第2章 一元二次方程（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（广东省专用,北师大版）

第2章 一元二次方程（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、 当时是一元一次方程，而不是一元二次方程，故本选项不合题意； B、，不是一元二次方程，故本选项不合题意； C、，是一元二次方程，故本选项符合题意； D、，不是一元二次方程，故本选项不合题意． 故选：． 2．将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．5，7， B．，7，1 C．5，， D．5，，0 【答案】D 【详解】解：∵方程化成一般形式是， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为、、， 故选：D． 3．方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴， 故选：C． 4．随着经济的发展和人们生活水平的提高，春节旅游逐渐成为了人们追求幸福的新方式，越来越多的人选择在春节期间出游，体验不一样的年味．据统计.2022年春节假期国内旅游出游人数约亿人次，2024年达到亿人次．设2022年到2024年春节假期国内旅游出游人数的年平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设2022年到2024年春节假期国内旅游出游人数的年平均增长率为x， 根据题意，得． 故选：A． 5．已知一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　） A． B．且 C． D． 【答案】B 【详解】解：一元二次方程有实数根， 且，即， 解得， 故的取值范围是且． 故选：B． 6．若是关于的方程的一个根，则的值是（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】D 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ， ， ， 故选：D． 7．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 8．若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵x的一元二次方程的两个实数根为和， ∴根据根与系数的关系得到： ，， ， 故选：B． 9．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】B 【详解】解：由题意知，甲中， 丙中， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 10．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】解：（秒），（秒）． 当运动时间为秒时，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点的运动时间是2秒． 故选：A． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．方程化为一般形式为 ． 【答案】 【详解】解：， 可化为：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 故答案为：． 12．已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：12． 13．如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个面积为矩形花园．设宽，且，则 ． 【答案】 【详解】解：设宽，则， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， 故答案为：． 14．已知方程组的两个解为和，且是两个不等的正数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由方程组，把方程（2）代入（1） 可得， 由题意知：， ∴． ∵，是两个不相等的实数 ∴，， ∴ ∴则a的取值范围是 故答案为： 15．对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 整理得，， ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 16．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即据此易得．小刚用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，则关于x的方程的正数解为 ． 【答案】 【详解】解：如图， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴（舍去） 故答案为． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）已知关于x的一元二次方程 的两个根与互为倒数，求m 的值． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程 的两个根与互为倒数， ∴，即， 解得：． 18．（4分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ∴ 原方程的解为：； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的解为：． 19．（6分）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)二次项系数为，一次项系数为，常数项为 (2)二次项系数为，一次项系数为，常数项为 (3)二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【详解】（1）解：原方程变形为， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）原方程变形为， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （3）原方程变形为， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 20．（6分）河北省某市2021年现有森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”现计划在两年后将本市的绿化面积提高到24.2万亩． (1)求2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率． (2)按照这个增长速度，预测2024年底该市的绿化面积． 【答案】(1)每年绿化面积的平均增长率为 (2)2024年的绿化面积是26.62万亩 【详解】（1）解：设每年绿化面积的平均增长率为x，可列方程： ， 解方程，得（不合题意，舍去）． 所以每年绿化面积的平均增长率为． （2）解：（万亩）． 答：2024年的绿化面积是26.62万亩． 21．（8分）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得， ； （2）解：． 22．（10分）李明准备进行如下操作试验，把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)应将之剪成和的两段； (2)正确，理由见解析 【详解】（1）设其中一段的长度为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，， ∴应将之剪成和的两段； （2）解：设剪成的较短的这段为， 两正方形面积之和为时，， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数解， ∴不可能使得两正方形面积之和为，李明的说法正确． 23．（10分）已知关于x的方程有实数根， (1)求k的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为，满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为关于x的方程有实数根， 当时，方程为， 此时方程有实数根， 故符合题意． 当时， 此方程为一元二次方程， 则， 解得， 综上所述，k的取值范围是：； （2）因为该方程有两个实数根， 所以此方程为一元二次方程， 则且， 因为该方程的两根为和， 所以，， 因为， 所以， 则， 解得， 经检验，符合题意， 所以k的值为． 24．（12分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明． 【答案】(1)c的值为2 (2)的值为0 (3)证明见解析 【详解】（1）解：∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴令， ，， ∴，， 解得：，， ； （2）解：是“倍根方程”， 且该方程的两根分别为和， 或， 当时，即， ， 当时，即， ， 综上：； （3）解：设与是方程的解， ，， 消去得：． 25．（12分）阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出的值．我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…，，…的前项和： 由 可知． 应用以上材料解决下面问题： (1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，．若该三角点阵前行的点数和为325，求的值． (2)在第一问的三角点阵图形中，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． (3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，，…，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． 【答案】(1)25 (2)不能，理由见解析 (3)能， 【详解】（1）解：根据题意，得， 即， 解得，（负值舍去）， 的值为25； （2）解：不能，理由为： 由得， ， ， 为正整数，是无理数， 不存在值，使前行的点数和是900． 即在第一问的三角点阵图形中，前行的点数不能是900； （3）解：能，，理由为： 由得， 则， ， 解得，（负值舍去）， 当时，前行的点数和是900． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次方程（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．5，7， B．，7，1 C．5，， D．5，，0 3．方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 4．随着经济的发展和人们生活水平的提高，春节旅游逐渐成为了人们追求幸福的新方式，越来越多的人选择在春节期间出游，体验不一样的年味．据统计.2022年春节假期国内旅游出游人数约亿人次，2024年达到亿人次．设2022年到2024年春节假期国内旅游出游人数的年平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　） A． B．且 C． D． 6．若是关于的方程的一个根，则的值是（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 7．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 8．若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（   ）． A． B． C． D． 9．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 10．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．方程化为一般形式为 ． 12．已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 13．如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个面积为矩形花园．设宽，且，则 ． 14．已知方程组的两个解为和，且是两个不等的正数，则a的取值范围是 ． 15．对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 16．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即据此易得．小刚用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，则关于x的方程的正数解为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）已知关于x的一元二次方程 的两个根与互为倒数，求m 的值． 18．（4分）解方程： (1)； (2)． 19．（6分）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)． 20．（6分）河北省某市2021年现有森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”现计划在两年后将本市的绿化面积提高到24.2万亩． (1)求2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率． (2)按照这个增长速度，预测2024年底该市的绿化面积． 21．（8分）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2) ． 22．（10分）李明准备进行如下操作试验，把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 23．（10分）已知关于x的方程有实数根， (1)求k的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为，满足，求k的值． 24．（12分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明． 25．（12分）阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出的值．我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…，，…的前项和： 由 可知． 应用以上材料解决下面问题： (1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，．若该三角点阵前行的点数和为325，求的值． (2)在第一问的三角点阵图形中，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． (3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，，…，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$