年（从2017年底到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率； （2）该市某社区今年准备新建一养老中心，如果计划赡养200名老人，建筑投入平均5万元/人，且计划赡养老人每增加5人，建筑投入平均减少1000元/人，那么新建该养老中心需申报的最高建筑投入是多少？ 【答案】（1）平均年增长率为20%；（2）最高建筑投入为10125000元 【解析】 【分析】（1）设平均年增长率为，根据增长率公式列出一元二次方程即可求出结论； （2）设在200人的基础上增加人时，建筑总投入为元，根据 “总投入=人数×每人的投入”即可求出y与m的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）设平均年增长率为， 根据题意得，， 解得或（舍去）． 答：平均年增长率为20%． （2）设在200人的基础上增加人时，建筑总投入为元， 则， 故当时，有最大值，为10125000． 答：最高建筑投入为10125000元． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键． 20. 如图，为的直径，点D在上，连接，，过点D的切线与的延长线交于点A，，与交于点F． （1）求证：； （2）当的半径为10，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，正弦的定义，熟练掌握切线的性质以及正弦的定义是解题的关键． （1）连接，根据切线的定义得出，根据圆周角定理得出即，则，，进而推出，即可求证； （2）根据题意可得，则，进而得出，再求出，最后根据即可解答． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵与相切， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 21. 在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． （1）如图1，当点N与点C重合时，求证：； （2）将图1中向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）按题意补充图形即可；在上截取，连接交于点K，作交于点T，根据题意证明，，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 ①过的中点F作，分别与交于点M、H、N，如图即为补全的图形； 图2 ②，理由如下： 如图，在上截取，连接交于点K，作交于点T， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练利用正方形的性质确定全等三角形是解本题的关键． 22. 如图，抛物线y=ax2-2ax-3a（a>0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB=OC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标； （3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标； 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）在抛物线y＝ax2−2ax−3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求出a的值即可得到二次函数的解析式； （2）易证∠CPM＝∠OBC，则可分两种情况讨论：①当△PCM∽△BAC时，②当△PCM∽△BCA时；求出直线BC解析式，设点M的坐标为（m，m2−2m−3），则P的坐标为（m，m−3），分别表示出PM，PC，利用相似三角形的性质列出比例式，求出m的值即可得到对应的点P的坐标； （3）分三种情况讨论：①当点P在线段BC上时（不与B，C重合），根据折叠的性质和平行线的性质证明∠PCM＝∠PMC，则PC＝PM，然后列方程求解即可得出P点坐标；②当点P在线段CB的延长线上时，同理可求P点坐标；③当点P在线段BC的延长线上时，点P的对应点N不可能落在y轴上，此情况不存在． 【小问1详解】 解：在y＝ax2−2ax−3a（a＞0）中，令y＝0，得：ax2−2ax−3a＝0， 解得：x1＝3，x2＝−1， ∴A（−1，0），B（3，0）， ∴OB＝3， ∵OB＝OC， ∴OC＝3， ∴C（0，−3）， ∴−3a＝−3， ∴a＝1， ∴抛物线解析式为：y＝x2−2x−3； 【小问2详解】 解：∵OB＝OC＝3，OA＝1，∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AB＝4，BC＝， ∵PM⊥x轴， ∴PM∥y轴， ∴∠CPM＝∠OCB＝45°， ∴∠CPM＝∠OBC， 分情况讨论： ①当△PCM∽△BAC时， 设直线BC解析式为y＝kx＋b， 代入B（3，0），C（0，−3）得：， 解得：， ∴直线BC解析式为：y＝x−3， 设点M坐标为（m，m2−2m−3），则P的坐标为（m，m−3）， ∴PM＝m−3−（m2−2m−3）＝−m2＋3m，PC＝， ∵△PCM∽△BAC， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍去）， 当时，m−3＝， ∴此时P的坐标为（，）； ②当△PCM∽△BCA时，则有， 由①可得， 整理得：， 解得：或（舍去）， 当时，m−3＝， ∴此时P的坐标为（，）； 综上所述：当△PCM和△ABC相似时，点P的坐标为（，）或（，）； 【小问3详解】 解：分三种情况讨论： ①当点P在线段BC上时（不与B，C重合）， 由（2）可知直线BC解析式为：y＝x−3， 设点M的坐标为（m，m2−2m−3），则P的坐标为（m，m−3），PM＝m−3−（m2−2m−3）＝−m2＋3m，PC＝， ∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上， ∴∠PCM＝∠NCM， ∵PM∥y轴， ∴∠NCM＝∠PMC， ∴∠PCM＝∠PMC， ∴PC＝PM， ∴， 整理得：， 解得：，m2＝0（舍去）， 当m＝时，m−3＝， ∴此时P的坐标为； ②当点P在线段CB的延长线上时， 由（3）中情况①可知：PM＝m2−2m−3−（m−3）＝m2−3m，PC＝， ∵PC＝PM， ∴， 整理得：， 解得：，m2＝0（舍去）， 当m＝时，m−3＝， ∴此时P的坐标为； ③当点P在线段BC的延长线上时，点P的对应点N不可能落在y轴上， 故此情况不存在； 综上所述：当点P的对应点N恰好落在y轴上时，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质以及解一元二次方程等知识点，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$