4.2 平面向量的数量积及其应用-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§4.2　平面向量的数量积及其应用 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 48.平面向量数量积的定义 2 4 0 3 0 0 1 0 2 0 0 0 5 8 49.平面向量数量积的坐标运算 1 6 1 1 2 1 1 0 1 0 0 1 6 9 50.平面向量的夹角 3 2 2 1 0 0 1 0 2 0 0 0 8 3 51.平面向量的模 2 1 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 8 1 52.平面向量的综合应用 2 7 0 1 0 3 0 2 0 0 0 1 2 14 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考命题常考的内容(),属于中档题目,主要题型为选择题或填空题,分值为4~5分. (2)考查方向:一是考查平面向量数量积的定义,根据平面向量的模与夹角求平面向量数量积或结合平面向量的线性运算进行考查;二是考查平面向量数量积的坐标运算,根据向量数量积的坐标运算求向量的数量积或由向量垂直求参数等;三是考查平面向量的夹角,根据向量的数量积求两向量的夹角;四是考查平面向量的模,利用向量数量积的公式求向量数量积的值或由模的值求参数等;五是考查平面向量的综合应用,根据向量的几何意义或数量积的定义与坐标运算研究最值问题或平面图形的 几何性质等. (3)明智备考:一是抓住平面向量“数”的特征,熟练掌握平面向量数量积的公式及基本运算规律,这是数量积运算的基础;二是抓住平面向量“形”的特征,尤其是处理模 与夹角问题时,灵活利用平面图形求解相关问题. (4)主编提示:命题的兴趣点在于向量数量积的运算,其中模与夹角的求解是重点,平面向量常渗透在三角函数或解析几何等试题中,考查数学运算、直观想象等核心素养,高三备考,抓住数量积运算这个核心,灵活转化为坐标运算或利用几何意义求解,高考即可顺利过关! 考点48平面向量数量积的定义　 1.(2023·全国乙,文6,5分,难度★★)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则·=(　B　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A. B.3 C.2 D.5 解析　 方法一:由题可知||=||=2, ·=0, 则·=(+)·(+) =+·-+ =-+=-1+4=3. 方法二:因为E是AB的中点, 所以ED=EC==. 在△DCE中,由余弦定理,得 cos∠DEC= ==, 所以·=||||·cos∠DEC=××=3. 方法三:以点A为原点建立如图所示平面直角坐标系, 则D(0,2),C(2,2),E(1,0), 则=(1,2),=(-1,2),所以·=1×(-1)+2×2=3.故选B. 2.(2023·全国乙,理12,5分,难度★★★★)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=,则·的最大值为 (　A　) A.+ B.+ C.1+ D.2+ 解析　设∠DPO=α,由题可知α∈0,. ∵||=,||=1,∴∠OPA=, ∴||=||cos α=cos α. ①当,在PO两侧时, ·=||||cosα+=cos α cosα+=cos αcos α-sin α =cos2α-sin αcos α=-sin 2α =-sin2α-+. ∵α∈0,, ∴-≤2α-<,∴-≤sin2α-<, ∴0<-sin2α-+≤1,∴0<·≤1. ②当,在PO同侧时, ·=||||cosα- =cos αcosα-=cos2α+sin αcos α =+sin 2α=sin2α++. ∵α∈0,,∴≤2α+<, ∴≤sin2α+≤1,∴1≤·≤. 综上,·最大值为.故选A. 3.(2020·山东,7,5分,难度★★★)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是 (　A　) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 解析　方法一:如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,),C(3,). 设P(x,y), 则=(x,y),=(2,0), ∴·=2x+0×y=2x. ∵-1<x<3,∴·的取值范围为(-2,6),故选A. 方法二:·=||||cos∠PAB=2||cos∠PAB, 如图可知, 当点P与点C重合时, ||cos∠PAB最大, 当点P与点F重合时, ||cos∠PAB最小. 又·=2×2×cos 30°=6,·=2×2×cos 120°=-2, 故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时,·∈(-2,6). 平面向量中有关最值(或取值范围)问题的两种求解思路 (1)“形化”,即数形结合法,利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题,然后根据平面图形的特征结合动点表示的图形求解. (2)“数化”,即代数法,将数量积用某一个变量或两个变量表示,建立关系式,然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解. 4.(2018·全国2,理4文4,5分,难度★★)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= (　B　) A.4 B.3 C.2 D.0 解析　a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3. 5.(2018·北京,理6,5分,难度★★★)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的 (　C　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2. ∵a,b均为单位向量, ∴1-6a·b+9=9+6a·b+1. ∴a·b=0,故a⊥b,反之也成立.故选C. 6.(2017·全国2,文4,5分,难度★★★)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 (　A　) A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 解析　由|a+b|=|a-b|,平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0.又a,b为非零向量,故a⊥b,故选A. 已知两向量和、差的模,一般通过平方转化为向量数量积与模的关系. 7.(2016·天津,文7,5分,难度★★★)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为 (　B　) A.- B. C. D. 解析　如图所示,选取,为基底,则=++=++=+(-)+×=+,=-. 故·=+·(-)=-·-=-×1×1×-=. 8.(2015·山东,理4,5分,难度★★)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·= (　D　) A.-a2 B.-a2 C.a2 D.a2 解析　如图,设=a, =b. 则·=(+)·=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos 60°=a2+a2=a2. 9.(2022·全国甲,理13,5分,难度★★)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　　　　　.  答案　11 解析　由题得,a·b=1×3cos<a,b>=1×3×=1, 则(2a+b)·b=2a·b+|b|2=2+9=11. 10.(2020·天津,15,5分,难度★★★) 如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-,则 实数λ的值为　,  若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则·的最小值为　　　　　.  答案　　 解析　∵=λ, ∴·=λ·=λ||||·cos 120°=λ×6×3×-=-,∴λ=. 令=μ0≤μ≤, 则=+=μ+=μ+, =++=-++μ =μ--, =++ =-++μ+=μ-. ·=μ--·(μ-) =μ·μ-||2-μ+μ-·+||2=36μ2-μ-2μ-×9+9=36μ2-6μ-18μ+=36μ2-24μ+=36μ-2+. 又0≤μ≤,∴当μ=时取最小值. 11.(2020·北京,13,5分,难度★★★)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则||=　　　　;·=　　　　.  答案　　-1 解析　以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如下图所示的平面直角坐标系, 则点A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2), =(+)=(2,0)+(2,2)=(2,1), 则点P(2,1), ∴=(-2,1),=(0,-1), 因此,||==, ·=0×(-2)+1×(-1)=-1. 12.(2019·天津,理14文14,5分,难度★★★)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=　　　　.  答案　-1 解析　 ∵AD∥BC,且∠DAB=30°, ∴∠ABE=30°. ∵EA=EB, ∴∠EAB=30°.∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2, ·=(+)·(+) =-+·+·+· =-12+2×2×cos 30°+5×2×cos 30°+5×2×cos 180°=-22+6+15=-1. 13.(2017·天津,理13文14,5分,难度★★)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为　　　　　.  答案　 解析　由题意,知||=3,||=2, ·=3×2×cos 60°=3, =+=+ =+(-)=+, 所以·=+·(λ-) =·-+ =×3-×32+×22 =λ-5=-4,解得λ=. 考点49平面向量数量积的坐标运算　 1.(2023·全国新高考1,3,5分,难度★★)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 (　D　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 解析　方法一:由题意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ). ∵(a+λb)⊥(a+μb), ∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D. 方法二:由题意得,a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0. ∵(a+λb)⊥(a+μb), ∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故选D. 2.(2015·福建,文7,5分,难度★★★)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于 (　A　) A.- B.- C. D. 解析　∵a=(1,2),b=(1,1),∴c=(1+k,2+k). ∵b⊥c,∴b·c=1+k+2+k=0.∴k=-. 3.(2015·广东,文9,5分,难度★★★)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·= (　A　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析　=+=(3,-1), 所以·=(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5. 4.(2024·上海,5,4分,难度★)已知向量a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k=　　　　　.  答案　15 解析　由a∥b,得=,即5×6=2×k,解得k=15. 5.(2022·全国甲,文13,5分,难度★★)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=　　　　　.  答案　- 解析　因为a⊥b,则a·b=m+3m+3=0,解得m=-. 6.(2021·全国甲,理14,5分,难度★★★)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=　　　　　.  答案　- 解析　∵a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0, ∴a2+ka·b=0,∵a=(3,1),b=(1,0), ∴10+3k=0,解得k=-. 结合平面向量数量积与向量垂直的关系,利用方程思想求解. 7.(2021·全国乙,理14,5分,难度★★★)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=　　　　　.  答案　 解析　由已知得,a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b,得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,即15-25λ=0,解得λ=. 向量坐标运算规律 1.巧借方程思想求坐标:若已知向量两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中注意方程思想的应用. 2.向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几何问题转化为数量运算问题. 8. (2021·北京,13,5分,难度★★)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则(a+b)·c=　　　　;a·b=　　　　.  答案　0　3 解析　建立如图所示直角坐标系. 由已知得(a+b)·c=(4,0)·(0,1)=0,a·b=(2,1)·(2,-1)=4-1=3. 9.(2020·全国1,文14,5分,难度★★)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=　　　　　.  答案　5 解析　由a⊥b,可得a·b=1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=5. 10.(2019·北京,文9,5分,难度★★)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　　　　.  答案　8 解析　∵a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b, ∴a·b=0,即-4×6+3m=0,即m=8. 11.(2018·北京,文9,5分,难度★★)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=　　 　.  答案　-1 解析　由题意,得ma-b=(m+1,-m). ∵a⊥(ma-b),∴a·(ma-b)=0, 即m+1=0,∴m=-1. 12.(2018·上海,8,5分,难度★★★)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F是y轴上的两个动点,且||=2,则·的最小值为　　　　　.  答案　-3 解析　依题意,设E(0,a),F(0,b),不妨设a>b,则a-b=2,=(1,a),=(-2,b),a=b+2, 所以·=(1,a)·(-2,b)=-2+ab=-2+(b+2)b=b2+2b-2=(b+1)2-3, 故所求最小值为-3. 13.(2018·江苏,12,5分,难度★★★)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线 l交于另一点D.若·=0,则点A的横坐标为　　　　.  答案　3 解析　设A(a,2a)(a>0),则由圆心C为AB的中点得C,a,☉C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.将其与y=2x联立解得xD=1,D(1,2). 因为=(5-a,-2a),=1-,2-a,·=0, 所以(5-a)·1-+(-2a)(2-a)=0,即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.因为a>0,所以a=3. 14.(2017·全国1,文13,5分,难度★★★)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m=　　　　　.  答案　7 解析　因为a=(-1,2),b=(m,1), 所以a+b=(m-1,3). 因为a+b与a垂直,所以(a+b)·a=0, 即-(m-1)+2×3=0,解得m=7. 15.(2016·山东,文13,5分,难度★★)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为　　　　　.  答案　-5 解析　由a⊥(ta+b)可得a·(ta+b)=0, 所以ta2+a·b=0, 而a2=12+(-1)2=2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,所以有t×2+10=0,解得t=-5. 考点50平面向量的夹角　 1.(2023·全国甲,理4,5分,难度★★)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>= (　D　) A.- B.- C. D. 解析　由a+b+c=0,得a+b=-c, 所以(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2, 即|a|2+|b|2+2|a||b|cos<a,b>=|c|2. 又|a|=|b|=1,|c|=,所以2+2cos<a,b>=2, 解得cos<a,b>=0,则<a,b>=. 不妨设a=(1,0),b=(0,1). 因为a+b+c=0,所以c=(-1,-1), 所以a-c=(2,1),b-c=(1,2), 所以cos<a-c,b-c>===.故选D. 2.(2023·全国甲,文3,5分,难度★)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos<a+b,a-b>= (　B　) A. B. C. D. 解析　∵a=(3,1),b=(2,2), ∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1). 则有cos<a+b,a-b>== ==.故选B. 3.(2022·全国新高考2,4,5分,难度★★)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则实数t= (　C　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 解析　由题意得c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>,故=,解得t=5.故选C. 4.(2020·全国3,理6,5分,难度★★)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=(　D　) A.- B.- C. D. 解析　∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19, |a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49, ∴|a+b|=7, ∴cos<a,a+b>===. 5.(2019·全国1,理7,5分,难度★★)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　B　) A. B. C. D. 解析　方法一:因为(a-b)⊥b, 所以(a-b)·b=a·b-b2=0, 所以a·b=b2. 所以cos<a,b>===, 所以a与b的夹角为,故选B. 方法二:(数形结合)令=a,=b,在△OAB中(如图),=a-b,由(a-b)⊥b,∠ABO=,△OAB是直角三角形, 又|a|=2|b|,所以∠AOB=,即a与b的夹角为,故选B. 6.(2020·全国2,理13,5分,难度★★)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=　　　　　.  答案　 解析　由题意可知,a·b=|a||b|cos 45°=. ∵ka-b与a垂直, ∴(ka-b)·a=k|a|2-a·b=k-=0,∴k=. 7.(2020·浙江,17,4分,难度★★★)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|≤,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值是　　　　.  答案　 解析　|2e1-e2|≤⇔≤2, 解得e1·e2≥. 又e1·e2≤1,所以≤e1·e2≤1. cos θ== =, 设e1·e2=x,则≤x≤1. cos2θ== ===, 得cos2θ∈,1,所以cos2θ的最小值是. 8.(2019·全国3,理13,5分,难度★★)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos<a,c>=. 答案　 解析　∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1. 又a·b=0,c=2a-b, ∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4a·b=9,∴|c|=3. 又a·c=2|a|2-a·b=2, ∴cos<a,c>===. 9.(2019·全国3,文13,5分,难度★★)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>=　　　　　.  答案　- 解析　cos<a,b>= ===-. 10.(2017·山东,理12,5分,难度★★)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是　　　　　.  答案　 解析　∵e1,e2是互相垂直的单位向量, ∴可设a=e1-e2=(,-1), b=e1+λe2=(1,λ).则<a,b>=60°. ∴cos<a,b>=cos 60°===, 即-λ=,解得λ=. 11.(2016·北京,文9,5分,难度★★★)已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为　　　　　.  答案　 解析　设a与b的夹角为θ,则cos θ===,且两个向量夹角范围是[0,π],∴所求的夹角为. 利用向量的坐标求夹角的常用方法 (1)利用夹角公式cos θ==求解(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角). (2)利用向量的线性运算和图形的几何位置关系求解. 考点51平面向量的模　 1.(2024·全国新高考2,3,5分,难度★★)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= (　B　) A. B. C. D.1 解析　由|a|=1,得a2=1,由|a+2b|=2,得a2+4a·b+4b2=4. 又b·(b-2a)=b2-2a·b=0,所以b2=, 即|b|=,故选B. 2.(2022·全国乙,理3,5分,难度★★)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=(　C　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1. 3.(2022·全国乙,文3,5分,难度★★)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= (　D　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　本题主要考查向量模的运算. 由题设得a-b=(4,-3), 则|a-b|==5.故选D. 4.(2019·全国2,文3,5分,难度★★)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= (　A　) A. B.2 C.5 D.50 解析　由题意,得a-b=(-1,1), 则|a-b|==,故选A. 求向量的模的技巧 在求解与向量的模有关的问题时,往往会涉及“平方”技巧,注意对结论(a±b)2=|a|2+|b|2±2a·b,(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+a·c)的灵活运用.另外,向量作为工具性的知识,具备代数和几何两种特征,求解此类问题时可以使用数形结合思想,从而加快解题速度. 5.(2018·浙江,9,4分,难度★★★)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是(　A　) A.-1 B.+1 C.2 D.2- 解析　∵b2-4e·b+3=0,∴(b-2e)2=1, ∴|b-2e|=1. 如图所示,平移a,b,e,使它们有相同的起点O,以O为原点,向量e所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则b的终点在以点(2,0)为圆心,半径为1的圆上,|a-b|就是线段AB的长度.要求|AB|的最小值,就是求圆上动点到定直线的距离的最小值,也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长,因此|a-b|的最小值为-1. 求模的最值或取值范围的方法 (1)几何法:利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则,结合模的几何意义求模的最值或取值范围; (2)代数法:利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围. 6.(2023·全国新高考2,13,5分,难度★★)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=　　　　　.  答案　 解析　由|a-b|=,得a2-2a·b+b2=3, 即2a·b=a2+b2-3①. 又由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,即3a2-6a·b=0,即2a·b=a2,代入①,得a2=a2+b2-3,整理,得b2=3,所以|b|=. 7.(2021·全国甲,文13,5分,难度★★)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|=　　　　　.  答案　3 解析　由|a-b|2=a2-2a·b+b2,得25=9-2×1+|b|2,解得|b|=3. 8.(2020·全国1,理14,5分,难度★★)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　　　　　.  答案　 解析　方法一:∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1, ∴a·b=-,∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=. 方法二:如图,在平行四边形OACB中,设=a,=b,利用平行四边形法则得=a+b, ∵|a|=|b|=|a+b|=1, ∴△OAC为正三角形, ∴||=|a-b|=2××|a|=. 9.(2017·全国1,理13,5分,难度★★)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　　　　　.  答案　2 解析　因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·cos 60°+4|b|2=22+4×2×1×+4×1=12,所以|a+2b|==2. 考点52平面向量的综合应用　 1.(2022·北京,10,4分,难度★★★)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则·的取值范围是(　D　) A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 解析　 如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系, 则点C(0,0),A(3,0),B(0,4). ∵PC=1, ∴可设点P(cos θ,sin θ), θ∈[0,2π), ∴·=(3-cos θ,-sin θ)·(-cos θ,4-sin θ)=-3cos θ-4sin θ+sin2θ+cos2θ=1-5sin(θ+φ),其中sin φ=,cos φ=, ∵-1≤sin(θ+φ)≤1, ∴-4≤·≤6.故选D. 2.(多选题)(2021·全国新高考1,10,5分,难度★★★)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 (　AC　) A.||=|| B.||=|| C.·=· D.·=· 解析　方法一:∵||==1, ||==1, ∴||=||,故A正确; ∵=(cos α-1,sin α), =(cos β-1,-sin β), ∴||==, ||==, ∴||≠||,故B不正确; ∵·=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(α+β),·=(cos α,sin α)·(cos β,-sin β)=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β), ∴·=·,故C正确; ∵·=(1,0)·(cos α,sin α)=cos α, ·=(cos β,-sin β)·(cos(α+β), sin(α+β))=cos βcos(α+β)-sin βsin(α+β)=cos(β+α+β)=cos(2β+α), ∴·≠·.故D不正确. 方法二:如图,由图可知||=||=1,故A正确;当且仅当cos α=cos β时, ||=||成立,故B错误;因此<,>=α+β,<,>=α+β,且||=||=||=||,故C正确;<,>=α,<,>=α+2β, 因为cos<,>与cos<,>不一定相等,故D错误.故选AC. 3.(2018·天津,理8,5分,难度★★★)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为 (　A　) A. B. C. D.3 解析　如图,以D为坐标原点建立直角坐标系.连接AC,由题意知∠CAD=∠CAB=60°,∠ACD=∠ACB=30°,则D(0,0),A(1,0),B,,C(0,). 设E(0,y)(0≤y≤), 则=(-1,y),=-,y-, ∴·=+y2-y=y-2+, ∴当y=时,·有最小值. 4.(2018·天津,文8,5分,难度★★★)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,则·的值为 (　C　) A.-15 B.-9 C.-6 D.0 解析　连接MN,图略.∵=2,=2, ∴=3,=3. ∴MN∥BC,且=, ∴=3=3(-), ∴·=3(-)·=3(·-||2)=32×1×--1=-6. 5.(2017·全国2,理12,5分,难度★★★★)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是 (　B　) A.-2 B.- C.- D.-1 解析　以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图. 可知A(0,),B(-1,0),C(1,0). 设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y). 所以+=(-2x,-2y). 所以·(+)=2x2-2y(-y)=2x2+2y-2-≥-. 当点P的坐标为0,时,·(+)取得最小值为-,故选B. 6.(2017·全国3,理12,5分,难度★★★★)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为 (　A　) A.3 B.2 C. D.2 解析　建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,1),B(0,0),D(2,1). 设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r===,即圆的方程是(x-2)2+y2=. 易知=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0). 由=λ+μ, 得所以μ=,λ=1-y, 所以λ+μ=x-y+1. 设z=x-y+1,即x-y+1-z=0. 因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上, 所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离d≤r, 即≤,解得1≤z≤3, 所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A. 7.(2024·天津,14,5分,难度★★★★)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=DE,=λ+μ,则λ+μ=　　　　　;F为线段BE上的动点,G为线段AF的中点,则·的最小值为　　　　　.  答案　　- 解析　如图,以B为坐标原点建立平面直角坐标系. 由题意可知点A(-1,0), B(0,0),C(0,1),D(-1,1),E-,1, 则=(-1,0),=(0,1),=-,1. 由=λ+μ,得-,1=λ(-1,0)+μ(0,1), ∴-λ=-,μ=1,∴λ=. ∴λ+μ=+1=. ∵F为线段BE上的动点,设=a, 则=a-,1=-a,a(0≤a≤1). 又=(1,0), ∴=+=(1,0)+-a,a=1-a,a. 又G为线段AF的中点, ∴==-a,a. 又=(0,-1), ∴=+=(0,-1)+-a,a=-a,a-1, ∴·=1-a,a·-a,a-1=1-a-a+aa-1=a2-a+=a-2-, 又0≤a≤1,∴当a=1时,·取得最小值,且最小值为-. 8.(2022·浙江,17,4分,难度★★★★)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则++…+的取值范围是　　　　.  答案　[12+2,16] 解析　如图,以圆心为原点,A3A7所在直线为x轴,A1A5所在直线为y轴建立平面直角坐标系, 则A1(0,1),A2-,,A3(-1,0),A4-,-,A5(0,-1),A6,-,A7(1,0),A8,. 设P(x,y),则++…+=8(x2+y2)+8. 因为cos 22.5°≤|OP|≤1,所以≤x2+y2≤1,故所求取值范围为[12+2,16]. 涉及平面几何图形与平面向量问题时,通过建系写出关键点的坐标,问题更易解决. 9.(2021·天津,15,5分,难度★★★★)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DE⊥AB且交AB与点E,DF∥AB交AC于点F,则|2+|的值为　　　　;(+)·的最小值为　　　　.  答案　1　 解析　建立如图所示坐标系, 则A,B,C点坐标为0,,-,0,,0. 设D点坐标为(x,0),x∈-,, 则|BD|=+x,|BE|=+, E点坐标为-,+, |CD|=-x,|DF|=-x, F点坐标为+,-, 2+=2+,++-,-=,, ∴|2+|==1. =--,+, =-,-,=-x,, (+)·=--,-·-x,=--·(-x)+-×=x2-x+, 当x=时(+)·取得最小值. 10.(2021·浙江,17,4分,难度★★★)已知平面向量a,b,c(c≠0)满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,(a-b)·c=0.记平面向量d在a,b方向上的投影分别为x,y,d-a在c方向上的投影为z,则x2+y2+z2的最小值是　　　　　.  答案　 解析　依题意,不妨设a=(1,0),b=(0,2), 则a-b=(1,-2),由(a-b)·c=0, 可设c=(2m,m)(m≠0). 由题意知d=(x,y),∴d-a=(x-1,y). ∵d-a在c上的投影为z, ∴z== ==±. 不妨令z=,则2x+y-z-2=0. 要使x2+y2+z2最小,只需原点O到平面2x+y-z-2=0内一点的距离最小. 易知平面2x+y-z-2=0与x轴交于点A(1,0,0),与y轴交于点B(0,2,0),与z轴交于点C0,0,-,则平面的一个法向量为n=(-2,-1,), 又=(1,0,0),所以原点O到平面2x+y-z-2=0的距离为=,即原点O到平面2x+y-z-2=0内一点的距离最小为,所以x2+y2+z2的最小值为2=. 11.(2020·上海,12,5分,难度★★★★)已知a1,a2,b1,b2,…,bk(k∈N*)是平面内两两互不相等的向量,满足|a1-a2|=1,且|ai-bj|∈{1,2}(其中i=1,2,j=1,2,…,k),则k的最大值为　　　　.  答案　6 解析　根据条件不妨设a1=(0,0),a2=(0,1),bj=(x,y), ∵|ai-bj|∈{1,2},当|a1-bj|=1⇒x2+y2=1,表示圆心为原点,半径为1的圆. 当|a1-bj|=2⇒x2+y2=4,表示圆心为原点,半径为2的圆,如图,这两个圆用实线表示. 当|a2-bj|=1⇒x2+(y-1)2=1,表示圆心为(1,0),半径为1的圆, |a2-bj|=2⇒x2+(y-1)2=4,表示圆心为(1,0),半径为2的圆,如图,这两个圆用虚线表示, 由条件可知点(x,y)既要在实曲线上,又要在虚曲线上,由图象可知,共有6个交点,即k的最大值是6.故答案为6. 12.(2019·浙江,17,6分,难度★★★★)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是　　　　,最大值是　　　　.  答案　0　2 解析　(基向量处理) λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6=(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6),要使|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小,只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0,此时只需要取λ1=1,λ2=-1,λ3=1,λ4=1,λ5=1,λ6=1,此时|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|min=0.由于λ5+λ6=±2或±2,取其中的一种λ5+λ6=2讨论(其他三种类同),此时λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6=(λ1-λ3+2)+(λ2-λ4),要使|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最大,只需要使|λ1-λ3+2|,|λ2-λ4|最大,取λ1=1,λ2=1,λ3=-1,λ4=-1,此时|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|=|4+2|=2,综合几种情况可得|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|max=2. 13.(2019·江苏,12,5分,难度★★★)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若·=6·,则的值是　　　　　.  答案　 解析　如图,过点D作DF∥CE,交AB于点F, 由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD. 又·=6·=3·(-) =(+)·- =·-+-· =·-+ =·-+, 得=,即||=||,故=. 14.(2017·江苏,理13,5分,难度★★★)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是　　　　　.  答案　[-5,1] 解析　设P(x,y),由·≤20,易得x2+y2+12x-6y≤20.把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0. 由可得或 由2x-y+5≤0表示的平面区域及P点在圆上,可得点P在圆弧EPF上,所以点P横坐标的取值范围为[-5,1]. 15.(2017·北京,文12,5分,难度★★★)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为　　　　　.  答案　6 解析　方法1:设P(cos α,sin α),α∈R, 则=(2,0),=(cos α+2,sin α), ·=2cos α+4. 当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6. 故·的最大值为6. 方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),·=2x+4, 故·的最大值为6. 16.(2017·江苏,16,14分,难度★★★)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 解　(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b, 所以-cos x=3sin x. 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾, 故cos x≠0.于是tan x=-. 又x∈[0,π],所以x=. (2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-) =3cos x-sin x=2cosx+. 因为x∈[0,π],所以x+∈,, 从而-1≤cosx+≤. 于是,当x+=,即x=0时,f(x)取到最大值3; 当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2. 学科网（北京）股份有限公司 $$