第二章 一元二次方程（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第二章 一元二次方程（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5 C．2x﹣x2＝1 D．x7 2．（3分）关于一元二次方程x2+4x+3＝0根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．（3分）若x1，x2是方程x2+x﹣12＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝1 B．x1﹣x2＝1 C．x1+x2＝﹣1 D．x1•x2＝12 4．（3分）2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（　　） A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58 5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 6．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x﹣3＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+4）2＝19 B．（x﹣4）2＝19 C．（x﹣4）2＝13 D．（x+4）2＝13 7．（3分）电影《飞驰人生2》讲述了传奇车手张驰重回巴音布鲁克赛场为自己证明的故事，一上映就获得全国人民的追捧，影片第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达12亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．4（1+x）＝12 B．4（1+x）2＝12 C．4+4（1+x）2＝12 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝12 8．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0下列变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣4）2＝9 D．（x﹣2）2＝1 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）若m，n是一元二次方程x2+2022x﹣2023＝0的两个实数根，则　 　． 10．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　． 11．（3分）有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2﹣4x+k＝0的两根，则k＝　 　． 12．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是　 　． 13．（3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022+2a﹣2b的值为 　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）解方程：x2+4x﹣12＝0． 15．（10分）解方程： （1）x2+2x+1＝0； （2）x2﹣4x﹣5＝0． 16．（10分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 17．（8分）商场销售某种商品，每件进价100元，若每件售价150元，平均每天售出60件．经调查发现：当商品售价每降低1元时，平均每天可多售出3件． （1）当商品售价降低5元时，每天销售量可达到 　 　件，每天盈利 　 　元． （2）为了减少库存，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利3600元？ 18．（10分）如图1，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图2，地毯中央的矩形图案长6m、宽3m，整个地毯的面积是40m2，求花边的宽． （1）设花边的宽为x m，用含x的代数式表示：矩形地毯ABCD的长为 　 　m；矩形地毯ABCD的宽为 　 　m；矩形地毯ABCD的面积为 　 　m2； （2）列出方程，并求出问题的解． 19．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值． 20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5 C．2x﹣x2＝1 D．x7 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意； B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意； C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意； D、方程x7是分式方程，不符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 2．（3分）关于一元二次方程x2+4x+3＝0根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】求出方程判别式Δ的值，判断其与0的大小关系，再判断每个选项的说法正确与否即可． 【详解】解：根据题意有， Δ＝42﹣4×1×3＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 3．（3分）若x1，x2是方程x2+x﹣12＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝1 B．x1﹣x2＝1 C．x1+x2＝﹣1 D．x1•x2＝12 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣12＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣12，故C符合题意，A、D不符合题意； 由于并不知道x1，x2的大小关系，所以并不能推出x1﹣x2＝1，故B不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若x1，x2是该方程的两个实数根，则． 4．（3分）2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（　　） A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58 【分析】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：5.76（1+x）2＝6.58． 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝36﹣4m＞0，解出m的取值范围即可进行判断． 【详解】解：∵方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0， 解得m＜9， ∴4个选择中只有A符合． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 6．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x﹣3＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+4）2＝19 B．（x﹣4）2＝19 C．（x﹣4）2＝13 D．（x+4）2＝13 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：∵x2+8x﹣3＝0， ∴x2+8x＝3， 则x2+8x+16＝3+16，即（x+4）2＝19． 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 7．（3分）电影《飞驰人生2》讲述了传奇车手张驰重回巴音布鲁克赛场为自己证明的故事，一上映就获得全国人民的追捧，影片第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达12亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．4（1+x）＝12 B．4（1+x）2＝12 C．4+4（1+x）2＝12 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝12 【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为4（1+x）亿元，第三天票房约为4（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达12亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为4（1+x）亿元，第三天票房约为4（1+x）2亿元， 依题意得：4+4（1+x）+4（1+x）2＝12． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0下列变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣4）2＝9 D．（x﹣2）2＝1 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝7， （x﹣2）2＝7． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）若m，n是一元二次方程x2+2022x﹣2023＝0的两个实数根，则　　． 【分析】利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣2022，mn＝﹣2023，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2+2022x﹣2023＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣2022，mn＝﹣2023， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 10．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　a＞﹣4且a≠0　． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，然后求出a的范围后对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0， 解得a＞﹣4且a≠0， 故答案为：a＞﹣4且a≠0． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 11．（3分）有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2﹣4x+k＝0的两根，则k＝　3或4　． 【分析】分类讨论：当腰长为3时，根据韦达定理求得k的值；当腰长不为3时，关于x的方程的判别式Δ＝0，据此可以求得k的值． 【详解】解：当该等腰三角形的腰长是3时，根据韦达定理知 3+x2＝4， ∴x2＝1， ∴x1•x2＝3＝k，即k＝3； 当该等腰三角形的腰长不是3时，Δ＝16﹣4k＝0， 解得，k＝4； 综上所述，k＝3或k＝4． 故答案为：3或4． 【点评】本题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质．解答该题时要分类讨论，以防漏解． 12．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是　m≤2且m≠1　． 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根， ∴Δ＝22﹣4×（m﹣1）×1≥0且m﹣1≠0， 解得：m≤2且m≠1． 故答案为：m≤2且m≠1． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键． 13．（3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022+2a﹣2b的值为 　2024　． 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a+b＝1，再把2022+2a﹣2b变形为2022+2（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根， ∴a﹣b﹣1＝0， ∴a﹣b＝1， ∴2022+2a﹣2b＝2022+2（a﹣b）＝2022+2×1＝2024． 故案为：2024． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）解方程：x2+4x﹣12＝0． 【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：分解因式得：（x﹣2）（x+6）＝0， 可得x﹣2＝0或x+6＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣6． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程左边化为积的形式，右边化为0，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 15．（10分）解方程： （1）x2+2x+1＝0； （2）x2﹣4x﹣5＝0． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1）x2+2x+1＝0， ∴（x+1）2＝0， 解得x1＝x2＝﹣1； （2）x2﹣4x﹣5＝0， ∴（x﹣5）（x+1）＝0， 即x﹣5＝0或x+1＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 16．（10分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝36＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根； （2）利用分解因式法解方程可得出方程的根x1＝m+3，x2＝m﹣3，结合x1+x2＝6，即可找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根． （2）解：x2﹣2mx+m2﹣9＝0，即（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）＝0， 解得：x1＝m+3，x2＝m﹣3． ∵x1+x2＝6， ∴2m＝6， 解得：m＝3． 【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． 17．（8分）商场销售某种商品，每件进价100元，若每件售价150元，平均每天售出60件．经调查发现：当商品售价每降低1元时，平均每天可多售出3件． （1）当商品售价降低5元时，每天销售量可达到 　75　件，每天盈利 　3375　元． （2）为了减少库存，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利3600元？ 【分析】（1）利用每天的销售量＝60+3×每件商品降低的价格，可求出每天的销售量，利用每天盈利＝每件商品的销售利润×日销售量，即可求出每天盈利； （2）设每件商品降价x元，则每件商品的销售利润为（150﹣x﹣100）元，每天可售出（60+3x）件，根据商场通过销售这种商品每天盈利3600元，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再结合为了减少库存，即可确定x的值． 【详解】解：（1）当商品售价降低5元时，每天销售量为60+3×5＝75（件），每天盈利（150﹣5﹣100）×75＝3375（元）． 故答案为：75，3375； （2）设每件商品降价x元，则每件商品的销售利润为（150﹣x﹣100）元，每天可售出（60+3x）件， 根据题意得（150﹣x﹣100）（60+3x）＝3600， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， ∵为了减少库存， ∴x＝20． 答：每件商品降价20元时，商场通过销售这种商品每天盈利3600元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．（10分）如图1，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图2，地毯中央的矩形图案长6m、宽3m，整个地毯的面积是40m2，求花边的宽． （1）设花边的宽为x m，用含x的代数式表示：矩形地毯ABCD的长为 　（6+2x）　m；矩形地毯ABCD的宽为 　（3+2x）　m；矩形地毯ABCD的面积为 　（6+2x）（3+2x）　m2； （2）列出方程，并求出问题的解． 【分析】（1）设花边的宽为x m，则矩形地毯ABCD的长为（6+2x）m，宽为（3+2x）m，利用矩形的面积计算公式，即可找出矩形地毯ABCD的面积为（6+2x）（3+2x）m2； （2）由（1）的结论结合整个地毯的面积是40m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出花边的宽为1m． 【详解】解：（1）设花边的宽为x m，则矩形地毯ABCD的长为（6+2x）m，宽为（3+2x）m， ∴矩形地毯ABCD的面积为（6+2x）（3+2x）m2． 故答案为：（6+2x）；（3+2x）；（6+2x）（3+2x）． （2）依题意得：（6+2x）（3+2x）＝40， 整理得：2x2+9x﹣11＝0， 解得：x1＝1，x2（不合题意，舍去）． 答：花边的宽为1m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，用含x的代数式表示出矩形地毯ABCD的长、宽和面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 19．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值． 【分析】（1）利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可求出答案； （2）先将足x1x2+x1+x2＝m2+6转化成﹣2m+5+4＝m2+6，再运用根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：（1）∵x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， ∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0， ∴m； （2）∵x1，x2是该方程的两个根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5， ∵x1x2+x1+x2＝m2+6， ∴﹣2m+5+4＝m2+6， ∴m＝﹣3或1． ∵m； ∴m＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． 20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求得判别式△≥0恒成立，因此得证， （2）利用求根公式求根，根据有一个跟大于0且小于1，列出关于k的不等式组，解之即可． 【详解】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×（2k﹣2）＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2， ∵（k﹣3）2≥0，即△≥0， ∴此方程总有两个实数根， （2）解： 解得 x1＝k﹣1，x2＝2， ∵此方程有一个根大于0且小于1， 而x2＞1， ∴0＜x1＜1， 即0＜k﹣1＜1． ∴1＜k＜2， 即k的取值范围为：1＜k＜2． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程总有两个实数根”，（2）正确找出不等量关系列不等式组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$