专题09 平面解析几何-2024届山东省高三数学二模分类汇编

· 专题09平面解析几何-2024年新高考地区数学 · 二模分类汇编-山东专用（解析版） 一、单选题 1．（2024·山东济南·二模）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是焦点在x轴的椭圆，求出c，即可求得焦点坐标. 【详解】，可得焦点坐标为和. 故选：B 2．（2024·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】由题意解出点横坐标，由抛物线的定义求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，，则， 因为，则，得， 由抛物线定义得. 故选：D. 3．（2024·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为F ，该抛物线上一点P 到的距离为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，由题意可得，结合抛物线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：抛物线的准线为， 设，则，解得， 所以. 故选：C. 4．（2024·山东济南·二模）已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（    ） A．2或4 B．2或3 C．4或5 D．3或5 【答案】D 【分析】根据题意可知：点P的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合两圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，且， 因为，可知点P的轨迹为以线段的中点为圆心，半径的圆， 又因为点P在圆上， 可知圆与圆有且仅有一个公共点，则或， 即或，解得或. 故选：D. 5．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A．1 B．2 C．8 D．16 【答案】A 【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，再待定系数计算即可. 【详解】依题意，得， 令，即的渐近线方程为， 所以. 故选：A 6．（2024·山东淄博·二模）若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则离心率e为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率公式，结合渐近线方程求解即可. 【详解】（a＞0，b＞0）渐近线方程为，则. 离心率. 故选：B. 7．（2024·山东淄博·二模）若圆，则直线与圆C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【分析】直线经过定点，然后证明定点在圆内可判断. 【详解】经过定点，由于，则定点在圆内. 故直线与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 8．（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹为圆 B．点到原点最短距离为2 C．点的轨迹是一个正方形 D．点的轨迹所围成的图形面积为24 【答案】D 【分析】设点的坐标为，由已知条件结合向量的坐标运算用表示出，结合可得的关系，从而可求出点的轨迹方程，再逐个分析判断. 【详解】设点的坐标为，因为，动点满足， 所以，得， 因为，所以， 即点的轨迹方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 所以点对应的轨迹如图所示，且，, 所以点的轨迹为菱形，所以AC错误， 原点到直线的距离为，所以B错误， 点的轨迹所围成的图形面积为，所以D正确. 故选：D    9．（2024·山东·二模）若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标后计算即可得. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 则有，解得. 故选：C. 10．（2024·山东·二模）在中，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可由坐标法求解，以A为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解. 【详解】解：由题可建立如图所示坐标系： 由图可得：， 又， 故直线的方程：，可得， 所以， 故选：C. 11．（2024·山东潍坊·二模）在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数满足的条件数形结合分析即可. 【详解】曲线图像如图所示，其图像为轴右侧的半圆， 根据函数的定义在函数定义域内任意的值都有唯一的值与其对应， 反映到图像上就是在其定义域内作与轴垂直的直线，与函数图像有一个交点， 因此四个选项仅逆时针旋转满足条件. 故选：C. 12．（2024·山东潍坊·二模）已知P为抛物线上的一动点，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将题目转化为求的最大值，则构建出，再根据勾股定理并结合二次函数性质即可求出角度最大值. 【详解】因为，则求的最大值即求最大值， 由题得圆心坐标，半径，设，则在中，，易知 ， 则最大时，最小， 设，，且， 则， 即时，，此时取得最大值，， 结合得此时，则. 故选：B. 13．（2024·山东泰安·二模）已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分类讨论双曲线焦点所在位置，结合离心率可得的取值范围为，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若双曲线的离心率为，则有： 当双曲线的焦点在x轴上，则，解得， 可得，解得； 当双曲线的焦点在y轴上，则，解得， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 显然是的真子集， 所以“”是“双曲线的离心率为” 充分不必要条件. 故选：A. 14．（2024·山东泰安·二模）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解. 【详解】如图所示： 设 为准线与轴的交点， 因为，且，所以， 因为，所以， 而在中，， 所以. 故选：A. 15．（2024·山东临沂·二模）椭圆（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设、，结合椭圆定义及离心率可用表示、，结合勾股定理计算即可得解. 【详解】设、，则有，， 则，即， 则，即， 即，， 则，由， 则有， 整理得，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助椭圆定义及离心率，用表示、，再借助表示出，结合勾股定理计算即可得解. 16．（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离. 【详解】抛物线开口向右，准线方程为， 点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6， 点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4． 故选：A． 17．（2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆公切线条数确定两圆位置关系，从而可得圆心所满足的轨迹方程，从而逐项判段直线与圆位置关系，确定直线是否过点即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 若圆与圆恰有一条公切线，则两圆内切， 所以，即，所以点的轨迹为圆， 对于A，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故A不符合； 对于B，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故B不符合； 对于C，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故C不符合； 对于D，圆心到直线的距离为，则该直线不过点，故D符合； 故选：D. 18．（2024·山东聊城·二模）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的方程为，若直线与在第一象限内的交点为，且轴，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线方程可得，由轴得，利用斜率公式可得结果. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，依题意有， 即，又右焦点为，且轴，所以， 所以， 故选：C.    19．（2024·山东滨州·二模）已知圆，直线，为直线上的动点．过点作圆的切线PM，PN，切点为M，N．若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则正实数（    ） A．1 B． C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据题意分析可知：，且，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为四边形为正方形，可知， 若使得四边形为正方形的点有且只有一个，可知， 则，解得或（舍去）， 所以正实数. 故选：C. 20．（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出，令，结合，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率， 双曲线的离心率，可得， 令，因为双曲线的渐近线的斜率不超过，即， 则此时，即， 则的最大值是. 故选：B. 二、多选题 21．（2024·山东济南·二模）某景点工作人员记录了国庆假期七天该景点接待的旅游团数量.已知这组数据均为整数，中位数为18，唯一众数为20，极差为5，则（    ） A．该组数据的第80百分位数是20 B．该组数据的平均数大于18 C．该组数据中最大数字为20 D．将该组数据从小到大排列，第二个数字是17 【答案】AC 【分析】设这组数从小到大排列为，由题意可得，，结合百分位数定义计算可得A；设出举出符合题意但不符合选项的一组数据即可B、D；结合众数与极差定义，借助反证法可得C. 【详解】设这组数从小到大排列为， 由中位数为18，故， 由唯一众数为20，故或，即可确定， 对A：由，则该组数据的第80百分位数是，即为，故A正确； 对B：该组数据可能为， 此时，故B错误； 对C：由题可知，若，则，此时只有， 故，从而有，，，与矛盾， 故，故C正确； 对D：同B中假设，该组数据可能为，故D错误. 故选：AC. 22．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知正方体的棱长为2，点M，N分别为棱的中点，点P为四边形（含边界）内一动点，且，则（    ） A．平面 B．点P的轨迹长度为 C．存在点P，使得平面 D．点P到平面距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用线线平行的性质可判定A，利用空间轨迹结合弧长公式可判定B，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系及点面距离可判定C、D. 【详解】对于A，在正方体中易知， 又平面，平面，所以平面，即A正确； 对于B，因为点P为四边形（含边界）内一动点，且，， 则，所以P点轨迹为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的部分， 所以点P的轨迹长度为，故B正确； 对于C，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 若存在点P，使得面，则， 解之得，显然不满足同角三角函数的平方关系， 即不存在点P，使得面，故C错误； 对于D，设平面的一个法向量为，则， 取，即， 则点P到平面的距离， 显然时取得最大值，故D正确. 故选：ABD    【点睛】思路点睛：对于B，利用定点定距离结合空间轨迹即可解决，对于C、D因为动点不方便利用几何法处理，可以利用空间直角坐标系，由空间向量研究空间位置关系及点面距离计算即可. 23．（2024·山东·二模）已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．若满足的直线恰有一条，则 D．若满足的直线恰有三条，则 【答案】ACD 【分析】由双曲线的性质和离心率可得A正确；分情况讨论，当与一支有交点时，最短弦长为通径可得B错误；若满足的直线恰有一条可知直线与双曲线的两支分别相交，可得，可判断C正确；若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交，可得，可推导出D正确. 【详解】A：当时，因为，所以，故A正确； B：当过其右焦点的直线与交于左右两支时，的最小值为，（此时为双曲线的两顶点） 当过其右焦点的直线与交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为， 代入双曲线方程为，解得，此时弦长为， 由于不一定等于，故B错误； C：若满足的直线恰有一条， 由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交， 所以， 此时，故C正确； D：若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交， 所以，所以， 又，所以，故D正确； 故选：ACD. 24．（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．的离心率为 C．的周长为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据椭圆方程求出，再结合椭圆的性质逐一判断即可. 【详解】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，故， 所以的焦距为，故A正确； 的离心率为，故B正确； 的周长为，故C错误； 对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大， 最大值为，故D正确. 故选：ABD. 25．（2024·山东日照·二模）已知是曲线上不同的两点，为坐标原点，则（    ） A．的最小值为3 B． C．若直线与曲线有公共点，则 D．对任意位于轴左侧且不在轴上的点，都存在点，使得曲线在两点处的切线垂直 【答案】BCD 【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据表达式求值判定A，根据几何意义判断B，根据直线与椭圆的位置关系判断C，根据图形特征以及切线概念判断D. 【详解】当时，原方程即， 化简为，轨迹为椭圆， 将代入，解得，则此时， 即此部分为椭圆的一半， 当时，原方程即， 化简得， 将代入，解得或， 则此时，即此部分为圆的一部分，作出曲线的图形如下：        选项A：当时，，当时取最小值3， 当时，，当时取最小值1， 则的最小值为1，故A错误； 选项B：因为表示点与点和点的 距离之和，当时，点和点为椭圆的焦点， 由椭圆定义可知=4， 当时，点为圆的圆心，点在圆上， 所以= 当点P在或时最大，且为2， 所以， 即，故B正确； 选项C：直线过定点，当直线经过或时， 直线斜率， 联立，化简得， 因直线与曲线有公共点，即， 解得或， 所以直线与曲线有公共点时，故C正确； 选项D：当点P在椭圆上时，对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P，    则曲线C在点P处的切线斜率可以取任何非零正实数， 曲线C在y轴右侧椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零负实数，使得两切线斜率为负倒数， 同理，当点P在圆上时，对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P， 则曲线C在点P处的切线斜率可以取任何非零负实数， 曲线C在y轴右侧圆部分切线斜率也可以取到任何非零正实数，使得两切线斜率为负倒数， 所以对任意位于轴左侧且不在轴上的点，都存在点，使得曲线在两点处的切线垂直，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为： （1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解； （2）坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案. 26．（2024·山东临沂·二模）设，是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于点.若弦AB过焦点F，则（    ） A． B．若PA的方程为，则 C．点P始终满足 D．面积的最小值为16 【答案】ACD 【分析】由导数的几何意义，求得可得A处的切线方程，得出直线的方程，联立两直线方程可判定A；根据已知和A选项可得，再设直线，联立方程组，根据根与系数的关系可求，根据，可判定B错误，C正确；取的中点，化简得到的面积，可判定D正确. 【详解】依题意设，，由方程， 可得，则， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 可得A处的切线方程为：，即， 化简可得，所以直线的方程为， 同理可得：直线BP的方程为， 联立两直线方程得，， 则， 因为，解得，， 即，所以A正确； 若PA的方程为，根据直线的方程为，可得， 设直线，联立方程组， 整理得， 则， 且，， 所以，，所以B错误； 因为，所以，故C正确； 取的中点，连接，根据中点坐标公式得， 从而平行轴，由前可知， 所以 因为，，所以， ， 代入可得， 当时，，所以D正确. 故选：ACD    【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法： （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 27．（2024·山东滨州·二模）已知点A，B，C都在双曲线上，点在第一象限，点在第四象限，A，B关于原点对称，，过作垂直于轴的直线分别交，于点D，E．若，则下列结论正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B． C． D．双曲线的离心率为 【答案】ABD 【分析】设，，，由求出可判断A；由可判断B；由三点共线，则可判断C；注意到，也就是，而，，即，由此结合离心率公式可判断D. 【详解】对于A，因为A，B关于原点对称，，， 设，， 因为，所以，， 解得：，，，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为三点共线，，，， 所以，则，故C错误； 对于D，因为，在双曲线上，所以，， ， 因为，即，其中， 所以，所以， 则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题D选项的关键是得到，，，由此即可顺利得解. 三、填空题 28．（2024·山东济南·二模）已知函数，若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先证明，进而可得，设，则直线与椭圆有交点，联立方程，则，即可得解. 【详解】由题意，， 则，又， 所以，即， 设，则直线与椭圆有交点， 联立，得， 则，解得， 所以的最大值为. 故答案为：. 29．（2024·山东枣庄·模拟预测）设为平面上两点，定义、已知点P为抛物线上一动点，点的最小值为2，则 ；若斜率为的直线l过点Q，点M是直线l上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 2 【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过作并构造直角三角形，根据的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可. 【详解】设，则， ，即，时取得最小值； 易知，，联立有， 显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示， 过作交l于N，过作， 则（重合时取得等号）， 设，则，所以，    故答案为：2， 【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离的新定义问题可以利用化折为直的思想，数形结合再根据二次函数的性质计算最值即可. 30．（2024·山东淄博·二模）“若点P为椭圆上的一点，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为，设点的轨迹为曲线．若是曲线上一点，已知点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先由已知椭圆的性质结合椭圆定义可得轨迹，再利用圆的性质在轴上找一定点，满足，从而将转化为最值问题求解可得. 【详解】由椭圆方程，知. 如图，延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以，， 又因为为的中点，则. 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为. 设在轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 由，则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点满足， 则，当三点共线（位于两侧）时，等号成立. 由，则， 所以，当三点共线（位于两侧）时等号成立. 如图，连接，线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故答案为：5. 【点睛】方法点睛：借助阿氏圆探究最值问题：若为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当且时，动点的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，可以转化动点到定点的距离，化系数为，从而转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值. 31．（2024·山东泰安·二模）已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 ；若，则的最大值为 . 【答案】 3 【分析】建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，即可根据向量的坐标运算求解数量积，利用三角函数的性质求解最值，由，求出，根据三角函数的性质即可求出最值． 【详解】如图：以为原点，以所在的直线为,轴建立如图所示的坐标系， 则，，，， 动点在以点为圆心且与相切的圆上， 设圆的半径为， ，， ， ， 圆的方程为， 设点的坐标为，则， ，故的最大值为， ，， ， ，， ， ， ， 故的最大值为3， 故答案为：，3 32．（2024·山东滨州·二模）设为抛物线的焦点，直线交于A，B两点，则 ． 【答案】5 【分析】联立方程，利用韦达定理可得，结合抛物线的定义分析求解即可. 【详解】由题意可知：抛物线的准线为， 设， 联立方程，消去x得， 则，可得， 所以. 故答案为：5. 33．（2024·山东菏泽·二模）已知函数的图象与圆有两个交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用导数判断出函数的单调性与极值，作出函数和圆的图象，结合图象可得的取值范围． 【详解】，则， ，当时，；当时，； 可知函数在上单调递减，在上单调递增， ，当时，，当时，， 在同一坐标系作出函数和圆的图象，如图： 可知函数在处的切线方程为， 圆在点处的切线方程为， 则当，即时，圆与函数的图象有且只有一个交点， 当，即时，圆与函数的图象有两个交点， 可得的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 34．（2024·山东济南·二模）在平面直角坐标系 中，直线l 与抛物线W：相切于点P ，且与椭圆 交于A，B两点. (1)当P 的坐标为时，求； (2)若点G 满足 求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意结合导数的几何意义求得切线方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求，代入即可得结果； （2）根据题意可知：点为的重心，进而可得，结合基本不等式求其最大值. 【详解】（1）由可得， 设，可知直线l 的斜率， 可知切线方程为，即， 联立方程，消去y得， 可知，解得， 设，则， 则 若P 的坐标为，即， 所以. （2）因为点到直线的距离， 由题意可知：点为的重心，且， 可知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：1．与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 35．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1． (1)求椭圆E的方程； (2)若过右焦点的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可； （2）设直线l方程，B、C坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可. 【详解】（1）设焦距为，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点， 易知，则 ， 显然时， 由题意得解得， 所以椭圆的方程为； （2）设， 因为，所以 所以① 设直线的方程为，联立得，整理得， 由韦达定理得， 把①式代入上式得，得， 解得， 所以直线的方程为：或.    36．（2024·山东淄博·二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足． ①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值； ②求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②4 【分析】（1）根据题意，找出之间的关系式，列方程求解即可； （2）①设出方程，直线与曲线联立，运用韦达定理，以及斜率公式求证即可；②结合①的信息，令，则，根据点到直线距离公式和三角形面积公式,结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，2ab=4， 又，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）如图所示 ①设直线AB的方程为，设 联立，得 (*) = ，， 整理得， 所以直线和直线的斜率之和为定值0． ②由①，不妨取，则 设原点到直线AB的距离为d，则 又，所以 当且仅当时取等号． ． 即四边形ABCD的面积的最大值为4．    37．（2024·山东·二模）已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点． (1)求证：点在定直线上，并求出该直线方程； (2)设点为直线上一点，且，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析， (2)12 【分析】（1）由题得出椭圆方程，设直线方程为，写出两点处的切线方程，由对称性得，点处于与轴垂直的直线上，法一：两切线方程联立得，再代入即可证明；法二：由点在两切线上得直线的方程，结合直线过点，即可得出； （2）由（1）得出直线的方程，设直线和交于点，得出为线段的中点，由弦长公式得出进而得出，由两直线夹角公式得出，得出，根据基本不等式求解即可． 【详解】（1）由题意可知，， 所以，所以椭圆方程为， 设直线方程为， 联立，消可得，， 所以， 因为过点的切线为，过点的切线为， 由对称性可得，点处于与轴垂直的直线上， 法一：联立，消去得，， 将代入上式得， 所以点在直线上． 法二：因为点在两切线上，所以， 所以直线的方程为， 又直线过点，所以，解得． （2）将代入得，， 直线的方程为， 设直线和交于点，联立，解得， 又，所以为线段的中点， 因为， 所以， 又因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为12． 38．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1． (1)求的方程； (2)过上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积． (3)过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据双曲线的基本量关系，结合右焦点到一条渐近线的距离为1求解即可； （2）设直线，联立双曲线方程可得交点坐标，再根据点到直线的距离结合弦长公式与三角形面积公式求解即可； （3）设，可得，再结合可得，进而根据点到线的距离公式，结合双曲线的方程求解即可. 【详解】（1）因为双曲线实轴长为，故，，的一条渐近线方程为， 则，故双曲线的方程为. （2）由题意可知四边形为平行四边形，其面积， 由题意可得直线的斜率存在，设直线，且， 联立，消去并整理得， 因为直线与双曲线相切，故， 得，即，所以，直线方程为. 设直线与的交点为，与的交点为， 联立，得，同理得， 则， 因为原点到直线的距离， 所以，所以. （3）设，则，不妨设到直线的距离为： ，同理， 所以① 又因为②， 由①②解得或， 当时，解得， 又，则，解得， 同理有或或， 所以存在点或或或满足. 【点睛】方法点睛： （1）弦长公式； （2）设双曲线上一点，则可得为定值 39．（2024·山东泰安·二模）已知椭圆的左焦点为，上下顶点分别为，，离心率为，点是轴正半轴上一点，当与右焦点重合时，原点到直线的距离为，当与右顶点重合时，直线的斜率也为. (1)求椭圆的方程； (2)设点（与不重合）是点关于直线的对称点，直线与椭圆交于，两点，直线与交于点，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等面积法可得，利用斜率公式可得，即可求解椭圆方程， （2）根据对称可得，进而联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据点斜式求解，的方程，得到，平方代入韦达定理化简得，即可结合点点距离求解. 【详解】（1）当与右焦点重合时，, 原点到直线距离为, ，, 当与右顶点重合时， 直线的斜率，, . 椭圆的方程为 （2）证明：为点关于直线的对称点，且不与重合， （且）,， 设方程为，，即， ，得， 设，，显然，， 则，， 直线方程为，直线方程为， 两式相除得：①式， ①式平方得：， 将，代入可得， ， 与同号，，由①式知与异号，， ，即点纵坐标为， 设， ， 为定值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或者定值的求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 40．（2024·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由已知条件得，再表示出通径长，解方程组即可求得； (2) 设直线方程为,由直线与椭圆相切可得，用圆心到直线的距离表示的面积，得到一个关于的函数最大值问题，利用导数求出取最大值时的值，再求出此时的值即可，注意斜率不存在的情况讨论与比较. 【详解】（1）由题椭圆的左焦点为， 即①； 当时，， 又过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，所以②， 由①②得：， 所以椭圆的标准方程为：. （2）当斜率存在时，设直线方程为,与联立，消去并整理得： 已知直线与椭圆相切，所以， 化简得：； 又O到直线的距离为， 设P到直线的距离为，则， 则的面积， 令, 得, 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值也是最大值, 当斜率不存在时，可得， 此时的面积， 因为，所以， 综上：的面积最大值为，此时 故的面积最大时直线的斜率为. 41．（2024·山东临沂·二模）已知向量，，点，，直线PD，QD的方向向量分别为，，其中，记动点D的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)直线l与E相交于A，B两点， （i）若l过原点，点C为E上异于A，B的一点，且直线AC，BC的斜率，均存在，求证：为定值； （ii）若l与圆O：相切，点N为AB的中点，且，试确定圆O的半径r. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）设，根据向量分别与，平行列方程组，消去可得； （2）（i）根据点A，B关于原点成中心对称，化简，结合点在双曲线上，由点差法化简可证；（ii）分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设直线方程为，联立双曲线方程消去y，利用韦达定理代入，结合直线与圆相切可解. 【详解】（1）设， 则，， 又∵，， ∴，， 由已知得，， 消得：， ∴点D的轨迹方程为． （2）设直线l与E的两个交点为，， （i）∵直线l过原点， ∴点A，B关于原点成中心对称． 设， ∴， 由，得， ∴． （ii）∵N为AB的中点，且， ∴. ①当直线l的斜率不存在时，l的方程为，此时点A，B关于x轴对称，不妨设点A在第一象限，    ∴， ∵， ∴， ∴． ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为， 由，得， ∴，，    ∵， ∴， 即， 整理得：． 又∵l与圆相切， ∴． 综上可得， ∴圆O的半径是． 42．（2024·山东聊城·二模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，与轴交于点，与轴交于点，且. （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）当时，求点到的距离的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）2 【分析】（1）根据短轴长和离心率建立方程求解即可； （2）（ⅰ）利用向量的坐标运算求得点的坐标，代入双曲线方程即可求解； （ⅱ）将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理，根据向量坐标运算得，从而代入化简得，即过定点，进而根据几何性质求得点到直线的最大距离. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以的方程为． （2）（ⅰ）由题意得， 由，得，即， 由，得，即， 将的坐标分别代入的方程，得和， 解得，又，所以. （ⅱ）由消去，得， 其中， 设，则， 由， 得， 所以， 由，得， 即， 所以， 因此，又，所以. 所以的方程为，即过定点， 所以点到的最大距离为点与点的距离， 即点到的距离的最大值为2. 43．（2024·山东滨州·二模）已知点，圆，动点A满足．记A的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过点作倾斜角互补的两条直线，设直线的倾斜角为，直线与曲线交于M，N两点，直线与圆交于P，Q两点，当四边形的面积为时，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）若三点不共线，结合余弦定理整理得，并检验可知A的轨迹是以为焦点的椭圆，即可得结果； （2）设直线的方程，联立方程，利用韦达定理结合弦长公式可得，结合圆的性质可知：点P到直线MN的距离，结合面积关系运算求解. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径，则， 若三点不共线，则， 因为，即， 整理得，可知， 可知：A的轨迹是以为焦点的椭圆（除去长轴顶点）； 经检验可知：也符合题意； 综上所述：A的轨迹是以为焦点的椭圆，则， 所以的方程为. （2）由题意可知：直线与曲线必相交，直线与圆必相交， 设直线的方程， 联立方程，消去y可得， 则， 可得， 因为直线过圆心，则， 且P，Q两点到直线MN的距离相等， 又因为直线的倾斜角为，则，且， 可知点P到直线MN的距离 ， 则四边形的面积为， 解得或，所以或. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 （1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解； （3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用． 44．（2024·山东菏泽·二模）如图，已知为抛物线的焦点，过的弦交曲线于点（与不重合）． (1)求证：点为弦的中点； (2)连并延长交抛物线于点，求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）设直线，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，再由方程组，求得，得到与重合，即可求解； （2）由（1）知直线，联立方程组，求得，根据题意，得到，得到，令，得到，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）解：设直线，的中点为且， 联立方程组，整理得， 则，且， 可得， 所以中点的坐标为， 又由方程组，解得，即， 所以点与重合，即为中点. （2）解：由（1）知直线， 联立方程组，解得， 又由，所以， 所以， 令，则，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，面积取得最小值． 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线问题的方法与策略： 1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决圆锥曲线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、圆锥曲线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 试卷第12页，共12页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题09平面解析几何-2024年新高考地区数学 · 二模分类汇编-山东专用（学生版） 一、单选题 1．（2024·山东济南·二模）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 3．（2024·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为F ，该抛物线上一点P 到的距离为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·山东济南·二模）已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（    ） A．2或4 B．2或3 C．4或5 D．3或5 5．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A．1 B．2 C．8 D．16 6．（2024·山东淄博·二模）若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则离心率e为（　　） A． B． C． D． 7．（2024·山东淄博·二模）若圆，则直线与圆C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 8．（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹为圆 B．点到原点最短距离为2 C．点的轨迹是一个正方形 D．点的轨迹所围成的图形面积为24 9．（2024·山东·二模）若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 10．（2024·山东·二模）在中，交于点，则（   ） A． B． C． D． 11．（2024·山东潍坊·二模）在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为（   ） A． B． C． D． 12．（2024·山东潍坊·二模）已知P为抛物线上的一动点，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 13．（2024·山东泰安·二模）已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2024·山东泰安·二模）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·山东临沂·二模）椭圆（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 17．（2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（    ） A． B． C． D． 18．（2024·山东聊城·二模）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的方程为，若直线与在第一象限内的交点为，且轴，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·山东滨州·二模）已知圆，直线，为直线上的动点．过点作圆的切线PM，PN，切点为M，N．若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则正实数（    ） A．1 B． C．5 D．7 20．（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 21．（2024·山东济南·二模）某景点工作人员记录了国庆假期七天该景点接待的旅游团数量.已知这组数据均为整数，中位数为18，唯一众数为20，极差为5，则（    ） A．该组数据的第80百分位数是20 B．该组数据的平均数大于18 C．该组数据中最大数字为20 D．将该组数据从小到大排列，第二个数字是17 22．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知正方体的棱长为2，点M，N分别为棱的中点，点P为四边形（含边界）内一动点，且，则（    ） A．平面 B．点P的轨迹长度为 C．存在点P，使得平面 D．点P到平面距离的最大值为 23．（2024·山东·二模）已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．若满足的直线恰有一条，则 D．若满足的直线恰有三条，则 24．（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．的离心率为 C．的周长为 D．面积的最大值为 25．（2024·山东日照·二模）已知是曲线上不同的两点，为坐标原点，则（    ） A．的最小值为3 B． C．若直线与曲线有公共点，则 D．对任意位于轴左侧且不在轴上的点，都存在点，使得曲线在两点处的切线垂直 26．（2024·山东临沂·二模）设，是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于点.若弦AB过焦点F，则（    ） A． B．若PA的方程为，则 C．点P始终满足 D．面积的最小值为16 27．（2024·山东滨州·二模）已知点A，B，C都在双曲线上，点在第一象限，点在第四象限，A，B关于原点对称，，过作垂直于轴的直线分别交，于点D，E．若，则下列结论正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B． C． D．双曲线的离心率为 三、填空题 28．（2024·山东济南·二模）已知函数，若实数满足，则的最大值为 . 29．（2024·山东枣庄·模拟预测）设为平面上两点，定义、已知点P为抛物线上一动点，点的最小值为2，则 ；若斜率为的直线l过点Q，点M是直线l上一动点，则的最小值为 ． 30．（2024·山东淄博·二模）“若点P为椭圆上的一点，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为，设点的轨迹为曲线．若是曲线上一点，已知点，则的最小值为 ． 31．（2024·山东泰安·二模）已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 ；若，则的最大值为 . 32．（2024·山东滨州·二模）设为抛物线的焦点，直线交于A，B两点，则 ． 33．（2024·山东菏泽·二模）已知函数的图象与圆有两个交点，则的取值范围为 ． 四、解答题 34．（2024·山东济南·二模）在平面直角坐标系 中，直线l 与抛物线W：相切于点P ，且与椭圆 交于A，B两点. (1)当P 的坐标为时，求； (2)若点G 满足 求面积的最大值. 35．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1． (1)求椭圆E的方程； (2)若过右焦点的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，，求直线l的方程． 36．（2024·山东淄博·二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足． ①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值； ②求四边形ABCD面积的最大值． 37．（2024·山东·二模）已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点． (1)求证：点在定直线上，并求出该直线方程； (2)设点为直线上一点，且，求的最小值． 38．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1． (1)求的方程； (2)过上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积． (3)过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2024·山东泰安·二模）已知椭圆的左焦点为，上下顶点分别为，，离心率为，点是轴正半轴上一点，当与右焦点重合时，原点到直线的距离为，当与右顶点重合时，直线的斜率也为. (1)求椭圆的方程； (2)设点（与不重合）是点关于直线的对称点，直线与椭圆交于，两点，直线与交于点，证明：为定值. 40．（2024·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率． 41．（2024·山东临沂·二模）已知向量，，点，，直线PD，QD的方向向量分别为，，其中，记动点D的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)直线l与E相交于A，B两点， （i）若l过原点，点C为E上异于A，B的一点，且直线AC，BC的斜率，均存在，求证：为定值； （ii）若l与圆O：相切，点N为AB的中点，且，试确定圆O的半径r. 42．（2024·山东聊城·二模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，与轴交于点，与轴交于点，且. （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）当时，求点到的距离的最大值. 43．（2024·山东滨州·二模）已知点，圆，动点A满足．记A的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过点作倾斜角互补的两条直线，设直线的倾斜角为，直线与曲线交于M，N两点，直线与圆交于P，Q两点，当四边形的面积为时，求． 44．（2024·山东菏泽·二模）如图，已知为抛物线的焦点，过的弦交曲线于点（与不重合）． (1)求证：点为弦的中点； (2)连并延长交抛物线于点，求面积的最小值． 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$