专题14 正方形的3种种常考题型归类-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（吉林专用）

专题14 正方形及四边形综合 （原卷版） 正方形的性质 1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 2．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ． 3．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)当点是边的中点时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为________； (3)连结，当时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可） 正方形的判定与性质综合 4．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，面出四边形的一条对称轴． (2)在图②中，画出经过点E的的切线． 四边形综合 5．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）   　　   (1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示） (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 正方形的性质 6．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，点E为正方形边上一点，连接，将绕点A逆时针方向旋转得到，点B对应点为F，点E对应点为G，交于点H，连接．下列结论：①；②；③当点E与点C重合时；④当点G落在边上时，；⑤当最短时，，其中正确的是 （填写序号）． 7．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，正方形和正方形中，在同一条直线上，，为的中点，延长交于点，连接，连接分别交于点，下列说法：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 8．（2024·吉林四平·模拟预测）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，则的值为__________． 9．（2024·吉林延边·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点O，，点P从点A出发以速度沿向终点C运动，同时点Q从点D出发以速度沿折线向终点B运动．过点P作，与折线和分别交于交于点E，F．设的面积为，点P的运动时间为t（s），点P、Q到达终点后都停止运动． (1)当点Q在边上时，点Q到对角线的距离为 ，点Q到直线的距离为 ；（用含t的式子表示） (2)求S与t之间的函数解析式； (3)当过的中点时，直接写出t的值． 10．（2024·吉林长春·模拟预测）【感知】如图①，在正方形中，点、分别在边，上，．求证：． 【拓展】在图①的基础，将沿翻折，点的对应点落在上，如图②．若，，则______． 【应用】如图③，在正方形中，点在边上，点在边上，将沿翻折，点的对称点落在边上，如图③．若，，则四边形的面积为______． 11．（2024·吉林长春·模拟预测）如图①，在正方形中，，点是边的中点，点是正方形内部一动点，且，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、．    (1)求证：； (2)如图②，若、、三点共线，则线段的长为______； (3)在点运动过程中，线段的最小值为______． 正方形的判定与性质综合 12．（2024·吉林长春·一模）如图，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则（阴影部分）的面积为 ． 13．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在四边形中，，，于点E，，，动点P、Q分别从点A，B同时出发，点P沿折线以的速度向终点E运动，点Q沿折线以的速度向终点D运动，设点P的运动时间为．的面积为． (1)四边形的形状是_______； (2)当点P在折线上运动时，用含x的代数式表示的长； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (4)当与四边形的对角线平行时，直接写出x的值． 14．（2024·吉林四平·模拟预测）【探究】如图①，四边形是正方形，于点G，求证：；    【应用】 （1）如图②，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，则与之间的数量关系是_____； （2）如图③，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，交于点G，若，则的长为______． 15．（2024·吉林·模拟预测）【探究】如图①，四边形是正方形，于点G，求证：； 【应用】（1）如图②，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，则与之间的数量关系是 ； （2）如图③，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，交于点G，若，则的长为 ．    16．（2024·吉林长春·二模）如图①，在正方形中，，M为对角线上一点（不与B、D重合），连接，过点M作交边于点N，连接．    (1)【问题发现】在图①中小明想过点M分别作的垂线，发现和有特殊的关系，请你判断的形状，并根据小明的方法给出证明； (2)【问题解决】直接写出图①中的取值范围：　 　； (3)【类比探究】如图②，在矩形中，，M为对角线上一点，且，则　 　． 17．（2024·吉林长春·一模）【问题情境】如图①，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题探究】在“问题情境”的基础上，如图②，若垂足P恰好为的中点，连接，交于点Q，连接，并延长交边于点F．则的大小为 度． 四边形综合 18．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，为的中线．点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，过点作交折线于点．当点不与点重合时，作点关于点的对称点，连结，以为邻边构造，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)连结，则线段长度的最小值是______； (3)作直线，当直线平行于的一条边时，求的值； (4)当的一个内角和相等时，直接写出的值． 19．（2024·吉林长春·三模）如图①，在中，，，，点是的中点，点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动点、不重合，同时点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，当、两点中有一个停止运动另一个也停止运动，以，为邻边构造，、运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长是 ． (2)当点落在内部时，求的取值范围． (3)当点在上运动时，连结，若为轴对称四边形，求此时的值． (4)如图②，作点关于的对称点，连结，当与的边垂直时，直接写出此时的值． 20．（2024·吉林模拟）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 21．（2024·吉林四平·模拟预测）如图，在矩形中，，，连接．点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动．当点不与矩形的顶点重合时，以为对角线作正方形（点在直线的右侧）．设正方形的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒． (1)当点在线段上时，用含的代数式表示的长； (2)当时，求t的值； (3)求S与t之间的函数关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 正方形及四边形综合 （解析版） 正方形的性质 1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 2．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ． 【答案】 【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解． 【详解】解：将点代入抛物线中，解得， ∴抛物线解析式为， 设CD、EF分别与轴交于点M和点N， 当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x， 此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中， 得到：， 解得，(负值舍去)， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 3．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)当点是边的中点时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为________； (3)连结，当时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可） 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设，则，，过点作于 ，根据，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，，在异侧时，设，，则，证明，得到，即可求解；第二种情况，当，在同侧，设，则，，，求得，解方程即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可知：， 为等腰三角形，故点是边的中点时，； 在中，； （2）根据题意作，如图所示； 当时，则， 设点到直线的距离为， ， 解得：； （3）如图，当时，点落在上， 设，则，， 过点作于 则， ， ， 解得： 故， 所以正方形的边长为； （4）如图，，在异侧时； 设，，则 三边的比值为， ， ， 当，在同侧 设，则，， 三边比为， 三边比为， 设，则，， 解得： 综上所述：的长为或 正方形的判定与性质综合 4．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，面出四边形的一条对称轴． (2)在图②中，画出经过点E的的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等： （1）如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求； （2）如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求； 易证明四边形是矩形，且E、F分别为的中点； （2）解：如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求； 易证明四边形是正方形，点E为正方形的中心，则． 四边形综合 5．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）   　　   (1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示） (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出，可得四边形是平行四边形，证明即可； （2）分，两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解； （3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是正方形对角线的中点， ∴，则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴ 故答案为：；． （2）解：当时，点在上，    由（1）可得， 同理可得， ∵，， 则 ； 当时，如图所示，    则，， ， ∴； 综上所述，； （3）依题意，①如图，当四边形是矩形时，此时， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 解得：，    当四边形是菱形时，则， ∴， 解得：（舍去）； ②如图所示，当时，四边形是轴对称图形，   ，解得， 当四边形是菱形时，则，即，解得：（舍去）， 综上所述，当四边形是轴对称图形时，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 正方形的性质 6．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，点E为正方形边上一点，连接，将绕点A逆时针方向旋转得到，点B对应点为F，点E对应点为G，交于点H，连接．下列结论：①；②；③当点E与点C重合时；④当点G落在边上时，；⑤当最短时，，其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③④⑤ 【分析】根据旋转的性质即可判断①，利用正方形性质得到，结合旋转的性质得到，进而得到，即可得到，判断②，当点E与点C重合时，连接，证明为等边三角形，结合正方形性质证明，利用全等三角形性质以及等边三角形性质即可判断③，当点G落在边上时，作的垂直平分线交于点，连接，证明，结合旋转的性质得到，结合垂直平分线性质得到，利用直角三角形性质，以及解直角三角形的应用 表示出，，再根据即可判断④，在过点且垂直于的线段上运动，根据垂线段最短，即当时，最短，过点作于点，证明四边形为矩形，得到，结合直角三角形性质以及正方形性质即可判断⑤． 【详解】解：将绕点A逆时针方向旋转得到， ， 故①正确； 四边形为正方形， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 故②正确； 当点E与点C重合时，连接，如图所示： 由旋转的性质可知，，， 为等边三角形， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， 故③正确； 当点G落在边上时，作的垂直平分线交于点，连接， 四边形为正方形， ，， 由旋转的性质可知，， ， ， ， ， 的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 在过点且垂直于的线段上运动， 根据垂线段最短，即当时，最短，过点作于点， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ， 故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等，解直角三角形，准确的作出图形并作出辅助线是解题的关键． 7．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，正方形和正方形中，在同一条直线上，，为的中点，延长交于点，连接，连接分别交于点，下列说法：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形中位线的性质，由正方形的性质可得，，，进而可得，即得，即可判断①；证明，得到，再由平行线的性质得，即得，即可判断②；由得，由余角性质得，得到，即得，又由全等三角形的性质得，即得，即可判断③；设正方形的边长为，则正方形边长为，，过点作于，可得，分别求出两个图形的面积即可判断④；掌握以上性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵四边形和都是正方形，， ∴正方形的边长为正方形边长的， ∴为的中点， 又∵为的中点， ∴， ∴都是等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即为的中点， 又∵， ∴， ∴，故③正确； 设正方形的边长为，则正方形边长为，，， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的结论有①②③， 故答案为：①②③． 8．（2024·吉林四平·模拟预测）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，则的值为__________． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3） 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，得到，即可； （2）设与交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，然后证明出，即可得到； （3）过点作交的延长线于点，证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：（1）∵在正方形中， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）如图2，设与交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图3，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握相关知识点，证明三角形全等或相似，是解题的关键． 9．（2024·吉林延边·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点O，，点P从点A出发以速度沿向终点C运动，同时点Q从点D出发以速度沿折线向终点B运动．过点P作，与折线和分别交于交于点E，F．设的面积为，点P的运动时间为t（s），点P、Q到达终点后都停止运动． (1)当点Q在边上时，点Q到对角线的距离为 ，点Q到直线的距离为 ；（用含t的式子表示） (2)求S与t之间的函数解析式； (3)当过的中点时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）如图，过点Q作交的延长线于点H，交于点G，当点在边上时．根据四边形是正方形，得出，，证明四边形是矩形，得出，根据题意可得：，即可得出，，即可求解； （2）分为2种情况．①当点在边上时，根据（1）可得，，，根据四边形是正方形，得出，，即可得出，再根据即可求解． ②当点在边上时，如图，过点Q作交的于点H，交于点G，根据四边形是正方形，得出，，证明四边形是矩形，得出，根据题意可得：，表示出，，根据①可得，再根据即可求解．③当点Q停止运动时，同理即可求解； （3）如图．①当点Q未停止运动，过的中点R时，得出，证明，根据相似三角形的性质得出，再根据，列方程即可求解；②当点Q停止运动，过的中点R时，同①即可求解． 【详解】（1）如图，过点Q作交的延长线于点H，交于点G， 当点在边上时． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∴当点在边上时，点到对角线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：，； （2）①当点在边上时， 根据（1）可得，， ∴， ， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当点在边上时， 如图，过点Q作交的于点H，交于点G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 根据（1）可得， ∴， 根据题意可得：， ∴， ∴， ， ， 根据①可得， ∴． ③当点Q停止运动时， ， 此时点P运动路程为：，点P位于点O， ， ， 如图，过点B作交的的延长线于点H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：． （3）如图．①当点Q未停止运动，过的中点R时， ∵四边形是正方形， ， 则， ∵， ， ， ， ， ． 解得：． ②当点Q停止运动，过的中点R时， ∵四边形是正方形， ， 则， ∵， ， ， ， ， ∴． 综上，或． 【点睛】该题是动点四边形问题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 10．（2024·吉林长春·模拟预测）【感知】如图①，在正方形中，点、分别在边，上，．求证：． 【拓展】在图①的基础，将沿翻折，点的对应点落在上，如图②．若，，则______． 【应用】如图③，在正方形中，点在边上，点在边上，将沿翻折，点的对称点落在边上，如图③．若，，则四边形的面积为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质勾股，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）根据正方形的性质得出，则，根据，得出，即可推出，即可求证； （2）易得，，用面积法得出，由折叠可得：，最后根据，即可解答； （3）易得四边形均为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理可得：，求出，最后根据四边形的面积为即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 由折叠可得：， ∴， 故答案为：； （3）过点H作于点P， ∵，四边形是正方形， ∴四边形均为矩形， ∴， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 11．（2024·吉林长春·模拟预测）如图①，在正方形中，，点是边的中点，点是正方形内部一动点，且，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、．    (1)求证：； (2)如图②，若、、三点共线，则线段的长为______； (3)在点运动过程中，线段的最小值为______． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由正方形的性质可得，，由旋转的性质得，，即得，即可由求证； （）利用勾股定理可得，即得，由全等三角形的性质可得； （）由，可得点在以为圆心，为半径的半圆上运动，延长到点，使得，连接、，可证，得到，可知当三点共线时，最小，利用勾股定理可得，即得，再由三角形三边关系，可得，即可求解； 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，    ∵， ∴点在以为圆心，为半径的半圆上运动， 延长到点，使得，连接、，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 正方形的判定与性质综合 12．（2024·吉林长春·一模）如图，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点； 证明，由勾股定理算出，根据阴影部分面积为即可求解； 【详解】由折叠可得：， 是矩形， ， 是正方形， ， ， 则（阴影部分）的面积， 故答案为：． 13．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在四边形中，，，于点E，，，动点P、Q分别从点A，B同时出发，点P沿折线以的速度向终点E运动，点Q沿折线以的速度向终点D运动，设点P的运动时间为．的面积为． (1)四边形的形状是_______； (2)当点P在折线上运动时，用含x的代数式表示的长； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (4)当与四边形的对角线平行时，直接写出x的值． 【答案】(1)正方形 (2)当时，；当时， (3)当时，；当时，；当时， (4)或或 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据，即可得出结论； （2）分两种情况：当时，点P在上；当时，点P在上，分别求解即可； （3）分三种情况：当点P在边上，点Q在边上时，即时；当点P在边上，点Q在边上时，即时；当点P在边上，点Q在边上时，即时；分别求解即可； （4）分两种情况：当时，当时，分别求解．注意：当时，又有两种情况，i)当点P在上，点Q在H ；ii)当点P在上，点Q在上． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （2）解：， 当时，点P在上； 此时：； 当时，点P在上， 此时，； （3）解：当点P在边上，点Q在边上时，即时，如图， ∴ ∴； 当点P在边上，点Q在边上时，即时，如图， ∴ ， ∴ 当点P在边上，点Q在边上时，即时，如图， ∴ ∴ 综上，． （4）解：连接，， 当时，如图， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当时， i)如图1，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； ii) 如图2，同理，， ∴，即， 解得：． 综上，当与四边形的对角线平行时， 的值为或或． 【点睛】本题考查矩形的判定，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，求动点函数关系式，平行线的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键． 14．（2024·吉林四平·模拟预测）【探究】如图①，四边形是正方形，于点G，求证：；    【应用】 （1）如图②，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，则与之间的数量关系是_____； （2）如图③，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，交于点G，若，则的长为______． 【答案】探究：见详解；应用：（1）（2） 【分析】本题考查了正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质等；探究：由正方形的性质得，，由可判定，由全等三角形的性质即可得证； 应用：（1）过作交的延长线于，可判定，由三角形相似的性质得，由“探究”同理可得：，即可求解； （2）由可判定，由全等三角形的性质得，由正切的三角函数得，由 可判定，由三角形相似的性质即可求解； 【详解】探究： 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， 即：， 在和中 ， （）， ； 应用： （1）解：如图，过作交的延长线于，   ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， 由“探究”同理可得：， 点D是边的中点， ， ， ， ， ， 故答案：； （2），，， ，，，， ，， 在和中， （）， ， ， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 15．（2024·吉林·模拟预测）【探究】如图①，四边形是正方形，于点G，求证：； 【应用】（1）如图②，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，则与之间的数量关系是 ； （2）如图③，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，交于点G，若，则的长为 ．    【答案】探究：见详解；应用：（1）（2） 【分析】本题考查了正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质等；探究：由正方形的性质得，，由可判定，由全等三角形的性质即可得证； 应用：（1）过作交的延长线于，可判定，由三角形相似的性质得，由“应用”同理可得：，即可求解； （2）由可判定，由全等三角形的性质得，由正切的三角函数得，由 可判定，由三角形相似的性质即可求解； 掌握相关的判定方法及性质，能根据题意将问题转化到正方形中解决，用三角函数找出线段之间的关系到是解题的关键． 【详解】探究： 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， 即：， 在和中 ， （）， ； 应用： （1）解：如图，过作交的延长线于，   ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， 由“应用”同理可得：， 点D是边的中点， ， ， ， ， ， 故答案：； （2），，， ，，，， ，， 在和中， （）， ， ， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 16．（2024·吉林长春·二模）如图①，在正方形中，，M为对角线上一点（不与B、D重合），连接，过点M作交边于点N，连接．    (1)【问题发现】在图①中小明想过点M分别作的垂线，发现和有特殊的关系，请你判断的形状，并根据小明的方法给出证明； (2)【问题解决】直接写出图①中的取值范围：　 　； (3)【类比探究】如图②，在矩形中，，M为对角线上一点，且，则　 　． 【答案】(1)是等腰直角三角形，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图：过点M作于E，于F，则四边形为矩形，再说明四边形为正方形可得，进而证得可得即可解答； （2）由是等腰直角三角形可知当时，有最小值，进而求得最小值；再根据题意可知，则即可解答； （3）如图：过点M作于G，延长交于H，则，先证明可得，进而解得，再证可得，进而求得、，最后根据三角形的面公式即可解答 【详解】（1）解：是等腰直角三角形．理由如下： 如图：过点M作于E，于F，则四边形为矩形，    ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 又∵， ， ， 又， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （2）解：∵为等腰直角三角形， ∴， 当时，有最小值， ∵， ∴最小值， 又∵M不与B重合， ∴，即， ∴． 故答案为：． （3）解：过点M作于G，延长交于H，则，    ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、等腰三角形的判定、动点问题、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 17．（2024·吉林长春·一模）【问题情境】如图①，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题探究】在“问题情境”的基础上，如图②，若垂足P恰好为的中点，连接，交于点Q，连接，并延长交边于点F．则的大小为 度． 【答案】问题情境：，理由见解析；问题探究：45 【分析】问题情境：过点B作分别交于点G、F，证出四边形为平行四边形，得出，证明得出，即可得出结论； 问题探究：连接，过点Q作，分别交于点H、I，证出是等腰直角三角形，，证明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论． 【详解】问题情境： 线段之间的数量关系为． 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，AB∥CD， 过点B作分别交于点G、F． ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； 问题探究： 解：连接，过点Q作，分别交于点H、I，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即． 故答案为：45． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 四边形综合 18．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，为的中线．点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，过点作交折线于点．当点不与点重合时，作点关于点的对称点，连结，以为邻边构造，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)连结，则线段长度的最小值是______； (3)作直线，当直线平行于的一条边时，求的值； (4)当的一个内角和相等时，直接写出的值． 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)秒或秒 (4)秒或秒 【分析】（1）根据勾股定理得，根据锐角三角函数的定义得，，， ，过点作于点，得，求得，，根据题意得，，然后分两种情况：①当时，点在上；②当时，点在上，分别解答即可； （2）根据对称的性质及平行四边形的性质得出点为的中点，，当时，线段的长度为最小值，此时线段的长度取得最小值，证明，得，即可得解； （3）分两种情况：①当时；②当时，分别求解即可； （4）分三种情况：①当点在线段上时；②当点在线段上时；③当点在线段上时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴，，， ， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，点的运动时间为秒， ∴，， 当点与点重合时，（秒）， 当点与点重合时，（秒）， ∵， ①当时，点在上，则， ②当时，点在上，则， 综上所述，当时，，当时，； （2）∵为的中线，， ∴点为的中点， ∴， ∵点和点关于点对称， ∴点为的中点， ∵四边形为平行四边形， ∴与互相平分，且交点为与的中点， ∴点为的中点， ∴， 当时，线段的长度为最小值，此时线段的长度取得最小值， 由，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值是， 故答案为：； （3）①当时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； 综上所述，当为秒或秒时，直线平行于的一条边； （4）①当点在线段上时， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴，即为锐角， 当时， 则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 解得：； ②当点在线段上时， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴，即为锐角， 当时， 则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 解得：， 此时点不在线段上，不符合题意； ③当点在线段上时， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴，即为锐角， 当时， 则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当为秒或秒时，的一个内角和相等． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形性质，对称的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，运用了分类讨论的思想．解题关键是掌握锐角三角函数的定义及相似三角形的判定与性质． 19．（2024·吉林长春·三模）如图①，在中，，，，点是的中点，点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动点、不重合，同时点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，当、两点中有一个停止运动另一个也停止运动，以，为邻边构造，、运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长是 ． (2)当点落在内部时，求的取值范围． (3)当点在上运动时，连结，若为轴对称四边形，求此时的值． (4)如图②，作点关于的对称点，连结，当与的边垂直时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)且 (3)和 (4)和 【分析】（1）根据勾股定理求得，进而根据题意列出代数式，即可求解； （2）分别求得落在边上时，的值，结合图形，即可求解； （3）分四边形是矩形和菱形两种情况分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （4）分两种情况讨论，分别画出图形，构造直角三角形，解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，、运动时间为秒． ∴ （2）当重合时，，点和点重合，此时 当点与点重合时，，此时点在上， 当点在上时，如图所示，则 ∴ ∴ ∴ 综上所述，当且时，点在的内部； （3）如图所示， 当四边形为矩形时， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴； 当四边形是菱形时，如图所示，过点作于点，于点，设交于点 ∴， ∵， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 在中， ∵ ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 （4）解：如图所示，作点关于的对称点，连结，当与边垂直时， 连接交于点，过点作于点，设交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由∵ ∴ 又∵ ∴ 由（2）可得， ∴，， ∴ 则 ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 连接 ∵， ∴ 在中， ∴ 解得： 如图所示，当重合时， 则四边形为矩形， ∴ 则 则 综上所述，的值为和 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，特殊四边形的性质与判定，解直角三角形，分类讨论是解题的关键． 20．（2024·吉林模拟）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】本题主要考查了四边形综合题，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，运用数形结合、方程思想是解题的关键． （1）由，根据，即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则； （2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可； （3）分两种情况：①当时，②当时，进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 故答案为：； （2）∵当四边形为平行四边形时，， 根据（1）可算出， ∴， 解得． （3）由其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形，即：， 则也是等腰直角三角形， ， ∵此种情况不存在； ①当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得； ②当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得：； 综上，当或2时，为直角三角形． 21．（2024·吉林四平·模拟预测）如图，在矩形中，，，连接．点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动．当点不与矩形的顶点重合时，以为对角线作正方形（点在直线的右侧）．设正方形的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒． (1)当点在线段上时，用含的代数式表示的长； (2)当时，求t的值； (3)求S与t之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据求解； （2）分类讨论点在上或上，通过及求解； （3）由正方形面积等于对角线乘积，分类讨论点在，，三种情况求解． 【详解】（1）点在上时，； （2）如图，当点落在上时， 在中，由勾股定理得：， ， 即， 解得． 如图，当点落在上时，， ， ， 又， ， ， ， 解得． 综上所述，或． （3）①如图，当点在上时，，， ． ②点在上时，，作， ， ， ， ， ， ， ． ③点在上时，，， ， ． 综上所述，． 【点睛】本题考查解直角三角形，正方形和矩形的性质，解题关键是熟练掌握正方形的性质与解直角三角形的方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$