专题10 计数原理与概率统计-2024届山东省高三数学二模分类汇编

· 专题10计数原理与概率统计-2024年新高考地区数学 · 二模分类汇编-山东专用（解析版） 一、单选题 1．（2024·山东济南·二模）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布直接求解即可. 【详解】因为随机变量， 所以. 故选：B 2．（2024·山东济南·二模）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的性质解得，结合可得，代入条件概率公式分析求解. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得， 所以. 故选：B. 3．（23-24高三上·河北·期末）中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（    ）种    A．144 B．264 C．288 D．432 【答案】B 【分析】先求出正面区域的可能的色彩设计方法，再求出反面区域的可能的色彩设计方法，由分步乘法计数原理即可得出答案. 【详解】4种色彩设为1、2、3、4，正面相邻区域不能同色必定用三种颜色，则有种不同方法， 对于中的一种再考虑反面设计，如正面用三色为1、2、3， 则反面颜色也可选1、2、3，但与正面不能同色，故对应为2、3、1和3、1、2两种． 反面颜色也能选1、2、4，与正面1、2、3对应分别为2、1、4，2、4、1，4、1、2三种． 同理反面颜色选1、3、4也为3种，反面选2、3、4也为3种， 则正面用三色为1、2、3，反面颜色对应有11种， 所以双面绣不同色彩设计方法共有种． 故选：B． 4．（2024·山东·二模）若随机变量，且，则（  ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【分析】由正态分布性质可知：，，由正态分布曲线的对称性可知：，即可得到答案. 【详解】由随机变量，根据正态分布性质可知：， 因为，可得， 再根据正态分布曲线的对称性可知：， 所以， 故选：B. 5．（2024·山东·二模）展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为排列组合问题，使用组合方法求解. 【详解】现有8个相乘，从每个中的三项各取一项相乘时，若结果为的常数倍，则所取的8项中有4个，2个，2个. 所以，总的选取方法数目就是. 每个这样选取后相乘的结果都是，即给系数的贡献总是，所以的系数就是全部的选取数. 故选：C. 6．（2024·山东潍坊·二模）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意可知其均值为3，2和4关于3对称， 所以， 因此. 故选：C 7．（2024·山东泰安·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ） A．0.14 B．0.36 C．0.72 D．0.86 【答案】A 【分析】根据正态曲线的性质直接求解即可. 【详解】由题意知，，所以， 则， 所以. 故选：A 8．（2024·山东日照·二模）已知，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，列出方程，即可求解. 【详解】由，且， 可得，解得. 故选：C. 9．（2024·山东临沂·二模）一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干中该组数据极差和中位数的关系列方程求出，然后根据百分位数的定义求解即可. 【详解】根据中位数的定义，该组数据的中位数是， 根据极差的定义，该组数据的极差是， 依题意得，，解得， ， 根据百分位数的定义， 该组数据的第百分位数是从小到大排列的第个数，即. 故选：A 10．（2024·山东临沂·二模）若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 【答案】C 【分析】先分组后分配，分组时分一组2人一组4人和每组各3人两种情况. 【详解】第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有种； 分为每组各3人，有种，分组方法共有种. 第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有种. 所以，总的分配方案有种. 故选：C 11．（2024·山东聊城·二模）班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（    ） A．60种 B．54种 C．48种 D．36种 【答案】B 【分析】分甲、乙、丙三位同学都有安排和甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排两种情况进行说明即可. 【详解】第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时， 先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表，有种结果， 然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有种结果， 余下的两个学科给剩下的两个人，有种结果， 所以不同的安排方案共有种， 第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时， 先选两人出来，有种结果， 再将四门不同学科分成两堆，有种结果， 将学科分给学生，有种结果， 所以不同的安排方案共有种， 综合得不同的安排方案共有种. 故选：B. 12．（2024·山东滨州·二模）已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则，相互独立 B．若，相互独立，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B、C、D. 【详解】对于A：因为，所以与不独立，故A错误； 对于B：若，相互独立，则，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：若，则，所以，故D正确. 故选：D 13．（2024·山东滨州·二模）某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（    ） A．42种 B．40种 C．36种 D．30种 【答案】B 【分析】利用相邻问题的排列数，减去甲乙相邻时丙排在5月3日的排列数得解. 【详解】甲乙相邻的排列数是，其中甲乙相邻且丙排在5月3日的排列数为， 所以不同的安排方案共有（种）. 故选：B 14．（2024·山东菏泽·二模）在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（    ） A．9种 B．36种 C．38种 D．45种 【答案】B 【分析】利用排列、组合数即可求解． 【详解】由题意，恰有两人报考同一高校的方法共有种. 故选：B. 15．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．已知一组样本数据，，…，()，现有一组新的数据，，…，，，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大 B．已知具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4 C．50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为20人 D．已知随机变量，若，则 【答案】D 【分析】计算可得平均数不变，可得新数据极差变小，可判断A；利用贺归直线过样本中心点，可求，可判断B；可求得，进而可判断C；由已知得，计算可判断D. 【详解】对于A：新数据的总和为， 与原数据的总和相等，且数据个数相等，因此平均数不变， 因为，而 ， 即极差变小了，由于两组数据平均数不变，而极差变小， 说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，故A错误； 对于B：因为回归直线方程必经过样本中心点， 所以，解得，故B错误； 对于C：因为一模考试中的数学成绩，， 所以，所以， 所以的人数为人，故C错误； 对于D：因为，所以， ，解得，故D正确. 故选：D. 二、多选题 16．（2024·山东济南·二模）某景点工作人员记录了国庆假期七天该景点接待的旅游团数量.已知这组数据均为整数，中位数为18，唯一众数为20，极差为5，则（    ） A．该组数据的第80百分位数是20 B．该组数据的平均数大于18 C．该组数据中最大数字为20 D．将该组数据从小到大排列，第二个数字是17 【答案】AC 【分析】设这组数从小到大排列为，由题意可得，，结合百分位数定义计算可得A；设出举出符合题意但不符合选项的一组数据即可B、D；结合众数与极差定义，借助反证法可得C. 【详解】设这组数从小到大排列为， 由中位数为18，故， 由唯一众数为20，故或，即可确定， 对A：由，则该组数据的第80百分位数是，即为，故A正确； 对B：该组数据可能为， 此时，故B错误； 对C：由题可知，若，则，此时只有， 故，从而有，，，与矛盾， 故，故C正确； 对D：同B中假设，该组数据可能为，故D错误. 故选：AC. 17．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知两个变量y与x对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 y 5 m 8 9 10.5 若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（    ） A．y与x正相关 B． C．样本数据y的第60百分位数为8 D．各组数据的残差和为0 【答案】AD 【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A，根据样本中心点在回归方程上可判定B，利用百分位数的计算可判定C，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D. 【详解】由回归直线方程知：，所以y与x正相关，即A正确； 由表格数据及回归方程易知，即B错误； 易知，所以样本数据y的第60百分位数为，即C错误； 由回归直线方程知时对应的预测值分别为， 对应残差分别为，显然残差之和为0，即D正确. 故选：AD 18．（2024·山东日照·二模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（    ） A．与相互独立 B．与互斥 C． D． 【答案】AC 【分析】根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，根据独立事件及条件概率的概率公式判断C、D. 【详解】对于A，依题意，，， 所以事件与事件相互独立，故A正确； 对于B，由题意可知，事件与事件有可能同时发生， 例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件与事件不是互斥事件，故B错误； 对于C、D，，因为，所以， 所以，故C正确，D错误． 故选：AC． 19．（2024·山东滨州·二模）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量X，Y满足，则 B．若随机变量，且，则 C．若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强 D．按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 【答案】BCD 【分析】利用方差的性质判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；利用线性相关系数的性质判断C；利用第p百分位数计算判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强，C正确； 对于D，由，依题意，，且， 解得，因此，D正确. 故选：BCD 三、填空题 20．（12-13高二下·浙江嘉兴·期中）在的展开式中常数项是 ． 【答案】14 【详解】 ，令，则展开式中得常数项为. 【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式,根据所求项的要求，解出，再给出所求答案. 21．（2024·山东济南·二模）现有A，B 两组数据，其中A组有4个数据，平均数为2，方差为6，B组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 . 【答案】9 【分析】根据题意，由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案. 【详解】根据题意，甲组数据的平均数为2，方差为6，乙组数据的平均数为7，方差为1, 则两组数据混合后，新数据的平均数， 则新数据的方差 故答案为：9 22．（2024·山东枣庄·模拟预测）某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 ． 【答案】 【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】到达第3台阶的方法有两种： 第一种：  每步上一个台阶，上两步，则概率为；第二种：     只上一步且上两个台阶，则概率为， 所以到达第3阶台阶的概率为， 故答案为：. 23．（2024·山东泰安·二模）已知甲，乙两位同学报名参加学校运动会，要从100米，200米，跳高，跳远四个项目中各选两项，则甲，乙两位同学所选项目恰有1项相同的概率为 . 【答案】 【分析】分别求出两位同学从4个不同的项目中各选2项、两位同学所选的项目恰有1项相同的选法，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】甲乙两位同学从4个不同的项目中各选2项，共有种选法， 甲乙两位同学所选的项目恰有1项相同，共有种选法， 所以甲乙两位同学所选的项目恰有1项相同的概率为. 故答案为：. 24．（2024·山东临沂·二模）展开式中项的系数为 . 【答案】42 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则有. 故答案为：. 25．（2024·山东临沂·二模）根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X满足：对于任意的，的样本在的样本里的数量占比与的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于，即，则 ，设，的前n项和为，则 . 【答案】 【分析】根据条件概率的计算以及递推法可得，根据等比数列的定义可得，即可求解空1，根据错位相减法即可求解空2． 【详解】， 因为， 所以，将换成，此时， 两式相减可得， 即，又， 所以对任意都成立， 此时是首项为，公比为的等比数列， 所以，故 ， ， ， 两式作差得 ， 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：根据，即可利用数列的递推关系求解是首项为，公比为的等比数列，，利用错位相减法即可求解和. 26．（2024·山东聊城·二模）甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为 ． 【答案】/0.6 【分析】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行两局为事件，根据条件概率公式分别求解、的值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行两局为事件， ， ， 故． 故答案为：． 四、解答题 27．（2024·山东济南·二模）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球. (1)求再打2球该局比赛结束的概率； (2)两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望； (3)若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由题意可知甲连续得2分，或乙连续得2分比赛结束，再利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得结果； （2）由题意可知的可能取值为所有正偶数，然后根据题意分别求出相应的概率，表示出期望后，再利用错位相减法可求得结果； （3）设再打个球比赛结束且甲获胜的概率为，当为奇数时，，当为偶数时，，则可求得甲获胜的概率. 【详解】（1）平后，设事件“第个球甲得分”，则“第个球乙得分”， 设“再打两球该局比赛结束”，则， 所以. （2）的可能取值为所有正偶数， 考虑第个球与第个球，如果这两球均由甲得分或均由乙得分，则比赛结束：如果这两球甲､乙各得1分， 则比赛相当于重新开始；这两球甲､乙各得1分的概率为， 所以 ， ， …… ， …… 所以， 记， 则， 以上两式相减得 ， 所以， 当趋于时，趋于4，所以. （3）设再打个球比赛结束且甲获胜的概率为， 则， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以该局比赛甲获胜的概率 当趋于时，趋于， 所以该局比赛甲获胜的概率为. 【点睛】关键点点睛：此题考查概率的求法，考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，考查等比数列求和公式，考查错位相减求和，第（3）问解题的关键是根据题意分为奇数和为偶数表示出通项公式，考查理解能力和计算能力，属于较难题. 28．（2024·山东济南·二模）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. (1)设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 【答案】(1)见解析 (2)（i）；；（ii）见解析 【分析】（1）求出求的可能取值及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式求出； （2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概率公式求解即可；第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步，向下移动步，表示出，由组合数公式化简即可得出答案；（ii）利用题目条件可证明，再令可证得，进一步可得，即可得出答案. 【详解】（1）粒子在第秒可能运动到点或或的位置，的可能取值为：， ，，， 所以的分布列为： . （2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故， 粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑： 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有种情形； 于是， 第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步， 向下移动步，故 . 故. （ii）利用可知： ， 于是， 令，， 故在上单调递增， 则，于是， 从而有：， 即为不超过的最大整数，则对任意常数，当时， ，于是, 综上所述，当时，成立，因此该粒子是常返的. 【点睛】关键点睛：本题第二问（ii）的关键点在于利用可得，再令可证得，进一步可得，即可得出答案. 29．（2024·山东枣庄·模拟预测）在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为． (1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率； (2)某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案： 方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止． 方案二：从袋中进行有放回摸球次． 分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值更合理． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”，根据条件概率公式计算可得； （2）记“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示，的可能取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，“方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，则，由二项分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判断即可. 【详解】（1）设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”， 则，， 所以； （2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示， 则的可能取值为：， 且，，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 则 ， “方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，因为， 所以的分布列为：， 即的分布列为： 0 1 所以，则， 因为，，所以“方案二”估计的值更合理. 30．（2024·山东淄博·二模）汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展．某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表： 年份t 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x（x＝t﹣2014） 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 10 12 17 20 26 (1)计算销量y关于年份代码x的线性相关系数r，并判断是否可以认为y与x有较强的线性相关关系（若|r|≥0.75，则认为有较强的线性相关关系）．若是，求出y关于x的线性回归方程：若不是，说明理由； (2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业又随机调查了该地区100位购车车主的购车情况，假设一位车主只购一辆车．男性车主中购置传统燃油汽车的有40名，购置新能源汽车的有30名：女性车主中有一半购置新能源汽车．将频率视为概率，已知一位车主购得新能源汽车，请问这位车主是女性的概率． 附：若为样本点， 相关系数公式：r；为回归方程，则，． 【答案】(1)有较强的线性相关关系， (2) 【分析】（1）运用公式求解相关系数，得出结论，进而求出线性回归方程即可; （2）运用条件概率公式计算即可. 【详解】（1）由题意得， ， ， ， 因此，销量与年份代码有较强的线性相关关系： ， ， 关于的线性回归方程为. （2）由题意知，该地区名购车车主中，男车主有名，女性车主有名，购置新能源汽车的男性车主有名，购置新能源汽车的女性车主有名． “一位车主购得新能源汽车”记作事件，“车主是女性”记作事件， 一位车主购得新能源汽车，这位车主是女性的概率为： 31．（2024·山东淄博·二模）定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作． 设集合． (1)求； (2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造， ②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构． 请从①②中选择一个，若选择_____． 证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）． 注：若①②都作答，按第一个计分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知定义求出集合，然后结合集合交集运算即可解题； （2）结合所选条件，先求出，在适当放缩后，用等差等比数列，以及求和计算，然后结合单调性以及二项式定理即可判断. 【详解】（1）当成立时，则能被整除，得， 即， 当成立时，则能被整除，得， 即，则， 显然集合为全体正偶数组成的集合，集合中所有的元素都是奇数， 所以. （2）若选择①， 将集合中的元素按从小到大排列构成的数列为等差数列，其通项公式为：   设，， 由二项式定理得： ； ； 显然， 所以数列为单调递增数列， 同时， 当时， ， 则， 且， 所以数列有界； 若选择②， 将集合中的元素按从小到大排列构成的数列为等比数列，其通项公式为   设， 显然， 所以数列单调递增， 其中， ， 所以， 所以数列有界. 【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，主要考查集合交集运算，二项式定理，等差等比数列通项应用和求和方法，还考查了数列与函数单调性综合应用，属于难题. 32．（2024·山东·二模）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数： (2)将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民. （i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？ 青年 非青年 合计 喜欢 20 不喜欢 60 合计 200 （ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)45 (2)（i）列联表见解析；有；（ii） 【分析】（1）借助频率分布直方图及百分位数的性质计算即可得； （2）（i）完善列联表后，计算卡方即可得；（ii）借助分层抽样的性质可得抽取8人中居民类别，再结合组合数的计算与概率公式计算即可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 年龄在40岁以下的居民所占比例为， 年龄在50岁以下的居民所占比例为， 所以分位数位于内， 由， 所以，样本数据的分位数为45； （2）（i）由题知，列联表为： 青年 非青年 合计 喜欢 90 20 110 不喜欢 60 30 90 合计 150 50 200 根据列联表中的数据，可得： 所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联； （ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应抽取2人． 设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为， ， ， 所以， 所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为． 33．（2024·山东潍坊·二模）某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均可支配收入 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12 (1)求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入； (2)某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考数据及公式：，，，． 【答案】(1)，5.37 万元 (2)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）求出相关数据，代入公式得到回归直线方程，并代入即可； （2）首先得到 的可能取值为 0,1,2,3，分步列出分布列，计算期望即可. 【详解】（1）由题意得，， ， ， ， 故， ， 故回归方程为， 又因为2024年的年份编号为8，将代入，解得， 预测2024年该市城镇居民人均可支配收入为5.37万元; （2）由图表知，人均可支配收入超过4.5万的年份有3年， 故的可能取值为0，1，2，3，则， ， ， ， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 故. 34．（2024·山东潍坊·二模）数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． (1)已知数列满足，． （ⅰ）求，，； （ⅱ）证明：是一阶等比数列； (2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 【答案】(1)（ⅰ），，；（ⅱ）证明见解析 (2)当时，为整数. 【分析】（1）（ⅰ）根据的定义，结合通项公式求解即可；（ⅱ）根据递推公式构造即可证明； （2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，可得，结合进而可得，从而分析为整数当且仅当为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可. 【详解】（1）（ⅰ）由，易得，…… 由一阶等差数列的定义得： ，，. （ⅱ）因为，所以当时有， 所以，即， 即，又因为，故是以1为首项，2为公比的等比数列， 即是一阶等比数列. （2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为， 则，，所以. 由题意，所以， 所以， 即. 所以为整数当且仅当为整数. 由已知时符合题意，时不合题意， 当时，， 所以原题等价于为整数， 因为①， 显然含质因子3，所以必为9的倍数， 设，则，将代入①式， 当为奇数时，为偶数，①式为2的倍数； 当为偶数时，为奇数，为偶数，①式为2的倍数， 又因为2与9互质，所以①为整数. 综上，当时，为整数. 【点睛】方法点睛： （1）新定义的题型需要根据定义列出递推公式，结合等比等差的性质求解； （2）考虑整除时，可考虑根据二项展开式进行讨论分析. 35．（2024·山东泰安·二模）“绿水青山就是金山银山”是习近平总书记于2005年8月在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断.为提高学生环保意识，某校决定在高一，高二年级开展环保知识测试，已知高一，高二年级每个学生通过测试的概率分别为，. (1)从高二年级随机抽取6人参加测试，求通过测试的人数不多于4人的概率. (2)若两个年级各选派部分学生参加测试，高二年级通过测试人数的标准差为，则高一年级至少选派多少人参加测试，才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级. 【答案】(1) (2)56 【分析】（1）易知高二年级通过测试人数为服从求解； （2）由高二年级，结合标准差为求得人数，从而求得期望，再设高一年级参加测试人数为，通过测试人数为，则，得到，然后由求解. 【详解】（1）解：设高二年级参加测试人数为，通过测试人数为，则，由题意得，， ， ， ； （2）， ， ， ， 设高一年级参加测试人数为，通过测试人数为，则， 易知， 由题意，，即， 得， ∴高一年级至少派56人参加测试，才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级. 36．（2024·山东日照·二模）某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级． (1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的最有可能的取值： (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如下表所示： 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得， （ⅰ）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率不低于的概率． 参考公式与数据：①． ②线性回归方程中，，． ③若随机变量，则，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可判断； （2）（ⅰ）对两边取对数，由参考数据可知，根据样本中心点求出，即可求出回归方程，再将代入计算可得；（ⅱ）依题意可得，，再令，求出的取值范围，再由正态分布的性质计算可得. 【详解】（1）依题意，随机变量服从超几何分布，且的可能取值为，，，， 则，，，． 由此可得最大，即的可能性最大，故最有可能的取值为； （2）（ⅰ）依题意，两边取对数，得， 即，其中， 由提供的参考数据，可知，又，故， 所以， 由提供的参考数据，可得，故， 当时，，即估计其绩效等级优秀率为； （ⅱ）由（ⅰ）及提供的参考数据可知，，， 又，即，可得，即． 又，且， 由正态分布的性质，得， 记“绩效等级优秀率不低于”为事件，则， 所以绩效等级优秀率不低于的概率等于． 37．（2024·山东临沂·二模）“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）. 非常喜欢 感觉一般 合计 男性 3t 100 女性 t 合计 60 (1)求t的值，试根据小概率的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关； (2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 … 2.706 3.841 6.635 … 【答案】(1)，能； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据表中数据可知，求出值完善列联表，然后计算，对照临界值表即可得结论； （2）根据古典概型概率公式，结合排列组合求解可得分布列，再由期望公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 2×2列联表如下： 非常喜欢 感觉一般 合计 男性 60 40 100 女性 80 20 100 合计 140 60 200 . 根据小概率值的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关， 此推断犯错误的概率不大于0.01. （2）设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n， 则，且X的所有可能取值为1，2，3，4. ， ， ， . 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以. 38．（2024·山东聊城·二模）随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下： 分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. (1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； (2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司的客户人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)，分布列见解析 【分析】（1）将数据从小到大排列，根据第一四分位数的概念求解即可； （2）先求出两个公司不满意的人数，确定随机变量的取值，然后求出对应的概率，根据数学期望公式求解即可. 【详解】（1）将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94. 因为， 所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为. （2）由已知得分公司中75分以下的有66分，72分； 分公司中75分以下的有62分，70分，73分， 所以上述不满意的客户共5人，其中分公司中2人，分公司中3人. 所以的所有可能取值为1，2，3. ， 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 39．（2024·山东滨州·二模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物的影响情况．其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应第1，2，3组．观察一段时间后，分别从第1，2，3组各随机抽取20株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表： 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花样本株数 4 10 4 2 第2组鸡冠花样本株数 3 8 8 1 第3组鸡冠花样本株数 7 5 7 1 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立． (1)从第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，求至少有1株鸡冠花的株高增量在内的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量在内，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量在内，“”表示第组鸡冠花的株高增量在内，．比较方差的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见详解， (3)，理由见详解 【分析】（1）设事件，根据题意利用古典概型分析求解； （2）设相应事件，由题意可知：，且的可能取值有0，1，2，3，进而求分布列和期望； （3）由题意可知：均服从两点分布，结合两点分布求方差，对比分析即可. 【详解】（1）记“第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，至少有1株鸡冠花的株高增量在内”为事件A， 所以. （2）记“从第组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量在内”为事件， 由题意可知：， 且的可能取值有0，1，2，3，则有： ； ； ； ； 所以的分布列为 0 1 2 3 的期望. （3）由题意可知：均服从两点分布，则有： 的分布列为： 0 1 可得的方差； 的分布列为： 0 1 可得的方差； 的分布列为： 0 1 可得的方差； 因为，所以. 40．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. (1)求P； (2)当时，求甲得分X的分布列及数学期望； (3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，利用条件概率可得，求解即可； （2）X可能的取值为0，1，2，计算可求得分布列，进而计算可求数学期望； （3）设甲的积分为，乙的积分为，由已知可得甲晋级时n必为偶数，令，当n为奇数时，，计算可得，可得结论. 【详解】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”， 则，，，，， ， 则，解得； （2）由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知 ， ， ， X的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望为. （3）由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为， 则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令 当n为奇数时，， 则 又∵时，随着m的增大而增大， ∴. 试卷第38页，共39页 试卷第39页，共39页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题10计数原理与概率统计-2024年新高考地区数学 · 二模分类汇编-山东专用（学生版） 一、单选题 1．（2024·山东济南·二模）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·二模）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·河北·期末）中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（    ）种    A．144 B．264 C．288 D．432 4．（2024·山东·二模）若随机变量，且，则（  ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 5．（2024·山东·二模）展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东潍坊·二模）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·山东泰安·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ） A．0.14 B．0.36 C．0.72 D．0.86 8．（2024·山东日照·二模）已知，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·山东临沂·二模）一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东临沂·二模）若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 11．（2024·山东聊城·二模）班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（    ） A．60种 B．54种 C．48种 D．36种 12．（2024·山东滨州·二模）已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则，相互独立 B．若，相互独立，则 C．若，则 D．若，则 13．（2024·山东滨州·二模）某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（    ） A．42种 B．40种 C．36种 D．30种 14．（2024·山东菏泽·二模）在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（    ） A．9种 B．36种 C．38种 D．45种 15．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．已知一组样本数据，，…，()，现有一组新的数据，，…，，，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大 B．已知具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4 C．50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为20人 D．已知随机变量，若，则 二、多选题 16．（2024·山东济南·二模）某景点工作人员记录了国庆假期七天该景点接待的旅游团数量.已知这组数据均为整数，中位数为18，唯一众数为20，极差为5，则（    ） A．该组数据的第80百分位数是20 B．该组数据的平均数大于18 C．该组数据中最大数字为20 D．将该组数据从小到大排列，第二个数字是17 17．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知两个变量y与x对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 y 5 m 8 9 10.5 若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（    ） A．y与x正相关 B． C．样本数据y的第60百分位数为8 D．各组数据的残差和为0 18．（2024·山东日照·二模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（    ） A．与相互独立 B．与互斥 C． D． 19．（2024·山东滨州·二模）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量X，Y满足，则 B．若随机变量，且，则 C．若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强 D．按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 三、填空题 20．（12-13高二下·浙江嘉兴·期中）在的展开式中常数项是 ． 21．（2024·山东济南·二模）现有A，B 两组数据，其中A组有4个数据，平均数为2，方差为6，B组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 . 22．（2024·山东枣庄·模拟预测）某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 ． 23．（2024·山东泰安·二模）已知甲，乙两位同学报名参加学校运动会，要从100米，200米，跳高，跳远四个项目中各选两项，则甲，乙两位同学所选项目恰有1项相同的概率为 . 24．（2024·山东临沂·二模）展开式中项的系数为 . 25．（2024·山东临沂·二模）根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X满足：对于任意的，的样本在的样本里的数量占比与的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于，即，则 ，设，的前n项和为，则 . 26．（2024·山东聊城·二模）甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为 ． 四、解答题 27．（2024·山东济南·二模）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球. (1)求再打2球该局比赛结束的概率； (2)两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望； (3)若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率. 28．（2024·山东济南·二模）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. (1)设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 29．（2024·山东枣庄·模拟预测）在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为． (1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率； (2)某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案： 方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止． 方案二：从袋中进行有放回摸球次． 分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值更合理． 0 1 0 1 30．（2024·山东淄博·二模）汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展．某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表： 年份t 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x（x＝t﹣2014） 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 10 12 17 20 26 (1)计算销量y关于年份代码x的线性相关系数r，并判断是否可以认为y与x有较强的线性相关关系（若|r|≥0.75，则认为有较强的线性相关关系）．若是，求出y关于x的线性回归方程：若不是，说明理由； (2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业又随机调查了该地区100位购车车主的购车情况，假设一位车主只购一辆车．男性车主中购置传统燃油汽车的有40名，购置新能源汽车的有30名：女性车主中有一半购置新能源汽车．将频率视为概率，已知一位车主购得新能源汽车，请问这位车主是女性的概率． 附：若为样本点， 相关系数公式：r；为回归方程，则，． 31．（2024·山东淄博·二模）定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作． 设集合． (1)求； (2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造， ②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构． 请从①②中选择一个，若选择_____． 证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）． 注：若①②都作答，按第一个计分． 32．（2024·山东·二模）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数： (2)将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民. （i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？ 青年 非青年 合计 喜欢 20 不喜欢 60 合计 200 （ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 33．（2024·山东潍坊·二模）某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均可支配收入 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12 (1)求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入； (2)某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考数据及公式：，，，． 0 1 2 3 34．（2024·山东潍坊·二模）数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． (1)已知数列满足，． （ⅰ）求，，； （ⅱ）证明：是一阶等比数列； (2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 35．（2024·山东泰安·二模）“绿水青山就是金山银山”是习近平总书记于2005年8月在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断.为提高学生环保意识，某校决定在高一，高二年级开展环保知识测试，已知高一，高二年级每个学生通过测试的概率分别为，. (1)从高二年级随机抽取6人参加测试，求通过测试的人数不多于4人的概率. (2)若两个年级各选派部分学生参加测试，高二年级通过测试人数的标准差为，则高一年级至少选派多少人参加测试，才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级. 36．（2024·山东日照·二模）某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级． (1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的最有可能的取值： (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如下表所示： 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得， （ⅰ）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率不低于的概率． 参考公式与数据：①． ②线性回归方程中，，． ③若随机变量，则，，． 37．（2024·山东临沂·二模）“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）. 非常喜欢 感觉一般 合计 男性 3t 100 女性 t 合计 60 (1)求t的值，试根据小概率的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关； (2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 … 2.706 3.841 6.635 … 38．（2024·山东聊城·二模）随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下： 分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. (1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； (2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司的客户人数为，求的分布列和数学期望. 1 2 3 39．（2024·山东滨州·二模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物的影响情况．其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应第1，2，3组．观察一段时间后，分别从第1，2，3组各随机抽取20株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表： 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花样本株数 4 10 4 2 第2组鸡冠花样本株数 3 8 8 1 第3组鸡冠花样本株数 7 5 7 1 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立． (1)从第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，求至少有1株鸡冠花的株高增量在内的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量在内，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量在内，“”表示第组鸡冠花的株高增量在内，．比较方差的大小，并说明理由． 40．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. (1)求P； (2)当时，求甲得分X的分布列及数学期望； (3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 试卷第2页，共12页 试卷第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$