第二章 实数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第二章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．4 D．1 2．（3分）下列各数中，无理数是（　　） A． B． C． D．0 3．（3分）在，﹣3.14，0，，﹣1.12112112…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（3分）在手工制作课上，张华用铁丝制作楼梯模型，如图所示，则她用的铁丝总长度为（　　）cm． A．13 B．18 C．26 D．40 5．（3分）某种计算机完成一次基本运算需要1纳秒，即0.000000001秒，那么这种计算机连续完成200次基本运算所需要的时间用科学记数法表示为（　　） A．2×10﹣7秒 B．2×10﹣9秒 C．0.2×10﹣6秒 D．2×10﹣11秒 6．（3分）5G是第五代移动通信技术的简称，是最新一代蜂窝移动通信技术，它将带领人类进入新智能时代.5G网络以每秒1048576KB以上的速度传输数据，将数据“1048576”用科学记数法表示为（　　） A．10.48576×105 B．1.048576×105 C．1.048576×106 D．1.048576×107 7．（3分）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）已知多项式An＝x2+nx+1，下列说法正确的有（　　）个． ①若x＝﹣1，则A2＝0； ②若为整数，则整数x的值为2或6； ③的最小值为； ④令Bm，则B1+B2+B3+…+B100． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）计算的结果为 　 　． 10．（3分）按图中程序运算，如果输入﹣2，则输出的结果是 　 　． 11．（3分）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：满足条件|x+3|+|x﹣6|＝9所有整数x的和为 　 　． 12．（3分）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是 　 　.（只填一个） 13．（3分）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得　 　 ； （2）关于x的方程3x 的解是　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（10分）计算： （1）； （2）． 15．（8分）计算：　 　，　 　，　 　， 按照以上的规律，写出接下来的一个式子，并计算． 16．（10分）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a．例如：1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16． （1）求（﹣4）☆2的值； （2）若，求r的值． 17．（12分）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m． （1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为 　 　，　 　，m的值为 　 　； （2）若点B为原点，AC＝6，求m的值． （3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值． 18．（8分）已知一个数m的两个平方根分别为a和． （1）求m的值； （2）如图在数轴上，若点A表示的数是a，点M表示的数是m，点B表示的数是b，点B在点A的左侧且满足BA＝2AM，求的立方根． 19．（6分）甲、乙两家商店同时对标价350元的同一款球鞋进行促销，方案如下：在甲商店购买享受“折上折”优惠，即先打六折，在此基础上再打九折，乙商店则是购物每满100元减50元．去哪家商店购买这一款球鞋更划算？ 20．（7分）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ＝[（﹣3）+（﹣1）+2+2]+　 　 ＝0+　 　 ＝　 　． 上面这种方法叫拆项法． （1）请补全以上计算过程； （2）类比上面的方法计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．4 D．1 【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣4． 【详解】解：根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣4， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小． 2．（3分）下列各数中，无理数是（　　） A． B． C． D．0 【分析】根据有理数包括整数和分数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，找出其中无理数即可解答． 【详解】解：A、，是整数，属于有理数； B、是分数，属于有理数； C、是无理数； D、0是整数，属于有理数． 故选：C． 【点评】本题考查无理数，掌握无理数的定义是解答本题的关键． 3．（3分）在，﹣3.14，0，，﹣1.12112112…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无理数的定义判断即可．定义：无限不循环小数叫做无理数． 【详解】解：在，﹣3.14，0，，﹣1.121121112（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有，﹣1.121121112（每两个2之间依次多一个1），共2个． 故选：B． 【点评】本题考查了实数的分类，无理数的概念，准确掌握实数的分类和无理数的概念是解题的关键． 4．（3分）在手工制作课上，张华用铁丝制作楼梯模型，如图所示，则她用的铁丝总长度为（　　）cm． A．13 B．18 C．26 D．40 【分析】将图形补图成一个长为8，宽为5的长方形，得图形的周长等于长方形的周长，解答即可． 【详解】解：将图形补图成一个长为8，宽为5的长方形，得图形的周长等于长方形的周长， ∴2×（5+8）＝26（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，正确补图是解题的关键． 5．（3分）某种计算机完成一次基本运算需要1纳秒，即0.000000001秒，那么这种计算机连续完成200次基本运算所需要的时间用科学记数法表示为（　　） A．2×10﹣7秒 B．2×10﹣9秒 C．0.2×10﹣6秒 D．2×10﹣11秒 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：0.000000001×200＝2×10﹣7秒； 故选：A． 【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键． 6．（3分）5G是第五代移动通信技术的简称，是最新一代蜂窝移动通信技术，它将带领人类进入新智能时代.5G网络以每秒1048576KB以上的速度传输数据，将数据“1048576”用科学记数法表示为（　　） A．10.48576×105 B．1.048576×105 C．1.048576×106 D．1.048576×107 【分析】根据科学记数法的特征求解． 【详解】解：1048576＝1.048576×106， 故选：C． 【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握科学记数法的特征是解题的关键． 7．（3分）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算逐项判断即可． 【详解】解：A． ，A选项计算正确，不符合题意； B． ，B选项计算错误，符合题意； C． ，C选项计算正确，不符合题意； D． ，D选项计算正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 8．（3分）已知多项式An＝x2+nx+1，下列说法正确的有（　　）个． ①若x＝﹣1，则A2＝0； ②若为整数，则整数x的值为2或6； ③的最小值为； ④令Bm，则B1+B2+B3+…+B100． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据代数式求值对①进行判断即可；②将 化为 ，根据式子为整数分析求 解即可；③求出 ，即可得出最小值；④根据分母有理化算出，进而求解即可． 【详解】解：①当x＝﹣1时，，故①正确； ②当 为整数时，则 为整数，∵x取大于2的整数，x﹣1为整数，取整数，整数x的值可以为2或6，故②正确； ③ 当时， 的最小值为 ，故③错 误；④根据分母有理化算出 ， 从而得出B1+B2+B3+…+B100，故④正确． ∴故选：C． 【点评】此题考查一个数为整数、求最值、分母有理化的思路方法，综合考查学生观察、分析问题的能力及计算能力． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）计算的结果为 　10　． 【分析】根据二次根式的乘法公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：10． 【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握公式是解题的关键． 10．（3分）按图中程序运算，如果输入﹣2，则输出的结果是 　4　． 【分析】把x＝﹣2代入程序中计算，判断结果大于2，输出即可． 【详解】解：把x＝﹣2代入得：﹣2+4﹣（﹣3）﹣5＝0， 由于第一次所得结果不满足大于2的要求，所以再将x＝0输入，得： 0+4﹣（﹣3）﹣5＝2， 由于第二次所得结果不满足大于2的要求，所以再将x＝2输入，得： 2+4﹣（﹣3）﹣5＝4，满足大于2的要求，则输出结果是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了程序框图和有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键． 11．（3分）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：满足条件|x+3|+|x﹣6|＝9所有整数x的和为 　15　． 【分析】令x+3＝0，x﹣6＝0，则x＝﹣3，x＝6，然后分三种情况讨论：①x≤﹣3，②﹣3＜x＜6，③x≥6，分别求出符合题意的x即可． 【详解】解：令x+3＝0，x﹣6＝0，则x＝﹣3，x＝6， ①x≤﹣3时，﹣（x+3）﹣（x﹣6）＝9，解得x＝﹣3，符合； ②﹣3＜x＜6时，x+3﹣（x﹣6）＝9恒成立， ∴x取﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5； ③x≥6时，x+3+x﹣6＝9，解得x＝6，符合． 综上所述，符合条件的整数为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6， ∴﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5+6＝15， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了有理数，绝对值，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 12．（3分）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是 　　.（只填一个） 【分析】由题意可知，点A在数轴上表示的无理数在2和3之间，只需要找出一个取值范围在2和3之间的无理数即可． 【详解】解：由题意可知，点A在数轴上表示的无理数在2和3之间， ∵23， ∴点A在数轴上表示的无理数可能是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是实数与数轴、估算无理数的大小，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 13．（3分）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得　1　 ； （2）关于x的方程3x 的解是　　． 【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可； （2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解． 【详解】解：（1）1 故答案为：1； （2）3x， 3x， 3x， 3x（）， 6x﹣1＝﹣1， 6x＝3， x， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分母有理化和解一元一次方程，解题的关键是根据材料能正确的进行分母有理化． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（10分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算进行计算即可； （2）括号先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后计算二次根式的乘法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ＝（） ＝（） ＝6﹣6 ＝6﹣18． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式性质是关键． 15．（8分）计算：　1　，　1　，　1　， 按照以上的规律，写出接下来的一个式子，并计算． 【分析】每个式子都利用平方差公式计算，其中第四个式子为（）（）． 【详解】解：（）2﹣（）2＝3﹣2＝1；（）2﹣（）2＝4﹣3＝1；（）2﹣（）2＝5﹣4＝1． 下一个式子为（）（），且（）（）＝（）2﹣（）2＝6﹣5＝1． 故答案为1，1，1． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 16．（10分）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a．例如：1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16． （1）求（﹣4）☆2的值； （2）若，求r的值． 【分析】（1）根据新运算的法则，进行计算即可． （2）根据新运算的法则，得到一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）（﹣4）☆2 ＝﹣4×22+2×（﹣4）×2+（﹣4） ＝﹣4×4+2×（﹣4）×2+（﹣4） ＝﹣16﹣16﹣4 ＝﹣36； （2）∵， ∴， 整理得4r﹣4＝2r﹣2， 解得：r＝1． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 17．（12分）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m． （1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为 　﹣3　，　﹣1　，m的值为 　﹣4　； （2）若点B为原点，AC＝6，求m的值． （3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值． 【分析】（1）根据数轴上的点对应的数即可求解； （2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可求解； （3）根据原点在点C的右边先确定点C对应的数，进而确定点B、点A所表示的数即可求解． 【详解】解：（1）∵点C为原点，BC＝1， ∴B所对应的数为﹣1， ∵AB＝2BC， ∴AB＝2， ∴点A所对应的数为﹣3， ∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4； 故答案为：﹣3，﹣1，﹣4； （2）∵点B为原点，AC＝6，AB＝2BC， ∴点A所对应的数为﹣4，点C所对应的数为2， ∴m＝﹣4+2+0＝﹣2； （3）∵原点O到点C的距离为8， ∴点C所对应的数为±8， ∵OC＝AB， ∴AB＝8， 当点C对应的数为8， ∵AB＝8，AB＝2BC， ∴BC＝4， ∴点B所对应的数为4，点A所对应的数为﹣4， ∴m＝4﹣4+8＝8； 当点C所对应的数为﹣8， ∵AB＝8，AB＝2BC， ∴BC＝4， ∴点B所对应的数为﹣12，点A所对应的数为﹣20， ∴m＝﹣20﹣12﹣8＝﹣40 综上所述 m＝8或﹣40． 【点评】本题考查了数轴，解决本题的关键是数形结合思想的灵活运用． 18．（8分）已知一个数m的两个平方根分别为a和． （1）求m的值； （2）如图在数轴上，若点A表示的数是a，点M表示的数是m，点B表示的数是b，点B在点A的左侧且满足BA＝2AM，求的立方根． 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可； （2）根据BA＝2AM，先求解b，可得，再根据立方根的定义进行求解即可 【详解】解：（1）∵一个数m的两个平方根分别为a和， ∴， 解得：， ∴m＝a2＝10； （2）∵点A表示的数是，点M表示的数是10，点B表示的数是b，点B在点A的左侧， ∴，， ∵BA＝2AM， ∴， 解得：， ∴ ＝8； ∴的立方根是2； 【点评】本题考查平方根的含义，求一个数的立方根，二次根式的加减运算，理解题意是关键． 19．（6分）甲、乙两家商店同时对标价350元的同一款球鞋进行促销，方案如下：在甲商店购买享受“折上折”优惠，即先打六折，在此基础上再打九折，乙商店则是购物每满100元减50元．去哪家商店购买这一款球鞋更划算？ 【分析】在甲商店购买需要的费用：350元×六折×九折．在乙商店购买需要的费用：350×九折50． 【详解】解：甲商店购买需要的费用：350×0.6×0.9＝189（元）． 在乙商店购买需要的费用：350×0.950＝165（元）． 因为165＜189． 所以在乙商店购买这一款球鞋更划算． 答：乙商店购买这一款球鞋更划算． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解甲、乙两家商店的促销方案内容． 20．（7分）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ＝[（﹣3）+（﹣1）+2+2]+　　 ＝0+　（）　 ＝　　． 上面这种方法叫拆项法． （1）请补全以上计算过程； （2）类比上面的方法计算：． 【分析】（1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】解：可以如下计算： 原式 ＝[（﹣3）+（﹣1）+2+2] ＝0+（） ． （1）故答案为：[（）]；（）；． （2） ＝[﹣2024+（）]+（2023）+[﹣2022+（）]+2021 ＝[﹣2024+2023+（﹣2022）+2021]+[（）] ＝﹣2+（） ＝﹣2． 【点评】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$