专题03 不等式-2024届山东省高三数学二模分类汇编

专题03 不等式-2024年新高考地区数学 · 二模分类汇编-山东专用（解析版） 一、单选题 1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，所以. 故选：D 2．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】设，可得，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可知：均为正实数， 设，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，所以的最小值为2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，再结合基本不等式求得. 3．（2024·山东潍坊·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解分式与根式不等式，再求交集即可. 【详解】， ，故. 故选：C 4．（2024·山东临沂·二模）若，，则的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】分别确定集合，再求交集. 【详解】根据题意，可得集合或 ， ， 则，所以的元素个数为2个. 故选：C 5．（2024·山东滨州·二模）已知集合，则A的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据题意求集合A，结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解. 【详解】由题意可得：， 可知A有3个元素，所以A的子集个数为. 故选：C. 6．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D. 【详解】对于A，由，可得，故A错误； 对于B，由，，，可得，故B错误； 对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误； 对于D，因为，当且仅当时，等号成立， 即，故D正确. 故选：D. 7．（2024·山东青岛·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，求出和，再根据集合的运算，即可求出结果. 【详解】由，得到，所以， 又，所以，故， 故选：D. 二、多选题 8．（2024·山东·二模）如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，，，则（    ） A．存在使得 B．存在使得平面 C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大 D．当时，直线与所成角的余弦值的最小值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，用向量在空间直线、面位置关系和空间角、距离上的应用方法一一去计算求解，并结合一元二次函数、基本不等式求最值即可. 【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则由题：， 所以，，，， 又，，， 所以，即， ，即， 所以， 对A，由上，故A错误； 对B，由题意是平面的一个法向量， ， 故当时，此时平面，故B正确； 对C，由上，， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 设点Q到平面的距离为d，则由得， 又由题意可知， 故， 因为长度为定值，所以为定值， 故当时，三棱锥体积最大，故C正确； 对D，设直线与所成角为，由上当时 ， 当且仅当即时等号成立，故D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：遇立体几何复杂问题，如求最值，有垂直条件一般考虑建立空间直角坐标系用向量法解决. 9．（2024·山东青岛二中·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线AB交抛物线于，两点，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．以AF为直径的圆与y轴相切 C．的最小值为4 D．的最小值为2 【答案】ABC 【分析】对A：联立直线AB的解析式与抛物线方程，结合韦达定理与基本不等式计算即可得；对B：借助相切的性质计算半径与圆心到y轴的距离即可得；对C：借助抛物线定义计算即可得；对D：借助韦达定理与基本不等式计算即可得. 【详解】对A：抛物线的焦点为，设直线AB的解析式为， 联立，消去x整理得， 则，∴， ∴，当且仅当时取等号，故A选项正确； 对B：以AF为直径的圆的直径，而AF的中点， 点D到y轴的距离为，等于半径，故B选项正确； 对C：过点A向准线作垂线，垂足为N，则， 故C选项正确； 对D：由，， 可知， ∴， 当且仅当时，等号成立，故D选项错误. 故选：ABC. 10．（2024·济南实验中学·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将恒成立，转化为恒成立，再利用基本不等式得到，转化为恒成立，逐项判断. 【详解】解：因为正实数，且为自然数， 所以， 则恒成立，即恒成立， 两边同乘，则， 而， ， 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则恒成立， A.当时，，不成立； B.当时，，成立； C.当时，，成立； D.当时，，不成立， 故选：BC 三、填空题 11．（2024·山东·二模）在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值. 【详解】因为， 所以由余弦定理，得， 所以，又， 则， 所以由余弦定理以及基本不等式得： ， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为， 故答案为：. 12．（2024·山东泰安·二模）设集合，集合，则 . 【答案】 【分析】求解一元二次不等式得集合，再进行并集运算. 【详解】根据题意，，或， 则，或. 故答案为： 四、解答题 13．（2024·山东淄博·二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足． ①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值； ②求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②4 【分析】（1）根据题意，找出之间的关系式，列方程求解即可； （2）①设出方程，直线与曲线联立，运用韦达定理，以及斜率公式求证即可；②结合①的信息，令，则，根据点到直线距离公式和三角形面积公式,结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，2ab=4， 又，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）如图所示 ①设直线AB的方程为，设 联立，得 (*) = ，， 整理得， 所以直线和直线的斜率之和为定值0． ②由①，不妨取，则 设原点到直线AB的距离为d，则 又，所以 当且仅当时取等号． ． 即四边形ABCD的面积的最大值为4．    试卷第2页，共11页 试卷第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 不等式-2024年新高考地区数学 · 二模分类汇编-山东专用（学生版） 一、单选题 1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 3．（2024·山东潍坊·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东临沂·二模）若，，则的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024·山东滨州·二模）已知集合，则A的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．16 6．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2024·山东青岛·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2024·山东·二模）如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，，，则（    ） A．存在使得 B．存在使得平面 C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大 D．当时，直线与所成角的余弦值的最小值为 9．（2024·山东青岛二中·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线AB交抛物线于，两点，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．以AF为直径的圆与y轴相切 C．的最小值为4 D．的最小值为2 10．（2024·济南实验中学·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2024·山东·二模）在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为 ． 12．（2024·山东泰安·二模）设集合，集合，则 . 四、解答题 13．（2024·山东淄博·二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足． ①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值； ②求四边形ABCD面积的最大值． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$