专题04 函数-2024届山东省高三数学二模分类汇编

· 专题04 函数-2024年新高考地区数学 · 二模分类汇编-山东专用（解析版） 一、单选题 1．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为， 所以，即， 又，函数的定义域为R， 所以，是定义域为R的奇函数，所以，， 所以，，故， 所以是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：A 2．（2024·山东枣庄·模拟预测）对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】设所对应的极径为，所对应的极径为，根据所给表达式及指数幂的运算法则计算可得. 【详解】设所对应的极径为，则， 则所对应的极径为，所以， 故每增加个单位，则变为原来的倍. 故选：B 3．（2024·山东·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先化简命题，依题意可得当时恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合函数的单调性计算可得. 【详解】命题，即， 因为是的充分不必要条件， 显然当时满足， 所以当时恒成立， 则在上恒成立， 又函数在上单调递增，且， 所以. 故选：A 4．（2024·山东潍坊·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小. 【详解】，，， 所以， 故选：A. 5．（2024·山东潍坊·二模）已知函数则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可. 【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示. 因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对.    故选：C 6．（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式，当时m无解，当时解得，即可求解. 【详解】由题意知，当时，， 得，又，所以方程无解； 当时，， 得，即，解得， 所以. 故选：D 7．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用待定系数法设出函数解析式，再代入点的坐标计算出参数，即可得到答案. 【详解】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为； 故选：B 8．（2024·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以由推得出，故充分性成立； 由推得出，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 9．（2024·山东·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质可判断b的范围，利用三角函数诱导公式求得c,并利用对数函数的性质比较的大小，即得答案. 【详解】因为， 所以, 故选：B. 10．（2024·山东日照·二模）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据是偶函数，得到关于对称，即，结合和为偶函数即可得到周期为4，故可求出，则即可. 【详解】因为是偶函数， 所以的图象关于直线对称， 即， 即， 所以. 所以关于点中心对称. 又是定义域为的偶函数， 所以， 所以， 即， 所以函数的周期为4. 所以， 所以. 故选：D. 11．（2024·山东日照·二模）已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差的等差数列，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】A 【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为数列各项均为正数，首项，则， 又数列是以为公差的等差数列， 则，故 故选：A 12．（2024·山东临沂·二模）若，，则的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】分别确定集合，再求交集. 【详解】根据题意，可得集合或 ， ， 则，所以的元素个数为2个. 故选：C 13．（2024·山东临沂·二模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断，，且，根据对数函数的性质可得，即可判断. 【详解】因为， 又，则，且，即， 因为，所以， 所以. 故选：A 14．（2024·山东聊城·二模）已知函数为上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义可得，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 则. 故选：A 15．（2024·山东滨州·二模）已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求. 【详解】因为，且，则， 由题意可得：，解得， 又因为直线为函数图象的一条对称轴， 则，解得， 可知，即， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：以为整体，可得，结合正弦函数零点分析可知右端点的取值范围，进而可得的取值范围. 16．（2024·山东枣庄·二模）下列函数中，定义域是且为增函数的是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论. 【详解】对于，，是上的减函数，不合题意； 对于，是定义域是且为增函数，符合题意； 对于，，定义域是，不合题意； 对于，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题. 二、多选题 17．（2024·山东青岛·二模）对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线与的“分渐近线”.给出定义域均为的四组函数，其中曲线与存在“分渐近线”的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【解析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：和存在分渐近线的充要条件是时，． 对于①，，， 当时，令， 由于，所以为增函数， 不符合时，，所以不存在分渐近线； 对于②，， ， ， 因为当且时，，所以存在分渐近线； 对于③，，， 当且时，与均单调递减，但的递减速度比快， 所以当时，会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线； 对于④，，， 当时， ，且， 因此存在分渐近线． 故存在分渐近线的是BD． 故选：BD． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题. 18．（2024·山东济南·二模）已知数列满足，，，记数列的前项和为，则对任意，下列结论正确的是（    ） A．存在 ，使 B．数列单调递增 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用导数证明，和均成立，从而可得BCD正确.假设A选项存在 ，使，则，与B选项中数列单调递增矛盾，可判断A. 【详解】对于B，要证数列单调递增，只需要证， 令，则， 在上单调递减，因为， 故在上存在唯一的零点， 当时，，当时，， 所以在为增函数，在上为减函数， 因为，所以当时，有即， 令，则有，故B正确； 对于A，假设存在，使得，则， 所以，所以， 与B选项中数列单调递增矛盾，故A错误； 对于C，要证，只需证， 令，则， 在上单调递减，因为， 故在上存在唯一的零点， 当时，，当时，， 所以在为增函数，在上为减函数， 因为，所以当时，有即， 令，则有，故C正确； 对于D，令，则， 在上单调递减，因为， 故在上为减函数， 因为，所以当时，总有即， 所以，即， 整理得到：，其中 故 ， …… 累加后可得即，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：数列的单调性的判断需根据相邻两项差的符号来判断，但对于较为复杂的数列（甚至是以递推关系给出的数列），其单调性、与该数列相关的不等式的证明需依靠导数来证明，在该题中，数列的通项的范围依据数学归纳法才能得到. 19．（2024·山东枣庄·模拟预测）若函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．在上单调递增 C．的极小值点为 D．有两个零点 【答案】AC 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A，利用导数说明函数的单调性，即可判断B、C，求出极小值即可判断D. 【详解】对于函数，令，解得或， 所以函数的定义域为， 又， 所以为奇函数，函数图象关于对称，故A正确； 又 ， 当时，，即在上单调递减，故B错误； 当时，，即在上单调递增， 根据奇函数的对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，故C正确； 又， 且当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大， 所以在上无零点，根据对称性可知在上无零点， 故无零点，故D错误． 故选：AC． 20．（2024·山东淄博·二模）已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则下列说法正确的是（　　） A． B．f（x）的图像关于点成中心对称 C． D． 【答案】ACD 【分析】对A、B，利用赋值法进行计算即可得；对C、D，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得. 【详解】对A： 令，，则有，故，故A正确； 对B：令，则有，又，故，，故B错误； 对C：令，则有，即， 则 ，故C正确； 对D： ， 则，即， 又，故， 则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题C、D选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和. 21．（2024·山东·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】对于A，直接用奇函数的定义验证；对于B，直接说明不是周期；对于C，利用正弦二倍角公式证明，再由可得最小值；对于D，直接计算得到，即可否定结论. 【详解】对于A，函数定义域为，有， 所以是奇函数，A正确； 对于B，有，. 所以，这表明不是的周期，B错误； 对于C，我们有， 而之前已计算得到，故的最小值为，C正确； 对于D，由于，， 故，所以在上并不是单调递增的，D错误. 故选：AC. 22．（2024·山东临沂·二模）已知定义在上的函数满足，，且，则（    ） A．的最小正周期为4 B． C．函数是奇函数 D． 【答案】AB 【分析】据题意，通过赋值得到，，即可判断A；令，可求出，由周期性可判断B；令，得到，由周期性，可证明是奇函数，假设函数是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性可计算D. 【详解】对于A，因为， 所以，， 所以，故的最小正周期为4，A正确； 对于B，因为， 令，则， 所以， 由A可知，，故B正确； 对于C， 因为，① 令，则， 所以， 所以，② 由①②，所以，即，故为奇函数， 若函数是奇函数，则， 所以，即， 所以， 所以的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误； 对于D，因为为奇函数，且，所以， 又因为的最小正周期为4，所以， 因为 所以，， 所以， ， 以此类推， 所以，故D错误. 故选：AB 【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期. 以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆： 设函数， （1）若，则函数的周期为； （2）若，则函数的周期为； （3）若，则函数的周期为； （4）若，则函数的周期为； （5）若，则函数的周期为. 23．（2024·山东菏泽·二模）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．下列结论正确的有（    ） A．函数与函数无公共点 B．若，则 C． D．所有满足的点组成区域的面积为 【答案】ABD 【分析】作出函数与函数的图像，即可判断；根据的取值范围，分别求出，的值，判断B；对的取值分类讨论，即可判断C；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断D． 【详解】对于A：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，A正确； 对于B：若，则，则， ， 即，B正确； 对于C：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，C错误； 对于D：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，D正确． 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查命题真假的判断、函数的新定义，解题的关键是理解新符号的含义，考查学生数形结合的能力和作图能力，属于难题． 三、填空题 24．（2024·山东济南·二模）已知函数，若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先证明，进而可得，设，则直线与椭圆有交点，联立方程，则，即可得解. 【详解】由题意，， 则，又， 所以，即， 设，则直线与椭圆有交点， 联立，得， 则，解得， 所以的最大值为. 故答案为：. 25．（2024·山东济南·二模）已知，则 . 【答案】2 【分析】将指数式化为对数式，然后利用换底公式可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：2 26．（2024·山东济南·二模）已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】对求导，利用导数判断其单调性和最值，令，整理得可得，构建，结合的图象分析的零点分布，结合二次函数列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，可得， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 作出的图象，如图所示， 对于关于x的方程， 令，可得，整理得， 且不为方程的根， 可知方程等价于， 若方程有三个不相等的实数解， 可知有两个不同的实数根， 且或或， 构建， 若，则，解得； 若，则，解得， 此时方程为，解得，不合题意； 若，则，解得， 此时方程为，解得，不合题意； 综上所述：实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解． （2）分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 27．（2024·山东潍坊·二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 ． ①；②至少有两个零点；③有最小值． 【答案】（答案不唯一） 【分析】举例二次函数，验证其满足题意即可. 【详解】取，其对称轴为，满足①， 令，解得或2，满足②至少有两个零点， ，当，，满足③有最小值. 故答案为：（答案不唯一）. 28．（2024·山东菏泽·二模）已知函数的图象与圆有两个交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用导数判断出函数的单调性与极值，作出函数和圆的图象，结合图象可得的取值范围． 【详解】，则， ，当时，；当时，； 可知函数在上单调递减，在上单调递增， ，当时，，当时，， 在同一坐标系作出函数和圆的图象，如图： 可知函数在处的切线方程为， 圆在点处的切线方程为， 则当，即时，圆与函数的图象有且只有一个交点， 当，即时，圆与函数的图象有两个交点， 可得的取值范围为． 故答案为： 试卷第8页，共21页 试卷第7页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题04 函数-2024年新高考地区数学 · 二模分类汇编-山东专用（学生版） 一、单选题 1．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·山东枣庄·模拟预测）对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 3．（2024·山东·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东潍坊·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东潍坊·二模）已知函数则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对  6．（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024·山东·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东日照·二模）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（    ） A． B． C．4 D．6 11．（2024·山东日照·二模）已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差的等差数列，则（    ） A． B． C．1 D．9 12．（2024·山东临沂·二模）若，，则的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（2024·山东临沂·二模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·山东聊城·二模）已知函数为上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·山东滨州·二模）已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·山东枣庄·二模）下列函数中，定义域是且为增函数的是 A． B． C． D． 二、多选题 17．（2024·山东青岛·二模）对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线与的“分渐近线”.给出定义域均为的四组函数，其中曲线与存在“分渐近线”的是（    ） A．， B．， C．， D．， 18．（2024·山东济南·二模）已知数列满足，，，记数列的前项和为，则对任意，下列结论正确的是（    ） A．存在 ，使 B．数列单调递增 C． D． 19．（2024·山东枣庄·模拟预测）若函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．在上单调递增 C．的极小值点为 D．有两个零点 20．（2024·山东淄博·二模）已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则下列说法正确的是（　　） A． B．f（x）的图像关于点成中心对称 C． D． 21．（2024·山东·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上单调递增 22．（2024·山东临沂·二模）已知定义在上的函数满足，，且，则（    ） A．的最小正周期为4 B． C．函数是奇函数 D． 23．（2024·山东菏泽·二模）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．下列结论正确的有（    ） A．函数与函数无公共点 B．若，则 C． D．所有满足的点组成区域的面积为 三、填空题 24．（2024·山东济南·二模）已知函数，若实数满足，则的最大值为 . 25．（2024·山东济南·二模）已知，则 . 26．（2024·山东济南·二模）已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为 . 27．（2024·山东潍坊·二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 ． 28．（2024·山东菏泽·二模）已知函数的图象与圆有两个交点，则的取值范围为 ． 试卷第4页，共5页 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$