第05讲 实际问题与一元二次方程（2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第05讲 实际问题与一元二次方程（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 题型强化 题型一．由实际问题抽象出一元二次方程 1．（2024•郴州二模）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为162元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为 　　． 2．（2024春•慈溪市期末）杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售11.5万个．设该摆件销售量的月平均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•长治月考）在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1，花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2，矩形中每个角上的扇形相同． （1）求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为米，请列出方程，不做解答． （2）求方案二中扇形的半径；（其中，结果保留根号） （3）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明． 题型二．一元二次方程的应用 4．（2024•佳木斯三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元．　　 A．45 B．50 C．55 D．60 5．（2024•调兵山市二模）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过离地面的高度（单位：为．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间约为 　　（结果保留整数）． 6．（2024春•道外区期末）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 分层练习 一、单选题 1．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后新的两位数与原两位数之积为1612，则原来的两位数为（　　） A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对 3．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 4．用长的篱笆，围成一个一面靠墙面积为的长方形场地，求这个长方形的长和宽．设平行于墙的一边为，可得方程（    ） A． B． C． D． 5．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（   ） A． B． C． D．或 7．商场将进货价为30元/件的某种商品以60元/件出售时每天能卖出20件，若每降价1元，则每天可多卖出4件，若降价x元，每天盈利1200元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 9．小球以的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，后小球停下来．小球滚动到时约用了多少时间（精确到）？（       ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 二、填空题 11．“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是 人． 12．一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ． 13．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 14．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ． 15．某校组织篮球联赛，每两个队之间比赛两场，共进行了30场比赛，设参赛队的数量为x，则可列方程为 ． 16．某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ． 17．一块面积为的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的3倍，若设长方体盒子高为，则可列方程为 ． 18．如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距？ 三、解答题 19．2020年5月复工复产以来，某夜市6月份的总销售额为50万元，8月份的总销售额为60.5万元，若平均每月的总销售额的增长率相同． (1)求该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率； (2)如果该夜市平均每月的总销售额的增长率保持不变，求该夜市9月份的总销售额． 20． 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 21．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病．一鸡场3月12日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数是多少？ 22．如图，某农场有一块长，宽的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为，求小路的宽． 23．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加个． (1)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为个台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个台灯的售价． (2)在库存为个台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，直接写出每个台灯的售价． 24．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 25．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 26．阅读下列材料：为了计算正整数的值，采用以下方法： 设①， 且②， ①+②把两个等式等号右边中的第一项相加，第二项相加…第n项相加， 得：， ∴，即：，请根据以上阅读材料内容，结合所学知识解决以下问题： (1)正整数 ； (2)如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点．第n行有n个点…，容易发现三角点阵中前4行的点数和是10． ①请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是190？ ②这个三角点阵中前n行的点数和能是280吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 实际问题与一元二次方程（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 题型强化 题型一．由实际问题抽象出一元二次方程 1．（2024•郴州二模）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为162元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为 　　． 【分析】设平均每次降价的百分率是，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【解答】解：设平均每次降价的百分率是，根据题意，得： 根据题意，得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 2．（2024春•慈溪市期末）杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售11.5万个．设该摆件销售量的月平均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】利用5月份的销售量月份的销售量该摆件销售量的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2023秋•长治月考）在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1，花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2，矩形中每个角上的扇形相同． （1）求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为米，请列出方程，不做解答． （2）求方案二中扇形的半径；（其中，结果保留根号） （3）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明． 【分析】（1）按小明的思路，利用矩形的面积公式列方程，解答验证； （2）花园中每个角上的扇形相同，和在一起正好是一个圆，根据圆的面积公式列方程，进行解答，从而求出半径； （3）答案不唯一，发挥想象，符合要求即可． 【解答】解：（1）设小路的宽为，则； （2）四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为，故有，解得． 答：扇形的半径为； （3）设计方案如图所示： 【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用了矩形和圆的面积公式解决问题，（3）是一道开放性很强的题目，能够激发学生的学习兴趣，同时培养了他们的创新思维能力． 题型二．一元二次方程的应用 4．（2024•佳木斯三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元．　　 A．45 B．50 C．55 D．60 【分析】设每件售价应定为元，根据按每件60元销售，每天可卖出20件．每降低1元，日销售量增加2件．日利润保持不变．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设每件售价应定为元， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2024•调兵山市二模）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过离地面的高度（单位：为．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间约为 　2　（结果保留整数）． 【分析】由题意可知物体回落到地面，也就是说为0，建立方程求得答案即可． 【解答】解：， 落回地面时， 所以， 解得：（不合题意舍去），， 答：物体经过约2秒回落地面． 故答案为：2． 【点评】此题考查了一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题． 6．（2024春•道外区期末）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【分析】（1）设这个降价率为，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）设每千克应涨价元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设这个降价率为， 依题意，得：， 解得：，（舍去）． 答：这个降价率为． （2）设每千克应涨价元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 要使顾客得到实惠， ． 答：每千克应涨价5元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出相关方程是解答本题的关键．根据百分率的意义及方程的意义即可得出答案． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 一次降价后价格可表示为，再次降价后价格表示为， 可列方程为， 故选：D． 2．有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后新的两位数与原两位数之积为1612，则原来的两位数为（　　） A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．首先设原两位数个位数字为，则十位数字为，则原来的两位数是，交换数字位置后得到的新的两位数是，再根据新的两位数与原两位数之积为1612列出方程，再解即可． 【详解】解：设原两位数个位数字为，则十位数字为，由题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，， 则原来的两位数为62或26， 故选：C 3．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键． 4．用长的篱笆，围成一个一面靠墙面积为的长方形场地，求这个长方形的长和宽．设平行于墙的一边为，可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．根据长方形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， 根据题意得，， 故选：B． 5．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用比赛的总场数七年级班级数七年级班级数，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 6．生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设每个支干分出个小分支，根据题意列出方程并求解即可，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每个支干分出个小分支， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 故选：． 7．商场将进货价为30元/件的某种商品以60元/件出售时每天能卖出20件，若每降价1元，则每天可多卖出4件，若降价x元，每天盈利1200元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意可知若降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该商品获得的总利润=每件的销售利润×日销售量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：若降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 根据题意得：． 故选：A． 8．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．小球以的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，后小球停下来．小球滚动到时约用了多少时间（精确到）？（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求得小球的平均速度，然后利用等量关系：速度×时间=路程，时间为x，则速度为5﹣1.25x． 【详解】小球滚动到5m时约用了xs，依题意，得： x•=5 整理得：x2﹣8x+8=0，解得：x=4±2． ∵x＜4，∴x=4﹣2≈1.2． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度=（初始速度﹣末速度）÷时间． 10．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用时间路程速度，可求出点到达终点所需时间，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：（秒），（秒）． 当运动时间为秒时，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点的运动时间是2秒． 故选：A． 二、填空题 11．“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是 人． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“每两个人都握一次手，所有人共握手10次”，列式求解即可． 【详解】解：设有人参加聚会， 根据题意得，， 整理得， 解得（舍去），． 所以有5人参加聚会． 故答案为：5． 12．一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用．设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，然后根据“十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数”即可列出方程求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴这个两位数为46． 故答案为：46． 13．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 14．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期的销售总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元， 根据题意得：． 故答案为：． 15．某校组织篮球联赛，每两个队之间比赛两场，共进行了30场比赛，设参赛队的数量为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．根据每两个队之间比赛一场，可知要进行场，则每两个队之间比赛两场，可知要进行场，即可列出方程． 【详解】解：由题可得：， 故答案为：． 16．某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ． 【答案】 【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识—增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 【详解】解：设每个季度的增长率为 x，列方程得， 故答案为：． 17．一块面积为的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的3倍，若设长方体盒子高为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，设长方体盒子高为，则宽为，被剪去的正方形边长为；根据题意可得，无盖的长方体盒子的表面积为：；被剪去的四个正方形的面积为：，二者相加为原矩形材料的面积，方程即可列出． 【详解】解：设长方体盒子高为，则宽为，被剪去的正方形边长为， 则无盖的长方体盒子的表面积为：； 被剪去的四个正方形的面积为：， 根据题意得：， 故答案为：． 18．如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距？ 【答案】9或12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论 【详解】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米， 依题意，得：， 解得：， ∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米； 故答案为：9或12． 三、解答题 19．2020年5月复工复产以来，某夜市6月份的总销售额为50万元，8月份的总销售额为60.5万元，若平均每月的总销售额的增长率相同． (1)求该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率； (2)如果该夜市平均每月的总销售额的增长率保持不变，求该夜市9月份的总销售额． 【答案】(1)该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为10% (2)66.55万元 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）设夜市销售额平均每月的增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解； （2）根据夜市增长率保持不变，求出9月份销售额，即可求解． 【详解】（1）解：设该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为x，由题意得， ， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为； （2）解：该夜市9月份的总销售额为（万元）． 20． 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 【答案】(1)2或4 (2)秒 【分析】本题是一元二次方程的应用题，属于常考题型，正确理解题意列出方程、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）设秒后，面积为，用含x的代数式表示出和，然后根据三角形的面积可得关于x的方程，解方程即可求出结果； （2）设秒后，，两点间距离是，根据勾股定理可得关于t的方程，解方程即得结果． 【详解】（1）解：设秒后，面积为，则，， 由可得， 解得，； 答：经过2秒或4秒后，面积为． （2）解：设秒后，，两点间距离是， 由勾股定理，得，即， 解得：（舍去）； 答：秒后，，两点间距离是． 21．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病．一鸡场3月12日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数是多少？ 【答案】每只病鸡传染健康鸡12只 【分析】设每只病鸡传染健康鸡只，则第一天有只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解． 【详解】解：设每只病鸡传染健康鸡只，由题意得： ， 整理，得， 解，得，（不符合题意舍去）． 答：每只病鸡传染健康鸡12只． 22．如图，某农场有一块长，宽的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为，求小路的宽． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键，设小路的宽为，根据矩形的面积公式构造一元二次方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，依题意有 ， 整理，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：小路的宽应是． 23．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加个． (1)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为个台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个台灯的售价． (2)在库存为个台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，直接写出每个台灯的售价． 【答案】(1)每个台灯的售价为元； (2)每个台灯的售价为元． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）设每个台灯的售价为x元．利用每个利润乘以销量等于总利润列方程，解方程并分析即可得到答案； （2）设每个台灯的售价为a元．利用每个利润乘以销量等于总利润列方程，解方程并分析即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个台灯的售价为x元． 根据题意，得 ， 解得，． 当时，； 当时，； ∴x只能取， 答：每个台灯的售价为元； （2）设每个台灯的售价为a元． 根据题意，得， 解得，． 当时，； 当时，； ∴a只能取， 答：每个台灯的售价为元． 24．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 25．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 26．阅读下列材料：为了计算正整数的值，采用以下方法： 设①， 且②， ①+②把两个等式等号右边中的第一项相加，第二项相加…第n项相加， 得：， ∴，即：，请根据以上阅读材料内容，结合所学知识解决以下问题： (1)正整数 ； (2)如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点．第n行有n个点…，容易发现三角点阵中前4行的点数和是10． ①请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是190？ ②这个三角点阵中前n行的点数和能是280吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①190是前19行的点数之和；②不能，理由见解析 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解题的关键是对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）直接利用题干中的求和公式求解即可； （2）①由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，则前五行共有个点，前10行共有个点，前行共有个点，然后求它们的和，根据题意得出前行共有个点，则，然后解方程得到的值； ②由（1）得，求的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：当n=20时， ， 故答案为：； （2）①由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 则前五行共有个点， 前10行共有个点， ， 前行共有个点， 然后求它们的和， 根据题意得：前行共有个点， ∴， 整理得， ， ，， 为正整数， ． 答：190是前19行的点数之和； ②依题意，得， 即， ，无法开平方得出整数， 三角点阵中前行的点数的和不能是280． 学科网（北京）股份有限公司 $$