4.3 复 数-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§4.3　复　数 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 53.复数的概念 4 9 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 7 12 54.复数的四则运算 8 8 5 3 4 3 4 1 5 1 3 3 29 19 55.复数的几何意义 3 2 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 5 4 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考命题必考的内容(),属于低档题目,主要是以选择或填空题的形式进行考查,分值约为4~5分. (2)考查方向:一是复数的概念,以复数的基本运算为背景,考查复数的模、共轭复数以及实部、虚部等基本概念;二是复数的四则运算,主要考查复数的乘法与除法运算;三是复数的几何意义,与复数的基本运算相结合主要考查复平面的点以及模的几何意义的应用等. (3)明智备考:一是要熟练掌握复数的基本运算法则,这是解决复数问题的基础;二是要准确理解复数的相关概念,避免混淆;三是解决复数的几何意义时,从形的直观性 方面来理解. (4)主编提示:命题的兴趣点在于复数的乘法与除法的基本运算,同时要注意复数的几何意义的应用.考查数学运算的核心素养.高三备考,抓住两个方面:一是准确掌握复数的基本概念;二是熟练利用法则进行计算! 考点53复数的概念　 1.(2022·全国乙,理2,5分,难度★)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则 (　A　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 解析　∵z=1-2i,∴=1+2i,∴z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i=0, ∴解得故选A. 2.(2022·全国乙,文2,5分,难度★)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则 (　A　) A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 解析　由(1+2i)a+b=2i,得a+b+2ai=2i. ∵a,b∈R,∴解得故选A. 3.(2022·浙江,2,4分,难度★)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则 (　B　) A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3 解析　由题意得a+3i=-1+bi,故a=-1,b=3,故选B. 4.(2020·全国3,理2,5分,难度★)复数的虚部是 (　D　) A.- B.- C. D. 解析　∵===+i, ∴复数的虚部是. 5.(2020·浙江,2,4分,难度★)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a= (　C　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析　由条件可知a-2=0,即a=2,故选C. 6.(2019·全国2,文2,5分,难度★)设z=i(2+i),则= (　D　) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i 解析　z=2i+i2=-1+2i,则=-1-2i.故选D. 7.(2017·全国3,理2,5分,难度★)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|= (　C　) A. B. C. D.2 解析　由题意,得z==1+i,故|z|==. 8.(2017·全国1,理3,5分,难度★)设有下面四个命题 p1:若复数z满足∈R,则z∈R; p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R; p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=; p4:若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为 (　B　) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 解析　p1:设z=a+bi(a,b∈R),则==∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1是真命题; p2:i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2是假命题; p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3是假命题; p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4是真命题. 9.(2017·全国1,文3,5分,难度★)下列各式的运算结果为纯虚数的是 (　C　) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) 解析　∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,∴(1+i)2=2i为纯虚数,故选C. 10.(2017·山东,理2,5分,难度★)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a= (　A　) A.1或-1 B.或- C.- D. 解析　由z=a+i,得z·=|z|2=a2+3=4, 所以a2=1,a=±1,选A. 11.(2016·山东,理1,5分,难度★)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z= (　B　) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 解析　设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B. 12.(2020·江苏,2,5分,难度★)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是　　　　.  答案　3 解析　z=(1+i)(2-i)=3+i,实部是3. 13.(2019·天津,理9文9,5分,难度★)i是虚数单位,则的值为　　　　.  答案　 解析　===2-3i. ==. 14.(2019·江苏,2,5分,难度★)已知复数(a+2i)·(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是　　　　　.  答案　2 解析　∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i的实部为0, ∴a-2=0,∴a=2. 15.(2017·江苏,2,5分,难度★)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是　　　　　.  答案　 解析　由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|==,答案为. 16.(2017·天津,理9文9,5分,难度★)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为　　　　　.  答案　-2 解析　∵==-i为实数, ∴-=0,即a=-2. 17.(2016·江苏,2,5分,难度★)复数z=(1+2i)·(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是　　　　　.  答案　5 解析　因为z=(1+2i)(3-i)=5+5i,所以z的实部是5. 18.(2015·天津,理9,5分,难度★)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为　　　　　.  答案　-2 解析　(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i. ∵(1-2i)(a+i)是纯虚数, ∴a+2=0,且1-2a≠0,∴a=-2. 19.(2015·江苏,3,5分,难度★)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为　　　　　.  答案　 解析　因为z2=3+4i,所以|z2|==5, 所以|z|=. 考点54复数的四则运算　 1.(2024·全国新高考1,2,5分,难度★)若=1+i,则z= (　C　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 解析　∵=1+i,∴z=(z-1)(1+i)=(1+i)z-(1+i),∴iz=1+i,∴z==1-i. 2.(2024·全国甲,理1,5分,难度★)若z=5+i,则i(+z)= (　A　) A.10i B.2i C.10 D.2 解析　由已知得i(+z)=i(5-i+5+i)=10i.故选A. 3.(2024·全国甲,文2,5分,难度★)设z=i,则z·= (　D　) A.4 B. C.-2 D.2 解析　z=i,则z=-()2·i2=2.故选D. 4.(2024·北京,2,4分,难度★)已知=i-1,则z= (　C　) A.1-i B.-i C.-1-i D.1 解析　z=i(i-1)=-1-i.故选C. 5.(2023·全国新高考1,2,5分,难度★)已知z=,则z-= (　A　) A.-i B.i C.0 D.1 解析　∵z=====-i, ∴=i. ∴z-=-i-i=-i.故选A. 6.(2023·全国甲,理2,5分,难度★)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a= (　C　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　由(a+i)(1-ai)=2,可得a+i-a2i+a=2,即2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1.故选C. 7.(2023·全国甲,文2,5分,难度★)=(　C　) A.-1 B.1 C.1-i D.1+i 解析　==1-i,故选C. 8.(2023·全国乙,理1,5分,难度★)设z=,则= (　B　) A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 解析　因为z=====1-2i,所以=1+2i.故选B. 9.(2023·全国乙,文1,5分,难度★)|2+i2+2i3|= (　C　) A.1 B.2 C. D.5 解析　|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|==.故选C. 10.(2022·全国甲,理1,5分,难度★)若z=-1+i,则= (　C　) A.-1+i B.-1-i C.-+i D.--i 解析　= ==-+i,故选C. 11.(2022·全国新高考2,2,5分,难度★)(2+2i)·(1-2i)= (　D　) A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i 解析　(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i.故选D. 12.(2022·全国甲,文3,5分,难度★)若z=1+i,则|iz+3|=(　D　) A.4 B.4 C.2 D.2 解析　iz+3=i(1+i)+3(1-i)=2-2i, 则|iz+3|=|2-2i|=2,故选D. 13.(2022·全国新高考1,2,5分,难度★)若i(1-z)=1,则z+= (　D　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　∵i(1-z)=1,∴z==1+i, ∴=1-i.∴z+=2.故选D. 14.(2022·北京,2,4分,难度★)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|= (　B　) A.1 B.5 C.7 D.25 解析　∵i·z=3-4i,∴z=, ∴|z|===5,故选B. 15.(2021·全国甲,理3文3,5分,难度★)已知(1-i)2z=3+2i,则z= (　B　) A.-1-i B.-1+i C.-+i D.--i 解析　由题意得z===-1+i. 16.(2021·全国乙,理1,5分,难度★)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z= (　C　) A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i 解析　设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,2(z+)+3(z-)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i. 17.(2021·全国乙,文2,5分,难度★)设iz=4+3i,则z= (　C　) A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i 解析　由已知可得,z===-(4i-3)=3-4i. 18.(2021·全国新高考1,2,5分,难度★)已知z=2-i,则z(+i)= (　C　) A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i 解析　∵z=2-i,∴=2+i.∴+i=2+2i. ∴z(+i)=(2-i)(2+2i)=4+2i-2i2=6+2i.故选C. 复数的运算类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可. 19.(2021·北京,2,4分,难度★)若复数z满足(1-i)·z=2,则z= (　D　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 解析　z===1+i.故选D. 20.(2021·浙江,2,4分,难度★)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a= (　C　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 解析　因为(1+ai)i=3+i,所以-a+i=3+i. 由复数相等的充要条件,可得-a=3,即a=-3.故选C. 21.(2020·全国1,理1,5分,难度★)若z=1+i,则|z2-2z|=(　D　) A.0 B.1 C. D.2 解析　(方法一)由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i, 故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2. (方法二)|z2-2z|=|z|·|z-2|=|1+i|·|i-1|=×=2.故选D. 求复数的模的方法 求复数的模的相关问题时,可以直接根据复数的模的公式|a+bi|=(a,b∈R)求解,也可以利用性质||=|z|,|z2|=||2=z·,|z1·z2|=|z1|·|z2|,=进行计算. 22.(2020·全国1,文2,5分,难度★)若z=1+2i+i3,则|z|= (　C　) A.0 B.1 C. D.2 解析　因为z=1+2i+i3=1+2i+i2·i=1+2i-i=1+i,所以|z|==. 23.(2020·全国2,文2,5分,难度★)(1-i)4= (　A　) A.-4 B.4 C.-4i D.4i 解析　(1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4.故选A. 24.(2020·全国3,文2,5分,难度★)若(1+i)=1-i,则z= (　D　) A.1-i B.1+i C.-i D.i 解析　由(1+i)=1-i,知====-i,则z=i.故选D. 25.(2020·山东,2,5分,难度★)= (　D　) A.1 B.-1 C.i D.-i 解析　====-i,故选D. 26.(2020·海南,2,5分,难度★)(1+2i)(2+i)= (　B　) A.4+5i B.5i C.-5i D.2+3i 解析　(1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=5i,故选B. 27.(2019·全国1,文1,5分,难度★★)设z=,则|z|= (　C　) A.2 B. C. D.1 解析　∵z===-i, ∴|z|==.故选C. 28.(2019·全国3,理2,5分,难度★)若z(1+i)=2i,则z= (　D　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 解析　z====1+i.故选D. 29.(2019·北京,理1文2,5分,难度★)已知复数z=2+i,则z·= (　D　) A. B. C.3 D.5 解析　∵z=2+i,∴=2-i. ∴z·=(2+i)(2-i)=5.故选D. 30.(2018·全国1,理1文2,5分,难度★)设z=+2i,则|z|= (　C　) A.0 B. C.1 D. 解析　因为z=+2i=+2i=i,所以|z|=1. 31.(2018·全国2,理1,5分,难度★)=(　D　) A.--i B.-+i C.--i D.-+i 解析　===-+i. 32.(2018·全国2,文1,5分,难度★)i(2+3i)= (　D　) A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i 解析　i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i. 33.(2018·全国3,理2文2,5分,难度★)(1+i)·(2-i)= (　D　) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 解析　(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i. 34.(2018·浙江,4,4分,难度★)复数(i为虚数单位)的共轭复数是 (　B　) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 解析　∵===1+i, ∴复数的共轭复数为1-i. 35.(2017·全国2,理1,5分,难度★)= (　D　) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 解析　===2-i,故选D. 36.(2017·全国2,文2,5分,难度★)(1+i)(2+i)=(　B　) A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i 解析　(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选B. 37.(2017·山东,文2,5分,难度★)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2= (　A　) A.-2i B.2i C.-2 D.2 解析　(方法一)∵z==1+=1-i, ∴z2=(1-i)2=1-2i+i2=-2i. (方法二)由zi=1+i,得(zi)2=(1+i)2, 即-z2=2i.所以z2=-2i. 复数运算的技巧 (1)充分观察题中的数字特征:==i. (2)充分利用复数模、共轭复数的运算性质:z·=|z|2=||2=|z2|. (3)利用一些基本结论简化计算: (1±i)2=±2i,=i,=-i; i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i, i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*). 38.(2016·北京,文2,5分,难度★)复数= (　A　) A.i B.1+i C.-i D.1-i 解析　===i,故选A. 39.(2024·上海,9,5分,难度★★)已知虚数z的实部为1,且z+=m(m∈R),则实数m为　　　　　.  答案　2 解析　设z=1+bi(b≠0),则z+=1+bi+=1+bi+=1++i, 因为m∈R,所以b-=0,解得b=±1,所以m=1+=1+1=2. 40.(2024·天津,10,5分,难度★)已知i是虚数单位,复数(+i)(-2i)=　　　　　.  答案　7-i 解析　(+i)(-2i)=5+i-2i+2=7-i. 41.(2023·天津,10,5分,难度★)已知i是虚数单位,化简的结果为　　　　　.  答案　4+i 解析　===4+i. 42.(2021·天津,10,5分,难度★)i是虚数单位,复数=　　　　.  答案　4-i 解析　====4-i. 43.(2020·全国2,理15,5分,难度★★)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　　.  答案　2 解析　方法一(代数法)设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R. ∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4. 又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i, ∴a+c=,b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4. ∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12. ∴|z1-z2|==2. 方法二(复数的几何意义)设z1,z2在复平面内对应的向量分别为,,由题意知||=||=2, |+|=|+i|=2, 则以,为邻边的平行四边形为菱形,且∠Z2OZ1=120°,如图所示.则|z1-z2|=|-|=2. 方法三(向量法)原题等价于平面向量a,b满足|a|=|b|=2,且a+b=(,1),求|a-b|.因为|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2,所以4+|a-b|2=16,所以|a-b|=2. 44.(2020·天津,10,5分,难度★)i是虚数单位,复数=　　　　　.  答案　3-2i 解析　====3-2i. 45.(2018·天津,理9文9,5分,难度★)i是虚数单位,复数=　　　　　.  答案　4-i 解析　====4-i. 46.(2018·上海,5,4分,难度★)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|=　　　　　.  答案　5 解析　因为(1+i)z=1-7i, 所以|1+i||z|=|1-7i|, 即|z|=5,解得|z|=5. 47.(2017·浙江,12,6分,难度★)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　　,ab=　　　　　.  答案　5　2 解析　由题意可得a2-b2+2abi=3+4i, 则解得则a2+b2=5,ab=2. 48.(2016·天津,理9,5分,难度★)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为　　　　　.  答案　2 解析　(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则所以即=2.故答案为2. 考点55复数的几何意义　 1.(2024·全国新高考2,1,5分,难度★)已知z=-1-i,则|z|= (　C　) A.0 B.1 C. D.2 解析　|z|==,故选C. 2.(2023·全国新高考2,1,5分,难度★)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 (　A　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A. 3.(2021·全国新高考2,1,5分,难度★)复数在复平面内对应的点所在象限为 (　A　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　===+i,则复数在复平面内对应的点的坐标为,,故选A. 4.(2020·北京,2,4分,难度★)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z= (　B　) A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i 解析　由题意得z=1+2i,∴iz=i-2.故选B. 5.(2019·全国1,理2,5分,难度★)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　C　) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 解析　(方法一)由题意可知z=x+yi(x,y∈R). 因为z-i=x+(y-1)i, 所以|z-i|==1, 则x2+(y-1)2=1.故选C. (方法二)∵|z-i|=1表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到点(0,1)的距离为1, ∴x2+(y-1)2=1.故选C. 由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时也可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观. 6.(2019·全国2,理2,5分,难度★)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于 (　C　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　由z=-3+2i,得=-3-2i,则在复平面内对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C. 7.(2018·北京,理2文2,5分,难度★)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于 (　D　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　∵===+i,∴+i的共轭复数为-i,而-i在复平面内对应的点的坐标为,点位于第四象限,故选D. 8.(2017·全国3,文2,5分,难度★)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于 (　C　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C. 9.(2017·北京,理2,5分,难度★)若复数(1-i)·(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 (　B　) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 解析　设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以解得a<-1.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$