第05讲 三角形全等的判定（4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第05讲 三角形全等的判定（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点2．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点3．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点4．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型强化 题型一．全等三角形的判定 1．（2024春•焦作期末）如图，已知，，添加下列条件不能判定的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•九江期末）如图，，请你添加一个条件：　　，使（只添一个即可）． 3．（2023秋•合江县校级期末）如图，已知，，．求证：． 题型二．直角三角形全等的判定 4．（2023秋•承德县期末）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 5．（2024•西安区校级模拟）如图，点，在上，，，请添加一个条件 　　，使． 6．（2023秋•定陶区期末）如图，，，点是上一点，于，于，，求证：． 题型三．全等三角形的判定与性质 7．（2023秋•光山县期末）如图，，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•下陆区期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是　　． 9．（2023秋•固始县期末）如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且． 求证：（1）． （2）平分． 题型四．全等三角形的应用 10．（2024•宁江区校级模拟）“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据，，不用测量，就知道，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是 　　（用字母表示）． 11．（2023秋•湘西州期末）如图，要测池塘两端，的距离，小明先在地上取一个可以直接到达和的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，的长度就是，间的距离．那么判定和全等的依据是　　 A． B． C． D． 12．（2024春•开封期末）如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧、处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出、间的距离，请你设计一个方案，测出、间的距离，并说明理由． 分层练习 一、单选题 1．如图，若，，则直接判定的理由是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 3．在四边形中，，．若，的度数为（    ） A． B． C． D． 4．利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（ ） A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边 C．已知两边及一边的对角 D．已知三边 5．如图，为的中线，，则的长度可能为（    ） A． B．4 C． D． 6．如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 7．下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 8．如图，与交于点，若，用“”证明，还需（    ） A． B． C． D． 9．已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 10．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．“两个锐角对应相等” （填“能”或“不能”）判别两个直角三角形全等． 12．尺规作角的平分线实际上是依据 来判定两个三角形全等，从而证明作图方法是正确的． 13．如图，，，请你添加一个条件： ，使． 14．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 15．如图，在中，，D，E是斜边上BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接EF，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 (填序号) 16．如图，在中，，，，线段于点．点，分别是线段，上的动点，连接，当点从点沿向点滑动时，点相应的从点沿向点滑动，始终保持不变，当与全等时，的长度等于 ． 17．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ．    18．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 三、解答题 19．如图，，，，求证：． 20．如图，点在一条直线上，，求证：． 21．如图，已知，是边上一点，过点作的平行线．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 22．如图，，，分别平分和，经过点E．求证：． 23．如图，已知，，为的中点，过作一条直线分别与，交于点，，点，在直线上，且． (1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来； (2)求证：． 24．如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 25．如图，点A、B分别是x轴、y轴上的两个动点，以B为直角顶点，以为腰作等腰． (1)如图①，若点C的横坐标为2，点B的坐标为________； (2)如图②，过C作轴于点D，连接．求的大小； (3)如图③，移动点A，B的位置，使x轴恰好平分，交x轴于点M，试猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 26．如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三角形全等的判定（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点2．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点3．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点4．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型强化 题型一．全等三角形的判定 1．（2024春•焦作期末）如图，已知，，添加下列条件不能判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题目中的条件可以得到，，然后添加选项中的条件，写出能判断三角形全等的依据即可． 【解答】解：，， ，， ， 添加时，无法证明，故选项符合题意； 添加时，可得，故选项不符合题意； 添加时，可得，故选项不符合题意； 添加时，可得，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法：、、、． 2．（2024春•九江期末）如图，，请你添加一个条件：　答案不唯一，如　，使（只添一个即可）． 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可． 【解答】解：添加的条件是， 理由是：， 在和中， ， ， 故答案为：答案不唯一，如． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有． 3．（2023秋•合江县校级期末）如图，已知，，．求证：． 【分析】先证明，再利用即可证明． 【解答】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 题型二．直角三角形全等的判定 4．（2023秋•承德县期末）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：，， ， ．，，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出和全等，故本选项符合题意； ．，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意； ．，，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出和全等，故本选项不符合题意； ．，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等． 5．（2024•西安区校级模拟）如图，点，在上，，，请添加一个条件 　（答案不唯一）　，使． 【分析】根据直角三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：添加， ， ， 即， 在与中， ， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】此题考查直角三角形的判定，关键是根据证明解答． 6．（2023秋•定陶区期末）如图，，，点是上一点，于，于，，求证：． 【分析】连接，由直角三角形全等的“ “判定定理证得，根据全等三角形的性质得到，再由直角三角形全等的“ “判定定理即可证得． 【解答】解：连接， ， 在和中， ， ， ， 于，于， ， 在和中， ， ． 【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，正确作出辅助线，根据全等三角形的性质证得是解决问题的关键． 题型三．全等三角形的判定与性质 7．（2023秋•光山县期末）如图，，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】在中，根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的对应角相等即可解决． 【解答】解：在中， ，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确判断对应角，对应边是解决本题的关键． 8．（2023秋•下陆区期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是　　． 【分析】过和分别作于，于，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出点的坐标． 【解答】解：过和分别作于，于， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，，， ，， ， 则点的坐标是， 故答案为：． 【点评】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线各种全等三角形． 9．（2023秋•固始县期末）如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且． 求证：（1）． （2）平分． 【分析】（1）由，，因为，即可推出． （2）由，推出，由，，推出，即为中点，再根据等腰三角形的性质即可证明． 【解答】证明：（1）， ， ，， 又， ． （2）在和中， ， ， ． ，， ，即为中点 ， ， 平分． 【点评】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型四．全等三角形的应用 10．（2024•宁江区校级模拟）“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据，，不用测量，就知道，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是 　　（用字母表示）． 【分析】根据即可证明，可得． 【解答】解：在和中， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 11．（2023秋•湘西州期末）如图，要测池塘两端，的距离，小明先在地上取一个可以直接到达和的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，的长度就是，间的距离．那么判定和全等的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意知，，由于，根据“”即可证明． 【解答】解：由题意知，， 在和中， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 12．（2024春•开封期末）如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧、处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出、间的距离，请你设计一个方案，测出、间的距离，并说明理由． 【分析】先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 【解答】解：测量出的长度即为的长． 理由如下：在和中， ， ， ． 【点评】考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．如图，若，，则直接判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，掌握“角边角”的判定方法是解题的关键，根据题意，运用“角边角”的判定方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C ． 2．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解． 【详解】，, ， ，， ． 故选：A． 3．在四边形中，，．若，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键。证明即可得解． 【详解】解：∵，，， ， ∴， 故选：． 4．利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（ ） A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边 C．已知两边及一边的对角 D．已知三边 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有．三角形全等的判定定理有，根据以上内容判断即可． 【详解】解：三角形全等的判定定理有， A、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意； B、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、根据已知两边及一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项符合题意； D、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，为的中线，，则的长度可能为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 延长至点E，使，连接，证明，再根据三角形的三边关系求解． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接． ∵为的中线， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，即， 又∵， ∴， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 6．如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，， 在和中， ， ∴， ∴能得到的依据是． 故选：B． 7．下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题与定理、全等三角形的判定、三角形的三边关系以及外角等知识点，正确掌握相关定理是解题关键． 根据全等三角形的判定方法、三角形的三边关系、三角形的外角相关知识逐项判定即可． 【详解】解：A．三角形一个外角大于它不相邻的任何一个内角，故此命题是假命题，不符合题意； B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此命题是假命题，不符合题意； C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0，故此命题为真命题，符合题意； D．两边对应相等，且两边的夹角相等，则这两个三角形全等，故此命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 8．如图，与交于点，若，用“”证明，还需（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理成为解题的关键． 由，再加上隐含条件“对顶角相等”，还需即可根据“”证得；然后逐项判断即可． 【详解】解：A、AB=DC，不能根据“”证两三角形全等，故本选项错误； B、∵在和中，，可证，故本选项正确； C、由和，根据“”证得两三角形全等，故本选项错误； D、根据和，不能证两三角形全等，故本选项错误． 故选B． 9．已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键．根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是． 故选：B． 10．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故选：A． 二、填空题 11．“两个锐角对应相等” （填“能”或“不能”）判别两个直角三角形全等． 【答案】不能 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：“两个锐角对应相等”，AAA不能判别两个三角形全等． 故答案为：不能． 12．尺规作角的平分线实际上是依据 来判定两个三角形全等，从而证明作图方法是正确的． 【答案】SSS 【分析】由全等三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，作∠AOB的平分线OC， 连接NE，NF，由作法可知OE=OF，EN=FN，ON=ON，故可得出△ONE≌△ONF（SSS），所以OC就是∠AOB的平分线， 故答案为：SSS． 【点睛】此题主要考查了基本作图，用到的知识点为：边边边可证得两三角形全等． 13．如图，，，请你添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，由已知可得，，再根据全等三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 14．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 【答案】 【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 故答案为：． 15．如图，在中，，D，E是斜边上BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接EF，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 (填序号) 【答案】①②④ 【分析】根据等腰直角三角形和旋转的性质，逐项判断即可. 【详解】∵在中，， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 由旋转的性质可知，∠ABF=∠ACD=45°， ∴∠CBF=∠ABC+∠ABF=45°+45°=90°， ∴，①正确； 由旋转的性质可知，∠CAD=∠BAF，AF=AD， ∴∠EAF=∠BAF+∠BAE, ∵， ∴， 又∵AE=AE， ∴，②正确； 由旋转可知CD=BF， 由可知DE=EF， ∴，故③错误；④正确. 故答案为①②④. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定、勾股定理等知识，解题的关键是根据旋转的性质得出对应角和对应边相等. 16．如图，在中，，，，线段于点．点，分别是线段，上的动点，连接，当点从点沿向点滑动时，点相应的从点沿向点滑动，始终保持不变，当与全等时，的长度等于 ． 【答案】3或4/4或3 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，注意分类讨论是解决本题的关键． 当与重合时，则，则；当时，． 【详解】解：①当与重合时， 在和中， ， ， ∴； ②当时，， 在和中， ， ， 故答案为：3或4． 17．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用 ，熟记模型的构成及结论是解题关键． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接，    ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依所据全等三角形对就边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 三、解答题 19．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 由知，结合、，利用“”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 20．如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由可得，即可由证明，掌握全等三角形的判定方法解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 21．如图，已知，是边上一点，过点作的平行线．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，如图，以为一边，在内部作，则，掌握作一个角等于已知角是解题的关键． 【详解】解：如图所示，直线即为所求． 22．如图，，，分别平分和，经过点E．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】在上截取，连接，通过证明和，然后根据全等三角形的性质分析求证． 【详解】证明：在上截取，连接． ∵，分别平分和， ∴． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 23．如图，已知，，为的中点，过作一条直线分别与，交于点，，点，在直线上，且． (1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来； (2)求证：． 【答案】(1)；，，， (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，找出判定三角形全等的条件是解题的关键． （1）结合已知条件，再根据全等三角形的四个判定方法，即可找出所有的全等三角形； （2）先证明，即可证明． 【详解】（1）解：有对全等三角形，分别为： ，，，， （2）证明：，，， ， ， 即， 为的中点， ， 又， ， ，， ，，， ， ， ，， ， 即， 又， ， ． 24．如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 【答案】(1)方案见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的应用---方案设计，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键， （1）根据全等三角形的性质设计图形即可； （2）利用“”即可证明方案的可行性． 【详解】（1）解：如图所示： 过B作，过D作，取的中点C，连接并延长交于点E 测量线段的长即可． （2）证明：∵，， ∴ ， ∵C为的中点， ∴， ∴在和中： ∴， ∴． 25．如图，点A、B分别是x轴、y轴上的两个动点，以B为直角顶点，以为腰作等腰． (1)如图①，若点C的横坐标为2，点B的坐标为________； (2)如图②，过C作轴于点D，连接．求的大小； (3)如图③，移动点A，B的位置，使x轴恰好平分，交x轴于点M，试猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）过点C作y轴垂线轴，证明，推出，可得结论； （2）过C作轴于点E，则，证明为等腰直角三角形，再求解即可； （3），点P在x轴上，交y轴于点N，先证明，可得，再证明，可得，再求解即可． 【详解】（1）过点C作y轴垂线轴，即（即C点横坐标为2） ∵， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴B坐标为； （2）∵由①得，， ∵过C作轴于点E，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． （3）∵在与中， 作，点P在x轴上，交y轴于点N ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴ 26．如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，或，理由见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【详解】（1）证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 学科网（北京）股份有限公司 $$