专题02 复数与平面向量-2024届山东省高三数学二模分类汇编

专题02 复数与平面向量-2024年新高考地区数学 · 二模分类汇编-山东专用（解析版） 一、单选题 1．（2024·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解. 【详解】因为为边的中点，， 所以. 故选：D. 2．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件分别求出和，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解. 【详解】 ， ，, 在上的投影向量为. 故选：A. 3．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知复数，若同时满足和，则为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设，根据和求出交点坐标，即可求出，再计算其模即可. 【详解】设，则，， 由和， 所以且， 即且，解得或， 所以、（或、）， 则（或）， 所以. 故选：C 4．（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹为圆 B．点到原点最短距离为2 C．点的轨迹是一个正方形 D．点的轨迹所围成的图形面积为24 【答案】D 【分析】设点的坐标为，由已知条件结合向量的坐标运算用表示出，结合可得的关系，从而可求出点的轨迹方程，再逐个分析判断. 【详解】设点的坐标为，因为，动点满足， 所以，得， 因为，所以， 即点的轨迹方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 所以点对应的轨迹如图所示，且，, 所以点的轨迹为菱形，所以AC错误， 原点到直线的距离为，所以B错误， 点的轨迹所围成的图形面积为，所以D正确. 故选：D    5．（2024·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由题意求出，进而解出，判断在复平面内对应的点所在象限即可. 【详解】由题意知：， 所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 6．（2024·山东·二模）在中，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可由坐标法求解，以A为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解. 【详解】解：由题可建立如图所示坐标系： 由图可得：， 又， 故直线的方程：，可得， 所以， 故选：C. 7．（2024·山东泰安·二模）若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，则，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 所以，故. 故选：C 8．（2024·山东临沂·二模）已知为虚数单位，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助复数的四则运算及复数模长计算公式计算即可得. 【详解】， 则，故. 故选：B. 9．（2024·广西来宾·一模）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为 ， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 10．（2024·山东滨州·二模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】建系，可得，结合向量的坐标运算求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 可知，则， 所以. 故选：A. 11．（2024·山东菏泽·二模）已知向量，且，则的值是（    ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据可得，进而利用向量的数量积的坐标表示可得结果． 【详解】因为，即， 化简，整理得， 则，解得. 故选：D 二、多选题 12．（2024·山东济南·二模）已知方程在复数范围内有个根，且这个根在复平面内对应的点等分单位圆.下列复数是方程的根的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】用立方差公式分解因式，求出根，再利用复数的运算直接代答案求解. 【详解】对于A选项，显然成立，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 由题令，则 或即或 对于C选项，成立，故C正确； 对于D选项， ，故D正确； 故选：ACD. 13．（2024·山东济南·二模）若复数z 满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．z的虚部为 C． D．若复数ω满足，则的最大值为 【答案】AC 【分析】根据复数的除法运算求出，利用复数模的公式计算可判断A；由虚部概念可判断B；由共轭复数概念和复数乘法运算可判断C；根据复数的减法的几何意义求解可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以，A正确； 对于B，由上可知，z 的虚部为，故B错误， 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，记复数对应的点为，复数对应的点为， 则由可得，即点在以B为圆心，1为半径的圆上， 所以，的最大值为，即的最大值为，D错误. 故选：AC 14．（2024·山东济南·二模）如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（    ）    A． B． C．最大值为 D．，，三点共线时 【答案】ACD 【分析】依题意可得为的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A，建立平面直角坐标系，求出圆的方程，设，，利用坐标法判断B、C，由三点共线得到，即可求出，从而求出，，即可判断D. 【详解】因为，即为的中点，所以，故A正确； 如图建立平面直角坐标，则，，，， 所以，，则，故B错误； 又， 所以圆的方程为， 设，， 则，又， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，故最大值为，故C正确； 因为，，三点共线，所以， 又，， 所以，即， 所以， 所以，又，， 且，即， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：ACD    15．（2024·山东潍坊·二模）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据计算公式结合收敛点的定义判断即可. 【详解】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误； 对B，由可得数列，，，… 则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确； 对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误； 对D，由可得数列… 因为， 存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确； 故选：BD 16．（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】对A，设，根据可得，从而可得的范围；对B，化简，根据点到圆上的点的距离求解最大值即可；对C，化简，再结合满足圆的方程求范围即可；对D，根据满足圆的方程进行三角换元求解最值即可. 【详解】对A，设，根据有， 即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误； 对B， ，则转化为求圆上的点到的距离最大值， 为，故B正确； 对C，，因为，故，故C正确； 对D，因为，故， 又因为，故， ， 故当时，取最小值取最小值，故D正确. 故选：BCD 17．（2024·山东聊城·二模）已知向量，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ACD 【分析】根据投影向量的公式求出的值，再根据向量坐标运算逐项判断即可. 【详解】对于A，因为在上的投影向量为，即， 所以，即，解得，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，所以与的夹角为，故D正确. 故选：ACD. 18．（2024·山东菏泽·二模）下列选项正确的有（    ） A．若是方程的一个根，则 B．复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为 C．若复数满足，则的最大值为 D．若复数，满足，则 【答案】BCD 【分析】通过复数范围内方程的根判断A；通过复数的几何意义与平面向量的坐标运算判断B；由复数模的几何意义及点到圆上点的最值的求法判断C；根据复数的乘除运算及模的求法判断D． 【详解】对于A：若是方程的一个根， 则方程的两个根分别， 所以， 所以，故A错误； 对于B：由题意可知， 所以， 所以向量表示的复数为，故B正确； 对于C：设， 若复数满足， 则在复平面内点在圆上， 圆的圆心，半径， 则的几何意义为原点到圆上点的距离，又， 则的最大值为，C正确； 对于D：因为， 所以， ， 所以，D正确． 故选：BCD. 三、填空题 19．（2024·山东泰安·二模）已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 ；若，则的最大值为 . 【答案】 3 【分析】建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，即可根据向量的坐标运算求解数量积，利用三角函数的性质求解最值，由，求出，根据三角函数的性质即可求出最值． 【详解】如图：以为原点，以所在的直线为,轴建立如图所示的坐标系， 则，，，， 动点在以点为圆心且与相切的圆上， 设圆的半径为， ，， ， ， 圆的方程为， 设点的坐标为，则， ，故的最大值为， ，， ， ，， ， ， ， 故的最大值为3， 故答案为：，3 20．（2024·山东日照·二模）设为虚数单位．若集合，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用集合的包含关系，列出方程组，即可求解. 【详解】由集合，，因为， 当时，此时，方程组无解； 当时，此时，解得， 综上可得，实数的值为. 故答案为：. 21．（2024·山东聊城·二模）已知，且，则 ． 【答案】1 【分析】根据复数的乘、除法运算和相等复数建立关于a的方程，解之即可. 【详解】， 所以，解得. 故答案为：1 四、解答题 22．（2024·山东临沂·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若点D在线段AB上，且，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，结合和差公式化简，再利用正弦定理边化角可解； （2）根据平面向量线性运算可得，两边平方，然后利用重要不等式即可得解. 【详解】（1）由得 ， ∴， 即， 由正弦定理边化角得， 因为， 所以，∴， 又∵，∴. （2）∵D点在线段AB上，且， ，∴， ∴ ， 当且仅当时，等号成立． ∴． 即的最大值为． 23．（2024·山东菏泽·二模）已知在中，的面积为． (1)求角的度数； (2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设，则求解即可； （2）根据三角形面积公式结合正弦定理得到，根据角的范围求解即可． 【详解】（1）设，则，又，因此， 由为的内角，所以. （2）由（1）知，，又，则，因此， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得， ， 显然，则有，因此当时，取到最小值， 此时，即， 所以的值. 试卷第18页，共18页 试卷第17页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 复数与平面向量-2024年新高考地区数学 · 二模分类汇编-山东专用（学生版） 一、单选题 1．（2024·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知复数，若同时满足和，则为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹为圆 B．点到原点最短距离为2 C．点的轨迹是一个正方形 D．点的轨迹所围成的图形面积为24 5．（2024·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2024·山东·二模）在中，交于点，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·山东泰安·二模）若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．1 8．（2024·山东临沂·二模）已知为虚数单位，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广西来宾·一模）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2024·山东滨州·二模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A．4 B．1 C． D． 11．（2024·山东菏泽·二模）已知向量，且，则的值是（    ） A． B． C． D．6 二、多选题 12．（2024·山东济南·二模）已知方程在复数范围内有个根，且这个根在复平面内对应的点等分单位圆.下列复数是方程的根的是（    ） A．1 B． C． D． 13．（2024·山东济南·二模）若复数z 满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．z的虚部为 C． D．若复数ω满足，则的最大值为 14．（2024·山东济南·二模）如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（    ）    A． B． C．最大值为 D．，，三点共线时 15．（2024·山东潍坊·二模）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（   ） A． B． C． D． 16．（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 17．（2024·山东聊城·二模）已知向量，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 18．（2024·山东菏泽·二模）下列选项正确的有（    ） A．若是方程的一个根，则 B．复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为 C．若复数满足，则的最大值为 D．若复数，满足，则 三、填空题 19．（2024·山东泰安·二模）已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 ；若，则的最大值为 . 20．（2024·山东日照·二模）设为虚数单位．若集合，，且，则 ． 21．（2024·山东聊城·二模）已知，且，则 ． 四、解答题 22．（2024·山东临沂·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若点D在线段AB上，且，求的最大值. 23．（2024·山东菏泽·二模）已知在中，的面积为． (1)求角的度数； (2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$